利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析

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与轴对称相关的线段之和最短问题

与轴对称相关的线段之和最短问题在中考复习课中，有一种题型我们不可避免地要帮学生复习，即求：某种情节下的最短距离、最短路线；以何种情况下由3点围成的三角形、由4点围成的四边形的周长最小，等等。

试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的。

当这类题目呈现在学生面前时，学生的感觉往往是一个字——难，不善于做这类题。

现以“用轴对称知识解决最值问题”的题组为例，通过几个强有力的数学模型，例说相关中考试题的解决方法，供老师们参考。

一、基本模型【数学模型1】：已知一条直线l与这条直线同侧的两点A、B，如图（1），在直线上找出一点P，使得这点与已知两点的距离和PA+PB最短。

作为题组的“基石”，中考复习时，我们重在让学生明白相关的解题策略。

如何解决线段的和的最短的问题？我们需要寻求和其中一条线段长度相等的线段，充分利用轴对称的有关性质，从而将线段的和最短转化为线段最短的问题。

让学生记住这个模型，并理解其中相关的数学原理，从而利用这个基本模型，轻松解决“最短”问题，这才是我们的最终目的。

二、变式模型通过基本问题结构的局部灵活重组，或者结论的拓展延伸，或者与其他问题的有机组合，加深学生对相关知识的理解，同时强化策略及思想等高层次的能力。

拓展延伸型问题也可以通过设问方式的改变，丰富问题设计的立意及内涵。

【数学模型2】：已知两条平行直线l1，l2及位于这两条直线上的两点A、B（线段AB与直线l1，l2不垂直），如图（3），分别在这两条直线上找出两点N、M，使得路径A-M-N-B最短。

解决方法：如图（3），分别作出A、B两点关于直线l2，l1的对称点A′、B′，连接 A′B′，分别交直线l2，l1于点M、N，有轴对称的有关性质，则路径A-M-N-B的长度就是线段A B′的长度，最短。

对比图（4），折线A-M-N-B的长度不是最短。

从一条定直线上的一个动点到分布在两条直线上的两个动点，孤立地看，变量增多（AM、MN、NB），问题较模型1复杂。

初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题

初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点解：如图，【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。

解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小解：如图，作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。

初二数学经典的做对称求最小值问题,也是中考中的常客

做对称求最小值问题常见的三种提问方式：①直接求一条线段AB的最小值②求两条线段AB+AC和的最小值③求三条线段构成的三角形ABC的周长的最小值
接下来我们用几道例题来分析一下这几种类型。

方法总结（以例1为例）：①将C,F,E三点分为动点和定点（其中c为定点，E,F为动点）
②找到动点运动的轨迹（F在AD上运动，E在AC上运动）
③将定点沿着动点的运动轨迹对对称（将点C沿着AD做对称至B点）
④从对称点出发做一条与另一运动轨迹相垂直的直线（从点B做BE⊥AC）
⑤算出所作出的直线的长度即为最小值（算出BE的长度）
一、求两条线段AB+AC和的最小值
例1、如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线且AD＝12，F是AD 上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为___________．
二、直接求一条线段AB的最小值
例2、如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN＝BM．
（1）请你判断△OMN的形状，并说明理由．
（2）若BC＝2√2，则MN的最小值为__________.
三、三条线段构成的三角形ABC的周长的最小值．
常考的题型解法：将△ABC的周长拆成AB+AC+BC,其中一定会有一条边的长度是已知的，若AB的长为3，那么△ABC的周长的最小值就是在求3+AC+BC的最小值，接下来的步骤与例题1相同。

