近世代数之元素的阶【精选】
近世代数简介
如果模为合数，其因子一定能整除
它，不会产生一个余数1（单位元），
因此逆元不存在。
比如，{1,2,3}mod4 中的2， {1,2,3,4,5,6,7,8} mod9 中的3
如果a的逆元是b，必有关系式 ab = nq+1
这样才会有 （ ab ) mod q =1
四进制乘群不存在？ ！！！
环（Ring)
x+1
2个GF(2)元素的组合：
00， 01，
10，
11
定理2.2 循环群的存在性
若P(x)是GF(q)上m次本原多项式，则GF(q m) 域上次数小于m的非零多项式的全体（共q m1个），在模P(x)乘运算下构成一个多项式循 环群。也就是说，扩域GF(qm)里至少存在一 个本原元（代表一个次数小于m的多项式 ），它的各次幂0、1、2、…、构成了扩 域GF(q m)的全部非零域元素。
下构成一个多项式扩域 GF(22) = {0, 1, x, x+1 },
该扩域的基域是GF(2) ={0,1}。
基域GF(q)是数域，由q个元素组成；
扩域GF(qm) 则是多项式域，由qm 个元素组成。
我们可以用m个基域元素去对应一个扩域元素，
比如q=2、m=2时，扩域GF（22）的元素：
0,
1,
x,
例2.3 集合G = {0,1,2 … m-1}在模m加（用符 号表示）运算下构成一个群（G，）。
该加群是m阶有限群，单位元是0。元素0的 逆元是0，1的逆元是m-1, 2的逆元是m-2,…。
例2.4：集合G = {1,2 … q-1}在模q乘（q是素 数）运算下构成一个乘群（G，）。
为什么有限加群对模数m无要求， 而有限乘群要求模数q必须为素数？
第二章 近世代数简介
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
10
域（Field)
一个集合，二种运算
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
9
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
作为其根。换言之，若deg
i
(x)
=
(x-
20)
(x-
21)
(x-
(i (x))=
22 )…(x-
li，必有
) 2( li1 )
这里，deg(i (x) )= li m，本原元的共轭根系对
(2-4)
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
23
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的 多项式
多项式系数 m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
3
(1000)
+1
(0011)
本原多项式 Primary Polynomials
近世代数简介
k
= i( x )
i 1
(2-4)
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的
多项式系数
多项式
m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
g(x) 一般多项式：多项式环 m素数或合数,有限数环
PI(x) 既约多项式：多项式域（q元扩域）
q素数,整环
P(x) 本原多项式：域元素构成循环群
例2.8：剩余类环Rq(x) f(x) 中，q =2，f(x) = x3+x+1。若A(x)= x2+x+1、B(x)= x2+ 1 是 两个环元素，求A(x) B(x)是什么元素？该剩余类环至多由多少元素组成？
有限环（Ring)
一个有限集合，模m加，模m乘
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
元素的阶
15 / GCD(k,15)
1 15 15 5 15 3 5 15 15 5 3 15 5 15 15
近世代数——精选推荐
近世代数⽬录基本概念元素。
集合。
空集合。
⼦集 。
真⼦集 。
A =B ⟺A ⊆B ∧B ⊆A 。
幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P (A ) 。
交集。
并集。
性质：幂等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。
关系：M ×M 的⼦集。
即 ∀a ,b ∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。
记做 aRb 和 a ¯R b 。
等价关系：满⾜⾃反性（∀a ∈M ,aRa ）、对称性（ aRb ⇔bRa ）和传递性（ aRb ,bRc ⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a ∼b 。
分类：把集合 M 的全体元素分为若⼲互不相交的⼦集。
每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。
映射：集合 A ,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x ∈A 存在唯⼀的 y ∈B 与之对应。
记作 φ:x ⟶y 或 y =φ(x ) 。
y 叫做 x 在映射 φ 下的像，把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。
满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。
单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。
双射：满射+单射。
逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。
有限集合满⾜ |A |=|B | 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出 φ 是双射。
相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x ∈A ,σ(x )=τ(x ) 。
映射合成/映射乘法： τ:A ⟶B ,σ:B ⟶C ，则 x ⟶σ(τ(x ))(∀x ∈A ) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x ) 。
代数运算：集合 M 的对应法则 M ×M ⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。
代数系统：有代数运算的集合。
（注意代数运算的封闭性。
即 d ∈M ）。
⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。
近世代数课件-2-3_元素的阶
四、循环群的定义
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
生成元为：
练习：求出模15的剩余类加群Z15的每个元素的阶与所有
素的阶的特殊性质.
