利用轴对称求最短距离问题(最新整理)

图5
图6
由∠BAD=60°，AB=AD，AE=BE 知，
DE 3 2 3 2
故 PE+PB 的最小值为 3 。
（1） 求△PDE 的周长； （2）若 M 是 BA 边上异于 E 的一点，N 是 BC 边上异于 D 的一点，求证：△PMN 的周长＞△PDE 的周长。
C
P2
N
D
P
轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变 B 位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决 下列求最小值的问题。
三、四边形中的对称
题目 3 如图，正方形 ABCD 的边长为 8，
M 在 DC 上，且 DM=2,N 是 AC 上的动点，则
DN+MN 的最小值为多少？
点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点 D 关于直线 AC 的对称点
正好是点 B，最小值为 MB＝10。
A
D
M N
B
C
第 3 题图
第 4 题图
四、圆中的对称
题目 4 已知：如图，已知点 A 是⊙O 上的一个六等分点，点 B 是弧 AN 的中点，点 P 是
半径 ON 上的动点，若⊙O 的半径长为 1，求 AP+BP 的最小值。
点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点 B 的对称点 B′在圆上，AB′交 ON
于点 p′,由∠AON﹦60°, ∠B′ON﹦30°，∠AOB′﹦90°，半径长为 1 可得 AB′﹦ 2 。当
l
A B
3、 如图，AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，那么点 E、F 是否关于 AD 对称？若对称，请说明理由。
l A
E F
B
D
C
4、 已知：如图，点 p1, p2 分别是 P 点关于∠ABC 的两边 BA、BC 的对称点，连接 p1 p2 ，分
别交 BA、BC 边于 E、D 点，若 p1 p2 =m，
A′N。
因为直线 a 是 A，A′的对称轴，点 M,N 在 a 上，所以 AM= A′M,AN= A′N。
∴AM+BM= A′M+BM= A′B
在△A′BN 中，
∵A′B＜A′N+BN
∴AM+BM＜AN+BN
即 AM+BM 最小。
点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道
题目 6 长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬
到对角顶点 C1 处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A
4
C1
B1
1 C
2 B
析：展开图如图所示， 25 29 37
路线 1 即为所求。 长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最 长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。
3cm．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为
cm．
点评：如图 2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展
开得矩形 EFGH,作出点 B 关于 EH 的对称点 B′,作 AC⊥GH 于点 C,连接 A B′。在 Rt△A B′C
中，AC﹦16, B′C﹦12,求得 A B′﹦20，则蚂蚁爬行的最短路程为 20cm。
利用轴对称求最短距离问题
基本题引入:如图（1），要在公路道 a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。 加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？
你可以在 a 上找几个点试一试,能发现什么规律?
·B
·B
·B
·A
·A
·A
a M
·A′
a
a
N M
·A′
图1
图2
图3
思路分析：如图 2，我们可以把公路 a 近似看成一条直线，问题就是要在 a 上找一点 M，
点 P 运动到点 p′时，此时 AP+BP 有最小值为 2
B′
E H
h
B
A
第 5 题图 1
· BC A
F
G
第 5 题图 2
五、立体图形中的对称
题目 5 如图 1 是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的 A 处，它想吃
到盒内表面对侧中点 B 处的食物，已知盒高 h＝10cm，底面圆的周长为 32cm，A 距离下底面
D D1
C1
D1
①D
C1
A1
1
②
B1 C1
1③
2
C
2
A 4 B2 C
A 1 A1 4 B1
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 ; AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .
由学生引申总结以下 1——4：
1、 已知：如图，A、B 两点在直线 l 的同侧，点 A 与 A 关于直线 l 对称，连结 AB 交 l 于 P 点， 若 AB =a，（ 1） 求 AP+PB； （ 2） 若 点 M 是 直 线 l 上 异 于 P 点 的 任 意 一 点 ， 求 证 ：
E
MA
P1
5. 如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点， 则 PE+PB 的最小值是________。
分析：首先分解此图形，构建如图 5 模型，因为 E、B 在直线 AC 的同侧，要在 AC 上找 一点 P，使 PE+PB 最小，关键是找出点 B 或 E 关于 AC 的对称点。如图 6，由菱形的对称性 可知点 B 和 D 关于 AC 对称，连结 DE，此时 DE 即为 PE+PB 的最小值，
点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作 法：过点 A 作 a1 的对称点 A′，作 a2 的对称点 A〞,连接 A′A〞交 a1、a2 于 B、C,连接 BC. 所经过路线如图 5： A-B-C-A,所走的总路程为 A′A〞。
A′ B
a1 A
A E
a2 C
A″
第 1 题图
二、三角形中的对称
C
B
D
第 2 题图
题目 2 如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是 BC 边上的中点,E 是 AB 边上的一 动点,则 EC+ED 的最小值是 __
点评：本题只要把点 C、D 看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段 AB 看成燃气管道 a，问 题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。
AM MB AP PB .
A
B
Ml P
A'
2、 已知：A、B 两点在直线 l 的同侧，试分别画出符合条件的点 M。 （1） 在 l 上求作一点 M，使得 AM BM 最小；
B A
l
（2） 在 l 上求作一点 M，使得 AM BM 最大；
B A
（3） 在 l 上求作一点 M，使得 AM+BM 最小。
中考题解决了。思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC 的周长最小，就是 PB＋PC 最小.由
题意可知，点 C 关于直线 DE 的对称点是点 A，显然当 P、A、B 三点共线时 PB＋PA 最小.此
时 DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC，
组织教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得 数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生 的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。
一、 两条直线间的对称
题目 1 如图，在旷野上，一个人骑马从 A 出发，他欲将马引到河 a1 饮水后再到 a2 饮 水，然后返回 A 地，问他应该怎样走才能使总路程最短。
通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题
时学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应
变能力。 综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩
固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思 维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生 分析问题、解决问题的能力。
1 15
9
得 AE＝BE＝ AB＝ ，EF＝ .∴AF∶BC＝AD∶AB，即 6∶9＝AD∶15.∴AD＝10. Rt△
22
2
9 25
25
ADF 中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋ ＝ .∴当 x＝ 时，△PBC 的
22
Leabharlann Baidu
2
周长最小， y 值略。
数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理
使 AM 与 BM 的和最小。设 A′是 A 的对称点，本问题也就是要使 A′M 与 BM 的和最小。在连
接 A′B 的线中，线段 A′B 最短。因此，线段 A′B 与直线 a 的交点 C 的位置即为所求。
如图 3，为了证明点 C 的位置即为所求，我们不妨在直线 a 上另外任取一点 N，连接 AN、BN、