等比数列求和教学设计(修改后)
等比数列前项求和教学设计
等比数列前项求和教学设计一、设计背景与目标在初中数学中，等比数列是一个重要的概念，而求解等比数列的前项和是其中的一个基础知识点。
为了帮助学生更好地理解和掌握等比数列前项求和的方法，本文设计了一堂以等比数列前项求和为主题的教学活动。
通过这个教学设计，目标是让学生能够正确应用等比数列前项求和的公式，并能够灵活运用于解决实际问题。
二、设计步骤与活动安排1. 活动导入（约10分钟）a. 引入等比数列的概念，并与等差数列进行比较，引起学生对等比数列的兴趣。
b. 通过一个简单的例子，让学生观察并总结等比数列的特点。
例如，给出一个等比数列的前三项，让学生观察公比的特点。
2. 理解等比数列前项求和公式（约20分钟）a. 介绍等比数列前项求和的公式：S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中S_n为前n项和，a为首项，r为公比。
b. 通过多个例子，让学生逐步理解公式的使用方法。
例如，给出一个等比数列的首项、公比和项数，让学生计算前n项的和。
3. 实际应用演练（约30分钟）a. 设计一些实际问题，让学生运用等比数列前项求和的公式解决。
例如，某班级每天增加人数是等比数列，首天有10人，公比为2，问经过30天后班级共有多少人。
b. 让学生分组讨论并解决问题，然后进行展示和讨论。
引导学生思考如何将实际问题转化为等比数列，并运用公式求解。
4. 拓展练习与反思（约20分钟）a. 给予学生一些形式各异的拓展题目，让他们巩固和巩固所学的知识。
例如，找出等比数列中的首项或公比等未知信息，给出前n项和并解出未知项等。
b. 结合学生的实际表现，进行个别指导和反思。
鼓励学生思考解题方法和思路，并及时纠正错误的观念。
5. 总结与归纳（约10分钟）a. 让学生总结等比数列前项求和的公式和解题方法，提出问题并共同总结。
b. 引导学生将所学的知识应用到其他的问题中，拓展他们的思维。
三、教学评价与追踪1. 教师的评价：通过观察学生在活动中的表现，可以对学生的掌握程度进行初步评价。
等比数列的求和教案
等比数列的求和教案一、引言数列是数学中的重要概念，而等比数列是数列中的一种特殊形式。
在解决等比数列问题时，求和是一个常见的需求。
本教案将介绍如何求解等比数列的求和问题，帮助学生掌握解题技巧。
二、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与前一个数的比值都相等的数列。
具体而言，如果一个数列的通项公式为an = a1 *r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数，则这个数列为等比数列。
三、等比数列的求和公式在求等比数列的和时，可以使用以下公式：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中Sn表示等比数列前n项的和，a1为首项，r为公比。
四、教学步骤为了帮助学生理解等比数列的求和过程，我们将按照以下步骤进行教学：Step 1: 引入概念首先，我们会引入等比数列的概念，并通过具体的数列示例来说明等比数列是如何构成的。
Step 2: 推导求和公式接下来，我们将通过推导的方式得出等比数列求和的公式，让学生能够理解公式的来由，并通过实际例子进行验证。
Step 3: 解题示例在这一步骤中，我们将给出一些实际的问题，让学生运用所学的公式解决等比数列求和的问题。
教师可以给予学生一些指导，鼓励他们独立思考和解答问题。
Step 4: 练习题最后，我们将给学生一些练习题，让他们在课后巩固所学知识。
这些题目既包括应用题，也包括理论题，以检验学生对等比数列求和的掌握情况。
五、教学反馈在教学结束后，教师可以与学生进行互动交流和反馈。
可以找学生上台讲解解题过程，或者进行小组合作讨论。
通过反馈，可以检验学生对等比数列求和的掌握情况。
六、教学延伸如果学生对等比数列求和已经掌握得很好，可以进行一些拓展讨论。
比如，介绍等比数列的性质和应用，以及更高阶的数列求和问题。
七、总结通过本教案的学习，学生应该能够掌握等比数列求和的基本技巧和方法。
同时，也明白了等比数列的应用和重要性。
教师可以进一步引导学生拓展思维，培养他们独立解决问题的能力。
等比数列求和公式教学设计
等比数列求和公式教学设计教学设计：等比数列求和公式一、教学目标：1.知识与能力目标：掌握等比数列的概念和性质；理解等比数列求和公式的推导过程；能够运用等比数列求和公式解决实际问题；2.过程与方法目标：合作探究，培养学生的自主学习能力；让学生在实践中运用公式，提高思维能力；3.情感态度与价值观目标：培养学生合作意识和团队精神；加深学生对数学知识的兴趣；培养学生的分析问题和解决问题能力；二、教学重点与难点：1.教学重点：等比数列的概念和性质；2.教学难点：如何引导学生理解和掌握等比数列求和公式的推导过程；如何在实际问题中运用等比数列求和公式；三、教学准备：1.教学资料：教材、课件、黑板、书写工具等；2.实验器材：计算器；3.教学环节和内容安排：导入新课、概念讲解、公式推导、例题演示、合作探究、课堂练习、总结与布置作业。