一. 元素的阶的定义 二. 元素的阶的性质 三. 有限群的阶的性质 四. 循环群的定义 五. 循环群的性质
2020/4/27
一、元素的阶的定义
2020/4/27
一、元素的阶的定义
练习：在模8剩余类加群Z8中，各个元素的阶分别是多少？
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
生成元。
2020/4/27
五、循环群的性质 作业：P38,第4,9题。
2020/4/27
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
推论 在群中，若 | a | m ,则
(1) r Z,| ar | m (m, r) 1;
(2) 若m st, s,t N, 则| as | t.
2020/4/27
二、元素的阶的性质——无限阶元素的性质
2020/4/27
三、有限群的元素的阶的性质
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
2020/4/27
元素阶的定义
2k
n
|k
0,1, 2,...n 1}
令
cos 2k isin 2k
n
n
则
Un {1,,2,...n1}
所以Un 是一个 n 阶循环群．直接验证可知当 (k,n) 1
时，k都是 Un 的生成元．
15
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例8 由例2可知，在 Z*5中， ord 2 ord 3 Z*5 4 ，
阶的，则记作 ord a ．
由此定义立即可得，在任何一个群中，单位元的
阶总是1 .
2
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例1 在 Z6中，计算每个元素的阶． 解 Z6 {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 因为 1 2 2,2 2 4,3 2 6 0, 所以 ord 2 3．类似地，可得 ord 0 1, ord 1 6, ord 3 2,
ord 4 3, ord 5 6.
3
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例2 在 Z*5中，计算每个元素的阶． 解 Z*5 {1, 2, 3,4}．直接计算可得：
11 1; 21 2; 22 4; 23 3; 24 1; 31 3; 32 4; 33 2; 34 1; 41 4; 42 1.
所以又有
r | mn． (1.5.2)
将式(1.5.1)和式(1.5.2)结合起来，得 r mn.
这就是所要证明的.
9
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定理1.5.2 设 G 是一个有限群，| G | n．则对
任意的 a G，a是有限阶的，且ord a | |G |．即：
有限群的任 何一个元素的阶都是群阶数的因子．
6
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二、群元素阶的性质
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
(精选)近世代数练习题题库
§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
群的元素的阶与群的构造
群的元素的阶与群的构造数06.1 陈琥 何军 杜斌 张良林 0608410120 0608410118 0608410128 0608410142 摘 要：群是《近世代数》的一个重要概念，从不同角度出发，群可以分为有限群和无限群两大类，又可以分为交换群和非交换群两大类。
在学习群的过程中我们还学习了群的阶以及群的元素的阶，而元素的阶又是群的一个重要概念。
元素的阶和群的有内在联系；所以本文利用元素的阶研究某些群的构造。
关键字：群 元素的阶 群的阶 群的构造中图分类号：0152一：元素的阶定义1.1 设a 是群G 的元素，若存在使ma e =的最小正整数m ，则称a 的阶为m （此时称a 有限阶元素），而对任意的正整数n ，都有m a e ≠，则称元素a 的阶是[1](18)P ∞结论1.1 （1）群的元素a 的阶为有限⇔存在i j ≠，使i j a a = ⇔<a >为有限集合⇔存在正整数n ，使n a e =（2）群的元素a 的阶为无限⇔对任意i j ≠，均有i j a a ≠⇔<a >为无限集合 ⇔对任意正整数n ，均有n a e ≠（3）①群的元素a 的阶为1⇔ a e =②群的元素a 的阶为2⇔1a a-=且a e ≠ ③群的元素a 的阶>2⇔1a a -≠定义1.2 若群G 中有有限个元素，则称G 是有限群，而群G 中所含元素的个数叫群G 的阶；若群G 中有无限个元素，则称G 是无限阶群。
结论 1.2 （1）若a 是群G 的无限阶元素，则0ia e i =⇔=，i j a a i j =⇔=（2）若a 是群G 的m 阶元素，则0(mod )i a e i m =⇔≡ (mod )i j a a i j m =⇔≡（3）任意群G 的单位元e 的阶都是1定理1.1 （1）设G 是一个群，元素a 的阶为n ，即n a e =，对任意的正整数m ，若m a e =，则由0k >可推出k m ≥。