巧用轴对称性解决线段和最小值问题

那么它至少多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含 π）分析：首先要将立体图形问题转化成平面图形 — —将圆柱的侧面展开为长方形．但 A、 B 两点问题 — 在长方形的正反面，所以根据上述结论可以通过作解决问题．对称点，：解把圆柱的侧面展开 G 为得长方形 ACDE． F 、 AC 、 DE 中点．则 B 在 FG 的中点处，作点 B 关于 DE 的对称点 B' ，连结 AB'．易得： AF = 8 π， B'F = 6 π． ∴ AB' = 槡（ 8 π） 2 + （ 6 π） 2 = 10 π． ∴ 10 π ÷ 2 = 5 π．
5
结束语
线段和最小问题与四边形、圆、函数及实际生活紧密联系在一起，也越来越受到中考命题者的亲睐．例如问题引入部分的淮安市第 26 题，命题者层层递，，进循循善诱建立了解决线段最值问题的基本模： “把知识型，很好地体现了课改下素质教育的要求叠加式教学改为科学观念教育的活动性教学． ” 这，，类问题在解决时只要正确利用对称性就可将问题化繁为简．檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸 n －1 n 3 1 1 1 1 1 （ 1） ≤ + + （上接第 91 页）取 x = ，； ≤3 ；得 ≥ n 2 a +1 b +1 c +1 n e －2 ( ) ≥( n n )… 1 n －i i （ i = 1， 2， …， n － 1）．取x= ，得( ) ≥( e n ) n 取x= 1 2 ，得 e n
1
1 1－ e

线段和的最小值问题

《利用轴对称求线段和的最小值问题》导学案一、学习目标：能利用轴对称解决简单的线段和的最小值问题，体会图形的转化在解决最值问题中的作用，感悟转化和化归思想. 二、学习重、难点：1.学习重点：利用轴对称将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题；2.学习难点：如何利用轴对称计算线段和的最小问题. 三、学习过程（一）、故事导入，提出课题问题1 如图1，有一位将军从A 地出发到小溪边饮马，然后再到B 地军营视察，问走什么样的路线最短呢？问题2 如图2，有一位将军从A 地出发到小溪边饮马，然后再到B 地军营视察，问走什么样的路线最短呢？（二）、解决问题，形成技巧 1、发现规律（1）问题3 下列各图中，点E 为各图形中的定点，点P 运动到何处时，所求两条线段的长度和最小？ ①图3中，在△ABC 中，AB=AC ，点P 是顶角平分线AD 上的动点，点E 是AB 上的定点，请问当点P 运动到何处时，PB+PE 和最小？②图4中, 点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的动点，点E 是AB 上的定点，请问当点P 运动到何处时，PB+PE 和最小？③图5中，点P 是正方形对角线BD 上的动点，点E 是边CD 上的定点，请问当点P 运动到何处时，PC+PE 和最小？④图6中，点B 、E 分别是圆O 上的五等分点，点P 是圆O 的直径DC 上的动点，请问当点P 运动到何处时，PB+PE 和最小？DCABEPBCDAP EBCAD EPl （小溪）图1l （小溪）图2图3图4图5图6B（2）在画图的过程中，如何寻找对称轴？ 2、挑战1．如图7，直线3-=x y 与坐标轴相交于点 A 、B ，点C 的坐标是C(2，0)，点P 在直线AB 上运动，当△OCP 的周长最小，点P 的坐标为__________. 2．如图8，四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使得△AMN 周长最小．xyy = x 3–112345–1–2–3–412ABCOP3、挖掘本质，归纳方法这些题目都是求线段之和的最小值问题，方法都是画对称点，但是我们知道，画对称点并不能改变线段的长短，为什么我们这样一画就能求得线段之和的最小值呢? 4、链接中考1.（2012兰州）如图9，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为（） A ．130° B ．120° C ．110° D ．100°5、继续挑战1．如图11所示，已知二次函数y =ax 2+bx +c 图象经过点A （－1，0），B （3，0）和点C （－2，5），点P 抛物线的对称轴上运动，当△PA C 的周长最小时，求点P 的坐标.图7图9 图8xy–1–2–312345–1–2–3–4123456CB A OP2．变式：如图12所示，已知二次函数y =ax 2+bx +c 图象经过点A （－1，0），B （3，0）和点C （－2，5），点P 、Q 抛物线的对称轴上运动，且PQ=2，当四边形 ACPQ 周长取最小值时，求点P 的坐标?(三)、梳理小结，升华思想（1）本节课你学了哪些知识？还有哪些疑惑的问题？(四)、布置作业1.等腰RT △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 .2.正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，DN+MN 的最小值为 .3.已知⊙O 的直径CD 为4，∠AOD 的度数为60°，点B 是弧AD 的中点，在直径CD 上找一点P,使BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值。

