高二数学等比数列

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4.3.1等比数列的概念(第二课时)课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

是函数
f x a1
q
qx x R
当 x n 时的函数值，即 an = f n .
a4
(4, a4 )
反之：任给指数函数f(x)=kax ( k, a为常数, k≠0 , a>0, 且 a≠1 ), 则f(1)=ka, f(2)=ka2 , …, f(n)=kan…构成一个等比数列 {kan}，其首项为ka，公比为a．
是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logb an}是否一定是等差数列？
➯ an1
b an1-an
d
b b b an
性质1：数列{an}是等差数列 ⇔数列{ban }是等比数列.
➯ logban1
logban
logb
an1 an
logbq
性质2：数列{an}是正项等比数列⇔数列{logban}是等差数列.
∴a1＝－12. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得aan－n 1＝－12.又 a1＝－12，所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列.
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝ n.
设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n1 ＝q(q 为常数且不为零)或aan－n1 ＝q(n≥2，q 为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列 {an}是等比数列． (3)等比中项法：若 a2n＋1 ＝anan＋2(n∈N*且 an≠0)，则数列{an}为等比数列．说明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．

高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析1.在等比数列中，，公比.若，则=( )A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】根据等比数列的通项公式，有，所以【考点】本小题主要考查等比数列通项公式的应用，考查学生的运算能力.点评：等差数列和等比数列是两种常考的数列，它们的基本运算要加以重视.2.已知实数列－1，x，y，z，－2成等比数列，则xyz等于()A．－4B．±4C．－2D．±2【答案】C【解析】.3.在等比数列中，且，则的值为（）A．16B．27C． 36D． 81【答案】B【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。

解：设公比为q，因为，即，所以，q=3，从而=，=27，故选B。

4.在等比数列中，已知，则= （）A．8B．－8C．D． 16【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。

解：因为，所以，，，故选A。

5.若正项等比数列的公比为，且，成等差数列，则。

【答案】【解析】主要考查等差、等比数列的概念及其通项公式。

解：因为成等差数列，所以，即，所以，解得，所以=。

6.已知等差数列的前4项和为10，且成等比数列，求数列的通项公式。

【答案】数列的通项公式为或。

【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。

解：设数列的首项为，公差为，则，则，由于成等比数列，所以，化简得所以解得或所以数列的通项公式为或。

7.在等比数列中,,则公比 .【答案】【解析】因为,解之得.8.在数列{an }中，其前n项和Sn＝，若数列{an}是等比数列，则常数a的值为．【答案】【解析】当n=1时，,因为{an}是等比数列,所以.9.设椭圆C：与直线相交于P,Q两点，且（O为坐标原点）（1）求证：等于定值（2）若椭圆的离心率，求椭圆长轴长的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）证明：消去得设点，则，由，，即化简得，则即，故（Ⅱ）解：由化简得由得，即故椭圆的长轴长的取值范围是。

10.某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为()A．q B．12qC．(1＋q)12D．(1＋q)12－1【答案】D【解析】设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，所以该厂生产总值的年平均增长率为＝(1＋q)12－1.本题选择D选项.11.（1）设数列满足且，求的通项公式；（2）数列的前项和，求数列的通项公式.【答案】(1) (2)【解析】（1）由可得为等差数列，于是，从而可得结果；（2）当时，直接由前项和求首项，当大于等于时，由求解即可得结果.试题解析：（1）∵，∴数列是公差为1的等差数列，∴.∴.（2）当时，；当时，.∴【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.12.设是公比为正数的等比数列，.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】（1）an＝2n（2）2n＋1＋n2－2.【解析】求等差数列或等比数列的通项公式基本方法是列方程组解方程组，设出等比数列的首项与公比，借助等比数列通项公式列方程组，解方程组得出首项与公比，写出通项公式，根据首项与公差写出通项公式，利用分组求和法求出数列的和，一组利用等差数列前n项和公式求和，另一组采用等比数列前n项和公式求和，另外注意运算的准确性.试题解析：(1)设q为等比数列{an }的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an }的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)(2)Sn＝.【点睛】求等差数列或等比数列的通项公式基本方法是列方程组解方程组，得出首项与公比（或公差），然后写出通项公式；有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，本题采用分组求和法求和，本题要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.13.等比数列中，若，，则（）A．64B．-64C．32D．-32【答案】A【解析】数列是等比数列，，，即解得那么故选A．14.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）A．5B．6C．7D．12【答案】B【解析】把配方得得到顶点坐标为，即由成等比数列，则，故选B．15.已知函数的最低点为.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）根据函数的最低点为，得到对称轴与最小值，列方程组求出，，即可求得函数解析式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）由由，可得，分别求出与的最大值与最小值，利用不等式恒成立可得结果.试题解析：（1）依题意，得，①，②由①②解得，，.∴.则原不等式可化为，解得或.故不等式的解集为.（2）由，得，即，则，即.∵，∴的最小值是.的最大值是.∴，即.故实数的取值范围是.16.已知数列是递减等比数列，且，，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为，，所以, ,又因为数列是递减等比数列，所以，数列的通项公式，故答案为.17.已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求；（3）令，若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1); (2);(3)【解析】(1) 当时，利用公式；，可得，验证当时是否适合即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可（3）讨论当为奇数时，当为偶数时两种情况，分别利用等差数列求和公式求和，然后利用放缩法可证明结论.试题解析：(I)当时，当时，，适合上式，（）.(II)，则•，‚，•-‚得，..(III),当为奇数时，，当为偶数时，，综上所述，【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18.已知数列{a}满足．n（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn }的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）【解析】(1)分类讨论和两种情况可得数列{an}的通项公式为；(2)结合(1)的结论错位相减可得数列{bn}的前n项和.试题解析：（1）当n＝1时，，，两式相减得，∴，当n＝1时也满足，∴．（2），∴Sn ＝1×3+2×32+3×33+…+n×3n，3Sn＝1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，两式相减得∴-2Sn＝3+32+33+34+…+3n-n×3n+1，∴．19.在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等比数列，那么位于表中的第10行第11列的数是________________.【答案】【解析】由题意知，第1列的数是首项为1，公比为2的等比数列，所以第10行的第一个数为。

等比数列的性质及应用(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

息不少于按月结算的利息（精确到10−5 ）？
分析：
复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若
原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 { } ，则 { } 是等比数列，
首项 1 = 104 (1 + 0.400%)，
价格为8 100元的计算机3年后的价格可降为(
A．300元
B．900元
C．2 400元
公比q=1+0.400% ，所以
12 = 104 (1 + 0.400%)12 ≈ 10 490.7
所以， 12个月后的利息为10 490.7 − 104 ≈ 491（元）
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列{ }，
则{ }也是一个等比数列，
首项 1 = 104 (1 + )，公比为1+r，于是
数列．
（ 2 ）若数列 { } ， { } 均为等比数列， c 为不等于 0 的常数，则数列
,
2
, ∙