近世代数——精选推荐
近世代数例1 :写出剩余类加群Z15的(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}(2) 全部⽣成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(3) 全部⼦加群；?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?,[3]={ [0], [3], [6], [9], [12]} = [6]= [9]= [12].(4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12],-[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8].(5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]),([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).(6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(7) 全部零因⼦；{ [3], [5], [9], [10], [12]}(8) Z15是域吗？说明理由; 答：不是。
因为有零因⼦。
例2、列出剩余类加群Z10的全部元素；{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]}1 写出加法群Z10的全部⽣成元、全部⼦群；全部⽣成元:[1],[3],[7],[9]全部⼦群:H1={[1]},H2={ [0], [2], [6], [8]},H3={[0], [5]},H4=Z102、写出剩余类环Z10的全部理想；全部理想: I1={[0]},I2={ [0], [2], [6], [8], ]},I3={[0], [5]}, I4 = Z103、写出剩余类环Z10的全部可逆元、全部零因⼦；可逆元:[1],[3],[7],[9],全部零因⼦:[2],[4],[5],[6],[8]4、Z10是域吗？说明理由。
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
群的阶与群中元素的阶的关系
群的阶与群中元素的阶的关系群的阶与其元素的阶的关系摘要近世代数虽是一门较新的，较抽象的学科，但如今它已渗透到科学的各个领域，解决了许多着名的数学难题:像尺规作图不能问题，用根式解代数方程问题，编码问题等等．而群是近世代数里面最重要的内容之一，也是学好近世代数的关键．本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系．具体地来说，本文先引入了群的概念，介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中关于元的阶的情况．并举了一些典型实例进行分析，之后又重点介绍了有限群中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理——拉格朗日定理，得出了一些比较好的结论．在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说，都占据着更为突出的地位．同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支．因此，在本文最后，我们介绍了着名的有限交换群的结构定理，并给出了实例分析．关键词：群论有限群元的阶AbstractThe Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such as, the impossibility for Ruler Mapping problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well.This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the ordersof the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical examples are listed for analyses; thirdly stresses on the theorem - Lagrange's theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.In the many branches of group theory, the finite group theory, whether from the theory itself or from the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchanging groups, and give several