运筹学第11讲：整数规划(二)
运筹学中整数规划问题的近似算法
运筹学中整数规划问题的近似算法运筹学是一门研究如何在有限资源下做最优决策的学科，其中整数规划是其中一种重要的决策方法。
整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，对决策变量的取值加以限定，限定为整数值。
整数规划问题在实际应用中非常常见，例如优化生产计划、物流配送、资源分配等。
然而，整数规划问题的解空间通常是离散的，由于整数规划问题的NP难解性质，寻找准确解的效率很低，因此近似算法成为解决整数规划问题的重要手段。
一、近似算法的概念近似算法是指在可接受的误差范围内，通过有效的计算方法得到问题的近似最优解。
在整数规划问题中，近似算法主要通过松弛约束条件、局部搜索等方法寻找问题的近似解。
二、近似算法的分类近似算法可以根据问题的特性和解决方法的不同进行分类，下面介绍几种常见的近似算法。
1. 线性松弛算法（Linear Relaxation）线性松弛算法是整数规划问题中常用的近似算法之一。
该算法的基本思想是将整数规划问题的整数约束放宽为实数约束，得到一个线性规划问题。
然后通过求解线性规划问题的松弛解，并将松弛解的整数部分作为整数规划问题的一个近似解。
2. 近似局部搜索算法（Approximate Local Search）近似局部搜索算法通过在整数规划问题的解空间中进行局部搜索，通过一系列的改进和优化策略来逐步提高解的质量。
该算法在每一步都根据某种准则选择当前最优解，并通过局部搜索来寻找局部最优解。
然后，通过重复进行局部搜索和改进操作，逐渐向全局最优解靠近。
3. 启发式算法（Heuristic Algorithm）启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，通过在可行解空间中搜索一组近似解，并根据某种评价准则选择最优解。
在解决整数规划问题时，启发式算法通过寻找有效的近似解，来替代寻找准确解，从而节省计算资源和时间。
三、近似算法的应用案例近似算法在实际问题中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例，介绍近似算法的应用。
假设某物流公司需要将一批货物从仓库分配到多个客户，其中仓库和客户的位置已知，货物的需求和供应量也已知。
运筹学整数规划
实验报告课程名称：___ 运筹学 ____ 项目名称：整数规划问题_ 姓名：__专业：、班级：1班学号：同组成员：_ __1注：1、实验准备部分包括实验环境准备和实验所需知识点准备。
2、若是单人单组实验，同组成员填无。
例4.5设某部队为了完成某项特殊任务，需要昼夜24小时不间断值班，但每天不同时段所需要的人数不同，具体情况如表4-4所示。
假设值班人员分别在各时间段开时上班，并连续工作8h。
现在的问题是该部队要完成这项任务至少需要配备多少名班人员？解：根据题意，假设用i x（i=1,2,3,4,5,6）分别表示第i个班次开始上班的人数，每个人都要连续值班8h，于是根据问题的要求可归结为如下的整数规划模型：目标函数：iixz61min=∑=约束条件：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥）且为整数（6...1,0x30>=x6+x520>=x5+x450>=x4+x360>=x3+x270>=x2+x160>=x6+x1iimodel:sets:num/1,2,3,4,5,6/:b,x;endsetsdata:b=60,70,60,50,20,30;enddata[obj]min=@sum(num(i):x(i));x(1)+x(6)>=60;x(1)+x(2)>=70;x(2)+x(3)>=60;x(3)+x(4)>=50;2注：实验过程记录要包含实验目的、实验原理、实验步骤，页码不够可自行添加。
解：目标函数：y3*2000-y2*2000-y1*5000-x3*200)-(300+x2*30)-(40+x1*280)-(400=z max约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧y3*300<=x3*2y2*300<=x2*0.5y1*300<=x1*32000<=x3*4+x2+x1*5 model :sets :num/1,2,3/:x,y;endsets[obj]max =(400-280)*x(1)+(40-30)*x(2)+(300-200)*x(3)-5000*y(1)-2000*y(2)-2000*y(3);5*x(1)+x(2)+4*x(3)<=2000;3*x(1)<=300*y(1);0.5*x(2)<=300*y(2);2*x(3)<=300*y(3);@for (num(i):x(i)>=0;@bin (y(i)););end实验报告成绩（百分制）__________ 实验指导教师签字：__________。
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
运筹学经典课件-04.整数规划(胡运权)
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
2013-10-30
14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
5
§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
2013-10-30
13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