, { }

也为等比数列.
【典例 3】在等差数列{an}中，公差 d≠0，a1，a2，a4 成等比数列，已知数列 a1，
a3，ak1，ak2，…，akn，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
2
【解析】由题意得a2
＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
得d(d－a1)＝0，又d≠0，所以a1＝d.
又a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，
a3 3d
所以该数列的公比q＝a ＝ d ＝3，

高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析1.已知x是4和16的等比中项，则x＝．【答案】【解析】由x是4和16的等比中项，得【考点】等比中项2.己知等比数列所有项均为正数，首，且成等差数列．(I)求数列的通项公式；(II)数列的前n项和为，若，求实数的值．【解析】(1)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（2）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用；（3）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了.试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为，由条件得成等差数列，所以解得由数列的所有项均为正数,则=2数列的通项公式为=（Ⅱ）记,则若不符合条件；若，则，数列为等比数列，首项为，公比为2,此时又＝,所以【考点】(1)等比数列的通行公式；（2）等比数列的前项和公式.3.已知是等比数列，，则公比q等于（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】由得【考点】等比数列的通项4.已知等比数列中，，，则的值（）A．35B．63C．D．【答案】B.【解析】∵等比数列，∴，，∴，.【考点】等比数列的通项公式.5.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63B．108C．75D．83【解析】∵等比数列，，，也成等比数列，即，∴.【考点】等比数列的性质.6.在数列中，若，设，（1）求证：数列是等比数列；（2）分别求，的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2），.【解析】（1）欲证数列是等比数列，只需证明，而条件中给出了数列的一个递推公式，因此需结合，得到数列的递推公式：，即，，从而数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可知，再由条件即可得.试题解析：（1）∵，∴，又∵，∴，，即数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可知，，又∵，∴.【考点】1.等比数列的证明；2.数列的通项公式.7.设首项为l，公比为的等比数列的前项和为，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，即为所求的关系式．【考点】等比数列的前项和．8.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题意知，。

高二数学等比数列知识点总结

高二数学等比数列知识点总结1. 概念与特点等比数列是指一个数列中，任意两项之间的比值都相等的数列。

这个比值称为公比，用字母q表示。

等比数列的前两项分别为a₁和a₂，第n项为aₙ，则等比数列可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)。

等比数列的特点包括：相邻两项的比值相等，任意一项与它之前的项的比值相等。

2. 公式及推导等比数列的通项公式可以通过推导得到。

假设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ。

根据特点2，可以得到：a₂ =a₁ * q，a₃ = a₂ * q = a₁ * q²，...，根据此规律可以推导出通项公式：aₙ = a₁ * q^(n-1)。

3. 求和公式对于等比数列的求和，有以下两种情况：3.1 当公比q等于1时，等比数列全部项相等，求和公式为：Sₙ = n * a₁。

3.2 当公比q不等于1时，求和公式为：Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)。

4. 常见问题及应用4.1 确定等比数列中的某一项已知等比数列的首项a₁和公比q，要确定第n项aₙ，可以使用通项公式aₙ = a₁ * q^(n-1)。

4.2 确定等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁和公比q，要确定前n项和Sₙ，分两种情况计算：若q=1，则Sₙ = n * a₁；若q≠1，则Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)。

4.3 判断数列是否为等比数列判断一个数列是否为等比数列，可以计算相邻两项的比值是否相等。

若相邻项的比值都相等，则数列为等比数列；若存在相邻项的比值不相等，则数列不是等比数列。

4.4 应用举例等比数列在各个领域都有广泛的应用。

例如在金融领域中的复利计算、物理学中的衰减问题、生物学中的细胞分裂等。

利用等比数列的知识，可以更深入地理解和解决实际问题。

5. 总结等比数列是数学中的重要概念，通过学习等比数列的概念、特点、公式和应用，能够帮助我们更好地理解数列的规律及其在实际问题中的应用。

4.3.1等比数列的概念及通项公式课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

a2 a1 d a2 a1 d
a3 a2 d a3 a1 2d
a4 a3 d a4 a1 3d
a3
2
q a3 a1q
a2

不完全归纳法得
an=a1+(n-1)d
类比
a4
3
q a4 a1q
a3

不完全归纳法得an=a1qn-1
a1 a3 a9 3a1 10 d 13d 13

a2 a4 a10 3a1 13 d 16d 16
13
16 .
____
对照归纳总结
等差数列
等比数列
通项公式
推导方法
累加法
不完全归纳法
定义式
a n 1 a n d ( n N )
公差公比
通项公式
等差/比中项
累乘法
不完全归纳法
*
a n 1
*
q( n N ), q 0
an
公差d可正、可负、可为零公比d可正、可负、不可为零
a n a1 ( n 1)d
an am ( n m) d
A是a与b的等差中项
2 A a b.
n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an a1q
an am q n m
2
a与b的等比中项G ab (ab 0).
G b

a G
注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数；
②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab；
而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.

高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析1.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若,,求.【答案】（Ⅰ）=2n （Ⅱ）=.【解析】（Ⅰ）将2（）=+,代入,得=8,∴+=20构造方程组，又单调递增，∴ =2>1, =2,∴=2n（Ⅱ）根据第一问，可得，需要构造数列，采取错位相减的思想求和∴①∴②∴①-②得＝.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入, 得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝【考点】等差等比数列的综合.2.设公比为q（q＞0）的等比数列{an }的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_________．【答案】【解析】由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.【考点】等比数列的性质与应用3.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质得，，由于各项为正，，由等比数列的性质得，【考点】等比数列的性质的应用.4.已知三正数、2、成等比数列，则的最小值为______．【答案】【解析】由已知得，且，则，等号成立。

【考点】（1）等比中项的定义；（2）基本不等式的应用。

5.设正数数列为等比数列，，记.（1）求和；（2）证明: 对任意的，有成立.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）对照条件易得等比数列的通项公式，进而得；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.试题解析：（1）依题意可知，又，所以，从而，进而有． 4分（2）证明：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立． 5分②假设当时，不等式成立，即成立． 7分那么当时，则左边右边 12分所以当时，不等式也成立.由①、②可得对任意的，都有恒成立． 14分（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用）【考点】1.等比数列知识；2.数学归纳法在证明不等式方面的应用；3.放缩法证明不等式.6.已知等比数列满足则（）A．64B．81C．128D．243【答案】Ａ【解析】由等比数列满足得公比,将q=2代入，所以，故选A．【考点】等比数列．7.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题易知，。

