2021年全国中学生能力测评(初赛)九年级组数学真题

2021年全国中学生能力测评(初赛)九年级(初三)组

数学试题

(试题总分：120分答题时间：120 分钟)

★温馨提示：请将答案写在答题纸上

一、画龙点睛(本大题共8道小题，每小题3分，总计24分)

1．定义：形如a+ bi的数称为复数(其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝－1)，a称为复数的实部，b称为复数的虛部复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如(3+4i)2＝32+2×3×4i+(4i)2＝9＋24i+ 16i2＝9+24i－16＝－7 + 24i，因此，(3+4i)2 的实部是－7，虚部是24。已知复数(2－mi)2的虛部是16，则实部是。

2．将关于x的一元二次方程x2－px+q＝0变形为x＝px－q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x·x2＝x(px－q) ＝……我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式。根据“降次法”，已知：x2－x－ 1＝0，则x4－ 3x + 2021的值为_ 。

3．某树木种植基地有甲、乙、丙三种景观树苗每株的销售价格分别为3元、2元、1元。在一次出售树苗时，销售甲、乙两种树苗株数的比为2∶1；销售乙、丙两种树苗株数的比为4∶3，共获销售金额28 000元，那么，此次销售甲、乙、丙三种树苗共 _株。

5．已知x＝2021a+2 020，y＝2 021a+2 021，z＝2021a+2022，则x2+ y2+ z2－xy－yz－xz的值为。6．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，∠ABC＝60°，要用一块矩形铝板切割出这样的平行四边形并使废料最少，则矩形的面积最小为。

7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－2，0)，B(1，2)，C(1，－2)，已知N(－1，0)，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5．．．，依此类推，则点N2021的坐标为。

8．如图，点P是正方形ABCD内的一点，若P A＝1，PB＝2，PC＝3，则正方形A BCD的面积是。

二、一锤定音(本大题共4道小题，每小题3分，总计12分)

9．已知a，b，3分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程x2－4x+k +2＝0的两个根，则k的值等于( )

A．1 B． 1或2 C．1或－2 D．2

10．A，B，C，D，E，F六位同学参加象棋比赛，每两人都要比赛一盘，到现在为止，A已经赛了5盘，B已经赛了4盘，C已经赛了3盘，D已经赛了2盘，E已经赛了1盘，F已经赛了( ) A．1盘B．2盘C．3盘D．4盘

11．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(1，√3 )，将菱形OABC绕点O旋转，当点A 落在x轴上时，点C的对应点的坐标为( )

A．(－1，－√3 )或(√3 ，－1)

B． (1，√3 )

C． (－1，√3 )

D．(－1，－√3 )或(1，√3 )

12．已知xy≠1，且有3x2+2021x+ 7＝0，7y2+2021y+3＝0，则

x

y的值等于( )

A．

3

7

B．

7

3C．－

2021

3D．－

2021

7

三、妙笔生花(本大题共4道小题，第13题6分，第14题7分，第15题8分，第16题9分，总计30分)

13．一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时50千米，在下坡路上行驶的速度是每小时60千米，在平路上行驶的速度是每小时55千米，某日这辆汽车从A地开往B地，先是用了

1

3的时间走上坡路，然后用了

1

3的时间走下坡路，最后用了

1

3的时间走平路。已知汽车从B地按原路返回A地时，比从A地开往B地所用时间多10分钟，那么A，B两地的距离是多少千米?

14．已知实数m≠ n ，且满足(m + 1)2＝2－ 2(m + 1)，2(n + 1)＝2－(n + 1)2求n √n m

+m √

m n

的值。

15．对于正数x ，规定f (x )＝2x 2x 2+1

，例如f (1)＝1，f (2)＝

8

5

；求f (2021) + f (2020) +f (2019) +f (2018)+…+f (2)+f (1)+ f (1

2)+…+ f (

12019

) + f (

1

2020

) + f (

1

2021

)的值。

16．如图，在正方形ABCD 中，M 为边BC 的中点，N 为边CD 上的点，且AN ＝BC +CN 。

求证：AM 平分∠BAN 。

四、一鼓作气(本大题共2道小题，第17题12分，第18题12分，总计24分)

17．阅读思考：

我们思考解决一个数学问题，如果从某一角度用某种方法难以奏效时，不妨换一个角度去观察思考，换一种方法去处理，这样有可能使问题“迎刃而解”。

例如解方程：x 3－2√3x 2+3x －√3+ 1＝0，这是－个高次方程，我们未学过其解法，难以求解，如果我们换－个角度(“已知”和“未知”互换)，即将√3看成“未知数”，而将x 看成“已知数" ，则原方程可整理成：x (√3 )2－(2 x 2+ 1) √3 +(x 3+ 1)＝0。b 2－4ac ＝（－2 x 2－1)2－4x (x 3+ 1)＝4x 2－4x +1＝(2x －1)2． 解得√3 ＝x + 1或√3 ＝

x 2-x +1x

。故方程可转化为一个一元－次方程√3＝x +1和一个一元二次方程

x 2－

x + 1＝ √3x ，从而不难求得这个高次方程的解。 问题解决：

(1)上述解题过程中，用到的数学学习中常用的思想方法是( )；

A ．类比思想

B ．函数思想

C ．转化思想

D ．整体思想 (2)解方程：4x － 2x 2－2+ 1

4

x 3 +1

2x ＝0。

18．如图，设O 是正三角形ABC 内一点，已知∠AOB ＝ 110°，∠BOC ＝ 130°，求以线段OA ，OB ，OC 为边构成的三角形的各内角的度数．