第三章 效用论课后练习题参考答案

第三章 效用论1.按照两商品的边际替代率MRS 的定义公式，可以将一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率写成：MRS XY ＝－ ΔY ΔX其中，X 表示肯德基快餐的份数；Y 表示衬衫的件数；MRS XY 表示在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所需要放弃的衬衫的消费数量。

在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在均衡点上有MRS XY ＝P X P Y即有MRS XY ＝2080＝0.25 它表明，在效用最大化的均衡点上，该消费者关于一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率MRS 为0.25。

2.(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量为30单位，且已知P 1＝2元，所以，消费者的收入M ＝2元×30＝60元。

(2)图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位，且由(1)已知收入M＝60元，所以，商品2的价格P 2＝M 20＝6020＝3元。

(3)由于预算线方程的一般形式为：P 1X 1＋P 2X 2＝M所以，由(1)、(2)可将预算线方程具体写为：2X 1＋3X 2＝60。

(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为X 2＝－23X 1＋20。

很清楚，预算线的斜率为－23。

(5)在消费者效用最大化的均衡点E 上，有MRS 12＝P 1P 2，即无差异曲线斜率的绝对值即MRS 等于预算线斜率的绝对值P 1P 2。

因此，MRS 12＝P 1P 2＝23。

3.(1)根据题意，对消费者A 而言，热茶是中性商品，因此，热茶的消费数量不会影响消费者A 的效用水平。

消费者A 的无差异曲线见图3—2(a)。

图3—2中的箭头均表示效用水平增加的方向。

(2)根据题意，对消费者B 而言，咖啡和热茶是完全互补品，其效用函数是U ＝min{x 1，x 2}。

消费者B 的无差异曲线见图3—2(b)。

(3)根据题意，对消费者C 而言，咖啡和热茶是完全替代品，其效用函数是U ＝2x 1＋x 2。

消费者C 的无差异曲线见图3—2(c)。

(4)根据题意，对消费者D 而言，咖啡是厌恶品。

消费者D 的无差异曲线见图3—2(d)。

,图3—2 关于咖啡和热茶的不同消费者的无差异曲线4.解答：一般说来，发给消费者现金补助会使消费者获得更大的效用。

其原因在于：在现金补助的情况下，消费者可以按照自己的偏好来购买商品，以获得尽可能大的效用。

如图3—3所示。

在图3—3中，直线AB 是按实物补助折算的货币量构成的现金补助情况下的预算线。

在现金补助的预算线AB 上，消费者根据自己的偏好选择商品1和商品2的购买量分别为x *1和x *2，从而实现了最大的效用水平U 2，即在图3—3中表现为预算线AB 和无差异曲线U 2相切的均衡点E 。

而在实物补助的情况下，则通常不会达到最大的效用水平U 2。

因为，譬如，当实物补助的商品组合为F 点(即两商品数量分别为x 11、x 21)，或者为G 点(即两商品数量分别为x 12和x 22)时，则消费者能获得无差异曲线U 1所表示的效用水平，显然，U 1<U 2。

5.解答：根据消费者的效用最大化的均衡条件MU 1MU 2＝P 1P 2其中，由U ＝3X 122X 可得MU 1＝d TU d X 1＝322X MU 2＝d TU d X 2＝6X 1X 2 于是，有3020632122 X X X 整理得 X 2＝43X 1 (1) 将式(1)代入预算约束条件20X 1＋30X 2＝540，得20X 1＋30·43X 1＝540 解得 X 1＝9将X 1＝9代入式(1)得X 2＝12因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为X 1＝9, X 2＝12将以上最优的商品组合代入效用函数，得U *＝3X *1(X *2)2＝3×9×122＝3 888 它表明该消费者的最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为3 888。

6，解答：(1)由消费者A 的需求函数dA Q ＝20－4P ，可编制消费者A 的需求表；由消费者B 的需求函数d B Q ＝30－5P ，可编制消费B 的需求表。

至于市场的需求表的编制可以使用两种方法，一种方法是利用已得到消费者A 、B 的需求表，将每一价格水平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者A 和B 的需求函数加总来求得市场需求函数，即市场需求函数Q d ＝d A Q ＋d B Q ＝(20－4P )＋(30－5P )＝50－9P ， 然后运用所得到的市场需求函数Q d ＝50－9P 来编制市场需求表。

这两种方法所得到的市场需求表是相同的。

按以上方法编制的3张需求表如下所示。

消费者B 的需求表 P d A Q 0 20 1 16 2 12 3 8 4 4 5 0 P d B Q 0 30 1 25 2 20 3 15 4 10 5 5 6 0 图3—3市场的需求表P Q d ＝d A Q ＋dB Q0 501 412 323 234 145 56 0(2)由(1)中的3张需求表，所画出的消费者A 和B 各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图3—4所示。