高二人数学必修五课件时等比数列的性质

以上内容仅供参考，具体教学内容和顺序请根据实际教学情况进行调整。
04
等比数列在生活中的应用举例
储蓄存款中的复利计算
复利概念
储蓄存款中的复利是指本金和利息共同产生的利息，即“利滚利
”现象。
等比数列与复利
在复利计算中，每期产生的利息构成等比数列，首项为本金与利率的乘积，公比为1加上利率。
计算方法
02
自然界中的等比现象
自然界中许多现象也呈现出等比关系，如音阶中相邻两个音的频率之比
、斐波那契数列中相邻两项的比值趋近于黄金分割比等。这些现象可以
用等比数列进行描述和分析。
03
计算机科学中的应用
在计算机科学中，等比数列也有广泛应用，如数据压缩算法中的哈夫曼
编码、图像处理中的图像缩放算法等。这些算法利用等比数列的性在概率论中，当事件相互独立时，可以利用等比数列的性质计算多个事件同时发生的概率。
概率生成函数
概率生成函数是概率论中用于描述离散随机变量分布的一种函数，它与等比数列密切相关，可以通过等比数列的性质研究概率生成函数的性质和计算方法。
统计推断中的应用
在统计推断中，有时需要利用等比数列的性质对样本数据进行处理和分析，如计算样本的几何均值和调和均值等。
现了高效的数据处理和图像变换。
05
等比数列与其他知识点联系
与等差数列对比分析
定义差异
等差数列是相邻两项之差为常数，而等比数列是相邻两项之比为常数。
性质对比
等差数列具有线性性质，如求和公式和通项公式；等比数列具有指数性质，如求和公式和通项公式涉及指数运算。
应用场景
等差数列在解决线性增长或减少的问题中常见，如计算平均速度；等比数列在解决指数增长或减少的问题中常见，如计算复利。

等比数列的概念(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

4 = 3 = 1 2 = 1 3 ,
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是

高二数学必修一重点知识归纳

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高二数学等比数列2

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天下共击之。今王吕氏，非约也”太后不说。问左丞相平及绛侯周勃等，皆曰“高帝定天下，王子弟。今太后称制，欲王昆弟诸吕，无所不可”太后喜。罢朝，陵让平、勃曰“始与高帝唼血而盟，诸君不在邪。今高帝崩，太后女主，欲王吕氏，诸君纵欲阿意背约，何面目见高帝於地下乎” 平曰“於面折廷争，臣不如君。全社稷，定刘氏后，君亦不如臣”陵无以应之。於是吕太后欲废陵，乃阳迁陵为帝太傅，实夺之相权。陵怒，谢病免，杜门竟不朝请，十年而薨。陵之免，吕太后徙平为右丞相，以辟阳侯审食其为左丞相。食其亦沛人也。汉王之败彭城西，楚取太上皇、吕后为质，食其以舍人侍吕后。其后从破项籍为侯，幸於吕太后。及为相，不治，监宫中，如郎中令，公卿百官皆因决事。吕须常以平前为高帝谋执樊哙，数谗平曰“为丞相不治事，日饮醇酒，戏妇人”平闻，日益甚。吕太后闻之，私喜。面质吕须於平前，曰“鄙语曰儿妇人口不可用，顾君与我何如耳，无畏吕须之谮”吕太后多立诸吕为王，平伪听之。及吕太后崩，平与太尉勃合谋，卒诛诸吕，立文帝，平本谋也。审食其免相，文帝立，举以为相。太尉勃亲以兵诛吕氏，功多。平欲让勃位，乃谢病。文帝初立，怪平病，问之。平曰“高帝时，勃功不如臣。及诛诸吕，臣功亦不如勃。愿以相让勃”於是乃以太尉勃为右丞相，位第一。平徙为左丞相，位第二。赐平金千斤，益封三千户。居顷之，上益明习国家事，朝而问右丞相勃曰“天下一岁决狱几何”勃谢不知。问“天下钱谷一岁出入几何”勃又谢不知。汗出洽背，愧不能对。上亦问左丞相平。平曰 “各有主者”上曰“主者为谁乎”平曰“陛下即问决狱，责廷尉。问钱谷，责治粟内史”上曰“苟各有主者，而君所主何事也”平谢曰“主臣。陛下不知其弩下，使待罪宰相。宰相者，上佐天子理阴阳，顺四时，下遂万物之宜，外填抚四夷诸侯，内亲附百姓，使卿大夫各得任其职也”上称善。勃大惭，出而让平曰“君独不素教我乎”平笑曰“君居其

4.3.1 等比数列的概念及通项公式(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

二、忽略等比数列中项的符号致错 ►数学运算
[典例 2] (1)在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则 a1a9 的值为( )
A．9
(3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , … a 0 时,既是等差数列，又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列，而不是等比数列.
题型一等比数列的判定
[例1] (1)判断下列数列是否为等比数列．
①1,3,32,33，…，3n－1，…；
②－1,1,2,4,8，…；
探究1：等比数列的概念
思考：观察下列两个实例，比较两个实例中数列的共同特征？
实例1：有一种细胞分裂时，由1个
分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，···，那么细胞分裂而成的
个数依次是
实例2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为
1， 2， 4， 8，….
探究4：等比数列的单调性
探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
an a1qn1
an
a1 q
qn
q0 q 1
f (x) a1 qx (x R) q
等比数列{an} 的第n 项 an 是指数函数
f (x) a1 qx (x R) 当 x=nxn 时的函数值， q
当
n≥2
时an＋ an
1＝22n－n
1＝2；
当
n＝1
时，an＋ an
1＝aa21＝2＋2
a.
故当 a＝－1 时，数列{an}成等比数列，其首项为 1，公比为 2；
当 a≠－1 时，数列{an}不是等比数列．

高二等比数列知识点总结

高二等比数列知识点总结等比数列是指一个数列中，从第二个数字开始，每个数字都是前一个数字乘以一个固定的非零常数，这个常数称为公比。

高二等比数列是高中二年级数学学科中的重要内容，通过学习等比数列的性质和计算等技巧，可以帮助我们更好地理解数学中的规律性。

一、等比数列的定义与性质1. 等比数列的定义：若一个数列中，任意一项除以前一项所得的商都是一个常数q（q≠0），那么这个数列就是等比数列。

2. 等比数列的通项公式：对于等比数列{an}，其中a1表示首项，q表示公比，an表示第n项，通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

3. 等比数列的性质：- 任意两项的比值相等，即an / a(n-1) = q。

- 等比数列不存在0或负数，因为公比q不等于0或负数。

- 等比数列的前n项和为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。

二、等比数列的常见问题及解法1. 求等比数列的第n项：利用等比数列的通项公式an = a1 *q^(n-1)，可以直接计算出第n项的值。

2. 求等比数列的前n项和：通过等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，可以求出前n项和的数值。

