利用轴对称模型求线段和的最小值
最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题
最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42，有这样一个问题：这种模型就是著名的“将军饮马”问题：解决方法如上面图（2），作点B（点A也行）关于直线l的对称点B′,连接A B′交直线l于点C，则点C就是要找的使输气管道最短的位置。
其原理就是“三角形任意两边之和大于第三边”(北师大版七下第五章1 23页第5题类似)。
求两线段之和最小是最值问题中很基本的一个模型，一般已知两定点一动点，动点在某条定线上，两定点在定线同侧。
求解步骤为：①利用轴对称作其中任一定点关于定线的对称点；②连接对称点和另外一个定点，交定直线于某点，此点即为所求；③利用勾股定理等知识求解算出答案。
这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN 的最小值。
这时需平移BN（或AM），转化为求解决，如下图所示．平移NB至MB＇转化为轴对称模型本文讲练结合，对线段和最小值问题的原理、常见题型及解法思路层层剖析，后面附有练习题和配套答案，力求能使大家熟练掌握这种求最值的方法。
【典例】1、如下图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
解析：如下图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥B C，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得DC′=√5，故答案为：√5.2、如下图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.解析：因为BQ是定值，所以求△PBQ周长的最小值就是在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小即可，依然是标准的轴对称模型，如果你能这样考虑，恭喜你答对了，下面就按照此类模型的标准解法做就行了。
初中数学中的最值问题
上面例题中的两种解法虽说设法不同，但都离不开基本不等
式 a+b≥2 姨ab 的应用。 三、利用圆中弦心距的性质
经过一点的弦中，弦心距越大，弦长越小，
弓形面积越小；弦心距越小，弦长越大，弓形面
B
A'
P
B'
积越大。求弓形面积的最值。
Q
例 4：如图 7，在半径为 2 的圆中，圆内的 A
O窑
一点 P 到圆心 O 的距离为 1，过 P 点的弦 AB
形中的弦心距、一元二次方程中根的判别式等特征的认识，能让
学生开拓思维，提高分析能力，找到适当的切入点，激发他们对探
索数学的向往和追求。
（江苏省苏州市吴江区松陵第一中学校）
86 [ 2014.4 ]
分析与解法：如图 5，设 S△OAB=a，S△OCD=b，因为高相同的两个
三角形的面积之比等于底之比S△OAD S△OCD
，∴
a 25
=
9 b
，
∴ab=225，∴a+b≥2 姨ab =2 姨225 =30，∴ 凸四边形 ABCD 面积 的最小值是 9+25+30＝64。
中点，点 P 是半径 ON 上的动点，若圆 O 的半径为 2，则 AP+BP 的 最小值是 ____。
窑A窑B
A
窑 O窑窑P 窑N
O
B
D
A
FD
O
E
CB
C
图4
图5
图6
分析与解：根据基本模型，先找出其中一个定点关于定直线
的对称点，然后该对称点与另一定点的连线与定直线的交点就是
所要确定的点，这样问题就解决了。由题 意知：∠AON=60O，
. A析l与l解R：根ig据h基t本s模R型e，点 seCr、点veEd是.定点，点 P 是动点，而 C 点关
用轴对称知识求线段和的最小值
浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。
我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。
在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。
要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。
B1证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。
求这个最小值。
解：作出A1B（作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米，即PA+PB的最小值为42千米。
A1 Array2、如图（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。
解：如图（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x轴于点M，则M点即为所求。
点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。
初中数学中利用轴对称性求最值问题例析_王水友
段两端的距离相等知，PA＝PD，所以求 PC＋PD 的最
