利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析

利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析

求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：

一、性质推导

例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？

首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，

所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。

在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。

要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，

也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，

所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。

B1

证明：M为L上的任意点

因为BM＝B1M

所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，

所以，结论成立

二、应用

1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。

解：作出A1B（作法如上图）

过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，

在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，

用勾股定理求得A1B的长度为42千米，

即PA+PB的最小值为42千米。

A1

2、 如图（1），在直角坐标系XOY 中，X 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）和到Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=__________________。

解：如图（2），只要画出点Q 关于x 轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x 轴于点M ，则M 点即为所求。点M 的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。

3、 求函数 解：方法（Ⅰ）

把原函数转化为y=1)3(2+-x ，因此可以理解为在X 轴上找一个

点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。（解法同上一题）。

方法（Ⅱ）

如图（9），分别以PM=（3-x ）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x ）和

（x+3）在同一直线上的两个直角△PAM 、△PNB ，两条斜边的长就是PA=

2

(3)1x -+ 和

PB=22

(3)5x ++ ，因此，求y 的最小值就是求PA+PB 的最小值，只要利用轴对称性质

求出BA1的长，就是y 的最小值。（62）。

5

（3-X ）

1

16

（X+3）

图（9）

N

B

A A1

G

M

P

三、拓展

（一）三条线段的和最小的问题：

如图3，已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时,甲站在∠AOB 内的P 点，乙站在

OA 边上，丙站在OB 边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P 处。如果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。

析解：三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需 三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P 关于 OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接P P '''，交OA 于O '，交OB 于O ''，则点O '和点O ''应分别是乙、丙的位置。这样连接PO '、

PO ''则三人行的路程和为PO O O PO P O O O P O P P ''''''''''''''''''++=++=。

规律总结：轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，

要注意体会轴对称在这方面的应用。

（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值

1、如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,点P 在BD 上，则PE+PC 的最小值是（ ）

（A ）6a , (B) 5a , (C) 4a , (D) 23a 。

图（5）

C

B

图（6）

C

B

解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC 中点E 关于对角线BD 的对称点E 一定落在AB 的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE 的最小值。这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=23a 。所以选（D ）。

2、已知在菱形ABCD 中，∠A=600，AD=8，M 、N 分别是AB ，BC 边上的中点，P 是对角线

AC 上一动点，求PM ＋PN 的最小值。

分析：因为动点P 在菱形ABCD 的对角线AC 上， 而CD 边的中点G ，是N 关于对称轴AC 的对应点 所以，PG ＝PN ，

因此求PM ＋PN 的最小值就转化为求PM ＋PG 的最小值，连接MG ，在△PMG 中，PM ＋PG 的最小值就是MG ，即PM ＋PG ≥MG （仅当M 、P 、G 三点共线时取得最小值）。

C

A

解：取CD 的中点G ，连接PG ∵AC 是菱形ABCD 的对角线 ∴∠PCG ＝∠PCN

又CB ＝CD ，N 是BC 边的中点 ∴CN ＝CG