运筹学基础-整数规划(2)
【例 2 】求解 0-1 规划最优解
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 -5x2+3x3 ≤4 (1) 4x1 + x2+3x3 ≥3 (2) x2+x3 ≥1 (3) x1 , x2 , x3 =0或 1
解： 先将问题化为如下的标准问题
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
0 13 aij－列min 6 (0) 0 (0) 5 0 0 1 (0) 7 0 6 9 3 2 0 (0) 0 2 15 10 4 9 14 7 8 13 14 16 11 4 15 13 9
（a）从行开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在列 （b）再从列开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在行
∑ ∑
指派问题的解法－－匈牙利法 指派问题的解法－－匈牙利法 －－
从时间表（效率表）出发构建效率矩阵 效率矩阵。 效率矩阵
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
2 15 10 4 9 14 7 8
13 14 16 11
分配表
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
E x11 x21 x31 x41 1
i
J x12 x22 x32 x42 1
G x13 x23 x33 x43 1
ij x ij
R x14 x24 x34 x44 1
合计
1 1 1 1
运筹学教材习题答案详解
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
管理运筹学讲义：整数规划
这样就把相应的线性规划的可行域分成两个部分，如图所示。 x2
5 4 3
x1=3 x1=4
• • • •
1
• • •
2
2
1
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35
2x1 + x2 =9
x1
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12
SHUFE
第二节
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题2相应的线性规划的最优解：x1=3，x2 =20/7，Z2=226/7 问题3相应的线性规划的最优解：x1=4，x2 =1，Z3=29
3
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第一节
整数规划问题
• 解：设x1为甲产品的台数，x2为乙产品的台数。
maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
• 不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题。
不考虑整数约束的最优解：x1 *=28/9， x2 * =25/9，Z * =293/9
• 舍入化整
x1 =3， x2 =3，Z =33，不满足约束条件5x1 +7 x2 ≤35，非可行解； x1 =3， x2 =2，Z =28，满足约束条件，是可行解，但不是最优解； x1 =4， x2 =1，Z =29，满足约束条件，才是最优解。
4
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17
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第二节
分枝定界法
问题9： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1≤2 x2 ≥4 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数 x1=2 x1=3 x1=4
运筹学 整数规划( Integer Programming )
检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
割平面法的内涵:
Page 18
通过找适当的割平面,使得切割后最终得到这样的可行域( 不一定一次性得到), 它的一个有整数坐标的顶点恰好是 问题的最优解.
－Gomory割平面法
例: 求解
max z x1 x2 s.t. x1 x2 1
3x1 x2 4 x1 , x2 0, 整 数
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4 0
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4 0
0 x5 -3 0 0 -3 -1 1
0 0 -1/2 -1/2 0
由对偶单纯形法, x5为换出变量, x3为换入变量, 得Page 29
cj CB XB b 1 x1 1 1 x2 1 0 x3 1
1 100 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 1/3 1/12 0 1 0 0 1/4 0 0 1 -1 -1/3 0 0 0 -1/2 -1/6
收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
也是有效的.