小值就转化为求 PC＋PA 的最小值，即求 AC 的长度
即可。
例 2 已知抛物线
y
y =ax2 + c 经 过 A （0，1）， P（2姨 3 ，-3）。
（1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 并 判 定 C（ 姨 3 ，0） 是否在此抛物线上；
A
D
C
O
x
M
P
（2） 点 M 是 抛 物 线
对称轴上的动点，连 MP、MC，试 求△PCM 周 长 的 最
小值。
【分析】 此题第二问是二次函数中利用轴对称
性求三角形周长的最小值问题 。由于 PC 的长度 保
持不变，要使△PCM 的周长最小，只要使 CM+MP的
值最小即可，这样问题就转化成例 1 的类型。
和点 B（2，1）。 （1） 求 此 抛 物 线 解
析式； （2） 点 C、D 分别是
x 轴和 y 轴上的动点， 求 四 边 形 ABCD 的 周 长的最小值。
y A′（-1，3）
D
A（1，3）
B（2，1）
E
C
x
B′（2，-1）
（3） 过 点 B 作 x 轴 的 垂 线 ，垂 足 为 E 点 ，点 P
A
N
B 线 时 ，BN′ 的 长 就 是 BM + MN 的 最 小 值 ，而 BN′大 于
或等于 BH，所以 BH 的长就是 BM+MN 的最小值，
容易算出 BH=4。
（五） 两动两定型
已知两定点，分别在两条直线上找两点，使这
两点与已知两定点构成的四边形周长最小。
例 7 已知抛物线 y=ax2+bx+1 经过点 A（1，3），
与轴对称相关的线段之和最短问题
与轴对称相关的线段之和最短问题在中考复习课中，有一种题型我们不可避免地要帮学生复习，即求：某种情节下的最短距离、最短路线；以何种情况下由3点围成的三角形、由4点围成的四边形的周长最小，等等。
试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的。
当这类题目呈现在学生面前时，学生的感觉往往是一个字——难，不善于做这类题。
现以“用轴对称知识解决最值问题”的题组为例，通过几个强有力的数学模型，例说相关中考试题的解决方法，供老师们参考。
一、基本模型【数学模型1】：已知一条直线l与这条直线同侧的两点A、B，如图（1），在直线上找出一点P，使得这点与已知两点的距离和PA+PB最短。
作为题组的“基石”，中考复习时，我们重在让学生明白相关的解题策略。
如何解决线段的和的最短的问题？我们需要寻求和其中一条线段长度相等的线段，充分利用轴对称的有关性质，从而将线段的和最短转化为线段最短的问题。
让学生记住这个模型，并理解其中相关的数学原理，从而利用这个基本模型，轻松解决“最短”问题，这才是我们的最终目的。
二、变式模型通过基本问题结构的局部灵活重组，或者结论的拓展延伸，或者与其他问题的有机组合，加深学生对相关知识的理解，同时强化策略及思想等高层次的能力。
拓展延伸型问题也可以通过设问方式的改变，丰富问题设计的立意及内涵。
【数学模型2】：已知两条平行直线l1，l2及位于这两条直线上的两点A、B（线段AB与直线l1，l2不垂直），如图（3），分别在这两条直线上找出两点N、M，使得路径A-M-N-B最短。
解决方法：如图（3），分别作出A、B两点关于直线l2，l1的对称点A′、B′，连接 A′B′，分别交直线l2，l1于点M、N，有轴对称的有关性质，则路径A-M-N-B的长度就是线段A B′的长度，最短。
对比图（4），折线A-M-N-B的长度不是最短。
从一条定直线上的一个动点到分布在两条直线上的两个动点，孤立地看，变量增多（AM、MN、NB），问题较模型1复杂。
线段和的最小值问题
143最值问题——用轴对称解决线段和的最小值问题一：【情景引入】如图：要在河边修建一个水泵站,分别向张村A 和李庄B 送水,问水泵站应修建在河边的什么地方,可使使用的水管最短?图①图②二：【精选例题】 如图：在正方形ABCD 中, E 在BC 上, 且 BE=2, CE=1, 点P 在线段BD 上运动, 求PE+PC 的最小值为多少？三：【巩固练习】1、如下图：E 在菱形ABCD 中，∠DAB=120°,E 为DC 中点，点O 是BD 上一动点，若AB=2，则PE+PC 的最小值是___________________A B2、如右上图：⊙O 的半径为1, 点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点， 点P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为_________________________．1443、若抛物线y= x 2 + bx + c 与x 轴交于A (1, 0 ) 、B (3, 0 ) 两点．①求出抛物线的解析式。
②设此抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小?若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．四：拓展与提高已知在平面直角坐标系xoy 中，A 、B 两点的坐标分别为A(2,-3)、B(4,-1).①若P (x,0 )是x 轴上的一个动点, 则当x 为何值时,△PAB 的周长最短？②设M 、N 分别为x 轴和y 轴上的动点, 请问:是否存在这样的点M(m,0)、N(0,n), 使四边形 ABMN 的周长最短? 若存在, 求出m 、n 的值；若不存在,说明理由。
