运筹学整数规划例题
运筹学：整数规划习题与答案
一、单选题1、下列说法正确的是（）。
A.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝D.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值正确答案：A2、整数规划的最优解中，决策变量满足（）。
A.决策变量不是整数B.没有要求C.决策变量至少有一个是整数D.决策变量必须都是整数正确答案：D3、下列（）可以求解指派问题。
A.梯度法B.牛顿法C.单纯形法D.匈牙利法4、整数规划中，通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割，切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是（）。
A.隐枚举法B.0-1规划法C.分支定界法D.割平面法正确答案：D5、标准指派问题（m人，m件事）的规划模型中，有（）个决策变量。
A.都不对B. m*mC. mD.2m正确答案：B二、判断题1、匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。
（）正确答案：×2、整数规划的可行解集合是离散型集合。
（）正确答案：√3、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，任何一个可行解的目标函数值是该问题的目标函数值的下界。
（）4、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可以任取一个作为下界值，在进行比较和剪枝。
（）正确答案：×5、用割平面求纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量都取整数。
（）正确答案：√。
运筹学第五章整数规划
分解 ai0 , j和 bi0 成最大整数与正分数之和：
浙江理工大学 经济管理学院
管理运筹学
wxj
Page:21
xi0 ai0 , j x j bi0 xi0 ( Ni0 , j f i0 , j )x j Ni0 f i0 xi0 Ni0 , j x j Ni0 f i0 f i0 , j x j
S1
x2 2
B: x1=2,x2=23/9 Z=41/9
x2 3
D: S12 x1=33/14,x2=2 Z=61/14
S11
无可行解
浙江理工大学 经济管理学院
管理运筹学
wxj
Page:15
对S12分枝：
构造约束：
x1 3
X
2 5
4
和
x1 2
3
3 10 A( , ) 2 3
形成分枝问题S121 和S122，得解E和F
形成松弛问题2
浙江理工大学 经济管理学院
管理运筹学
wxj
Page:24
CB XB 3 x1 -1 0 0 x2 x4 x6
3 -1 0 0 x1 x2 x3 x4 1 0 1/7 0 0 0 0 0 1 -2/7 0
0 x5 2/7 3/7
0 x6 0 0 0 1 0
b 13/7 9/7 31/7 -6/7
首先不考虑变量的整数约束，求解相应的线性规划问题：
z0
Max z = CX AX = b X0
D
C
下界
O Ir
Max z = CX AX = b xr Ir X0 Max z = CX AX = b xr Ir+1 X0
割平面法-运筹学整数规划
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不 符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值 的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其 下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别 求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述 下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数 条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引 得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1
第六章 运筹学 整数规划案例
第六章整数规划6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。
1、 max z=3x1+2x2S.T. 2x1+3x2≤122x1+x2≤9x1、x2≥0解：2、 min f=10x1+9x2S.T. 5x1+3x2≥45x1≥8x2≤10x1、x2≥06.2 求解下列整数规划问题1、 min f=4x1+3x2+2x3S.T. 2x1-5x2+3x3≤44x1+x2+3x3≥3x2+x3≥1x1、x2、x3=0或1解：最优解（0，0，1），最优值：22、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2-2x1+4x2+2x2+4x2≥4x1+x2-x2+x2≥3x1、x2、x3、x3=0或1解：此模型没有可行解。
3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤302x1+5x2-x2+3x2≤20-x1+3x2+5x2+3x2≤403x1-x2+3x2+5x2≤25x1、x2、x3、x3=正整数解：最优解（0，3，4，3），最优值：474、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19约束条件x1 + x2+x3≤30x4+ x5＋x6-10 x16≤0x7+ x8＋x9-20 x17≤0x10+ x11＋x12-30 x18≤0x13+ x14＋x15-40 x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20x i为非负数（i=1,2…..8）x i为非负整数（i=9,10…..15）x i为为0－1变量（i=16,17…..19）解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：8606.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：公司办公会决定选择原则如下：（1）B5、B3和B7只能选择一个。
运筹学导论第八版8整数线性规划
上例中，对所有的 j，cj=1. 如果 cj 表示位置 j 安装 的费 用，那么这些系数就是这些费用值而不再是1.