examples for analyses.Key words：group theory finite groups the orders of elements目录１绪论 (1)群论的概括 (1)群论的来源 (1)群论的思想 (2)2 预备知识 (2)群和子群 (2)群的定义 (2)群的阶的定义 (3)元的阶的定义 (4)子群、子群的陪集 (5)同构的定义 (6)不变子群与商群 (6)不变子群与商群 (6)Cayley(凯莱)定理 (7)内直和和外直积的定义 (8)3 群中元的阶的各种情况及其实例分析 (8)有限群中关于元的阶 (9)有限群中元的阶的有限性 (9)有限群中关于元的阶及其个数的关系 (9)无限群中关于元的阶 (10)无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限 (10)无限群G中，每个元素的阶都有限 (10)G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 (11)4 群的阶与其元的阶之间的关系 (11)拉格朗日(Lagrange)定理 (11)拉格朗日定理 (11)相关结论 (12)有限交换群的结构定理 (13)有限交换群的结构定理 (13)相关例子 (14)参考文献 (15)致谢 (16)１绪论本论文旨在综述群论中关于群的阶与其元的阶之间的关系，并找出各种情况进行实例分析．群论的概括群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的学科，它不仅在数学中居显着地位，而且在许多现代科学分支中居重要地位．群论的概念和结果远不限于对几何学、拓扑学等纯粹数学方面的应用，实际上它已成为研究物质结构和物质微粒运动的有力工具．随着科学技术的发展，群论的理论和方法获得了越来越广泛的应用，除了大家比较熟悉的对物理学、特别是理论物理学和结晶学的应用，它还渗透到计算机科学、通讯理论、系统科学、乃至数理经济等许多领域．因此，今天需要掌握和了解群论知识的人越来越多．群论的来源为什么正方形在我们看来是对称图形，圆是更为对称的图形，而数字“4”就根本不对称为了回答这个问题，我们来考虑使图形与其自身重合的那些运动．容易了解，正方形的这样的运动有八个，圆有无穷多个这样的运动，而数字“4”只有一个，即所谓恒等运动，它使图形的每个点留在原位不动．使某个图形自身重合的各种运动的集G ，是对称性为大为小的一个特征：这样的集越大，图形就越对称．在集G 上按下列规则定义合成，即对其元素的运算：如果x ，y 是G 的两个运动，那么所谓它们的合成结果就是等价于先作运动x ，后作运动y 的连接实施的运动y x ．例如，如果x ，y 是正方形相对于有关对角线的反射运动，那么y x 就相当于绕中心转180°的旋转．显然，在G 上的合成具有下列性质：1)()()G x,y,z,x y z x y z =对中的任意元素；2)G e x e e x x G x ==在中存在这样的，使得，对中的任意的都成立；-1-1-13)G x G x x x x x e ==对中的任意，在中存在这样的元素，使；实际上，e 可取恒等运动，而1x x -可取的逆运动，即图形的每一点从新位置还原到旧位置．群论的思想在群的思想凝练成今天这样晶莹的瑰宝以前，需要几代数学家的辛勤劳动，总计花费了近一百个春秋．从拉格朗日(Lagrange)自发地采用置换群以解决用根式解代数方程问题起(1771)，中间经过罗菲(Ruffin，1799)与阿贝尔(Abel，1824)，直到伽罗瓦(Galois，1830)在他的着作中已经足够自觉地应用群的思想(就是他首先引进群这个术语的)，这就是在代数方程论内这个思想发展的过程．与此独立，由于其他原因，当19世纪中叶，在统一的古希腊几何舞台上出现了多种“几何”，尖锐地提出了研究它们之间的联系与“血缘”关系问题时在几何中出现了群．现在群论是代数学发展最充分的分支之一，无论在数学本身还是数学以外——在拓扑学，函数论，结晶学，量子力学以及数学与自然科学其他领域中，都有许多应用．2 预备知识群和子群2.1.1 群的定义我们将群论的简介中的例子抽象出来就得到群的定义．设是非空集合G的一个代数运算(我们常称作乘法)．称(G，)为一个群，如果这个运算满足下列诸公理：G1)a G b G a b G对，，有；∈∈∈对，，，有；∈=G2)()()a b c G a b c a b c存在，使对，有；∈?∈==G3)e G a G e a a e a对，存在一元素，使；G4)a G b G a b b a e∈∈==如果群G还满足：对，，有；G5)a b G a b b a∈=则称(G，)为交换群，或者Abel群．另若一个群G的每一个元都是某一个元a的乘方，这时我们把G 叫做循环群．我们也说，G是由元a生成的，并用符号G=表示，其中a叫做G的一个生成元．例1．（全体整数集，数的普通加法）显然满足公理G1—G5，做成一个Abel群．并且不难验证，它还是一个由整数1生成的循环群．即该群可用符号<1>来表示．例2．设G={(a，b)|a，b为实数，且a不为0}．规定。
近世代数之元素的阶
(ab)sm (am )s bsm bsm e n | sm n | s
同理 m | s ， (m,n) 1 mn | s ，于是 | ab | mn.