③若C (a , 0 )、D (a+3 , 0 )是x 轴上的两个动点, 则当a 为何值 时,四边形ABDC 的周长最短；。
「初中数学」利用对称求线段和最值
「初中数学」利用对称求线段和最值用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系或两点之间线段最短解决问题，即化折为直。
常见的类型笔者归纳为五种：即两定一动型，一定两动型，两定两动型，两定滑动型（架桥），三动型等类型一：两定一动型【模型介绍】已知直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P，使得PA+PB最小。
作法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B，与直线l的交点就是点P，线段A'B的长度即为最小值。
验证：如图，AQ+BQ=A'Q+BQ>A'B【例1】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AB=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是__________.【分析】这是两定一动模型，需要作一个定点关于动点所在直线的对称点，根据本题图形特征，B点关于AC的对称点恰好是C点，连接CE，CE即为所求的最小值。
【答案】10【例2】如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（5，5），P是x轴上一动点，当PA+PB值最小时，求点P坐标【分析】这是两定一动模型，作A点关于x轴的对称点A'，A'B 与x轴的交点即为P，P点坐标可以用直线解析式或勾股定理求，初三学生也可用相似。
【答案】P（2.5，0）类型二：一定两动型【模型介绍】已知，在∠AOB内有一点M，在边OA,OB上分别找点P,Q，使MP+MQ+PQ最小。
作法：作M关于OA的对称点M‘，关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时则MP+MP+PQ的值最小，最小值即为线段M'M''的长。
验证: 如图，OA上取一点P',OB上取一点Q'，连接M'P',M''Q',则MP'+MQ'+P'Q'=M'P'+M''Q'+P'Q'>M'M''(两点之间线段最短)【例3】五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN周长的最小值为____.【分析】这是一定两动模型，作点A关于BC的对称点A’，关于ED的对称点A''，连接A'A''，交BC于M，交ED于N，此时△AMN 的周长最小，最小值即为A'A''的长。
巧用轴对称性解决线段和最小值问题
．
０， ，
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
（） ａ
（） ｂ
１ ２ 实践运 用 ．
如题（ ） ， ｃ 图 已知 ６Ｏ的直径 Ｃ 为 ４ 弧 Ａ ３ Ｄ ， Ｄ的度 数为 ６ 。点 是弧 Ａ 的 中点 ， 直径 Ｃ ０， Ｄ 在 Ｄ上找 一点 Ｐ使 ＋ Ｐ的值最小 ， ， Ａ 并求 Ｂ Ａ Ｐ＋ Ｐ的最小值
其光路 图． 分 析 ： 题 的 实 质 就 是 镜 本 面反射原 理． 解 ： 点 Ａ关 于 ＭＮ 的对 称 点 Ａ ， 结 Ａ 交 作 连 Ｂ， ＭＮ于点 Ｐ， 连结 Ａ Ｂ ． Ｐ、Ｐ １ 有一 圆柱形 食 品 盒 ， 的高 ． 它 等 于 ４Ｔｍ， 面 直 径 为 １ｃ 蚂 叮 ｃ 底 ６ ｍ， 蚁爬行 的 速度 为 ２ ｍ ｓ 如 果 在 盒 ｃ ／． 外下底 面 的 处 有 一只 蚂蚁 ， 它想 吃到盒 内对 面中部点 Ｂ处 的食 物 ， Ａ
理 中重要 的作 图之一． 其 实数学 问题 中的线段 和的最小值 问题 等价于 物理问题 中的光 的传播 问题 ： 问题 １ 如 图 ， 、 ： Ａ Ｂ在 直 线 ｆ 两侧 ， Ｚ 找 一 点 ， 得 Ｐ到 在 上 使 Ａ、 的距 离之 和最短 ， 何作 出 如 点 Ｐ？ 答： 连结 Ａ Ｂ交 Ｚ Ｐ， Ｐ为所求 点． 于 则 结论一 ： 两点 在 直 线 两 侧 时 （ 在 均 匀介 质 当 光 传播 ） 直接利用 两点之 间线 段最 短 （ 的直 线传 播 ， 光 原理 ）连 结线段 即可． ， 问题 ２ 如 图 ， 在 直 ： Ａ、 线￡ 同侧 ， Ｚ 找 一点 ， 在 上 使 得 Ｐ到 Ａ、 的 距 离 之 和最 Ｂ 短， 如何作 出点 Ｐ ？ 答 ： Ａ关 于 ｆ 对 称 作 的 点 Ａ， 连结 Ｂ Ｚ Ｐ Ａ交 于 ．
图形的轴对称与最小值问题教案
4.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，求PK+QK的最小值.
5.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和
对相关知识整合应用，尝试数学模型的魅力，提升学生思维高度.
