原码一位乘法
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Zn＝2-1(Zn-1＋xy1)＝x×y
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原码一位乘法的算法
① 积的符号单独按两操作数的符号模2加（异或） 得到。用被乘数和乘数的数值部分进行运算。 ② 以乘数的最低位作为乘法判别位，若判别位为 1，则在前次部分积（初始部分积为0）上加上 被乘数，然后连同乘数一起右移一位；若判别 位为0，则在前次部分积上加0（或不加），然 后连同乘数一起右移一位。 ③ 重复第②步直到运算n次为止。（n为乘数数值 部分的长度）
第三章
运算方法与运算器
本章学习内容
• 运算器的设计方法
• 定点数的加、减、乘、除运算
• 浮点数的加、减、乘、除运算
• 十进制数的运算
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3.3 定点乘法运算
⑴ 利用乘除运算子程序实现乘除运算 基本思想：采用软件实现乘除运算。 通常是利用计算机中的加/减运算指令、 移位指令及控制类指令组成循环程序，通过在 运算器中的加法器、移位器等基本部件上的反 复加/减操作，得到运算结果。 这种方式所需硬件简单，但实现速度较 慢，主要应用在早期的小、微型机上。
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原码一位乘法的硬件实现
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• A寄存器：存放部分积高位部分，初始为0 • B寄存器：存放被乘数x • C寄存器：存放乘数y和部分积低位部分，初始为 乘数y • CR：计数器。用于记录乘法次数 运算初始时，CR＝0，每进行一次运算CR＋1，当 计数到CR＝n时，将CT清0，结束运算。 • Cj：进位位 • CT：乘法控制触发器， CT＝1，允许发出移位脉冲，进行乘法运算 CT＝0，不允许发出移位脉冲，停止乘法运算
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有问题！！！
（1）在最后一步一次完成了n个部分积的求和，而计算机 运算器很难实现一次完成多个数据的同时相加,通常 只能完成对两个数的求和。 （2）每次得到的部分积都需左移一位,最终部分积的位数 将变为乘数y位数的两倍,这将要求计算机加法器的位 数是寄存器位数的两倍，而计算机设计时加法器的位 数一般与寄存器的位数相同。
＝2-1{2-1[2-1(2-1xy4＋xy3)＋xy2]＋xy1}
＝2-1{2-1[2-1(2-1<0+xy4>＋xy3)＋xy2]＋xy1}
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根据上式，可将乘法转换为一系列加法与移位操 作。将递推公式推广到n位，得： Z0＝0 （初始部分积为0）
Z1＝2-1(Z0＋xyn)
Z2＝2-1(Z1＋xyn-1)
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原码一位乘法的运算流程
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课后延伸
编写一个程序计算1234567890×12345678990，
将结果输出。
提示：大数相乘过程中会超过计算机中整型数
据的表示范围，因此必须利用本次学习的乘法 运算过程借助于字符串实现。
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⑵采用乘除运算部件实现乘除运算 基本思想：在加法器的基础上增加左、右 移位及计数器等逻辑线路构成乘除运算部 件来实现乘除运算。 设置有乘除运算指令，用户只需执行 乘除指令即可进行乘除运算。 实现乘除运算的速度比上一种方式快， 但需要根据一定的乘除算法构建乘除运算 部件，所需的硬件线路较复杂。
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现象：
（1）每个部分积的值是由乘数y对应位的数值决定的。
当乘数对应位数值为1时部分积取值为被乘数x，
当乘数对应位数值为0时部分积取值为全0。
（2）各相加数从乘数的最低位到最高位，逐位求取， 并将求得的各相加数逐个左移一位，最后一步一 次求和。 （3）两个n位数相乘得8位乘积，共n个部分积需2n位 加法器相加。
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⑶ 利用专用阵列乘除运算器实现乘除运算
基本思想：将多个加减运算部件排成乘除
运算阵列，依靠硬件资源的重复设置，同
时进行多位乘除运算的乘除运算，从而赢
得乘除运算的高速度。
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采用乘除运算部件实现乘除运算
• 定点乘法运算 原码乘法运算 补码乘法运算 • 定点除法运算 原码除法运算 补码除法运算
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例3.8：x＝0.1101，y＝0.1011 求x×y＝?