2019/8/12
07:49
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
，其中 m, n 为任意整数.
2019/8/12
07:49
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
为无限.
显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶
都大于1， a a1 .
2019/8/12
07:49
r 0
m nq n| m
证明 G 中 | a | n ，只需证
(1)an e, （2）若 am e n | m.
2019/8/12
07:49
定理3
若群中 | a | n ，则 ak n
(n, k )
，其中 k 为任意的整数.
证明： (n, k) d
n dn1, k dk1, (n1, k1 ) 1
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(1)a
1 0
0 1
,
b
1 0
0
1
ab
ba
1 0
0 1
,
| a || b || ab |
2
(| a |,| b |) 1
近世代数——精选推荐
近世代数。
个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n （））（群。
能作成对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b = 3、循环群的⼦群仍是循环群。
（）4．正规⼦群的左陪集也⼀定是⼀个右陪集。
（）5．任何群G 都与其商群G/N 同态。
（）13123321 61）（、=???? ??- （）也是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 78．整数环Z 的每个理想不⼀定是主理想。
（）9．设环R 有单位元且每个⾮零元素都有逆元，若 | R |＞1，则R ⼀定是体。
（）10．⽆零因⼦的交换环不⼀定是整环。
（）11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。
（）2、什么是理想？3什么是体？的⾏列式。
是矩阵其中同态映射，且是满射，的⼀个到是：普通乘法，证明：，代数运算是数的；再令运算是⽅阵的普通乘法数阶⽅阵作成的集合，代上全体是数域分）令三、（A |A | M M |A |A F M n F M 15?→??=四、（15分）设G 是⼀个群，且H ≤G ，K ≤G ，证明：H 与K 的交集是G 的⼀个⼦群。
五、（15分）设N 是群G 的任⼀正规⼦群，证明：G ~ G/N6、（15分）写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于⼦群H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。
⼀、判断题。
！个双射变换个元素的任意集合共有、含有 n n 1 2．在模8剩余类环Z 8中{}6,4,2,0 2>=<是⼀个极⼤理想。
（）4．整数环Z 的每个理想都是主理想。
（）⼆、单项选择题（每⼩题2分，共10分）1、关于半群的说法不正确的是：（）（A ）半群是带有⼀个代数运算的代数系统；(B) 半群的乘法⼀定适合结合律；(C) 半群的乘法不⼀定适合交换律；（D) 半群中⼀定有单位元。
2、设G 是⼀个群，H 是G 的⼀个⾮空⼦集，则H ≤G 的充要条件是（）（A ） H ab H b ,a ∈?∈ (B) H a H a 1∈?∈-(C) H ab H b ,a 1∈?∈- (D) H b a H b ,a ∈+?∈3、设R 是⼀个环，下⾯说法不正确的是（）（A ）R 中若有零因⼦，则⼀定既有左零因⼦也有右零因⼦；(B) R 中若⽆零因⼦，则⼀定既⽆左零因⼦也⽆右零因⼦；(C) ⼀个环⼀定有零因⼦；(D) R 中若有左零因⼦也⼀定有右零因⼦。
近世代数复习提纲
近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3）11111(),()ab b a a a -----==；（4）ab ac b c =⇒=；（5）1ax b x a b -=⇒=；1ya b y ba -=⇒=。
3、元素的阶使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。
（1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=∀∈=。
（2）若m a e =，则①||a m ≤；②||a m =⇔由n a e =可得|m n 。
（3）当群G 是有限群时，a G ∀∈，有||a <∞且||||a G 。
（4）||||r n a n a d =⇒=，其中(,)d r n =。
证明 设|||r a k =。
因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d。
另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以n k d ，故n k d =。
注：1︒||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。
2︒||,||G a G a <∞⇒∀∈<∞；但,||||a G a G ∀∈<∞⇒<∞/。
例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈∃∈∍=，则G 关于普通乘法作成群。
显然，1是G 的单位元，所以a G ∀∈，有||a <∞，但||G =∞。
二、群的几种基本类型1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。
2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。
3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。
近世代数之元素的阶
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(1)a
1 0
0 1
,
b
1 0
0
1
ab
ba
1 0
0 1
,
| a || b || ab |
2
(| a |,| b |) 1
2019/8/12
07:49
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
(ak )n1 akn1 ank1 (an )k1 e
设 (ak )m e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m
ak
n1
n. (n, k)
2019/8/12
07:49
两个推论：
推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a s | t
例1
G {1,1,i,i} 关于数的普通乘法做成
4次单位根群.