学生自主小结，适当引导，知识应用模型化.
A B
NA
A B
a aM
二、合作探究
1.如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，求PE+PC的最小值.
2．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，求△PMN周长的最小值.
点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，求∠AOB的度数.
6.如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值．
三、拓展迁移
如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），求四边形AEPQ的周长的最小值，及此时四边形AEPQ的面积.
教案
课题：图形的轴对称与最小值问题
设计意图
教学目标：
1.巩固轴对称及轴对称图形的概念.
2.巩固轴对称的性质.
3.探索利用轴对称解决线段之和的最小值问题．
4.尝试构建“利用轴对称解决线段之和的最小值问题”的数学模型.
八年级数学利用轴对称求线段和最小或差最大最值问题(含答案)
利用轴对称求线段和最小或差最大最值问题1.已知A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥MN，使从A到B的路径AM-MN-NB 最短，则应按照下列哪种方式来建造（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）( )A. B.C. D.答案：D解题思路：2.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB 的值最小时，点P的坐标为( )A. B.C.（1，0）D.（5，0）答案：B解题思路：3.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( )A. B. C.（2，0） D.（3，0）答案：B解题思路：4.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( )A. B.1 C.2 D.答案：A解题思路：5.如图，两点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=6，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值为( )A. B. C. D.答案：C解题思路：6.如图，已知两点A，B在直线的异侧，A到直线的距离AC=6，B到直线的距离BD=2，CD=3，点P在直线上运动，则的最大值为( )A. B.3 C.1 D.5答案：D解题思路：7.如图，已知两点A，B在直线的异侧，A到直线的距离AC=5，B到直线的距离BD=2，DC=4，点P在直线上运动，则的最大值为( )A.1B.5C.3D.2答案：B解题思路：8.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，-4），在x轴上有一点P，当的值最大时，点P的坐标是( )A. B.（-1，0）C.（0，0）D.（3，0）答案：B解题思路：。
求线段和最小值三例
点，当 ＣＰ＝
时，△ＡＰＥ 的周长最小．
ＣＥ，得到 ＥＣ＝ＥＦ，因 此 ＥＣ＋ＥＤ＝ＥＦ＋ＥＤ ＝ＦＤ．在 Ｒｔ△ＢＤＦ 中，利 用 勾 股 定 理，可 得
ＦＤ＝槡５．
二、直 线 外 一 点 与 直 线 上 各 点 的 连 线 中，
垂线段最短
例３ 如图 ５，在锐角 △ＡＢＣ 中，ＡＢ＝
４槡２，∠ＢＡＣ＝４５°，∠ＢＡＣ 的 平 分 线 交ＢＣ 于
思路与方法
江 苏 省 姜 堰 市 励 才 实 验 学 校 （２２５５００） 张 宇 石
在几何问题中，有一类求线段和最小 值 的 问 题 ，本 文 试 举 三 例 ．
一 、利 用 轴 对 称 求 线 段 之 和 最 短
例１ 如图１，矩 形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝４，
ＢＣ＝８，Ｅ 为 ＣＤ 的 中 点，点 Ｐ 为 ＢＣ 上 的 动
∴ ＢＨ ＝ＡＢ·ｓｉｎ４５°＝４， ∴ ＢＭ ＋ＭＮ 的 最 小 值 是ＢＭ′＋Ｍ′Ｎ′ ＝ＢＭ′＋Ｍ′Ｈ ＝ＢＨ＝４． 点评 解 此 题 是 受 ４５°和 角 平 分 线 启 发， 分别构造直角三角形和利用角平分线 定 理，把 ＢＭ＋ＭＮ 进 行 转 化，把 两 条 线 段 的 和 的 最 小 值转化为点到直线的距离．构造和转化 法 是 解 题中常用的一种方法，对于最值的求解 是 考 查 的重点也是难点．
图５
图６
解 如图６，作 ＢＨ⊥ＡＣ，垂足为 Ｈ，交 ＡＤ 于 Ｍ′点，过 Ｍ′点作 Ｍ′Ｎ′⊥ＡＢ，垂足为 Ｎ′，
则线段 ＢＨ 的长为所求的最小值． 因为∠ＢＡＣ 的平分线交ＢＣ 于点Ｄ， 由角平分线性质可知，Ｍ′Ｈ ＝Ｍ′Ｎ′， 当 ＢＨ 是点Ｂ 到直线ＡＣ 的距离时（垂线 段 最 短 ），
∵ ＡＢ＝４槡２，∠ＢＡＣ＝４５°，
利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题
利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题韶关市一中实验学校李仙群一、教学内容和内容解析1.教学内容利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题2.内容解析从近几年的中考来看，线段和的最小值问题经常出现在各省市的中考题中，问题常以二次函数、反比例函数、正方形、矩形、菱形等图形为背景，让学生求两条线段和的最小值、三条线段和（三角形周长）的最小值、四条线段和（四边形周长）的最小值等，这些问题中又以二次函数背景下求两条线段和的最小值、三条线段和（三角形周长）的最小值最为常见．从题型来看，线段和最小值问题涉及选择题、填空题、解答题，其中选择题、填空题通常以正方形、矩形、菱形为背景求线段和的最小值，且题目有一定难度。