分支定界法
Page 33
分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下
一步； 2）分支与定界：
任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1
管理运筹学案例演示混合整数规划
yi
当 选 择 Ai 地 建 厂 时; 当 不 选 择 Ai 地 建 厂 时 。
约束条件: A1产量限制条件;及A2、 A3、 A4、 A5准备建设的新厂, 其产量约束条件；
满足销量的约束条件；
目标函数: 总的固定成本和总的运费之和最小。
（2）在上述模型的基础上加上一个约束条件，即：
y2 ? y3 ? 1
每个广告的费用（千元）
电
白昼时间
8
视
热门时间
15
广杂 播志
63
每个广告影响总人数（千人）
40
90
50 2
每个广告影响妇女数（千人）
30
40
20 1
解：设电视白昼时间的广告个数为 x1、电视热门时间的广告个 数为 x2、广播的广告个数为 x3、杂志的广告个数为 x4。
该广告计划模型为：
max z ? 40x1 ? 90x2 ? 50x3 ? 2x4
D Goal Programmingmic Programming
E Transportation Programming
1 2 3 4 5 6 7 N Simulation
F Assignment
123456
8 9 10 11 12 O Forecasting
G Break-Even Analysis
x1 ? y1M x2 ? y2 M x3 ? y3 M
目标函数： 为扣除固定费用的利润最大化，即：
4x1 ? 5x2 ? 6x3 ? 100y1 ? 150y2 ? 200y3
该生产计划整数规划模型为：
max z ? 4x1 ? 5x2 ? 6x3 ? 100 y1 ? 150 y2 ? 200 y3
运筹学整数规划课后答案吉林大学
运筹学整数规划课后答案吉林大学一、单项选择题1、以下说法正确的选项是（）。
A.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比拟剪枝D.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值正确答案：A2、整数规划的最优解中，决策变量满足（）。
A.决策变量不是整数B.没有要求C.决策变量至少有一个是整数D.决策变量必须都是整数正确答案：D3、以下（）可以求解指派问题。
A.梯度法B.牛顿法C.单纯形法D.匈牙利法正确答案：D4、整数规划中，通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割，切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是（)。
A.隐枚举法B.0-1规划法C.分支定界法D.割平面法正确答案：D5、标准指派问题(m人，m件事)的规划模型中，有()个决策变量。
A渚B不对m*mB.mD.2m正确答案：B二、判断题1、匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。
()正确答案：x2、整数规划的可行解集合是离散型集合。
（）正确答案：V3、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，任何一个可行解的目标函数值是该问题的目标函数值的下界。
（）正确答案：V4、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可以任取一个作为下界值，在进行比拟和剪枝。
（）正确答案：X5、用割平面求纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量都取整数。
（）正确答案：V。
运筹学整数规划指派问题
B1 B2 B3 B4 B5
A1 4 8 7 15 12
A2
7
9
17
14
10
A3 6 9 12 8 7
B1 B2 B3 B4 B5
A1 A1
4 4
8 8
7 7
15 12 15 12
A2
7
9
17
14
10
A2 7 9 17 14 10
A3
6
9
12
8
7
A3 6 9 12 8 7
由于每家建筑公司最多可承建两家新商店，因此，把每家
4 8 7 15 12 -4 7 9 17 14 7 -7
0 4 3 11 8 0 2 10 7 3
C
6
9 12
6
10
-6
0
3
6
2
1
6 7 14 8 10 -6
0 1 8 0 4
6
9
6
10
8
-6
0
3
6
4
0
-1 -3
✓
0 0
3 1
0 7
11 7
8 3
✓
C1
0
2
3
2
1
✓
0 0 5 0 4
15 193
-2 -4 -9 -7
0 13 11 2
6 0 0
0 5 1
10 11
7 4
4 2
0 13 7 0
6 0 0
0 5 1
6 3 0
9 2 0
C1
-4 -2
x14 1, x22 1, x31 1, x43 1
其余全为0。
步骤2：用圈0法确定 C1 中的独立0元素。若独立零元素个
运筹学试验：整数规划
《运筹学》上机实验报告三(整数线性规划)实验名称：利用Gomory割平面法编程求解整数规划问题；利用分枝定界法编程求解整数规划问题实验目的：1. 学会软件lindo/lingo的安装及基本的操作；2. 对实际问题进行数学建模，并学会用数学软件Matlab或运筹软件Lindo/Lingo 对问题进行求解。