1 1, 1 2,
i i 4
2019/8/12
07:49
例2 正有理数乘群 Q 单位元的阶是1， 其他元的阶均为无限.
例3 非零有理数乘群 Q 1的阶是1， -1的阶是2， 其余元的阶均为无限.
2019/8/12
r 0
m nq n| m
证明 G 中 | a | n ，只需证
(1)an e, （2）若 am e n | m.
2019/8/12
07:49
定理3
若群中 | a | n ，则 ak n
(n, k )
，其中 k 为任意的整数.
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推论2 在群中，若 | a | n ，则
| ak | n (k,n) 1.
2019/10/7
11:44
定理4
在群中，若 | a | m ，| b | n ，则当
ab ba 且 (m,n) 1 时，| ab | mn.
证明： | a | m ，| b | n ， ab ba
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(1)a
1 0
0 1
,
b
1 0
0
1
ab
ba
1 0
0 1
,
| a || b || ab |
2
(| a |,| b |) 1
2019/10/7
11:44
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(2)a
1 0
0 1
,
b
0 1
1 1
ab
0 1
1 1
,
ba
1 1
0 1
,
| a | 4,| b | 3,| ab |
2019/10/7
11:44
例4 U Ui ，其中 U i 是 i 次单位根群
i 1
，则 U 关于普通乘法作成无限交换群，
其中每个元素的阶都有限.
2019/10/7
11:44
定理2
若群 G 中 | a | n ，则 am e n | m .
证明： 令 m nq r ， 0 r n ，则 am anqr (an )q ar ar e
思考题：
设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
2019/10/7
11:44
(ab)mn (am )n (bn )m e 若 (ab)s e
(ab)sm (am )s bsm bsm e n | sm n | s
同理 m | s ， (m,n) 1 mn | s ，于是 | ab | mn.
2019/10/7
11:44
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
11:44
定理1
有限群 G 中每个元素的阶均有限.
证明：设 G n
a G ，在 a,a2,,an ,an1 G
中必有相等的. 设
as at ,1 t s n 1,
则 a st e ，从而阶有限.
2019/10/7
11:44
注：
无限群中元素的阶可能无限，也可能有限， 甚至可能都有限.
r 0
m nq n| m
证明 G 中 | a | n ，只需证
(1)an e, （2）若 am e n | m.
2019/10/7
11:44
定理3
若群中 | a | n ，则 ak n
(n, k )
，其中 k 为任意的整数.
证明： (n, k) d
n dn1, k dk1, (n1, k1 ) 1
近世代数 第二章 群论 §2元素的阶
2019/10/7
11:44
元素的指数
在群 G 中，由于结合律成立， a1a2 an
有意义，据此, 可定义群的元素的指数: 设
n 为正整数, 则规定:
n
n
a0 e, an aa a , an a1a1 a1
显然有， aman amn
(am )n amn
例1
G {1,1,i,i} 关于数的普通乘法做成
4次单位根群.
1 1, 1 2,
i i 4
2019/10/7
11:44
例2 正有理数乘群 Q 单位元的阶是1， 其他元的阶均为无限.
例3 非零有理数乘群 Q 1的阶是1， -1的阶是2， 其余元的阶均为无限.
2019/10/7
(ak )n1 akn1 ank1 (an )k1 e
设 (ak )m e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m
ak
n1
n. (n, k)
2019/10/7
11:44
两个推论：
推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a s | t
，其中 m, n 为任意整数.
2019/10/7
11:44
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
为无限.
显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶
Байду номын сангаас都大于1， a a1 .
2019/10/7
11:44