3. 求等比数列中的公比：通过已知的两项的比值，可以求出等比数列的公比，即q = an / a(n-1)。

4. 求等比数列的项数：当已知等比数列的首项、公比和某一项的值时，可以利用等比数列的通项公式中的n来求解。

5. 求满足条件的等比数列：在已知等比数列的首项或公比的情况下，求解满足特定条件的等比数列。

三、等比数列在数学中的应用1. 等比数列的应用：等比数列常被应用于经济学、金融学、生物学等领域中的复利、增长速度等问题的建模与计算。

2. 等比数列的应用题：在解决实际问题时，可以将其转化为等比数列问题，并利用等比数列的性质进行求解。

3. 等比数列与对数函数的关系：自然对数函数和等比数列之间存在一定的联系。

高二数学等比数列知识点总结与经典习题

参考答案例题1、 9n-1 练习1、1、42、B [解析] 98·(23)n－1＝13，∴(23)n－1＝827＝(23)3∴n＝4.3、A [解析] ∵{a n}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2. ∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，∴a7＝a1q6＝26＝64.4、A [解析] a4＝a1q3＝q3＝8，∴q＝2，∴a5＝a4q＝16.5、C [解析] m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)＝a 4(q －1)－a 6(q －1)＝(q －1)(a 4－a 6) ＝(q －1)·a 4·(1－q 2)＝－a 4(1＋q )(1－q )2<0(∵a n >0，q ≠1)． 6、B [解析] 设公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2，因为等比数列{a n }的公比为正数，所以q ＝2，故a 1＝a 2q ＝12＝22，故选B.7、B [解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－bb 2＝ac ＝9c 2＝－9b，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥0，a ≠0，∴a 2>0，∴b <0，∴b ＝－38、 a n=S n-S n-1=2n-1-[2n-1-1]=2n-2n-1=2n-1，a n 2是以a 12=1为首项，4为公比的等比数列；S=4n-1/39、（1）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 组成公比为q 的等比数列，所以q 3=(a+b-c)/(a+b+c) ，q 2=(c+a-b)/(a+b+c) q=(b+c-a)/(a+b+c)，q 3+q 2+q=(a+b-c)/(a+b+c)+(c+a-b)/(a+b+c)+(b+c-a)/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1（2）因为a+b+c ，b+c-a ，c+a-b ，a+b-c 成等比数列，公比为q 所以(c+a-b)/(b+c-a)=q, (a+b-c)/(c+a-b)=q ∴q=[(c+a -b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.例题2、解a n-an-1=3n-1 将n=2,3,4,5代入得：a ₂-a ₁=3¹a ₃-a ₂=3² a ₃-a ₄=3³............... a n -a n-1=3n-1将上面的式子相加得：a n -a 1 = 3¹+3²+3³+.......+3n-1a n = 1+3¹+3²+3³+.......+3n-1=(1/2)(3ⁿ-1)练习1、C [解析] ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1， ∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋12. ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4a 3＋a 4q ＝1q ＝5－12.2、C [解析] ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac >0. 又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴方程无实数根．3、（a n +2）/2=√(2S n ) S n =（a n +2）2/8 S n+1=（a n+1+2）2/8 a n+1=S n+1-S n =a n+12/8+a (n+1)/2-a n 2/8-a n /2a n+12/8-a (n+1)/2-a n 2/8-a n /2=0 a n+12-4a n+1-a n 2-4a n =0 a (n+1)=a n +4 a n =-2+4n例题3、 xS n =x+3x 2+5x 3+7x 4+...+(2n-3)x(n-1)+(2n-1)xn①因为 S n =1+3x+5x 2+7x 3+9x 4+...+(2n-1)x(n-1) ②②-①得,(1-x)S n =1+2[x+x 2+x 3+x 4+.....+x n-1]-(2n-1)x n(1-x)S n =1+2[(x-x n)/(1-x)]-(2n-1)x n(1-x)S n =1+(2x-2x n)/(1-x)-2nx n+x n(1-x)S n =1+2x/(1-x)-2x n/(1-x)-2nx n+x n(1-x)S n =1+2x/(1-x)+{1-2n-2/(1-x)}x nS n ={1+(2x)/(1-x)+[1-2n-2/(1-x)]x n}/(1-x)练习1、在等比数列中，依次每k 项之和仍成等比数列。

高二数学等比数列

即(a3＋a5)2＝25，又∵a3．在等比数列{an}中，已知a2＝2，a6＝ 162，则a10＝________.
a2 6 解析：a10＝＝13122. a2
答案：13122
• 4．{an}是公差不为零的等差数列，且a7， a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1 ＝3，则bn＝________.
b ＝－8， 2bq＝a＋b， ab2q＝－80， a＝－8， a＝10， b＝－2，解得b＝－2，或 q＝5. q＝－2. 2
4 所以这四个数为1，－2,4,10或－5，－2，－5，－8.
3

2a a (2)设所求四个数为 q －aq，q，aq，aq3.
• [例1] 已知等比数列{an}，{bn}的公比分别为q1，q2，求证{an·bn}也是等比数列，且公比为q1·q2.
• [分析] 利用定义，只需证等比数列．
[证明] 设cn＝an· bn，则cn＋1＝an＋1· bn＋1 cn＋1 an＋1· bn＋1 an＋1 bn＋1 ∴ ＝＝ · ＝q1· q2 cn an· bn an bn 故命题成立．
• (3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有
(4)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为r的等比数列，则{an· bn}是公比为q· r 1 1 的等比数列；{ a }是公比为 q 的等比数列；{|an|}是公比为 n |q|的等比数列． (5)在{an}中，每隔k(k∈N*)项取其一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk 1.
＋
(6)在等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同．
• 答案：B