0.1101 × 0.1011 1101 1101 0000 1101 0.10001111
∵ y4＝1 ∴ 得部分积为 x ∵ y3＝1 ∴ 得部分积为 x ∵ y2＝0 ∴ 得部分积为 0 ∵ y1＝1 ∴ 得部分积为 x 将所有部分积相加，得到最后的乘积
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问题回顾
（1）在最后一步一次完成了n个部分积的求和，而计算机 运算器很难实现一次完成多个数据的同时相加,通常 只能完成对两个数的求和。 （2）每次得到的部分积都需左移一位,最终部分积的位数 将变为乘数y位数的两倍,这将要求计算机加法器的位 数是寄存器位数的两倍，而计算机设计时加法器的位 数一般与寄存器的位数相同。
（3）部分积取被乘数x的值还是取零值是由乘数对应位上 的取值为1还是0决定的,乘数y每一位的值是0还是1都 能直接看见。而在计算机内从存放乘数的寄存器中逐 位取出每一位来判别该位值是0还是1来决定相加数的 值是不方便的。
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问题解决啦！！！
（1）设初始部分积的值为0，每求得一个部分积，就同时 与上一次部分积相加，每次运算器都是完成两个数据 的加法，最终可得到结果。 （2）将每次的部分积左移一位操作变为加法之前部分积 右移一位来实现，因为前一次部分积的最低位是不参 与相加计算的，将右移操作移出位用专门的寄存器来 保存。 （3）每求一次部分积时，使存放乘数y的寄存器执行一次 右移操作，这样每次就从寄存器的最低位直接取值就 可以了。
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一位原码乘法运算
x×y＝x×0.y1y2y3y4 ＝x×(2-1y1＋2-2y2＋2-3y3＋2-4y4)
＝2-1xy1＋2-2xy2＋2-3xy3＋2-4xy4
＝2-1{2-3xy4＋2-2xy3＋2-1xy2＋xy1}
＝2-1{2-1[2-2xy4＋2-1xy3＋xy2]＋xy1}
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例3.9 根据原码一位乘法的算法计算例3.8。 解：[x]原＝0.1101，[y]原＝1.1011， 乘积 [z]原＝[x×y]原 ① 符号位单独处理得 zf＝0⊕1＝1 ② 将被乘数和乘数的绝对值的数值部分相乘。 [|x|]原＝0.1101 [|y|]原＝0.1011
原码一位乘法计算演示动画 数值部分为4位，共需运算4次。 得：|x×y|＝0.10001111 加上符号部分得：[x×y]原＝1.10001111 即：x×y＝－0.10001111
（3）部分积取被乘数x的值还是取零值是由乘数对应位上 的取值为1还是0决定的,乘数y每一位的值是0还是1都 能直接看见。而在计算机内从存放乘数的寄存器中逐 位取出每一位来判别该位值是0还是1来决定相加数的 值是不方便的。
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3.3.1
原码乘法运算
在定点机中，两个数的原码乘法运算包括： (1)乘积的符号处理 (2)两数绝对值相乘 设 [x]原＝xf.x1x2…xn [y]原＝yf.y1y2…yn [Z]原＝[x]原×[y]原＝zf.z1z2…zn 符号处理： 根据“同号相乘，乘积为正；异号相乘，乘积为 负”，得符号运算的表达式为 zf＝xf⊕yf。
Zn＝2-1(Zn-1＋xy1)＝x×y
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原码一位乘法的算法
① 积的符号单独按两操作数的符号模2加（异或） 得到。用被乘数和乘数的数值部分进行运算。 ② 以乘数的最低位作为乘法判别位，若判别位为 1，则在前次部分积（初始部分积为0）上加上 被乘数，然后连同乘数一起右移一位；若判别 位为0，则在前次部分积上加0（或不加），然 后连同乘数一起右移一位。 ③ 重复第②步直到运算n次为止。（n为乘数数值 部分的长度）
第三章
运算方法与运算器
本章学习内容
• 运算器的设计方法
• 定点数的加、减、乘、除运算
• 浮点数的加、减、乘、除运算
• 十进制数的运算
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3.3 定点乘法运算
⑴ 利用乘除运算子程序实现乘除运算 基本思想：采用软件实现乘除运算。 通常是利用计算机中的加/减运算指令、 移位指令及控制类指令组成循环程序，通过在 运算器中的加法器、移位器等基本部件上的反 复加/减操作，得到运算结果。 这种方式所需硬件简单，但实现速度较 慢，主要应用在早期的小、微型机上。
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原码一位乘法的硬件实现
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• A寄存器：存放部分积高位部分，初始为0 • B寄存器：存放被乘数x • C寄存器：存放乘数y和部分积低位部分，初始为 乘数y • CR：计数器。用于记录乘法次数 运算初始时，CR＝0，每进行一次运算CR＋1，当 计数到CR＝n时，将CT清0，结束运算。 • Cj：进位位 • CT：乘法控制触发器， CT＝1，允许发出移位脉冲，进行乘法运算 CT＝0，不允许发出移位脉冲，停止乘法运算
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有问题！！！
（1）在最后一步一次完成了n个部分积的求和，而计算机 运算器很难实现一次完成多个数据的同时相加,通常 只能完成对两个数的求和。 （2）每次得到的部分积都需左移一位,最终部分积的位数 将变为乘数y位数的两倍,这将要求计算机加法器的位 数是寄存器位数的两倍，而计算机设计时加法器的位 数一般与寄存器的位数相同。
＝2-1{2-1[2-1(2-1xy4＋xy3)＋xy2]＋xy1}