轴对称中几何动点最值问题总结

轴对称中几何动点最值问题总结轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。

比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。

利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。

1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

（2）一点两线的最值问题:（两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。

核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。

变异类型：1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△PAB的周长最小。

x轴()3.（4）两点两线的最值问题:（两个动点+两个定点）问题特征：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。

核心思路：利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。

变异类型：演变为多边形周长、折线段等最值问题。

1.如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

12．31。

2．，341．11．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上秱动，则当PA +PD 取最小值时，△APD中边AP 上的高为（）Part6、一次函数一次函数b kx y +=的图象与y x ,轴分别交于点).4,0(),0,2(B A（1）求该函数的解析式；（2）O。

中考数学知识点考点复习指导：构建轴对称模型求线段和的最小值

构建轴对称模型求线段和的最小值近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。

学习目标：知识目标：掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模型，解决实际问题。

能力目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。

情感目标：通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学的能力。

引例：例：如图(1)，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。

分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。

首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。

因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。

解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。

（1）A BA总结：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 交直线l 于点C ，那么点C 就是所求作的点。

轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。

以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。

例1. 如图4，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是________。

“求两线段长度之和的最小值”问题全解析

“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以∠AME∠∠AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF∠BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∠BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∠BC，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以∠APE∠∠BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG∠BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∠BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE∠AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，果不取近似值）．分析：在这里∠PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt∠CDQ中，DQ==，所以∠PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的∠O的直径，点A在∠O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()(A)2(B) (C)1(D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），∠AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使∠AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里∠AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时∠AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为∠BCE∠∠BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当∠CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以∠的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∠EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。

浅析用轴对称知识求线段和的最小值

浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。

我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。

在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。

要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。

B1证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。

求这个最小值。

解：作出A1B（作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米，即PA+PB的最小值为42千米。

A12、如图（1），在直角坐标系XOY 中，X 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）和到Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=__________________。

解：如图（2），只要画出点Q 关于x 轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x 轴于点M ，则M 点即为所求。

点M 的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。

如何利用对称轴原理，解决最短路径问题

如何利用对称轴原理，解决最短路径问题大家好，这里是周老师数学课堂，欢迎来到头条号学习！今天是星期六，我想分享一篇八年级的内容:如何利用轴对称知识解决最短路径问题。

最短路径问题一般有两种情况。

1.求已知直线上一点与直线异侧两点所连线段的和的最短问题:这类问题，我们只要连接这两点，根据两点之间直线最短的原理，所得线段与直线的交点，即为所要确定的点。

如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一个点C，使CA+CB最短，这时的点C为直线l与线段AB的交点2.求已知直线上一点与直线同侧两点所连线段的和的最短问题：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得的线段与该直线的交点即为所要确定的点。

如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一个点C，使CA+CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，AB'与直线l的交点即为所求的点C；或者先作点A关于直线l的对称点A'，连接BA’，BA'与直线l的交点即为所求的点C.我们在解决最短路径问题时，通常利用轴对称、平移等变换将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径。

下面举例说明轴对称变换在解决距离和最短问题时的应用，解这些题的关键是要把握好“两点之间，线段最短”的原理。

例1.[解析](1)因为AB在EF同侧，作点A关于EF的对称点A'；(2)连接A'B交EF于点C，则点C为所求的点，此时，△ABC的周长最短.由于AB为定长，问题转化为在EF上求一点C，使AC+BC最短。

[解答]例2.[解析]要使总路程最短，需要将三条线段设法转化到一条线段上，根据轴对称确定最短路线问题，作A关于公路l1的对称点A，作B关于公路Ⅰ2的对称点B'，连接AB与公路Ⅰ1、Ⅰ2分别相交于点C、D，然后沿A→C→D→B走才能使总路程最短.[解答]求最短离问题，在实际生活中的应用非常广泛，如水泵站的选址，煤气管道的铺设，天桥的选址等。