四、教学过程：1.导入新课（10分钟）通过提问学生已学的等差数列的求和公式，引导学生回顾和思考，并激发学习等差数列求和公式的兴趣。
老师问：“大家回忆一下，我们之前学过的等差数列能用什么方法求和呢？”学生回答：“可以用等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2、”老师说：“非常好，那么我们今天来学习一下等比数列的求和公式。
”2.概念讲解（15分钟）a.等比数列的概念：老师出示等比数列的定义：“等比数列是指一个数列中后一项是前一项乘以同一个固定的数。
”b.等比数列的性质：老师通过举例子来解释等比数列的性质。
-等比数列首项为a，公比为r，第n项为an，则有如下性质：an=a*r^(n-1)（其中，^表示乘方运算）a(n-1)=a*r^n（其中，n-1表示n-1项）(an/an-1)=r（相邻项的比值恒为r）- 当公比，r，<1时，等比数列的前n项和的极限为S=infinity当公比，r，=1时，则无极限值。
当公比，r，>1时，等比数列的前n项和的极限为S=a/(1-r)3.公式推导（15分钟）a.老师引导学生思考如何推导等比数列的求和公式。
等比数列求和1(修改)
二、
引入 新课:
2 , 2 ,2 , 2
国际象 棋的棋盘 上共有8 行8列,构 成64个格 子.国际象 棋起源于 古代印度, 关于国际 象棋有这 样一个传 说……
0
1
2
3
2
63
分析：
各个格子里的麦粒数依次是:
1, 2, 2 , 2 , , 2
2 3
63
于是发明者要求的麦粒总数就是:
1 2 2 2 2
2 3
63
☆
实际上这是一个等比数列求和的问题
S64 =1+ 2 + 22 + 23+· · 62 + 263 ·+2
2S64 =
①
2 + 22 + 23+· · 62 + 263 +264 ② ·+2
由② - ①，得:
2S64 – S64=264 - 1 S64=264 - 1
☆
结果：
264-1这个数字非常大，等于:
六、课后作业
1. P145-练习A组1、2题 2.等比数列{an}中，已知a1=3,a5=48,求q和S5的值。 3 .等比数列求和在现实生活中具体有哪些应用（每 人举一例）？
1.求数列 2. 求数列
1
1 1 1 1 的前n项和 , 2 , 3 , 4 2 4 8 16 1 1 1 1 1 ,2 , 3 ,4 的前n项和。 2 4 8 16
一
a1 (1 q ) Sn 1 q
n
a q 1 a n S ( ) q 1 n 1q
二 这种把两式位置错开相减的推导方法，
称之为错位相减法。
三 通常将通项公式与前n项和公式联合应用, 由 Sn , an ,q , a1 , n 知三可求二 。 四 由具体到抽象、由特殊到一般的研究规律。
等比数列求和优秀教学设计
等比数列求和优秀教学设计一、引言数学是一门理论性和实践性相结合的学科，在学习数学的过程中，很多学生常常会遇到难以理解和掌握的概念和知识点。
作为教师，我们需要设计有效的教学方案，以帮助学生理解和应用数学知识。
本文将以等比数列求和为例，探讨一个优秀的教学设计。
二、教学目标1. 理解等比数列的概念和性质；2. 掌握等比数列的通项公式和求和公式；3. 能够应用等比数列的求和公式解决实际问题。
三、教学准备1. 教师准备：a. 具备等比数列的相关知识；b. 精心设计课堂教学活动。
2. 学生准备：a. 已掌握等比数列的基本概念；b. 具备一定的数学计算能力。
四、教学过程1. 导入环节在课堂开始时，可以提出一个问题：在日常生活中，有哪些例子可以用等比数列来描述？引导学生回忆和分享自己的观察和思考。
2. 概念讲解通过幻灯片或白板，向学生展示等比数列的概念和性质，并解释其通项公式和求和公式的推导过程。
可以通过具体的实例来说明等比数列的特点和规律。
3. 探究活动将学生分成小组，每个小组设计一个等比数列求和的实际问题。
可以是某家公司的销售额，或者某种动物繁殖的数量等。
要求学生根据实际情况，确定等比数列的首项、公比和项数，并计算出求和的结果。
4. 教师辅助在学生进行探究活动的过程中，教师需要提供必要的指导和支持。
可以通过与学生的讨论，引导他们找出正确的解题思路和方法。
5. 小结与总结在学生完成探究活动后，教师组织全班讨论，总结等比数列求和的关键步骤和方法。
并引导学生应用所学知识解决其他类似的问题。