以二次函数或几种图形组合为背景的线段和的最小值问题都出现在解答题，大部分都是以较难题、难题出现，是学生中考中不易答出的部分．从考察的数学思想方法看，线段和的最小值问题往往需要学生灵活利用轴对称将线段和最小值问题转为“两点之间，线段最短”问题（本课时主要解决这类问题），再结合相似、勾股定理等知识求出相应点的坐标及最小值。
从学生的知识掌握程度看，九下学生已经学完了初中所有新课内容，经过了一轮基础知识的复习，对解决此类题型的知识源，如两点之间，线段最短；利用轴对称求最短路径；几何转化为代数解法，如利用一次函数、反比例函数增减性、二次函数的最值问题等知识，掌握了这些知识源的一些用法，会利用这些知识源把动态问题转化为静态问题，实现问题的转化与解决．基于以上分析，本课时的重点是研究利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题．二、教学目标和目标解析1.教学目标能利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题，体会图形转化在求最值问题中的作用，感悟转化思想．2.目标解析达成目标的标志是：学生能通过画图等方式，说出如何将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求值为最小值；在探索线段和的最小值过程中，体会轴对称的转化作用，感悟数学的转化思想．三、教学问题诊断分析经历学习新人教版八上《13.4最短路径问题》及初三第一轮基础知识复习，学生对“当点A，B在直线l的同侧时，通过做轴对称，在直线l上找一点C，使AC与BC的和最小”这类问题有了一定的认知，但在二次函数等较复杂的情境下如何将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”的问题过程中，该做哪个点关于哪条直线对称，哪个点做对称更方面计算和求解等问题，学生在理解和操作上存在着许多困难，甚至很多学生想不到，困在转化之前．基于以上分析，本课时的难点是如何利用轴对称将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题．四、教学过程设计图五、教学过程设计中考涉及很多以二次函数、反比例函数、正方形、矩形、菱形、三角形等为背景求两条线段和的最小值、三角形周长的最小值、四边形周长的最小值的问题，这些问题都可以归结为求线段和的最小值问题，要解决这些问题都需要利用轴对称将这些问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，并结合勾股定理、三角形全等、三角形相似、二次函数等知识求出最小值。
[整理]“求两线段长度之和的最小值”问题全解析.
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“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD ＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN ＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以, 所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E 的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E 的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
用图形的对称性求线段和的最小值
图６
Ｃ关于 Ｅ耐 称 ，所 以ＡＭ ＝ＣＭ，所 以Ａ ４－ＢＭ ＝ＣＭ ＋ＢＭ ＝ＢＣ．所 以当Ｐ在
鍪塑 堡Ｉ
ｊｌ￣，ｉｌ、㈨、～，接 ｌ５栏
点 时，ＡＰ＋ ：ＢＣ，此 时和 最小．连 结ＯＢ，ＯＣ，易得 ／＿＿ＢＯＣ＝９０￣，由勾股
定理得ＢＣ＝、／ ，．．．ＡＰ＋ 的最 小值 为 、／ ． 七 、用 抛物 线 的轴对 称 性
，
‘
…
一
④ …
—
二 、用 等腰 三 角形 的轴 对 称性
鍪塑堂 堡＿
Ｉｔｉ１ Ｊ＼Ｉ｝１～ ／技 巧栏 ．
例２ 如 图２， 己知 在 ＡＡＢＣ中 ，ＡＣ＝ＢＣ＝２， Ａ
ＡＡＣＢ：９０。，Ｄ是ＢＣ边 上 的 中点 ，Ｅ是 ＡＢ边 上 的
一 动点 ，￣ＪＪＥＣ＋ＥＤ 的最 小值 是一
点之 间线 段最 短知 ，当Ｅ 、Ｐ、Ｃ在 同一条 直 线上 时 ，艘 ＋Ｐｃ的值 最 小 ，其
值 为 、／百 ． 五 、用 矩 形 的轴 对 称性 例 ５ 如 图５，矩 形ＡＢＣＤ中 ，ＡＢ：２０厘 米 ，
ＢＣ：１０厘米 ，若 在ＡＣ、ＡＢ上 各 取 一 点 、Ⅳ，使
得ＭＢ＋ＭＮ的值 最 小 ，求这 个最 小值 ．
显然等于Ｂ￣：ＩＪＡＢ 的距离ＢＨ．连￣Ｊ ｄＢＰ，则ｓ ： ×２０×１０＝ｌＯ０（ｃｍ２），设
ＡＰ＝ ，￣ＪＪＰＣ＝ ，ＤＰ＝２０一 ．由 ＝１０２＋（２Ｏ— ） ，角翠得 ＝ＡＰ＝１２．５．
·．。 ．ｓ ＝吉．ＡＰ‘明：ｌｏｏ＇－Ｉ．ＢＨ＝ ：１６（ｃｍ）所以 ＋删
的值 最 小值 为 １６ｃｍ．
Ｃ Ｅ
ＢＤ上 求 一 点Ｆ，使ＥＦ＋ＦＣ最 短．
图 １
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利用轴对称模型求线段和的最小值
近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。
学习目标：知识目标：掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模 型，解决实际问题。
能力目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，
进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。
情感目标：通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学
的能力。
引例：例：如图(1)，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。