＝2-1{2-1[2-1(2-1<0+xy4>＋xy3)＋xy2]＋xy1}
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根据上式，可将乘法转换为一系列加法与移位操 作。将递推公式推广到n位，得： Z0＝0 （初始部分积为0）
Z1＝2-1(Z0＋xyn)
Z2＝2-1(Z1＋xyn-1)
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原码一位乘法的运算流程
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课后延伸
编写一个程序计算1234567890×12345678990，
将结果输出。
提示：大数相乘过程中会超过计算机中整型数
据的表示范围，因此必须利用本次学习的乘法 运算过程借助于字符串实现。
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⑵采用乘除运算部件实现乘除运算 基本思想：在加法器的基础上增加左、右 移位及计数器等逻辑线路构成乘除运算部 件来实现乘除运算。 设置有乘除运算指令，用户只需执行 乘除指令即可进行乘除运算。 实现乘除运算的速度比上一种方式快， 但需要根据一定的乘除算法构建乘除运算 部件，所需的硬件线路较复杂。
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现象：
（1）每个部分积的值是由乘数y对应位的数值决定的。
当乘数对应位数值为1时部分积取值为被乘数x，
当乘数对应位数值为0时部分积取值为全0。
（2）各相加数从乘数的最低位到最高位，逐位求取， 并将求得的各相加数逐个左移一位，最后一步一 次求和。 （3）两个n位数相乘得8位乘积，共n个部分积需2n位 加法器相加。
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⑶ 利用专用阵列乘除运算器实现乘除运算
基本思想：将多个加减运算部件排成乘除
运算阵列，依靠硬件资源的重复设置，同
时进行多位乘除运算的乘除运算，从而赢
得乘除运算的高速度。
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• 定点乘法运算 原码乘法运算 补码乘法运算 • 定点除法运算 原码除法运算 补码除法运算
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例3.8：x＝0.1101，y＝0.1011 求x×y＝?
0.1101 × 0.1011 1101 1101 0000 1101 0.10001111
∵ y4＝1 ∴ 得部分积为 x ∵ y3＝1 ∴ 得部分积为 x ∵ y2＝0 ∴ 得部分积为 0 ∵ y1＝1 ∴ 得部分积为 x 将所有部分积相加，得到最后的乘积
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问题回顾
（1）在最后一步一次完成了n个部分积的求和，而计算机 运算器很难实现一次完成多个数据的同时相加,通常 只能完成对两个数的求和。 （2）每次得到的部分积都需左移一位,最终部分积的位数 将变为乘数y位数的两倍,这将要求计算机加法器的位 数是寄存器位数的两倍，而计算机设计时加法器的位 数一般与寄存器的位数相同。
（3）部分积取被乘数x的值还是取零值是由乘数对应位上 的取值为1还是0决定的,乘数y每一位的值是0还是1都 能直接看见。而在计算机内从存放乘数的寄存器中逐 位取出每一位来判别该位值是0还是1来决定相加数的 值是不方便的。
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问题解决啦！！！
（1）设初始部分积的值为0，每求得一个部分积，就同时 与上一次部分积相加，每次运算器都是完成两个数据 的加法，最终可得到结果。 （2）将每次的部分积左移一位操作变为加法之前部分积 右移一位来实现，因为前一次部分积的最低位是不参 与相加计算的，将右移操作移出位用专门的寄存器来 保存。 （3）每求一次部分积时，使存放乘数y的寄存器执行一次 右移操作，这样每次就从寄存器的最低位直接取值就 可以了。
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一位原码乘法运算
x×y＝x×0.y1y2y3y4 ＝x×(2-1y1＋2-2y2＋2-3y3＋2-4y4)
＝2-1xy1＋2-2xy2＋2-3xy3＋2-4xy4
＝2-1{2-3xy4＋2-2xy3＋2-1xy2＋xy1}
＝2-1{2-1[2-2xy4＋2-1xy3＋xy2]＋xy1}
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例3.9 根据原码一位乘法的算法计算例3.8。 解：[x]原＝0.1101，[y]原＝1.1011， 乘积 [z]原＝[x×y]原 ① 符号位单独处理得 zf＝0⊕1＝1 ② 将被乘数和乘数的绝对值的数值部分相乘。 [|x|]原＝0.1101 [|y|]原＝0.1011
原码一位乘法计算演示动画 数值部分为4位，共需运算4次。 得：|x×y|＝0.10001111 加上符号部分得：[x×y]原＝1.10001111 即：x×y＝－0.10001111
（3）部分积取被乘数x的值还是取零值是由乘数对应位上 的取值为1还是0决定的,乘数y每一位的值是0还是1都 能直接看见。而在计算机内从存放乘数的寄存器中逐 位取出每一位来判别该位值是0还是1来决定相加数的 值是不方便的。
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3.3.1
原码乘法运算
在定点机中，两个数的原码乘法运算包括： (1)乘积的符号处理 (2)两数绝对值相乘 设 [x]原＝xf.x1x2…xn [y]原＝yf.y1y2…yn [Z]原＝[x]原×[y]原＝zf.z1z2…zn 符号处理： 根据“同号相乘，乘积为正；异号相乘，乘积为 负”，得符号运算的表达式为 zf＝xf⊕yf。