六、教学评价教师可以通过以下方式进行教学评价：1. 观察学生在课堂上的参与度和学习态度；2. 检查学生完成的课堂练习和作业；3. 针对学生的理解程度和能力水平，进行个别或小组评价；4. 收集学生的反馈意见，了解教学效果和改进方向。
七、结语通过本文的教学设计，我们可以看到等比数列求和的教学过程充满了趣味性和互动性，激发了学生的学习兴趣和主动性。
等比数列求和教案
等比数列求和教案
一、教学目标
1.理解等比数列求和公式的推导过程和含义；
2.能够运用等比数列求和公式解决实际问题；
3.培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
二、教学内容
1.等比数列求和公式的推导；
2.等比数列求和公式的应用。
三、教学重点与难点
重点：等比数列求和公式的推导和应用。
难点：理解等比数列求和公式的本质，解决较复杂的等比数列求和问题。
四、教具和多媒体资源
1.黑板；
2.投影仪；
3.教学软件：PPT。
五、教学方法
1.激活学生的前知：回顾等差数列求和公式及其推导方法；
2.教学策略：通过讲解、示范、小组讨论、案例分析等方式，
使学生掌握等比数列求和公式及其应用；
3.学生活动：小组讨论、案例分析、解题练习。
六、教学过程
1.导入：通过回顾等差数列求和公式及其推导方法，引出等
比数列求和公式的推导方法。
2.讲授新课：通过讲解、示范、小组讨论等方式，引导学生
推导等比数列求和公式，并理解其含义和应用。
3.巩固练习：通过案例分析、解题练习等方式，让学生运用
等比数列求和公式解决实际问题。
4.归纳小结：总结等比数列求和公式的推导方法和应用，强
调解题思路和技巧。
七、评价与反馈
1.设计评价策略：小组讨论、案例分析、解题练习等；
2.为学生提供反馈，针对不同学生的情况给予建议和指导，
以便学生更好地理解和掌握等比数列求和公式及其应用。
八、作业布置
1.完成教学软件中的相关练习题；
2.自己收集一些等比数列求和的实际问题，尝试运用所学知
识解决。
我的教学设计《等比数列求和》
我的教学设计《等比数列求和》一、教学目标1. 了解等比数列的概念和性质；2. 掌握等比数列通项公式的推导和应用；3. 掌握等比数列前n项和的公式的推导和应用；4. 能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学重点和难点教学重点：1. 等比数列通项公式的推导和应用；2. 等比数列前n项和的公式的推导和应用。
教学难点：1. 教师如何引导学生发现等比数列的规律；2. 学生如何理解等比数列通项公式和前n项和公式的推导过程。
三、教学过程1.引入（5分钟）教师出示一组数列：2, 4, 8, 16, 32…，问学生如何推算下一个数是多少。
学生可能会发现：每个数是上一个数乘以2得到的。
教师引导学生思考这个数列的规律，引入等比数列的概念。
2.概念讲解（10分钟）教师给出等比数列的定义，即每一项都是前一项乘以同一个非零常数q得到的数列。
然后详细讲解等比数列的性质，包括：公比是固定的；任何一个非零项都可以看作是第一项乘以公比的若干次方等等。
3.通项公式的推导（30分钟）教师以2, 4, 8, 16, 32…为例，引导学生推导出等比数列的通项公式an=a1q^(n-1)。
教师先让学生用数学归纳法求出n=2时的通项公式，再让学生通过误差法求出q的值，最后求出n通项公式的公式式。
4.通项公式的应用（15分钟）教师通过实例讲解通项公式的应用，如：已知数列的前两项为1和3，求第10项的值；已知数列的前三项为2，6，18，求第8项的值等等。
5.前n项和公式的推导（30分钟）教师以2, 4, 8, 16, 32…为例，引导学生推导出等比数列前n项和的公式Sn=（a1(1-q^n)）/（1-q）。
教师先让学生通过数学归纳法求出n=2时的前n项和公式，再通过误差法求得q的值，最后推出n的公式。
6.前n项和公式的应用（10分钟）教师通过实例讲解前n项和公式的应用，如：已知数列的前两项为1和3，求前5项的和；已知数列的前三项为2，6，18，求前4项的和等。
等比数列求和教案
2.5等比数列的前n 项和(一)教学目标1、 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力（二）教学重、难点重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式（三）学法与教学用具学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题教学用具：投影仪（四）教学设想教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n 项和公式。