高二数学复习考点知识精讲与练习3 等比数列的概念

高二数学复习考点知识精讲与练习专题3 等比数列的概念【考点梳理】考点一等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：a na n－1＝q(n∈N*且n>1)⎝⎛⎭⎪⎫或a n＋1a n＝q，n∈N*.考点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.考点三等比数列的通项公式若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)．考点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1①＝a m q n－m②＝a1q·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．等比数列的应用及性质考点五实际应用题常见的数列模型1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y＝a(1＋r)n.2．总产值模型：基数为N ，平均增长率为p ，期数为n ，则总产值y ＝ N (1 ＋ p )n . 考点六等比数列的常用性质设数列{a n }为等比数列，则：(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (2)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列．(3)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2k q )的等比数列．(4)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q ，q 2.(5)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq .【题型归纳】题型一：等比数列中的基本运算1．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4－a 1＝78，S 3＝39，设b n ＝log 3a n ，那么数列{b n }的前10项和为（） A ．log 371B ．692C ．50D ．552．（2022·河南·高二期中（文））若数列{}n a 是等比数列，11a =，48a =，则56a a +=（） A．16B ．32C ．48D ．64+3．（2022·河南·高二期中（理））已知等比数列{}n a 中，11a =，2462a a a =+，则5a =（） A ．12B ．14C题型二：等比中项的应用4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 是等差数列，12a =，其中公差0d ≠，若5a 是3a 和8a 的等比中项，则18S =（）A ．398B ．388C ．189D ．1995．（2022·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，243546225a a a a a a ++=，则35a a +等于（）A ．5B ．10C ．15D ．206．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++=++( )A ．1316B ．1013C ．1113D ．1516题型三：等比数列的证明7．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *.（1）证明：{a n －1}是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式.8．（2022·江苏·高二专题练习）已知数列{an }满足1a ＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N*)．（1）求证：{ b n }是等比数列；（2）求{ a n }的通项公式．9．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二月考（理））已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 4.n n S a n =+-（Ⅰ）求1a 的值，若1n n b a =-，试证明数列{}n b 为等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.题型四：等比数列的性质及其应用10．（2022·河南洛阳·高二期中（文））等比数列{}n a 的各项均为正数，且56476a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（）A ．10B ．5C ．4D ．32log 5+11．（2022·江西·九江一中高二月考（理））已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若237487216a a a a a ++=，则57a a +=（）A ．4B ．3C ．2D ．812．（2022·河南郑州·高二月考（理））已知数列{}n a 满足11a =，211n n n na a q a a +++=⋅（q 为非零常数），515250505112a a a a ⋅=，则101a =（）A ．2B ．10012 C ．1024D ．5012题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值）13．（2022·辽宁省阜蒙县蒙古族高级中学高二月考）已知数列{}n a 是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的（） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（2022·全国·高二课时练习）已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（） A ．4B ．5C ．6D ．715．（2019·广西·桂梧高中高二月考）已知公比1q ≠的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则下列结论一定成立的是（）A ．若50a >，则20160a <B ．若50a >，则20160S >C ．若60a <，则20160a <D ．若60a <，则20160S >【双基达标】一、单选题16．（2022·西藏·拉萨中学高二月考）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若32a ，512a ，4a 成等差数列，则8967a a a a +=+（） A ．12B ．12C ．2D ．417．（2022·广东广州·高二期末）已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-，489a =-，则当n T 取最大值时，n 的值为（） A ．10B ．8C ．6D ．418．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列{a n }中，a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根，则a 4a 16＋a 10＝（） A ．6B ．2 C ．2或6D ．－219．（2022·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知等比数列{}n a ，()340a a a a +=≠，1314a a b +=，则2324a a +=（）A ．b aB ．22b aC ．2b aD ．2b a20．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a a +=+，则10a =（）A ．11021B ．11022C ．11023D ．1102421．（2022·全国·高二课时练习）已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（）A ．3223n n -B ．2332n n -C ．1223n n -D ．2132n n- 22．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知ABC 的面积为4，连接ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第2022个三角形的面积为（）A ．201914B ．202014C ．202114D ．20221423．（2022·江苏·高二专题练习）在由正数组成的等比数列{}n a 中，若4562a a a =，则1289a a a a ⋅⋅⋅的值为（）A ．2B ．4C ．8D ．1624．（2022·全国·高二单元测试）设{}n a 为递减的等比数列，1211a a +=，1210a a ⋅=，则1210lg lg lg a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．35B ．35-C ．55D ．55-25．（2022·全国·高二单元测试）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，13a ，312a ，22a 成等差数列，则1113810a a aa +=+（）A ．27B ．3C ．1或3D ．1或27【高分突破】一：单选题26．（2022·全国·高二课时练习）数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值（） A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在27．（2022·全国·高二课时练习）设各项为正数的等比数列{}n a 中，公比2q，且30123302a a a a ⋅⋅=，则36930a a a a ⋅⋅⋅⋅=( )A ．302B ．102C ．202D ．15228．（2022·宁夏·银川三沙源上游学校高二月考（理））在各项不为零的等差数列{}n a 中，2202020212022220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20212021b a =，则220202022log ()b b ⋅的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．829．（2022·甘肃省会宁县第一中学高二期中（理））已知函数()221f x x=+，若等比数列{}n a 满足220211a a =，则()()()122022f a f a f a ++⋅⋅⋅+=（） A ．2022B ．1011C ．2D ．1230．（2022·甘肃·天水市第一中学高二月考）等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于（） A ．5B ．10C ．20D ．4031．（2022·全国·高二课时练习）“手指推大厦”是科技馆中常见的一个游戏，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，体现了“多米诺骨牌效应”的科学原理.已知“手指推大厦”所用骨牌满足的数学表达式是()111n n a Y a Y -⋅>=，其中n Y 为第n 块骨牌的体积（或质量），1Y 为第1块骨牌的体积（或质量），a 为后一块骨牌与其前一块骨牌的体积（或质量）的比值.现在有A ，B 两副质地不同的骨牌，它们第一块骨牌的体积不相同，但a 值相同，记i A ，i B 分别是A ，B 两副骨牌第i 块的体积，已知11n m A B -+=，122m n A B -+=，()22161m n m n A B B m n ---=>>，则a 的值是（）A ．5B ．