实验内容：1．用lindo/lingo 计算（学会输入、查看、运行、结果分析）max z = 20x1 + 10x25x1 + 4x2 ≤ 242x1 + 5x2 ≤ 13x1,x2 ≥ 0x1,x2取整数2．(指派问题)现在有A 、B、C、D、E五种任务，要交给甲、乙、丙、丁、戊去完成，每人完成一种任务，每个人完成每种任务所需要的时间如下表。
问应该如何安排个人完成哪项任务可使总的花费的时间最少？(建立数学模型，用数学软件求解该问题，写出结果并对运行结果加以说明)A B C D E任务人甲127979乙89666丙717121412丁15146610戊41071063.选址问题某跨国公司准备在某国建三个加工厂，现有8个城市供选择，每个城市需要的投资分别为1200万美元、1400万美元、800万美元、900万美元、1000万美元、1050万美元、950万美元、150万美元，但投资总额不能超过3400万美元，形成生产能力分别为100万台、120万台、80万台、85万台、95万台、100万台、90万台、130万台，由于需求的原因，要求：城市1和城市3最多选1个，城市3、城市4、城市5最多选两个，城市6和城市7最少选1个，问选择哪些城市建厂，才能使总的生产能力最大？(建立数学模型，用数学软件求解该问题，写出结果并对运行结果加以说明)整数变量定义LinDo一般整数变量:GIN <Variable>0-1整数变量: INT <Variable>LinGo一般整数变量: @GIN( variable_name);0-1整数变量：@BIN( variable_name);例如（1）Lindo运算程序max 3 x1+5 x2+4 x3subject to2 x1+3 x2<=15002 x2+4 x3<=8003 x1+2 x2 +5 x3<=2000endgin x1gin x3（2） max z = 3x1 - 2x2 + 5x3x1 + 2x2 - x3 ≤ 2x1 + 4x2 + x3 ≤ 4x1 + x2 ≤ 34x2 + x3 < 6x1,x2,x3 = 0或1lingo程序：max =3*x1 – 2*x2 + 5*x3;x1 + 2*x2 - x3 <= 2;x1 + 4*x2 + x3 <= 4;x1 + x2 <= 3 ; 4*x2 + x3< 6; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);。
运筹学整数规划
2 0 5 0 3
0 0 7 0 6
2 0 2 4 5
3。重复。依行，不考虑划去的0，只有一个0的 对0打圈，划去列 2
1
5 2 0 9 0
0 3 10 8 6
2 0 5 0 3
0 0 7 0 6
2 0 2 4 5
3
4。重复。依列，不考虑划去的0，只有一个0的 对0打圈，划去行 2
7 8 11
任务 人员
分派情况
甲 乙 丙
E J G R
丁
4
15
所需时间
13
9
甲 1 1 乙 1 丙 1 丁
对应每个指派问题, 都有类似的表格，我们称之 为效率矩阵或系数矩阵，某元素 cij ( i , j = 1,2, · · · · · · , n ) 表示指派第 i 个人去完成 第 j 项任务时的效率(或
整数规划问题的求解要比一般的线性规划困难
本章将着重讨论 1。一类特殊的整数规划——指派问题，它的数 学模型和求解。 2。求解整数规划方法——分枝定界法。
一、指派问题的数学模型
1。数学模型
某单位需要指派 n 个人去完成 n 项任务，每个人 只做一项工作，同时，每项工作只由一个人完成。由 于各人的专长不同，每个人完成各项任务的效率也不 同。于是产生了应指派哪一个人去完成哪一项任务， 使完成 n 项任务的总效率最高（如所用的时间为最 少）。我们把这类问题称之为指派问题或分派问题 (Assignment Problem)。
二、匈牙利法
指派问题的效率矩阵的每一个元素aij≥0
解矩阵是每行或每列只能有一个元素为1，其余 均为 0 的 n 阶方阵。如：
0 0 ( xij ) 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
运筹学 整数规划
问应如何选择使年利润最大？
相互排斥的约束条件
某厂用车运和船运两种方式运送甲乙两种 货物，每箱体积、重量、利润及限制条件 如下表：
加入约束： 3 x1－2 x2＋5 x3 ≥5
x1 . x 2. x3 ( 0. ( 0. ( 0. ( 1. ( 0. ( 1. ( 1. ( 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0 ) 1) 0) 0) 1) 1) 0) 1) (0) 0 5 －2 3 3 8 1 4 0 2 (1) 0 －1 0 1
注：划分不影响原（IP）问题的最优解
LP1 的解
x2
先求（LP1）,如图所示。 此时B 在点取得最优解。
3 ⑵ ⑴
B ⑶
x1＝1, x2 =3, Z(1)＝16 找到整数解，问题已探 明，此支停止计算
3
x1
LP2 的解
再求（LP2）,如图所示。 此时C 在点取得最优解。 x1＝2, x2 =10/3, Z(2) ＝56/3≈18.7 Z(2) > Z(1) x2 不是整数，加入条 件x2≤3，x2≥4 将（LP2）继续划分为 (LP3) ,(LP4)
1
C (1,1)
计算步骤
1.
