(完整版)利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题

基本题引入：如图（1）,要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加

油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？

使AM与BM的和最小。设A'是A的对称点，本问题也就是要使A M与BM的和最小。在连

接A B的线中，线段A B最短。因此，线段 A B与直线a的交点C的位置即为所求。

如图3,为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接AN

BN A No

因为直线a是A A'的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A M,AN= A N。

••• AM+BM= A M+BM= A B

在厶A BN中，

•/ A B< A N+BN

• AM+B< AN+BN

即AM+BMt小。

点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道

中考题解决了。思路如下：②••• BC= 9 （定值），•△ PBC的周长最小，就是PB+ PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A,显然当P、A B三点共线时PB+ PA最小•此时DP= DE PB+ PA= AB.由/ ADM/ FAE / DFA=Z ACB= 90°,得厶DAF^A ABC. EF// BC,

1 15 9

得AE= BE= AB= , EF= . • AF： BC= AD：AB, 即卩 6 : 9 = AD：15. • AD= 10. Rt△ ADF

2 2 2

9 25 25

中，AD= 10, AF= 6,「. DF= 8. • DE= DF+ FE= 8+ =一. •••当x = 时，△ PBC的周长

2 2 2

最小，y值略。

数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理

组织教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得

数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。

一、两条直线间的对称

题目1如图，在旷野上，一个人骑马从A出发，他欲将马引到河al饮水后再到a2饮

水，然后返回A地，问他应该怎样走才能使总路程最短。

点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A作al的对称点A',作a2的对称点A ,连接A A"交al、a2于B、C,连接BC. 所经过路线如图5: A-B-C-A,所走的总路程为A A"。

第2题图

二、三角形中的对称

题目2 如图，在厶ABC中,AC=BC=2, / ACB=90 ,D是BC边上的中点，E是AB边上的一动点，则EC+ED勺最小值是_______

点评：本题只要把点C、D看成基本题中的A、E两镇，把线段AB看成燃气管道a,问

题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。

三、四边形中的对称

题目3 如图，正方形ABCD的边长为8, M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则

DN+MN勺最小值为多少？

点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D关于直线AC的对称点

正好是点B,最小值为MB= 10。

四、圆中的对称

题目4已知：如图，已知点 A 是O O 上的一个六等分点，点 B 是弧AN 的中点，点P 是 半径ON 上的动点，若O O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。

点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点

B 的对称点B'在圆上，AB 交ON

于点 p ',由/ AON= 60° , / B ' ON= 30°,/ AOB = 90°,半径长为 1 可得 AB'=2。 当点P 运动到点p '时，此时AP+BP 有最小值为 2

B '

五、立体图形中的对称

题目5如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的

A 处，它想吃

到盒内表面对侧中点 B 处的食物，已知盒高h = 10cm,底面圆的周长为 32cm, A 距离下底面 3cm.请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为

_cm •

点评：如图2,此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展 开得矩形EFGH 作出点B 关于EH 的对称点B',作AC 丄GH 于点C,连接A B '。在Rt △ A B ' C 中，AC= 16, B ' C= 12,求得A B ' = 20,则蚂蚁爬行的最短路程为

20cm 。

通过变式训练既解决了一类问题， 又归纳出了最本质的东西， 以后学生再碰到类似问题 时学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性,

E

* *

/

f

H

*

事 /

/ f

i

*

F J

B

A

/ L

--

C

发展了学生的应

A

第3题图

M

第4题图

第5题图1

B

F

G

第5题图2

变能力。

综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思

维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。

题目6长方体问题如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C i 处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

析：展开图如图所示，.25 .. 29 . 37

路线1即为所求。

长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最

长的边作为另一条直角边，斜边长即为最短路线长。

B i G

i

A 4

B 2 C

AC J二AC=V6"+1乜7；