一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n由等比数列的通项公式,上式可以写 Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①① 式两边同乘以公比q 得 qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ②①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1） 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=qq a a n --11（q ≠1） 推导出等比数列的前n 项和公式，本节开头的问题就可以解决了[相关问题]①当q=1时，等比数列的前n 项和公式为Sn=na 1② 公式可变形为Sn=q q a n --1)1(1=1)1(1--q q a n （思考q>1和q<1时分别使用哪个方便） ③ 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个[例题分析]例1 求下列等比数列前8项的和: (1)21,41,81,．．．；(2) a 1=27, a 9=2431,q<0 评注:第(2)题已知a 1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q 既可以为正数,又可以为负数.例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程[随堂练习]第66页第1.2.3题[课堂小结](1)等比数列的前n项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子(2)如果已知a1, a n,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个《等比数列的前n项和》教学案例设计一、设计思想1、设计理念本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”，体现“人人学数学”，“不同的人学不同的数学”的理念。
等比数列求和公式教案
等比数列的前n 项和公式教学目标：1．知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．2．过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．3．情感、态度与价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点． 教学重点、难点本节课的重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用；难点是公式的推导方法及公式在实际问题中应用 ．教学过程:1引入设问：同学们，你们知道西萨要的是多少小麦吗？写出麦粒总数为：=++++633222221K麦粒总数是：)1(22221633264K K K +++++=S上式有何特点？如果（1）式两端同时乘以2得)2(22222643264K K K ++++=S比较（1）、（2）两式，有什么关系)1(22221633264K K K +++++=S)2(22222643264K K K ++++=S两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到 126464-=S 。
2同样的方法：设等比数列{}n a ，首项为1a ,公比为q ,如何求前n 项和n S ？)3(631312111K K K q a q a q a q a a S n +++++=)4(6414131211K K K q a q a q a q a q a qS n +++++=探讨1：由()11111+-=-=-n nn a a q a a S q 得q a a q q a a S n n n --=--=+111111对不对？1=q 时，?=n S探讨2：结合等比数列的通项公式11-=n n q a a ，如何把n S 用q a a n ,,1 表示出来？ 思路1：)1(6321631312111q q q a q a q a q a q a a S n +++=+++++=K K 思路2：q a a a a a a n n ====-12312K 3例题：1一个等比数列的第5项和第12项分别是16和-2048,求公比和第7项2 在等比数列{}n a 中，（1）已知a 1= -4,q =21,求S 10 ; (2)已知a 1= 1，a k = 243, q =3,求S k .4小结：{)1()1(11)1(111=≠--=--=q na q qq a a q q a n n n S K K K K K K K K K 5布置作业：6板书设计：。