利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题

利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题韶关市一中实验学校李仙群一、教学内容和内容解析1.教学内容利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题2.内容解析从近几年的中考来看，线段和的最小值问题经常出现在各省市的中考题中，问题常以二次函数、反比例函数、正方形、矩形、菱形等图形为背景，让学生求两条线段和的最小值、三条线段和（三角形周长）的最小值、四条线段和（四边形周长）的最小值等，这些问题中又以二次函数背景下求两条线段和的最小值、三条线段和（三角形周长）的最小值最为常见．从题型来看，线段和最小值问题涉及选择题、填空题、解答题，其中选择题、填空题通常以正方形、矩形、菱形为背景求线段和的最小值，且题目有一定难度。

以二次函数或几种图形组合为背景的线段和的最小值问题都出现在解答题，大部分都是以较难题、难题出现，是学生中考中不易答出的部分．从考察的数学思想方法看，线段和的最小值问题往往需要学生灵活利用轴对称将线段和最小值问题转为“两点之间，线段最短”问题（本课时主要解决这类问题），再结合相似、勾股定理等知识求出相应点的坐标及最小值。

从学生的知识掌握程度看，九下学生已经学完了初中所有新课内容，经过了一轮基础知识的复习，对解决此类题型的知识源，如两点之间，线段最短；利用轴对称求最短路径；几何转化为代数解法，如利用一次函数、反比例函数增减性、二次函数的最值问题等知识，掌握了这些知识源的一些用法，会利用这些知识源把动态问题转化为静态问题，实现问题的转化与解决．基于以上分析，本课时的重点是研究利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题．二、教学目标和目标解析1.教学目标能利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题，体会图形转化在求最值问题中的作用，感悟转化思想．2.目标解析达成目标的标志是：学生能通过画图等方式，说出如何将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求值为最小值；在探索线段和的最小值过程中，体会轴对称的转化作用，感悟数学的转化思想．三、教学问题诊断分析经历学习新人教版八上《13.4最短路径问题》及初三第一轮基础知识复习，学生对“当点A，B在直线l的同侧时，通过做轴对称，在直线l上找一点C，使AC与BC的和最小”这类问题有了一定的认知，但在二次函数等较复杂的情境下如何将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”的问题过程中，该做哪个点关于哪条直线对称，哪个点做对称更方面计算和求解等问题，学生在理解和操作上存在着许多困难，甚至很多学生想不到，困在转化之前．基于以上分析，本课时的难点是如何利用轴对称将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题．四、教学过程设计图五、教学过程设计中考涉及很多以二次函数、反比例函数、正方形、矩形、菱形、三角形等为背景求两条线段和的最小值、三角形周长的最小值、四边形周长的最小值的问题，这些问题都可以归结为求线段和的最小值问题，要解决这些问题都需要利用轴对称将这些问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，并结合勾股定理、三角形全等、三角形相似、二次函数等知识求出最小值。

中考数学考点14 轴对称变换的运用-最小值(解析版)

轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合．由此演变出来的一系列的最小值或最大值的问题是学生的一个难点．1.轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上．2.利用轴对称的性质“化曲为直”，即将不在同一条直线上的线段转化到同一条直线上，结合“垂线段最短”或“三角形的两边之和大于第三边”，确定线段和的最小值．1.如图，点A，B是直线l异侧的两个点，在直线l找一点P，使P A＋PB最小．思路：连接AB交直线l于点P，P A＋PB的最小值是线段AB的长．2.如图，点A，B是直线l同旁的两个点，在直线l找一点P，使|P A－PB|最小．思路：连接AB交延长交直线l于点P，|P A－PB|的最大值是线段PB的长．3.如图，点A，B是直线l同旁的两个点，在直线l找一点P，使P A＋PB最小．思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，P A＋PB的最小值是线段A′B的长．4.如图，在∠MAN中，点P是∠MAN内的一个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当△PCD的周长最小时，点C，D的位置．思路：将△PCD有三边集中到一条直线上．分别作点P关于AM，AN和对称点P′，P′′，连接P′P′′交AM，AN于点C，D，△PCD的周长的最小值是线段P′P′′的长．学科@网5.如图，在∠MAN中，点P，Q是∠MAN内的两个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当四边形CDPQ的周长最小时，点C，D的位置．思路：确定四边形CDPQ的周长的最小值，因为PQ的长不变，即是要确定QC＋CD＋DP的最小值．分别作点Q，P关于AM，AN的对称点Q′，P′，连接P′Q′，分别交AM，AN于点C，D，四边形CDPQ周长的最小值是PQ＋P′Q′的长．学科@网6.如图，在∠MAN中，点B是AM上的一个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当CB ＋CD最小时，点C，D的位置．思路：作点B 关于AM 的对称点B ′，过B ′作BD ⊥AN 于点D ，交AM 于点C ，CB ＋CD 的最小值是垂线段B ′D 的长．例1.如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．【答案】5∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，AD ＝DC ，∴∠BAC ＝∠C ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDB ，∴△ADF ≌△CDB ，∴AF ＝BC ，∠F AD ＝∠C ＝45°，∵AE ＝3，BE ＝1，∴AB ＝BC ＝4，∴AF ＝4，∵∠BAF ＝∠BAC ＋∠F AD ＝45°＋45°＝90°，∴由勾股定理得：EF 22AF AE +2243+5，∵AC 是BF 的垂直平分线，∴BP ＝PF ，∴PB ＋PE ＝PF ＋PE ＝EF ＝5．故答案为5.例2.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠B ＝60°，点G 是边CD 边的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF ＋ED 的最小值是_______．【答案】33例3.如图，抛物线的图象过点C （0，1），顶点为Q （2，3），点D 在x 轴正半轴上，线段OD ＝OC .（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点M ，使得⊿CDM 是以CD 为直角边的直角三角形？若存在，请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，连接QE ．若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点的移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）21212y x x =-++；(2)符合题意的Ｍ有三点，分别是(2，3)，515)，( 15，5；(3)存在，在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为13（3）存在.作点C 关于直线QE 的对称点C ′，作点C 关于x 轴的对称点C ′′，连接C ′C ′′，交QE 于点P ，则△PCE 即为符合题意的周长最小的三角形，由对称轴的性质可知，△PCE 的周长等于线段C ′C ′′的长度，然后过点C ′作C ′N ⊥y 轴，然后依据勾股定理求得C ′C ′′的长即可.解：（1）设抛物线的解析式为()223y a x =-+，将C （0，1）代入得：()21023a =-+，解得:12a =-∴()2211232122y x x x =--+=-++ (2)①C 为直角顶点时，如图①，CM ⊥CD ．设直线CD 为1y kx =+，∵OD ＝OC ，∴OD ＝1，∴D (1，0)把D (1，0)代入1y kx =+得，1k =-，∴1y x =-+∵CM ⊥CD ，∴易得直线CM 为:1y x =+则211212y x y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得，M (2，3)，恰好与Q 点重合． ②D 为直角顶点时，如图②，易得，直线ＤＭ为1y x =-．则211212y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩，则Ｍ为(51+，5)或( 15-，5-) ．综上所述，符合题意的Ｍ有三点，分别是(2，3)，(51+，5)，( 15-，5-)．证明如下：不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F ′，在线段QE 上取异于点P 的任一点P ′，连接F ′C ″，F ′P ′，P ′C ′．由轴对称的性质可知，△P ′CF ′的周长＝F ′C ″＋F ′P ′＋P ′C ′；而F′C″＋F′P′＋P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″＋F′P′＋P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．