利用轴对称模型求线段和的最小值

利用轴对称模型求线段和的最小值

近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。

学习目标：知识目标：掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模 型，解决实际问题。

能力目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，

进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。

情感目标：通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学

的能力。

引例：例：如图(1)，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。

分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。

首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。

解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。

（1）A

B

A

总结：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 交直线l 于点C ，那么点C 就是所求作的点。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。

例1. 如图4，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是________。

图4

分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E 、B 在直线AC 的同侧，要在AC 上找一点P ，使PE+PB 最小，关键是找出点B 或E 关于AC 的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称，连结DE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值，

图5 图6

由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知，

3

22

3DE =⨯=

故PE+PB 的最小值为

3

。

跟踪练习1： 如图7，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径

ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为_______________。

图7

跟踪练习2. 如图8，正三角形ABC 的边长为2，M 是BC 边上的中点，P 是AC 边上的一个动点，求PB+PM 的最小值.

M

图8

例2. 如图9，抛物线c bx x y 2

++=与

x 轴交于)0,1(A -、)0,3(B 两点。

（1）求该抛物线的解析式。

（2）设（1）中的抛物线交y 轴于点C ，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得QAC

∆的周长最小？如果存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

图9

重点分析第（2）问，要使△QAC 的周长最小即AC+CQ+QA 最小，由于AC 长度一定，故只要CQ+QA 最小时，周长最小。设抛物线的对称轴为直线MN ，则可分解出图形，构建模型，要在直

线MN 上找点Q ，使CQ+QA 最小。由抛物线的对称性可知，点A 、点B 关于直线MN 对称，连结BC 交MN 于点Q ，只要找出点Q 的位置，其坐标不难求得。

跟踪练习3:点A 的坐标为（0，2）点，点B 是半径为2的⊙B 的圆心，点B 的坐标为（4，2），请你探索在x 轴上是否存在一个点C 以及在⊙B 上是否存在一个点D ，使得AC+CD 最小，若存在，请你在图中作出点C 和点D ，并求出点C 、D 的坐标和AC+CD 的最小值；若不存在请说明理由。

跟踪练习4：如图10，抛物线2

3

y x =-

-

+交x 轴于A 、B 两

点，交y 轴于点Ｃ，顶点为D ． （1）求A 、B 、C 的坐标．

（2）把△ABC 绕AB 的中点M 旋转180 ，得到四边形AEBC ： ①求E 点坐标．②试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由．

（3）试探索：在直线BC 上是否存在一点P ，使得△PAD 的周长最小，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 学生总结： 分层作业：

A 组：1、如图11，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD 的最小值为_____________。

图11

2、如图12， 在锐角△ABC 中， AB=，∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分

别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___________.

图12

B 组：1、如图，在直角坐标系中，A ，B ，

C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，

D 为直线l 上的一个动点，

(1)求抛物线的解析式；

(2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标；

(3)以点A 为圆心，以AD 为半径作圆A ； ①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与圆A 相切； ②写出直线BD 与圆A 相切时，点D 的另一个坐标。

2、已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，

AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）求点A 、E 的坐标；

（2）若y=c bx x 7

362++-过点

A 、E ，求抛物线的解析式。

（3）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及L 的最小值，

并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。