等比数列求和公式教学设计
等比数列求和公式教学设计教学设计：等比数列求和公式教学目标：1. 理解等比数列的概念和性质；2. 熟练掌握等比数列的通项公式；3. 理解等比数列求和公式的推导过程；4. 能够运用等比数列求和公式解决实际问题。
教学准备：1. 板书工具：黑板/白板、粉笔/板书笔；2. 教具：计算器、实际运用等比数列的示例题。
教学步骤：第一步：导入新知1. 引入等比数列的概念和性质：等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项都是前一项乘以同一个常数d所得到的，即an = a1 * d^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，d为公比。
2. 提问学生：你们还记得等差数列的通项公式吗？（复习等差数列的通项公式）等比数列的通项公式是什么？第二步：教授等比数列的通项公式1. 板书等比数列的通项公式：an = a1 * d^(n-1)2. 解释通项公式中的每个变量的含义：an表示第n项，a1表示首项，d表示公比。
3. 提醒学生等比数列通项公式与等差数列通项公式的区别：等差数列的通项公式中是加上公差，而等比数列的通项公式中是乘以公比。
第三步：导出等比数列求和公式1. 以示例数列为例：1, 2, 4, 8, …，让学生计算前n项的和，观察规律。
2. 引导学生思考：如何通过已知的公式an = a1 * d^(n-1) 推导出等比数列的求和公式？3. 教师给出推导的过程：先将前n项的和Sn表示为S_n = a1+ a2 + a3 + ... + an，然后将每一项an代入等比数列的通项公式an = a1 * d^(n-1)，即S_n = a1 + a1 * d + a1 * d^2 + ... + a1 *d^(n-1)，然后都乘以公比d，得到dS_n = a1 * d + a1 * d^2 + ... + a1 * d^n。
将这两个式子相减，得到(S_n - dS_n) = a1 - a1 *d^n，化简得到S_n = (a1 - a1 * d^n) / (1 - d)。
《等比数列求和》教案
《等比数列求和》教案等比数列的前n项和（第一课时）一、教材分析1.从在教材中的地位与作用来看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看,等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系, 另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备。
就知识的应用价值上来看, 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
2.从学生认知角度来看从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导.不利因素是：本节公式的推导与等差数列前项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q =1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
3.学情分析4.重点、难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用.教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用.二、目标分析1.知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力,提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
3.情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
等比数列求和教学设计
联系实际，让学生体会到等比数列在生活中的应用。
最后给学生思维拓展的空间，第一小题是等差比数列，同样是错位相减法的应用；第二题是类比等差数列的性质，让学生自己思考等比数列的性质。
例1写出等比数列
的前n项和公式并求出数列的前8项的和．
解因为 ，所以等比数列的前n项和公式为
，
故
例2求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解由
，
从第5项到第10项的和为
例3
解：
本题还有另一种解法，先通过 求出n的值，然后在通过第一个求和公式解出 .