如答图④所示，连接C′E，1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，则PB＋PE的最小值是（）A.1B.3C.2D.23【答案】B2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB是，则BE＋EF的最小值是（）A .4B .4.8C .5D .5.4【答案】B【解析】作F 关于AD 的对称点M ，连接BM 交AD 于E ，连接EF ，过B 作BN ⊥AC 于N ，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC 于D ，根据等腰三角形的三线合一的性质可得BD ＝CD ＝3，AD 平分∠BAC ，即可得点M 在AC 上，在Rt △ABD 中，由勾股定理求得AD ＝4，所以1122ABC S BC AD AC BN =⨯=⨯V ，由此求得BN ＝4.8，再由点F 关于AD 的对称点M 可得EF ＝EM ，所以BE ＋EF ＝BE ＋EM ＝BM ，根据垂线段最短得出，BM ≥BN ，即BE ＋EF ≥4.8，即BE ＋EF 的最小值是4.8，故选B . 学科@网3.如图，点A （a ，2），B （﹣2，b ）都在双曲线y ＝(0)k x x<上，点P 、Q 分别是x 轴，y 轴上的动点．当四边形P ABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是y ＝x ＋32，则k ＝______．【答案】－7故答案是−7．学科@网（每道试题10分，总计100分）1.如图，正方形ABCD 的面积为36，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为( )A.5B.6C.7D.8【答案】B2.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A，⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE＋PF的最小值．．．是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B．【解析】作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于点P，则AD＋PD最小，且最小值是线段A′D的长，所以PE＋PF的最小值为A′D－AE－AF．∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A的半径为1，∴AD＝BC＝3，AA′＝2AB＝4，AE＝DF＝1，在Rt△AA′D中，由勾股定理得，A′D＝5，∴PE＋PF的最小值为A′D－AE－AF＝5－1－1＝3故选B．3.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝10，D、E分别为边AB、CA上两动点，则CD＋DE的最小值为（）A.45+8B.16C.85D.20【答案】C4.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∠C＝90°．AD＝14AC，AB＝8，E是AB上任意一点，F是AC上任意一点，则折线DEFB的最短长度为_____．【答案】675.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_____．（结果保留根号）【答案】15cm【解析】如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2＝A′D2＋CD2＝92＋122＝225，∴CA′＝15cm，答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是15cm．故答案为15cm．6.如图，直线y＝x＋6与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C（﹣4，0），点P为直线一动点，当PC＋PO值最小时点P的坐标为_______．【答案】93,22⎛⎫-⎪⎝⎭故答案为93,22⎛⎫-⎪⎝⎭.7.如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），点P（0，m），将线段P A绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO＋BA的最小值为_____________．【答案】88.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM＋MN 的最小值为_____．【答案】89.如图，抛物线y＝12x2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．【答案】（1）213222y x x =--，D (32，258-)；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）M （2441，0）. 【解析】（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上， ∴12×(－1)2＋b ×(－1)–2＝0，解得b ＝32-， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 232-x －2. y ＝12(x 2－3x －4)＝12(x －)2－258， ∴顶点D 的坐标为(32，－258). （2）当x ＝0时y ＝－2，∴C （0，－2），OC ＝2．当y ＝0时，12x 232-x －2＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴B (4，0)，∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5.∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 是直角三角形.10.()221825x x +-+小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，，连结AC 、EC ．已知AB ＝1，DE ＝5，BD ＝8，设BC ＝x ．则21AC x =+，()2825CE x =-+AC ＋CE 的最小值．（1）我们知道当A ，C ，E 在同一直线上时，AC ＋CE 的值最小，于是可求得()221825x x ++-+的最小值等于；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图．．求出代数式()224129x x ++-+的最小值．【答案】（1）10；(2)13.（2）由（1）的结果可作BD ＝12，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于F 点，使AB ＝2，ED ＝3，连接AE 交BD 于点C ，利用勾股定理即可求得AE 的值就是代数式()224129x x ++-+的最小值．则在Rt △AEF 中，AF ＝BD ＝12，EF ＝DE ＋DF ＝DE ＋AB ＝3＋2＝5，根据勾股定理得AE 222251213EF AF +=+=，()224129x x +-+13．。