用单纯形法求解(IP)对应的松弛问题(LP)：
⑴.若(LP)没有可行解，则(IP)也没有可行解， 停止计算。 ⑵.若(LP)有最优解，并符合(IP)的整数条件，则 即为(IP)的最优解，停止计算。 ⑶.若(LP)有最优解，但不符合(IP)的整数条件， 转入下一步。
运筹学：目标规划、整数规划习题与答案
一、判断题1、正偏差变量大于等于零，负偏差变量小于等于零。
（）正确答案：×2、系统约束中最多含有一个正或负的偏差变量。
（）正确答案：×3、目标约束一定是等式约束。
（）正确答案：√4、一对正负偏差变量至少一个大于零。
（）正确答案：×5、一对正负偏差变量至少一个等于零。
（）正确答案：√6、要求不超过目标值的目标函数是minZ= d+。
（）正确答案：√7、超出目标的差值称为正偏差。
（）正确答案：√8、未到达目标的差值称为负偏差。
（）正确答案：√二、填空题1. 用分枝定界法求极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的（）。
正确答案：下界2.在分枝定界法中，若选Xr=4／3进行分支，则构造的约束条件应为（）。
正确答案：X1<=1，X1>=23. 已知整数规划问题P0，其相应的松驰问题记为P0’，若问题P0’无可行解，则问题P0（）。
正确答案：无可行解4.在0 - 1整数规划中变量的取值可能是（）。
正确答案：0或15. 对于一个有n项任务需要有n个人去完成的分配问题，其解中取值为1的变量数为（）个。
正确答案：n三、选择题1. 整数规划问题中，变量的取值可能是（）。
A.整数B.0或1C.大于零的非整数D.以上三种都可能正确答案：D2.在下列整数规划问题中，分枝定界法和割平面法都可以采用的是（）。
A.纯整数规划B.混合整数规划C.0—1规划D.线性规划正确答案：A3.下列方法中用于求解分配问题的是（）。
A.单纯形表B.分枝定界法C.表上作业法D.匈牙利法正确答案：D。
运筹学——0-1整数规划
(1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
0’’ -2 3 1 6
1
.2
.3
Z .4 足 值 no no no no
最优解(X2,X1,X3) =（0，1，1） Z=8 实际只计算了16次
例2
求下列问题：
Max Z=3x1+ 4x2 + 5x3 + 6x4 s.t. 2x1+ 3x2 + 4x3 + 5x4 15
0-1规划应用
华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目 的投资额和期望的投资收益见下表： 项目 投资额(万元) 投资收益(万元) 1 210 150
2
3 4 5
300
100 130 260
210
60 80 180
该公司只有600万元资金可用于投资， 由于技术原因，投资受到以下约束： 在项目1、2和3中必须有一项被选中；
0-1 规划及其解法
0-1 规划在线性整数规划中具有重要地位。 定理：任何整数规划都可以化成0-1规划。 一般地说，可把整数x变成(k+1)个0-1变量公 式为：x=y0+2y1+22y2+….2kyk 若x上界为U，则对0<x<U,要求k满足2k+1 U+1.
由于这个原因，数学界曾纷纷寻找“背包问 题”解的方法，但进展缓慢。
xi=1或0
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解：由于目标函数中变量x1, x2 , x4 的系数均为负数， 可作如下变换：
令 x1 ＝1－ x1′ , x2 =1- x2′, x3= x3′, x4 =1- x4′带入原题 中，但需重新调整变量编号。令 x3′ = x1′, x4′ = x2′得到下式。
运筹学教材习题答案详解
显然用料最少的方案最优。
1.4A、B两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品A需要前道工序1小时和后道工序2小时，每一个单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时．可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时．
3
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
《运筹学》
第1章线性规划
第2章线性规划的对偶理论
第3章整数规划
第4章目标规划
第5章运输与指派问题
第6章网络模型
第7章网络计划
第8章动态规划
第9章排队论
第10章存储论
第11章决策论
第12章对策论
习题一
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第11讲：整数规划(二)
指派问题标准形式的特点
模型为min型 系数矩阵C 为方阵 系数cij≥0
运筹学