通过这个例题，我们还会看到求和公式中共有五个量： ，如果已知其中的三个量，一定可以通过公式求出另外两个量，这就是我们常说的“知三求二”。
等比数列的前n项和
传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴,他决定要重赏西塔,西塔说：“我不要你的重赏,陛下,只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了;在棋盘的第1个格子里放1粒,在第2个格子里放2粒,在第3个格子里放4粒,在第4个格子里放8粒,依此类推,以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到放满第64个格子就行了”。区区小数,几粒麦子,这有何难，“来人”，国王命令道. 然而,一动手放起来, 国王便后悔了，发明者要求的麦粒总数是：
解根据题意可知，获知此信息的人数成首项
的等比数列则：一天内获知此信息的人数为：
所以最快33个小时全球人都知道这个消息。
练习：
1、某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？
2、一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。穷人是否应该借钱呢？
等比数列求和 教案
等比数列求和教案教案标题：等比数列求和教案教案目标：1. 学生能够理解等比数列的概念和性质。
2. 学生能够应用等比数列求和公式解决相关问题。
3. 学生能够运用等比数列求和的方法解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备白板、黑板、彩色粉笔或白板笔。
2. 教师准备教学课件或手写的等比数列求和的相关例题和习题。
3. 学生准备笔记本和铅笔。
教学步骤：引入活动：1. 教师通过提问，引导学生回顾等差数列的概念和求和公式。
2. 教师提出问题：“在现实生活中，你们遇到过哪些与等差数列不同的数列？”鼓励学生分享自己的观察和经验。
概念讲解：1. 教师介绍等比数列的概念，并给出等比数列的定义：“如果一个数列从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个非零常数r得到的，那么这个数列就是等比数列。
”2. 教师解释等比数列的性质，包括公比的概念和作用。
求和公式讲解：1. 教师引导学生观察等比数列的前几项和它们的比值。
2. 教师推导等比数列求和公式：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示等比数列的前n项和，a1表示首项，r表示公比。
例题演示：1. 教师给出一个具体的等比数列，如2，4，8，16，...，并要求学生计算前4项的和。
2. 教师引导学生应用求和公式进行计算，并解释每一步的操作。
练习与巩固：1. 教师提供一些等比数列求和的练习题，要求学生独立完成。
2. 学生互相交流并讨论解题思路，教师适时给予指导和纠正。
拓展应用：1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用等比数列求和的方法解决。
2. 学生进行思考和讨论，并给出自己的解决方案。
3. 教师引导学生分享自己的解题思路和答案，鼓励学生展示创造性思维和解决问题的能力。
总结与反思：1. 教师总结本节课的重点和要点，强调等比数列求和的方法和应用。
2. 学生进行自我评价和反思，教师给予必要的指导和鼓励。
教学延伸：1. 学生可以进一步研究等比数列的其他性质和应用，如等比中项、等比数列的乘法、等比数列的图像等。
等比数列求和公式教学设计
等比数列求和公式教学设计一、引言等比数列是数学中的一个重要的概念，学生在学习数学时必不可少。
等比数列的求和公式是数列学习中的重点之一，虽然此项内容相对简单，但是在教学中许多教师难以让学生掌握。
因此，本文将讨论如何设计一节有效的等比数列求和公式的教学。
二、教学目标1. 知道等比数列的概念及相关术语；2. 掌握等比数列的求和公式；3. 能够应用等比数列求和公式解决实际问题；4. 培养学生思考和解决问题的能力。
三、教学内容1. 等比数列的概念及相关术语（1）等比数列的定义；（2）公比的定义及性质；（3）首项、末项及通项公式的推导。
2. 等比数列的求和公式（1）初步认识等比数列求和公式；（2）推导递推公式；（3）推导通项公式；（4）推导等比数列求和公式。
3. 应用例题（1）练习等比数列的求和公式；（2）通过实际问题应用等比数列求和公式。
四、教学方法1. 探究式教学法通过实例及引导问题，引导学生探究得出等比数列的概念及公式的推导过程，培养学生思考和解决问题的能力。
2. 讲授式教学法介绍等比数列的定义及相关术语，阐述等比数列的性质及特点。
3. 组合式教学法通过应用实际问题，培养学生解决问题的思维逻辑和综合运用能力。
五、教学流程设计1. 引出问题通过一个实例引出等比数列的概念及公比的定义。
2. 探究等比数列的定义通过多个数列的对比探究等比数列的定义及相关术语。
3. 推导等比数列通项公式利用已知数列的特殊情况逐步推导出等比数列的通项公式。