图3—4在此，需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格P ＝5和需求量Q d ＝5的坐标点位置。

关于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：一个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在P ≤5的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到；而当P ＞5时，只有消费者B 的需求曲线发生作用，所以，他的需求曲线就是市场需求曲线。

另一个角度是从需求函数看，在P ≤5的范围，市场需求函数Q d ＝d A Q ＋d B Q ＝50－9P 成立；而当P ＞5时，只有消费者B 的需求函数才构成市场需求函数，即Q d ＝30－5P 。

7.解答：根据消费者效用最大化的均衡条件2211P MU P MU = 其中，由已知的效用函数U ＝++21χχ可得MU 1＝d TU d X 1＝+2χ MU 2＝d TU d X 2＝+1χ 于是，有2112P x P x = 整理得x 1p 1=x 2p 2即有x 2＝x 1p 1/ p 2 (1)将式(1)代入约束条件P 1x 1＋P 2x 2＝M ，有P 1x 1＋P 2·x 1P 1/ P 2＝M解得x 1=M/2P 1代入式(1)得x 2= M/2P 2所以，该消费者关于两商品的需求函数为x 1=M/2P 1和x 2= M/2P 2 8.由于无差异曲线是一条直线，所以该消费者的最优消费选择有三种情况，其中的第一、第二种情况属于边角解。

第一种情况：当MRS 12>P 1/P 2时，即a> P 1/P 2时，如图，效用最大的均衡点E 的位置发生在横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即 X 1=M/P 1，X 2=0。

也就是说，消费者将全部的收入都购买商品1，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。

显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。

第二种情况：当MRS 12<P 1/P 2时，a< P 1/P 2时，如图，效用最大的均衡点E 的位置发生在纵轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即 X 2=M/P 2，X 1=0。

也就是说，消费者将全部的收入都购买商品2，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。

显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。

第三种情况：当MRS 12=P 1/P 2时，a= P 1/P 2时，如图，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化达到均衡点可以是预算线上的任何一点的商品组合，即最优解为X 1≥0，X 2≥0，且满足P 1X 1+P 2X 2=M 。

此时所达到的最大效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。

显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一条无差异曲线所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。

图3—59.(1)由题意可得，商品的边际效用为:MU ＝Q U ∂∂＝0.5q -0.5 货币的边际效用为:λ＝MU ∂∂＝3 于是，根据消费者均衡条件MU/P ＝λ，有0.5 q -0.5＝3P整理得需求函数为q ＝1/36P 2。

(2)由需求函数q ＝1/36P 2，可得反需求函数为p ＝q 6110.(1)由消费者的效用函数U ＝x αy β，得 βααy x U MUx 1x-=∂∂=,1y -=∂∂=βαβy x U MUy 根据消费者效用最大化的均衡条件Py Px MU MUx =y ,有 Py Px y =-1-1yx βαβαβαχ 则，PyP y αβx = 代入约束条件P X X +P Y X=M ，有P X X +P YPy P αβx =M 解得x P Mαχ=，Py My β=所以，该消费者关于商品的需求函数为x P Mαχ=，Py My β=(2)商品x 和y 的价格以及消费者的收入同时变为原来的K 倍，则消费者对两商品的需求分别为X ’ x P MKP KM ===x x )(αα，y y P MKP KM ===y y )(ββ所以消费者需求者对商品的需求维持不变。

(3)由消费者的两个需求函数式，可得α＝P x x /M (1)β＝P y y /M (2)关系式(9)的右边正是商品x 的消费支出占消费者收入的份额。

关系式(10)的右边正是商品y 的消费支出占消费者收入的份额。

故结论被证实。

11.（1）由212112P P MU MU MRS ==可知： 当P 1=4,P 2=2时，X 1=10; 当P 1=2,P 2=2时，X 1=20，则商品1的价格P 1下降所导致的总效应，使得消费者对商品1的购买量增加了10（2）要求替代效应的影响，首先要剔除价格下降所产生的收入效应的影响。

剔除收入效应后，原来的产品组合和降价后的产品组合在同一条无差异曲线上当P 1=4,P 2=2时，U=X 1X 2=10X20=200联立2 X 1+2X 2=M 2，22212112===P P MU MU MRS 可得X 1，210=M 2，240=则商品1的价格P 1下降所导致的替代效应，使得消费者对商品1的购买量增加了10-210（3）由上题中的替代效应，可得收入效应为20-21012.解答：该风险回避的消费者不会参与这场赌博。

因为如果该消费者不参与这场赌博，那么，在无风险条件下，他可拥有一笔确定的货币财富量509.5元，其数额刚好等于风险条件下的财富量的期望值10 000×5%＋10×95%＝509.5元。