第11讲：整数规划(二)
三、匈牙利法
(以习题5-2为例)
甲、乙、丙、丁四人加工A、B、C、D四种工件所需时间如表 所示。问应指派何人加工何种工件，使总的加工时间最少？ 工件 工人 甲 乙 丙 丁 A 14 9 4 15 B 11 7 9 10 C 13 2 10 5 D 17 9 15 13
B3 7 17 12
B4 15 14 8
B5 12 10 7
B1
B2 8 8
B3 7 7
B4
B5 A1 A1 ' A2 A2 ' A3 A3 '
B1
B2
B3
B4
B5 A1 A2 A3
B5 B6 A1 A1 ' A2 A2 ' A3 A3 '
4 8 7 15 12 7 9 17 14 10 6 9 12 8 7
1
/
0
表中的元素表示4人完成3项任务的利润，“/”表示不胜任。 由于精力所限，每人只能承担一项任务，求使总利润最大 的指派方案。
作业：习题5-3，习题5-4，5.8 思考：案例7
例5 (习题5-7)
便民超市准备在城市西北郊新建的居民小区中开设若干连锁店。为方便购
物，规划任一居民小区至其中一个连锁店的距离不超过800m。下表给出了新 建的居民小区及离该居民小区半径800m内的各个小区，问该超市最少应在上
第11讲 整数规划(二)
——指派问题
浙江工业大学经贸管理学院
曹柬
运筹学
第11讲：整数规划(二)
一、指派问题的概念
例1(习题5-2)
甲、乙、丙、丁四人加工A、B、C、D四种工件所需时间如表 所示。问应指派何人加工何种工件，使总的加工时间最少？ 工件 工人 甲 A 14 B 11 C 13 D 17
乙
4
7 6 6 6
8
9 9 7 9
7
17 12 14 12
15
14 8 6 10
12
10 7 10 6
运筹学
第11讲：整数规划(二)
四、非标准形式指派问题的求解
若为max型，可用C中最大元素分别减去C中每一元素
若人数和任务数不同，即C非方阵，可添加虚拟的人或任务，
取系数为0
一个人做几项任务，可将该人化为几个人；反之亦然
一般称C=(cij )n×n为指派问题的系数矩阵。在实际问题中，
cij 可表示费用、时间、距离等。
为建立标准指派问题的数学模型，引入n2 个0-1变量：
指派第i人做第j事 1 xij 0 不指派第i人做第j事
i, j 1, 2, , n
指派问题有 n! 个可行解
运筹学
某任讲：整数规划(二)
例3
某商业公司计划开办5家新商店，公司决定由3家建筑公司分别
承建，允许每家建筑公司承建一家或二家商店。已知建筑公司 Ai 对新商店Bj 的建造费用报价如下表所示。求使总费用最小的
指派方案。
Bj
Ai
A1 A2 A3
B1 4 7 6
B2 8 9 9
运筹学
第11讲：整数规划(二)
例2
某商业公司计划开办5家新商店，为尽快建成营业，公司决定 由5家建筑公司分别承建。已知建筑公司Ai 对新商店Bj 的建造 费用报价如下表所示。问商业公司应对5家建筑公司如何分配 建造任务，使得总建造费用最小？ Bj Ai B1 B2 B3 B4 B5
A1
A2 A3 A4 A5
丙 丁
9
4 15
7
9 10
2
10 5
9
15 13
运筹学
第11讲：整数规划(二)
二、指派问题的标准形式
指派问题的标准形式(以人和事为例)是：有n 个人和n 件事，已
知第i 人做第j 事的付出为cij (i,j =1,2,…,n )，要求确定人与事之 间的一一对应的指派方案，使完成这n 件事的总付出最小。
述小区中建多少个连锁店及建于哪些小区内。
小区代号 A 该小区800m半径内的各小区 AC E G H I
B
C D E F G H I J K L
BHI
AC G H I DJ AE G FJK AC E G AB C H I AB C H I DFJKL FJKL JKL
附：Lindo语句 min xa+xb+xc+xd+xe+xf+xg+xh+xi+xj+xk+xl st xa+xc+xe+xg+xh+xi>=1 xb+xg+xi>=1 xa+xc+xg+xh+xi>=1 xd+xj>=1 xa+xe+xg>=1 xf+xg+xk>=1 xa+xc+xe+xg>=1 xa+xb+xc+xh+xi>=1 xd+xf+xj+xk+xl>=1 xf+xj+xk+xl>=1 求得：xG＝xH＝xJ＝1， xj+xk+xl>=1 其余xj＝0 end int 12
15 12 0 15 12 0 14 10 0 14 10 0 8 7 0 8 7 0
采用匈牙利法求得：
A1承建B1和B3，A2承建 B2，A3承建B4和B5，总
造价为35万元。
运筹学
第11讲：整数规划(二)
例4
A 甲 3 乙 2 丙 -2 丁 1
B
C
2
/
-2
-1
0
B1 4 4 7 7 6 6 B2 8 8 B3 7 7 B4
4 4 7 7 6 6
9 17 9 17 9 12 9 12
15 12 15 12 14 10 14 10 8 7 8 7
9 17 9 17 9 12 9 12