4C ．3D ．232．（2022·江苏·高二专题练习）对于无穷数列{}n a ，下列命题不正确的是（） A ．若数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则数列{}n a 是常数数列B ．若等差数列{}n a 满足：1na ≤，则数列{}n a 是常数数列C ．若等比数列{}n a 满足：1na ≤，则数列{}n a 是常数数列D ．若各项为正数的等比数列{}n a 满足：12,n a ≤≤则数列{}n a 是常数数列33．（2022·江西·新余四中高二月考（文））在等比数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2620x x -+=的根，则2169a a a 的值为（）A．B．．34．（2022·江苏·高二课时练习）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，若35412,,2a a a 成等差数列，则76S S -=（） A ．128B ．64C ．32D ．1二、多选题35．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，下列正确的结论是（）A ．{}1n a +是等差数列B ．{}1n a +是等比数列C ．21n n a =-D ．1n T <36．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．737．（2022·全国·高二课时练习）(多选题)设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a -⋅-<，则下列结论中正确的有( )A ．1q >B ．20212000S S >C ．202020221a a ⋅<D ．2020T 是数列{}n T 中的最大值38．（2022·福建·宁德市第九中学高二月考）若数列{}n a 满足113,33(2),nn n a a a n -==+≥则（）A ．{}3n na 是等差数列B ．{}3nn a 是等比数列 C ．数列{}n a 的通项公式3n n a n =⋅D ．数列{}n a 的通项公式3n nn a =39．（2022·全国·高二单元测试）已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则（）A ．01q <<B ．9910110a a -<C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198三、填空题40．（2022·全国·高二专题练习）在数列{a n }中，a 1=3，且点P n （a n ，a n +1）（n ∈N *）在直线4x -y +1=0上，则数列{a n }的通项公式为________.41．（2022·河南平顶山·高二期中）等比数列{}n a 的公比3q =，则13572468a a a a a a a a ++++++等于___________.42．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列{a n }中，若12341a a a a =，13141516 8a a a a =，则41424344 a a a a =________.43．（2022·全国·高二课时练习）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：1a2a ，3a4a ，5a ，6a ，7a ，8a ，9a ，10a……记数阵中的第1列数1a ，2a ，4a ，…构成的数列为{}n b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若21n n S b =-，则56a =______．44．（2022·河南焦作·高二期中（理））艾萨克·牛顿在17世纪提出了一种求方程近似解的方法，这种方法是通过迭代，依次得到方程的根的一系列近似值1x ，2x ，3x ，…，这样得到的数列{}n x 称为“牛顿数列”.例如，对于方程240x -=，已知牛顿数列{}n x 满足2142n n n nx x x x +-=-，且2n x >，设22log 2n n n x a x +=-，若34528++=a a a ，则1x =___________.四、解答题45．（2022·全国·高二课时练习）已知0100r p <<<，在一容器内装有浓度为%r 的溶液1 kg ，注入浓度为%p 的溶液14kg ，搅匀后倒出混合液14kg.如此反复进行下去. （1）写出第1次混合后溶液的浓度1%a ；（2）设第n 次混合后溶液的浓度为%n a ，试用a n 表示a n ＋1；（3）写出{a n }的通项公式.46．（2022·全国·高二课时练习）设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．（1）试用a n 表示a n ＋1；（2）求证：23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式．47．（2022·河南郑州·高二期中（文））设数列1b ，2b ，3b ，4b 满足：前三项成等比数列且和为m ，后三项成公差不为零的等差数列且和为15. （1）用2b 表示出m ；（2）若满足条件的数列1b ，2b ，3b ，4b 的个数大于1，求m 的取值范围.48．（2022·全国·高二专题练习）数列{}n a 满足11a =-，且1323n n a a n -=-+（n *∈N 且2n ≥）．（1）求2a 、3a ，并证明数列{}n a n -是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．49．（2022·江苏·高二单元测试）已知数列{}n a 的前项和为n S ，满足2n n a S n += （1）求证：数列{}2n a -是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若不等式()()22232n n a λλ->--对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．【答案详解】1．D解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4－a 1＝78得a 1(q 3－1)＝78，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝39，解得a 1＝q ＝3，故a n ＝3n ，所以b n ＝log 33n ＝n ，所以数列{b n }的前10项和为()101+101+2+3++10552⨯==. 故选：D. 2．C 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，则33418a a q q ===.所以2q，所以45561148a a a q a q +=+=.故选：C. 3．B 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为4622a a a +=，所以351112a q a q a q +=，即42210q q +-=，解得212q =，所以45114a a q ==.故选：B . 4．C解：数列{}n a 是等差数列，12a =，其中公差0d ≠，5a 是3a 和8a 的等比中项，2(24)(22)(27)d d d ∴+=++，化为(1)0d d -=，0d ≠．所以1d =，则18181718211892S ⨯=⨯+⨯=．故选：C ． 5．A 【详解】解：由等比数列的性质可得a 2a 4＝a 32，a 4a 6＝a 52， ∴a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 32＋2a 3a 5＋a 52＝（a 3＋a 5）2＝25，又等比数列{}n a 各项均为正数，∴a 3＋a 5＝5，选项A 正确故选：A. 6．A由题意可知，2319a a a =得()()211128a d a a d +=+，解得0d =或1a d =，因为0d ≠，故1a d =，所以13912410131013133131616a a a a d d a a a a d d +++===+++.故选：A. 7．（1）证明 ∵S n ＝n －5a n －85， ∴S n ＋1＝(n ＋1)－5a n ＋1－85，两式相减得：a n ＋1＝1＋5a n －5a n ＋1，整理得：a n ＋1＝56a n ＋16， ∴a n ＋1－1＝56(a n －1)，又∵a 1＝1－5a 1－85，即a 1＝－14， ∴a 1－1＝－14－1＝－15，∴数列{a n －1}是以－15为首项，56为公比的等比数列. （2）由（1）可知a n －1＝－15×156n -⎛⎫⎪⎝⎭，∴a n ＝1－15×156n -⎛⎫⎪⎝⎭.8．【详解】（1）证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即b n ＋1＝2b n ， ∵b 1＝1a ＋1＝2≠0.∴b n ≠0，∴1n n b b +＝2，∴{b n }是等比数列．（2）由（1）知{b n }是首项b 1＝2，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2×2n －1＝2n ，即a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 9．【详解】（Ⅰ）因为S n ＝2a n ＋n －4，所以当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1－4，解得a 1＝3. 因为S n ＝2a n ＋n －4，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋(n －1)－4， S n －S n －1＝(2a n ＋n －4)－(2a n －1＋n －5)，即a n ＝2a n －1－1，所以a n －1＝2(a n －1－1)，又b n ＝a n －1，所以b n ＝2b n －1，且b 1＝a 1－1＝2≠0，所以数列{b n }是以b 1＝2为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{b n }是以b 1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n nn b -=⋅=，12n n a ∴-=，21n n a ∴=+．10．B解：因为56476a a a a +=，5647a a a a =，所以743a a =，所以()()()15333132301210473473l 5og log log log log log log 553a a a a a a a a a a ⋅⋅+++=⋅====故选：B 11．A 【详解】在等比数列{}n a 中，23754857,a a a a a a a ==，则22237487577522a a a a a a a a a ++=++257()a a =+，依题意，257()16a a +=，而{}n a 的各项均为正数，于是得574a a +=，所以574a a +=. 故选：A 12．A 【详解】解：由数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，得11015152250110050512a a a a a a a a ⋅=⋅⋅⋅=⋅=，所以50110131*********11239910022a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭，又数列{}n a 的首项11a =，所以1012a =. 故选：A. 13．