[整理]“求两线段长度之和的最小值”问题全解析.

“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD ＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN ＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以, 所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E 的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E 的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。

巧用轴对称求线段和的最小值探析

巧用轴对称求线段和的最小值探析
孙吉培
【期刊名称】《基础教育论坛（综合版）》
【年(卷),期】2012(000)009
【摘要】用轴对称“求直线上一点，使其到两定点的距离和最小”的问题，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对“动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，有必要给学生抽象出这一数学模型加以分析，帮助学生解决许多有关求两条线段和的最小值的问题．
【总页数】2页(P46-47)
【作者】孙吉培
【作者单位】河南省许昌县第二中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.在数学试题探究中提炼模型获取通法——利用“轴对称”求折线段和最小值问题探微 [J], 王斌
2.巧用轴对称求线段和的最小值探析 [J], 孙吉培
3.用图形的轴对称性求线段和的最小值 [J], 于志洪;
4.应用轴对称变换求三线段和的最小值 [J], 于志洪
5.巧用轴对称性解决线段和最小值问题 [J], 刘冲
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利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。

在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。

要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。

求这个最小值。

解：如图（2），只要画出点Q 关于x 轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x 轴于点M ，则M 点即为所求。

点M 的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。

（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。

3、求函数解：方法（Ⅰ）把原函数转化为y=1)3(2+-x ，因此可以理解为在X 轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。

（解法同上一题）。

方法（Ⅱ）如图（9），分别以PM=（3-x ）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x ）和（x+3）在同一直线上的两个直角△PAM 、△PNB ，两条斜边的长就是PA=2(3)1x -+ 和PB=22(3)5x ++ ，因此，求y 的最小值就是求PA+PB 的最小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长，就是y 的最小值。

（62）。

5（3-X ）116（X+3）图（9）NBA A1GMP三、拓展（一）三条线段的和最小的问题：如图3，已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时,甲站在∠AOB 内的P 点，乙站在OA 边上，丙站在OB 边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P 处。

如果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。

析解：三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P 关于 OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接P P '''，交OA 于O '，交OB 于O ''，则点O '和点O ''应分别是乙、丙的位置。

这样连接PO '、PO ''则三人行的路程和为PO O O PO P O O O P O P P ''''''''''''''''''++=++=。

规律总结：轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。

（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值1、如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,点P 在BD 上，则PE+PC 的最小值是（）（A ）6a , (B) 5a , (C) 4a , (D) 23a 。

图（5）CB图（6）CB解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC 中点E 关于对角线BD 的对称点E 一定落在AB 的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE 的最小值。

这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=23a 。

所以选（D ）。

2、已知在菱形ABCD 中，∠A=600，AD=8，M 、N 分别是AB ，BC 边上的中点，P 是对角线AC 上一动点，求PM ＋PN 的最小值。

分析：因为动点P 在菱形ABCD 的对角线AC 上，而CD 边的中点G ，是N 关于对称轴AC 的对应点所以，PG ＝PN ，因此求PM ＋PN 的最小值就转化为求PM ＋PG 的最小值，连接MG ，在△PMG 中，PM ＋PG 的最小值就是MG ，即PM ＋PG ≥MG （仅当M 、P 、G 三点共线时取得最小值）。

CA解：取CD 的中点G ，连接PG ∵AC 是菱形ABCD 的对角线 ∴∠PCG ＝∠PCN又CB ＝CD ，N 是BC 边的中点 ∴CN ＝CG又PC ＝PC ，∴△PCG ≌△PCN ∴PG ＝PN连接MG 。

∵ ∴四边形AMGD 为平行四边形 ∴MG ＝AD ＝8 在△PMG 中，（仅当P 、M 、G 三点共线时取等号） ∴即，故PM ＋PN 的最小值为8。

（三）利用正方形的对称性，求线段和的最小值已知如图：正方形ABCD 的边长是3,E 点分边BC 为2:1,P 为对角线BD 上一点,求PE+PC 的最小值.B CADE分析:要想求PE+PC 的最小值,关键是确定点P 的位置,根据对称的知识我们知道点P 的位置应是，点C 关于直线BD 的对称点和点E 连线与BD 的交点.解:因为四边形ABCD 为正方形,所以点C 关于BD 的对称点为A,连接AE 交BD 于P 点,则此时 PE+PC 的最小值最小,最小值为:PE+PC=AE= 13（四）利用等腰梯形的对称性，求线段和的最小值如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝1，∠B ＝60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC ＋PD 的最小值为_____________。