4. 推导等比数列求和公式通过利用等比数列通项公式及数学归纳法，推导出等比数列求和公式。
5. 针对性例题练习通过多个例题加深学生对等比数列求和公式的认识及应用能力。
6. 综合应用结合实际问题，引导学生运用等比数列求和公式解决问题。
六、教学评价1. 教学后测试考核学生对等比数列概念及公式的掌握情况。
2. 课堂表现考察学生的课堂表现情况，如参与度、发言质量等。
3. 综合评价将平时表现与课堂成绩相结合，对学生进行综合评价。
等比数列求和教案设计
课题：等比数列的前n项和（一课时）教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。
是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是维是一个突破，另外，对于1在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、分析的能力和协作、竞争意识。
●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神,感受数学的美。
等比数列求和教学设计
等比数列求和教学设计一.教学目标1. 了解等比数列的概念与特性；2. 理解等比数列中项数的概念；3. 掌握等比数列求和公式的推导方法；4. 能够应用等比数列的求和公式解决实际问题；5. 培养学生的分析问题和解决问题的能力。
二.教学重点1. 理解等比数列中项数的概念；2. 掌握等比数列求和公式的推导方法。
四.教学方法1. 提问法；2. 演示法；3. 讨论法；4. 组织学生独立思考与解决问题。
五.教学过程Step 1 引入新知识1. 导入热身：教师可通过随机出题，向学生介绍等比数列的概念与特性，提高学生的注意力和积极性。
例如：从以下数列中选出一个等比数列：10，20，40，80，160。
请问这个数列是什么数列?2. 明确课程目标和教学重难点；3. 通过公式及实例，让学生感性理解等比数列中项数的概念和求和公式的推导方法；例如，设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则有：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。
Step 2 逐步讲解1. 对公式的推导方法进行详细阐释；例如，由若干等比数列相加得到的总和为Sn=S1+S2+...+Sn-1+Sn，则S1=a1，S2=a1q，S3=a1q^2，...，Sn-1=a1q^(n-2)，Sn=a1q^(n-1)，因此，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
2. 通过具体实例来说明如何应用等比数列求和公式解决实际问题；例如，一个等比数列的首项为10，公比为2，求该数列前10项的和。
∵Sn=a1(q^n-1)/(q-1)∴Sn=10(2^10-1)/(2-1)∴Sn=10(1023)=10230答：该数列前10项的和为10230。
Step 3 学生练习1. 小组活动让学生自行编出一个等比数列，并通过课堂口算或编程序实现求和。
2. 集体讨论与分享学生汇报计算过程、结果以及解决问题的方法。
Step 4 总结与评估1. 教师要及时总结上述所涉及的知识点和解题方法；2. 让学生完成一到两个与等比数列的求和相关的案例分析，以检验学生的理解程度；3. 针对学生的表现，进行及时的反馈与评价，以期掌握学生对该知识点的应用情况和能力。
等比数列求和 教学设计
【课题】6.3.3等比数列的前n项和公式【教学目标】知识目标：掌握等比数列的前n项和公式．能力目标：能够由等比数列的a、q、n、n a、n S中的三个已知量求出另1外的两个量．【教学重点】等比数列的前n项和公式．【教学难点】⑴前n项和公式的推导．⑵求等比数列的项数n的问题．【教学方法】演示、讲授、分组讨论．【课时安排】2课时．【教学过程】*揭示课题6．3等比数列．*创设情境兴趣导入【趣味数学问题】传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺．这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨•班•达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．*动脑思考探索新知下面来研究求等比数列前n项和的方法．等比数列{}n a 的前n 项和为.321n n a a a a S ++++= (1)由于1,n n a q a +⋅=故将(1)式的两边同时乘以q ，得2341+=+++++n n n qS a a a a a ．(2) 用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得 ()()1111111+-=-=-⋅=-n n n n q S a a a a q a q ．(3) 当1≠q 时，由(3)式得等到数列{}n a 的前n 项和公式1111-=≠-n n a q S q q()()．