D 【详解】因为等比数列的通项公式为11n n a a q -=，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，即充分性不成立；当“数列{}n a 是递增数列”时，可能是10a <，01q <<，即必要性不成立；即“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D. 14．A 【详解】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<．故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4，故选：A ． 15．C 【详解】若50a >，201120165a a q=，当0q >时，20160a >，故A 错误；若4510a a q =>，则10a >，()20161201611a q S q-=-，当2q =-时，20160S <，故B 错误；若60a <，则2010201660a a q =⋅<成立，故C 正确；若5610a a q =<，()20161201611a q S q-=-，当10,1a q <>时，20160S <，故D 错误；故选：C . 16．D 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q >，由32a ，512a ，4a 成等差数列，可得5342a a a =+，即为4231112a q a q a q =+，可得220q q --=，解得2(1q =-舍去），则2289676767()4a a q a a q a a a a ++===++．故选：D 17．D解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则341811()()92427a qa ==-⨯-=，解得13q =，所以11(24)()3n n a -=-⋅，所以1(1)123(1)21211(24)()(24)()33n n n n n n n T a a a -++++-=⋯=-⋅=-⋅，所以当n T 取得最大值时，可得n 为偶数，而1()3x y =在R 上单调递减，2121(24)()1923T =-⨯=；446418(24)()39T =-⨯=；66156918(24)()33T =-⨯=，则246T T T <>，且61T >，当6n >且n 为偶数时，2111(1)(1)(7)2223111243333n n n n n n n n n T ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯<⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，270n n ->1n T <，所以6n T T <，所以4n =时，n T 取得最大值．故选：D ． 18．B由题知a 2＋a 18＝－6，a 2·a 18＝4，所以20a <，180a <，故100a <，所以a 10＝2=-，因此a 4·a 16＋a 10＝210a ＋a 10＝2，故选：B. 19．D 【详解】∵()340a a a a +=≠，1314a a b +=，∴10131434a ab q a a a +==+，又1023241314a a b q a a a +==+，∴22324b a a a+=.故选：D. 20．C 【详解】因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n nn a aa a ++==+ ，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C. 21．A 【详解】解:因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++⋅=⋅+，整理得()11223233n nn n a a ++⋅-=⋅-，所以数列{}23nn a -是以14233a -=-为首项，23为公比的等比数列．所以1422333n n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3223n n na =-．故选：A 22．B 【详解】由三角形相似知：后一个三角形的面积是前一个的14，设第n 个三角形的面积为n a ，则数列{}n a 是首项14a =，公比14q =的等比数列，∴1211444n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴第2022个三角形的面积为2020202220201144a ⎛⎫==⎪⎝⎭．故选：B ． 23．C 【详解】因数列{}n a 是正数组成的等比数列，则535462a a a a ==，所以24331289192837465555()()()()()()8a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅==. 故选：C 24．B 【详解】∵{}n a 为递减的等比数列，1211a a +=，1210a a ⋅=， ∴110a =，21a =， ∴110q =， ∴1210lg lg lg a a a ++⋅⋅⋅+，()()5291101lg 5lg a a a q ==，715lg 3510⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选B. 25．A 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a ，312a ，22a 成等差数列，所以12332a a a +=，所以211132a a q a q +=，化简得2230q q --=，所以3q =（1q =-不合题意，舍去），所以331113810327a aq a a +===+.故选：A. 26．B 【详解】依题意，b n ＝b 1·1()27n －1＝13·1()33n －3＝1()33n －2， ∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k 1()33n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝1(33log )3k +n －7－2log k 13. ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3. 故选：B 27．C 【详解】因为{}n a 是等比数列，30123302a a a a ⋅⋅=，公比2q ，所以29(129)3012329303021122a qa +++++=⨯=，化简得，10135121a ⨯=，故10(229)10252910139300155202611122=2a a q a a a a a ++++⋅⋅===⋅⨯⋅⨯.故选：C. 28．C 【详解】因为{}n a 是各项不为零的等差数列，所以()202020222020202220212021222224a a a a a a +=+=⨯=，由2202020212022220a a a -+=可得2202120214a a =，因为20210a ≠，所以20214a =，所以202120214b a ==，因为数列{}n b 是等比数列，所以22202020222021416b b b ⋅===，所以2202020222log ()log 164b b ⋅==，故选：C. 29．A 【详解】22()()1f x x R x =∈+， 2222212222()211111x f x f x x x x x ⎛⎫∴+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， {}n a 是等比数列，1202222011101110121a a a a a a ∴====，则1232022()()()()210112022f a f a f a f a +++=⨯=. 故选：A 30．C 【详解】{}n a 是等比数列，则11029384756a a a a a a a a a a ====，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 105312103383log ()log ()5log 8120a a a a a ====．故选：C ． 31．D 【详解】由题可知，i A 和i B 组成的数列都是以a 为公比的等比数列. 由题意可列出如下的方程：211n m A a B a -=①， 21112m n A a B a -+=②， 12211116m n m n A a B a B -----=③，由①可得211m n AaB -+=④，由②可得3112n m A aB -+=⑤，由③可得2211116m n m n A a B a ----+=⑥，由④⑤⑥得2212216m n m n a a ---++=，221262m n a a --+=，所以22122m n a a -+=，即2212m n a --=. 因为m ，n 和a 都是整数，所以符合条件的解只有2a =，2211m n --=这一组. 综上所述，2a =，故选：D. 32．C 【详解】对于A ，设等差数列{}n a 公差为d ，则2n ≥时，11,n n n n a a d a a d -+=-=+，而数列{}n a 是等比数列，则0n a ≠，且22211()()n n n n n n a a a a d a d a d -+==-+=-，于是得0d =，即{}n a 是常数数列，A 正确；对于B ，设等差数列{}n a 公差为d ，有1()n a a d nd =-+，若0d >，而{}n a 是无穷数列，则当n 趋近于无穷大时，n a 趋近于正无穷大，若0d <，则当n 趋近于无穷大时，n a 趋近于负无穷大，||n a 趋近于正无穷大，即0d ≠，||n a 都趋近于正无穷大，因1na ≤，则0d =，即{}n a 是常数数列，B 正确；对于C ，等比数列{}n a ，令1()2n n a ，对于任意的正整数n ，12na ≤，满足1na ≤，{}n a 不是常数数列，C 不正确；对于D ，设各项为正数的等比数列{}n a 公比为q ，则11(0)n n a a q q -=>，当1q >时，数列{}n a 是递增数列，当n 趋近于无穷大时，n a 趋近于正无穷大，必存在正整数0n ，有0n n ≥时，2n a >，当01q <<时，数列{}n a 是递减数列，当n 趋近于无穷大时，n a 趋近于0，必存在正整数1n ，有1n n ≥时，1n a <，即0q >且1q ≠时，对于无穷正项等比数列{}n a 必存在一个正整数，当n 取大于这个正整数时12n a ≤≤不可能成立，于是得无穷正项等比数列{}n a 满足：12n a ≤≤，其公比1q =，即数列{}n a 是常数数列，D 正确. 故选：C 33．C 【详解】∵在等比数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2620x x -+=的根， ∴31520a a =>，31560a a +=> ∴2163152a a a a ==，293152a a a ==，∴9a∴2169a a a =故选：C ． 34．B 【详解】解：设{}n a 的公比为q ．35412,,2a a a 成等差数列，5342a a a ∴=+．即4231112a q a q a q =+，化简得220q q --=，解得2q 或1q =-．由已知，2q ，667671264S S a a q ∴-====．故选：B ． 35．BCD 【详解】因为121n n n S S a +=++，所以，1121n n n n S S a a ++-==+，11a =，则23a =，37a =，，以此类推可知，对任意的n *∈N ，0n a >，所以，()1121n n a a ++=+，则1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是等比数列，且首项为112a +=，公比为2，所以，11222n n n a -+=⨯=，21n n a ∴=-，()()111221121212121n n n n n n n n a a +++==-----，所以，2231111111111121212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以，BCD 选项正确，A 选项错误. 