分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。
首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。
因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。
解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。
（1）A
B
A
总结：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 交直线l 于点C ，那么点C 就是所求作的点。
轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。
以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。
例1. 如图4，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是________。
图4
分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E 、B 在直线AC 的同侧，要在AC 上找一点P ，使PE+PB 最小，关键是找出点B 或E 关于AC 的对称点。
如图6，由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称，连结DE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值，
图5 图6
由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知，
3
22
3DE =⨯=
故PE+PB 的最小值为
3。
跟踪练习1： 如图7，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径
ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为_______________。
图7
跟踪练习2. 如图8，正三角形ABC 的边长为2，M 是BC 边上的中点，P 是AC 边上的一个动点，求PB+PM 的最小值.
M
图8
例2. 如图9，抛物线c bx x y 2
++=与
x 轴交于)0,1(A -、)0,3(B 两点。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）设（1）中的抛物线交y 轴于点C ，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得QAC
∆的周长最小？如果存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
图9
重点分析第（2）问，要使△QAC 的周长最小即AC+CQ+QA 最小，由于AC 长度一定，故只要CQ+QA 最小时，周长最小。
设抛物线的对称轴为直线MN ，则可分解出图形，构建模型，要在直
线MN 上找点Q ，使CQ+QA 最小。
由抛物线的对称性可知，点A 、点B 关于直线MN 对称，连结BC 交MN 于点Q ，只要找出点Q 的位置，其坐标不难求得。
跟踪练习3:点A 的坐标为（0，2）点，点B 是半径为2的⊙B 的圆心，点B 的坐标为（4，2），请你探索在x 轴上是否存在一个点C 以及在⊙B 上是否存在一个点D ，使得AC+CD 最小，若存在，请你在图中作出点C 和点D ，并求出点C 、D 的坐标和AC+CD 的最小值；若不存在请说明理由。
跟踪练习4：如图10，抛物线2
3
y x =-
-
+交x 轴于A 、B 两
点，交y 轴于点Ｃ，顶点为D ． （1）求A 、B 、C 的坐标．
（2）把△ABC 绕AB 的中点M 旋转180 ，得到四边形AEBC ： ①求E 点坐标．②试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由．
（3）试探索：在直线BC 上是否存在一点P ，使得△PAD 的周长最小，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 学生总结： 分层作业：
A 组：1、如图11，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD 的最小值为_____________。
图11
2、如图12， 在锐角△ABC 中， AB=，∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分
别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___________.
图12
B 组：1、如图，在直角坐标系中，A ，B ，
C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，
D 为直线l 上的一个动点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标；
(3)以点A 为圆心，以AD 为半径作圆A ； ①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与圆A 相切； ②写出直线BD 与圆A 相切时，点D 的另一个坐标。
2、已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，
AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）求点A 、E 的坐标；
（2）若y=c bx x 7
362++-过点
A 、E ，求抛物线的解析式。
（3）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及L 的最小值，
并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。