CB分析：在梯形ABCD中，因为AB＝CD＝AD，易知梯形ABCD是等腰梯形，又直线MN是梯形ABCD的对称轴，所以直线MN是底边AD、BC的垂直平分线，连接PA，由线段垂直平分线上任一点，到已知线段两端的距离相等知，PA＝PD，所以求PC＋PD的最小值就转化为求PC ＋PA的最小值，即求AC的长度即可。

解：连接PA∵AB＝CD＝AD＝1，∴梯形ABCD是等腰梯形又直线MN是梯形ABCD的对称轴∴PA＝PD过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，E、F为垂足，易证△ABE≌△DCF，∴BE＝CF 在Rt△ABE中，∵∠B＝60°，AB＝1在Rt△ABC中，由勾股定理，得即PA＋PC的最小值为（当A、P、C三点共线时取得最小值）也可这样求AC的值：过A点作CD的平行线，交BC于G，则BG＝AB＝1,GC＝AD＝1∴BC＝2而角BCA＝DAC＝DCA，∴角BCA＝30,角BAC＝90度在三角形ABC中，可求得AC（五）利用圆的对称性，求线段和的最小值已知如图,AB是⊙○的直径,AB=2cm,OC⊥AB,点D是弧AC的三等分点,P是OC上一动点,求PA+PD的最小值.C图（16）BCB分析：圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆上任意一点的关于直径所在直线的对称点都在圆上。

解:作点D关于OC的对称点F,连接AF,此时PA+PD的最小值为AF.因为AB是圆O的直径,OC⊥AB，则弧AC的度数为900，因为D是弧AC的三等分点，所以弧AD的度数是600，弧DC的度数是300，因为点D与点F关于OC的对称，所以且弧DC与弧CF相等,都为300，∴∠AOF=1200，作OE⊥AF，则∠AOE=600。

在Rt△AOE中，AO= 1cm，∠AOE=600，则AE=，∴AF=3。

（六）利用坐标系的对称性，求线段和的最小值如图,在直角坐标系中, 有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），求四边形ABCD周长最短时的值。

分析：因为A、B是定点且长度不变，四边形ABCD的周长最短，需使AD+CD+BC 的值最小，由于C、D两点未知，所以本题关键是找C、D两点，可考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。

解：分别作A点关于x轴、B点关于y轴的对称点A/（-8，-3）、B/（4，5），连接A/B/分别交x轴、y轴于D、C点。

设直线A/B/的解析式为y=kx+b，把x=-8，y=-3；x=4，y=5分别代入得：-8k+b=-34k+b =5解得k和b值，得到A/B/的解析式为:3y=2x+7令x=0，求得y，得到C点令y＝0，求得x，得到D点由以上几例可以看出，当求线段和的最小值时，常常借助轴对称将两条线段转化到一条直线上，再利用“两点之间线段最短”进行求解。

四、链接看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸平行），请提供一种设计方案，使从A地到B地的路径最短，请说明理由。

AB请思考：1、这题为什么不能用轴对称知识解决？(认真理解我推导出的性质就可明白)2、如何用平移知识解决此题？3、类似我推导出的轴对称性质，平移的知识能否推导出类似的性质？五、练习1、（2002湖北黄岗竞赛题）如图（10），∠AOB=450，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是___________________。

当ΔPQR周长最小时，∠QPR的度数=____________。

BO R图（10）P2P1B提示：画点P 关于OA 的对称点P 1，点P 关于OB 的对称点P 2，∵ ∠AOB=450，∴ΔP 1OP 2是等腰直角三角形，P 1P 2=102。

又问:当ΔPQR 周长最小时，∠QPR 的度数=____________。

（答案：900）2、已知点A （-2，1），点B （3，4）。

在X 轴上求一点P ，使得PA+PB 的值最小。

这个最小值是__________________。