(6.7)知道了等比数列{}n a 中的1a 、n 和),1(≠q q ，利用公式（6.7）可以直接计算n S ．由于,11q a a q a n n n==+因此公式（6.7）还可以写成111-=≠-n n a a qS q q()．(6.8) 当1=q 时，等比数列的各项都相等，此时它的前n 项和为1na S n =．(6.9)【想一想】在等比数列{}n a 中，知道了1a 、q 、n 、n a 、n S 五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ 【注意】在求等比数列的前n 项和时，一定要判断公比q 是否为１． *巩固知识典型例题例5写出等比数列 ,27,9,3,1--的前n 项和公式并求出数列的前8项的和．解因为313,11-=-==q a ，所以等比数列的前n 项和公式为1[1(3)]1(3)1(3)4n n n S ⨯----==--，故881(3)16404S --==-．*例6一个等比数列的首项为49，末项为94，各项的和为36211，求数列的公比并判断数列是由几项组成．解设该数列由n 项组成，其公比为q ，则194a =，49n a =，21136n S =．于是9421149361qq-⋅=-, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-q q 944936)1(211，解得23q =．所以数列的通项公式为192,43n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭于是1492943n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，即,323241⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 解得5n =．故数列的公比为23，该数列共有5项．【注意】例6中求项数n 时，将等号两边化成同底数幂的形式，利用指数相等来求解．这种方法是研究等比数列问题的常用方法．现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？国王承诺奖赏的麦粒数为646419641(12)21 1.841012S -==-≈⨯-，据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×1710g ，约合7360多亿吨．这是大的让人无法想象的数．若把这些麦粒排成4m 高、10m 宽的麦墙，它将有3×108km 长，这是地球到太阳距离的80倍．，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！*运用知识强化练习练习6.3.31．求等比数列91，92，94，98，…的前10项的和． 2．已知等比数列｛n a ｝的公比为2，4S ＝１，求8S ． 3.已知等比数列{}n a 的公比为13-，4203S =，求1a ．*巩固知识典型例题 【趣味问题】设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后的厚度是多少？能否对折50次，为什么？ *理论升华整体建构 思考并回答下面的问题：等比数列的前n 项和公式是什么？结论：（1）).1(1)1(1≠--=q qq a S n n （2）).1(11≠--=q qqa a S n n*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1．已知等比数列｛n a ｝中，13226==a S ，，求3q a 与． 2．等比数列｛n a ｝的首项是6，第6项是316-，这个数列的前多少项之和是25564？ *继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．3A 组（必做）；教材习题6．3B 组（选做）(3)实践调查：运用等比数列求和公式解决现实生活中的实际问题．板书：课后记：。
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n项和
等比数列的前
一.教学目标
知识与技能目标：理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．
过程与方法目标：通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．
情感、态度与价值目标：通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.
二、教学重点、难点
重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．
难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．
三、教学流程：
四、教学过程
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【教师提问】
）能否逐一相加得结果？
）那有什么简单方法？
纵观全过程，①式两边为什。