习题
MobileCo公司拿出1500万美元，最多建造7个发射台来覆盖15个 相邻社区中尽可能多的人口。下表给出了每个发射台可以覆盖 的社区以及建造这个发射台的费用以及社区人口。确定出需要 建设哪几个发射台。
由上例看出，
将其相应的线性规划的最优解“化整”来解原整数线 性规划，虽是最容易想到的，但往往不可行。
化整后不见得是可行解；或虽是可行解，但不一定是 最优解。
因此有必要对整数线性规划的解法进行专门研究。
此类问题为整数线性规划(Integer Linear Programming ， ILP)，整数线性规划是最近几十年来发展起来的规划论 中的一个分支。
有部分变量取小数，这不符合实际，若采用舍入方法，则 x1= x5=1，这意味着5个项目都要选择，显然是不可行解，
对于采用“是否”决策问题，舍入法不可行。
习题
某唱片公司与一位新的歌手签约录制8首歌曲，这8首歌曲 的时间长度分别为8,3,5,5,9,6,7,12分钟，公司希望将所有的 歌曲分配在磁带的两面，使得两面的歌曲时间长度尽量相 同。请建立整数规划模型，求出最优解。
发射台
覆盖社区
1
1，2
2
2，3，5
3
1，7，9，10
4
4，6，8，9
5
6，7，9，11
6
5，7，10，12，14
7
12，13，14，15
各个社区人口数目
建造费用(百万) 3.6 2.3 4.1 3.15 2.8 2.65 3.1
整数规划例题
〈运筹学〉补充例题例题 1.1 某工厂可以生产产品A和产品B两种产品。
生产单位产品A和B所需要的机时、人工工时的数量以及可利用资源总量由下表给出。
这两种产品在市场上是畅销产品。
该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标是使工厂的销售额最大。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100产品售价（元） 800 300MAX 800X1 +300X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.2该工厂根据产品A和产品B的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。
产品A和B的价格调整为600元和400元。
假设其它条件不变，请你帮助该工厂经理制订季度的生产计划，其目标仍然是使工厂的销售额最大。
X 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.3由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。
因此，工厂要全面考虑各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100原材料(公斤) 11 8 130产品售价（元） 600 400MAX 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 10011X1 +8X2 <= 130X1, X2 >=0例题 1.４随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额变为注重销售利润，因此，要考虑资源的成本。
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量资源价格（元／单位）机器（时） 6 8 120 ５人工（时） 10 5 100 20原材料(公斤) 11 8 130 1产品售价（元） 600 400设： J为所用机器资源数量（小时）；R为所用人力资源数量（小时）；L为所用原材料数量（公斤）MAX 600X1 +400X2 -CST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L = 0J <= 120R <= 100L <= 1305J +20R +1L - C = 0x1, x2, J,R,L>=0例题 1.5 学习了管理课程后，该企业的经理明白了产品的成本包括变动成本和固定成本。
运筹学整数规划例题
练习4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元,拟在今后五年内考虑用于下列项目的投资:项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4万元,第二.三.四年不限.项目B:第三年初需要投资,到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为5万元.项目C:第二年初需要投资,到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为4万元,或为6万元,或为8万元.项目D:五年内每年年初都可购买公债,于当年末归还,并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额,使到第五年末拥有最大的资金收益.(1) x 为项目各年月初投入向量。
(2) ij x 为 i 种项目j 年的月初的投入。
(3) 向量c 中的元素ijc 为i 年末j 种项目收回本例的百分比。
(4) 矩阵A 中元素ija 为约束条件中每个变量ijx 的系数。
(5) Z 为第5年末能拥有的资金本利最大总额。
因此目标函数为4325max 1.15 1.28 1.40 1.06A B C D Z x x x x =+++束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金.第1年年初该投资者拥有10万元资金,故有11100000A D x x +=.第2年年初该投资者手中拥有资金只有()116%D x +,故有22211.06A C D D x x x x ++=.第3年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 21.06D x ,及从项目A 中第1年投资收回的本金: 11.15A x ,故有333121.15 1.06A B D A D x x x x x ++=+同理第4年、第5年有约束为44231.15 1.06A D A D x x x x +=+,5341.15 1.06DA Dx x x =+max =1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d; x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0; -1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0; -1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0; x2c=40000 ; x2c=60000; x2c=80000; x2c=20000; x3b>=30000; x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0; x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0; x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0; x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;Variable Value Reduced Cost X4A 22900.00 0.000000 X3B 50000.00 0.000000 X2C 40000.00 0.000000 X5D 0.000000 0.000000 X1A 62264.15 0.000000 X1D 37735.85 0.000000 X2A 0.000000 0.000000 X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000 X3D 21603.77 0.000000 X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000 X1B 0.000000 0.000000 X2B 0.000000 0.000000 X4B 0.000000 0.000000 X5B 0.000000 0.000000 X1C 0.000000 0.000000 X3C 0.000000 0.000000 X4C 0.000000 0.000000 X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4，表示消防站1，2，…11表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间内对所负责的区域内的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习4.10某城市的消防站总部将全市划分为11个防火区，现有四的。
