机械振动课后习题和答案第三章习题和答案
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如图所示扭转系统。设12122;t t I I k k ==
1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；
2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。
解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：
111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ⎧++-=⎪⎨
+-=⎪⎩，即：1112122222122()0
t t t t t I k k k I k k θθθθθθ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩
所以：[][]12
21
2220,0t t t t t k k k I M K k k I +-⎡⎤
⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩
⎭ ………… (a)
或者采用能量法：系统的动能和势能分别为
θθ=
+22112211
22T E I I
θθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111
()()2222t t t t t t U k k k k k k
求偏导也可以得到[][],M K
由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ⎧⎫⎧⎫
=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，代入（a ）可得：
[][]12
2()0u K M u ω⎧⎫
-=⎨⎬⎩⎭
………… (b)
得到频率方程：22
12
1
2
1
12
22()0t t t t k I k k k I ωωω--=
=-- 即：224
222
121()
240t t I
k I k ωωω=-+=
解得：2
1
1,22
2
(22t k
I ω±=
=
所以：1ω=
2ω
=………… (c)
将（c ）代入（b ）可得：
1
121
2
121112
2(22)22
20(22t t t t t t k k I k I u u k k k I I ⎡⎤
±--⎢⎥
⎧⎫⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎢⎥--⎢⎥
⎣⎦
解得：11
212
u u =-
；12
22
2
u
u
=
令
21
u=，得到系统的振型为：
11
求图所示系统的固有频率和振型。设123213;33m m k k k ===。并画出振型图。
解：1)以静平衡位置为原点，设12,m m 的位移12,x x 为广义坐标，画出12,m m 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：
11112122222132()0
()0m x k x k x x m x k x x k x ++-=⎧⎨
+-+=⎩
所以：[][]122122320,0k k k m M K k k k m +-⎡⎤
⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦
系统运动微分方程可写为：[][]11220x x M K x x ⎧⎫⎧⎫
+=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ………… (a)
或者采用能量法：系统的动能和势能分别为
=
+22112211
22T E m x m x =+-+2221121232111
()222U k x k x x k x
求偏导也可以得到[][],M K
由于123213;33m m k k k ===，所以[][]223021,0114M m K k -⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
2)设系统固有振动的解为： 1122cos x u t x u ω⎧⎫⎧⎫
=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，代入（a ）可得：
[][]122()0u K M u ω⎧⎫
-=⎨⎬⎩⎭
………… (b)
得到频率方程：22
22
2
22
22
23()04k m k k k m ωωω--=
=--
即：224
222
222()314
70m k m k ωω
ω=-+=
解得：2
1,2
22
ω
== 所以：1
ω=
2ω=
………… (c)
将（c ）代入（b ）可得：
2
2
2221222222(727)2330(743k k m k m u u k k k m m ⎡⎤
±--⎢⎥
⎧⎫⎢
⎥=⎨⎬⎢⎥±⎩
⎭⎢⎥
--⎢⎥⎣⎦
解得：11
21
5 3
u u =-
；12
22
5
3
u
u
-
=
令
21
u=，得到系统的振型为
：
1
1