故选：BCD. 36．AB【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，令531nn a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5. 故选：AB. 37．BCD 【详解】选项A ：若1q >，由11a >，则2019202011a a q ⋅=>，2020202111a a q ⋅=>，则202010a ->，202110a ->，则()()20202021110a a -->与已知条件矛盾，所以1q >不符合，故A 错误；选项B ：由于11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a --<，所以20201a >，202101a <<，故01q <<，则0n a >，则2021202020212020S a S S =+>，故B 正确；选项C ：因为20202022220211a a a =⋅<，故C 正确；选项D ：因为前2020项都大于1，从第2022项开始起都小于1，所以2020T 的值是n T 中最大的，故D 正确．故选：BCD. 38．AC 【详解】在数列{}n a 中，当2n ≥时，133nn n a a -=+，即11133n n n n a a --=+，而13a =，即113a =，则{}3n n a 是首项为1，公差为1的等差数列，因此，1(1)13n na n n =+-⨯=，3nna n =⋅，所以A 正确，B 不正确，C 正确，D 不正确. 故选：AC 39．ABD 【详解】∵9910010a a ->，∴199000a a >，∴0q >.∵99100101a a -<-，∴()()99100110a a --<，又11a >，∴01q <<.故A 正确.由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，∴2991011001a a a =<，∴9910110a a -<，1009910099T T a T =<，故B 正确，C 不正确. ∴()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===>，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===<， ∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确. 故选：ABD 40．1101433n n a -=⋅- 因为点P n （a n ，a n +1）（n ∈N *）在直线4x -y +1=0上，所以4a n -a n +1+1=0，即a n +1=4a n +1，得a n +1+11433n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为111033a +=，公比为4的等比数列，所以1110433n n a -+=⋅，故1101433n n a -=⋅-.故答案为：1101433n n a -=⋅- 41．13【详解】因为等比数列{}n a 的公比3q =，所以()1357135724681357113a a a a a a a a a a a a q a a a a q ++++++===++++++，故答案为：13. 42．1024 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，234611111 1a a q a q a q a q ⋅⋅⋅==，①121314154541314151611111 8a a a a a q a q a q a q a q =⋅⋅⋅==，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴4041424341664142434411111a a a a a q a q a q a q a q =⋅⋅⋅= ()()104616046161011 121024a q q a q q =⋅⋅==⨯=故答案为：1024 43．1024 【详解】当2n ≥时，21n n S b =-，1121n n S b --∴=-，122n n n b b b -∴=-，12n n b b -∴=（2n ≥且n *∈N ）．1121b b =-，11b =，∴数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n b -∴=．设1a ，2a ，4a ，7a ，11a ，…的下标1，2，4，7，11，…构成数列{}n c ，则211c c -=，322c c -=，433c c -=，544c c -=，…，11n n c c n --=-，叠加得()112341n c c n -=+++++-，()112n n n c -∴=+，由()11562n n n c -=+=，得11n =（负值已舍去），10561121024a b ∴===．故答案为：1024. 44．6 【详解】因为2142n n n nx x x x +-=-，且2n x >，所以2214(2)2222n n n n n n x x x x x x +-+=-+=+；2214(2)2222n n n n n nx x x x x x +--=--=-，故211222112(2)22log 2log 2(2)22n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++++=⇒=----，即1122n n n na a a a ++⇒==，从而数列{}n a 是以公比为2的等比数列，故23453411112222828a a a a a a a =⨯+⨯+⨯=++=，即11a =，由11122log 12x a x +==-，解得16x =.故答案为：6. 45．（1）()11%%14%4%1514r p a p r +==++；（2）()11%%14%4%1514n n n a p a p a ++==++，即()1145n n a p a +=+；（3）由（2）知()1145n n a p a +=+，即()145n n a p a p +-=-，所以{}n a p -是一个公比为45的等比数列，首项为()145a p r p -=-，所以()()1444555n nn a p r p r p -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()45n n a p r p ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭46．解：由韦达定理得：1n naa αβ++=，1n a αβ⋅=，由6263ααββ-+=得1263n n na a a +⋅-=，故11123n n a a +=+．（2）证明：因为121112()32323n n n a a a +-=-=-，所以1213223n n a a +-=-，故数列2{}3n a -是公比为12的等比数列；（3）解：当176a =时，数列2{}3n a -的首项127213632a -=-=，故12111()()3222n n n a --=⋅=，所以12()23n n a =+．47．（1）22215+5+m b b =；（2）()1515154⎛⎫+∞⎪⎝⎭，，. 解：（1）由题意，设等比数列1b ，2b ，3b 的公比为q ()0q ≠，等差数列2b ，3b ，4b 的公差为d （0d ≠），则123b b b m ++=，32415b b b ++=，又2432b b b +=，所以35b =，所以25q b =，所以212322255++5+5+5b b b b b m q q +===+，即22215+5+m b b =；（2）由（1）得数列1b ，2b ，3b ，4b 分别为：()25,5,5,5+5d d d --，()222111515+53+15+5+555452d d d m d d ⎛⎫==-=-⎪- ⎝⎭-，因为满足条件的数列1b ，2b ，3b ，4b 的个数大于1，且0d ≠，所以15>4m 且15m ≠，所以m 的取值范围为()1515154⎛⎫+∞⎪⎝⎭，，. 48．（1）24a =-，315a =-，证明见解析；（2）123n n a n -=-⋅.【分析】（1）利用递推公式可求得2a 、3a 的值，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a n -是等比数列；（2）确定等比数列{}n a n -的首项和公比，可求出数列{}n a n -的通项公式，由此可求得数列{}n a 的通项公式．【详解】（1）因为11a =-，且1323n n a a n -=-+（n *∈N 且2n ≥），则21314a a =-=-，323315a a =-=-，由已知可得()1133331n n n a n a n a n ---=-+=--⎡⎤⎣⎦，112a -=-，则对任意的n *∈N ，0n a n -≠，所以当2n ≥时，()131n n a na n --=--，故数列{}n a n -是等比数列；（2）由（1）可知，数列{}n a n -是等比数列，且首项为2-，公比为3，所以，123n n a n --=-⨯，因此，123n n a n -=-⋅.49．（1）2n n a S n +=①1122,2n n a S n n --∴+=-≥②①-②得12n n n a a a -+=-，即122n n a a -=+，变形可得11222n n a a-=--，又112a S +=，得11a =故数列{}2n a -是以-1为首项，12为公比的等比数列；（2）由（1）得1122n n a --=-， *1122n n a n N -∴=-∈，；（3）令()()()232n f n n a =--，则()1232n n f n --=()()12123521222nn nn n nf n f n ----∴+-=-= 当1n =或2n =时，()()10f n f n +->，当3,n n N ≥∈时，()()10f n f n +-< 又()334f =，()max 34f n ∴=，因为不等式()()22232n n a λλ->--对任意的正整数n 恒成立，2324λλ∴->，解得1322λ<<.。

高二数学等比数列公式归纳

等比数列公式_高二数学等比数列公式归纳定义：an+1/an=q(an≠0)q<0摆动数列q=1常数列常数列(除零外)即成等差又成等比通项公式：an=a1·qn-1变形：an=am·qn-m=A·qn(A为常数)=(a1/q)·qn前n项和：Sn=a1·(1-qn)/(1-q)=A-A·qn=(a1-an·q)/(1-q)Sn=n·a1······(q=1)a1·(1-qn)/(1-q)·······(q≠1)性质：等比中项：an2=an+1·an-1隔项符号相同序号公式：m+n=p+qam+an=ap+aq抓好基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。

只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。

弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。

反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。

严防题海战术做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。

学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。

因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。