运筹学基础-整数规划(2)
【例 2 】求解 0-1 规划最优解
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 -5x2+3x3 ≤4 (1) 4x1 + x2+3x3 ≥3 (2) x2+x3 ≥1 (3) x1 , x2 , x3 =0或 1
解： 先将问题化为如下的标准问题
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
0 13 aij－列min 6 (0) 0 (0) 5 0 0 1 (0) 7 0 6 9 3 2 0 (0) 0 2 15 10 4 9 14 7 8 13 14 16 11 4 15 13 9
（a）从行开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在列 （b）再从列开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在行
∑ ∑
指派问题的解法－－匈牙利法 指派问题的解法－－匈牙利法 －－
从时间表（效率表）出发构建效率矩阵 效率矩阵。 效率矩阵
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
2 15 10 4 9 14 7 8
13 14 16 11
分配表
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
E x11 x21 x31 x41 1
i
J x12 x22 x32 x42 1
G x13 x23 x33 x43 1
ij x ij
R x14 x24 x34 x44 1
合计
1 1 1 1
运筹学 第五章 整数规划
M是足够大的整数，y 是0-1变量
14
f(x)-5 0
f(x) 0
(1)
(2)
-f(x)+5 M（1-y)
f(x) My
(3)
(4)
当y=1时,(1)(3)无差别,(4)式显然成立;
当y=0时,(2)(4)无差别,(3)式显然成立。
以上方法可以处理绝对值形式的约束
f(x) a (a>0)
31
5.1 分枝定界法 （Branch and Bound Method)
原问题的松驰问题： 任何整数规划（IP），凡放弃某些约束 条件（如整数要求）后，所得到的问题 （P） 都称为（IP）的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性 要求后，（P）为线性规划问题。
32
去掉整数约束,用单纯形法 IP LP
23
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时，常会有 如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此经过穷举 法一一比较后，总能求出最好方案，例如， 背包问题充其量有2n种方式，实际上这种 方法是不可行。
设想计算机每秒能比较1000000个方式，那 么比较完260种方式，大约需要360世纪。
24
先放弃变量的整数性要求，解一个 线性规划问题，然后用“四舍五入” 法取整数解，这种方法，只有在变量 的取值很大时，才有成功的可能性， 而当变量的取值较小时，特别是0-1规 划时，往往不能成功。
Yes xI* = xl*
xl*
判别是否整数解
No 去掉非整数域 多个LP ……
33
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能会出现 下面几种情况：
若所得的最优解的各分量恰好是整数， 则这个解也是原整数规划的最优解，计 算结束。
二阶段法例题 运筹学
二阶段法例题运筹学二阶段法是一种求解整数规划的方法，常常用于求解生产计划、物资调运等问题的优化。
以下是使用二阶段法求解整数规划问题的一个例子：假设有一个生产任务需要完成，有3个车间可以用来完成这个任务。
每个车间的生产能力不同，并且有各自的加工成本。
目标是选择一些车间来完成这个任务，使得总成本最低。
假设三个车间的生产能力分别为30、40和50单位，加工成本分别为10、15和20单位。
第一阶段：使用线性规划来求解每个车间应该完成的最大和最小生产量。
设三个车间的最大生产量分别为x1、x2和x3，最小生产量分别为y1、y2和y3。
目标函数：min z = 10x1 + 15x2 + 20x3约束条件：30x1 + 40x2 + 50x3 >= 30 (任务需求)30y1 + 40y2 + 50y3 <= 30 (生产能力限制)x1, x2, x3 >= y1, y2, y3 (加工顺序限制)求解第一阶段问题后，可以得到每个车间的最大和最小生产量。
第二阶段：使用整数规划来求解应该选择哪些车间来完成任务。
设选择的车间集合为S，整数变量xi表示第i个车间是否被选择（xi=1表示选择，xi=0表示不选择）。
目标函数：min z = 10x1 + 15x2 + 20x3约束条件：30xi >= x1i (i=1,2,3) (满足第一阶段的最小生产量)30xi <= xii (i=1,2,3) (满足第一阶段的最大生产量)x1 + x2 + x3 = 1 (整数约束)求解第二阶段问题后，可以得到应该选择哪些车间来完成任务，以及每个车间的生产量。
运筹学整数线性规划
Ax b s.t.x 0,i 1,2,...,n
xi为整数,i 1,2,...,p
1 整数线性规划问题举例
•例311 某财团有 B 万元的资金，有 n(n 2) 个可以考
虑的投资项目，假定每个项目最多投资一次。其中
第 j 个项目需投资金额为 b j 万元，将会获得的利润
为 c j 万元，问应如何选择项目才能使得获得的总 利润最大？
2 解整数线性规划问题的困难性
LP的可行集合
费用下降方向 LP问题的最优解
ILP问题的最优解
2 解整数线性规划问题的困难性续
• 最优解不一定在顶点上达到 • 最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整数解 • 整数可行解远多于松弛问题的顶点;枚举法不可
取 • 解ILP问题要远难于解松弛的LP问题 • 如果松弛的LP问题无解;显然原ILP问题无解 反
bjxj B
j1
x
j
0或 1;
j
1, 2..., n
旅行售货员问题
• 此外;运筹学还有一个著名的问题：
旅行售货员问题TSP
显示问题
2 解整数线性规划问题的困难性
整数规划
min z c x Ax b
s.t.x 0, x为整数
松弛的线性规划问题
min z c x
s.t. xAห้องสมุดไป่ตู้x
0
b
可行解是松弛问题的可行解 最优值大于等于松弛问题的最优值
第一节 整数线性规划问题
• 整数线性规划问题举例 • 解整数线性规划问题的困难性
整数线性规划问题
• 整数线性规划ILP具有下述形式
min c x
Ax b
s .t .
x
运筹学01整数规划
第四节 0-1整数规划
• 问题的提出：
0-1整数规划是线性规划及整数规划的一种特殊形式。 模型结构和形式是线性规划，只是决策变量取0或1。 例1：投资场所的选定——相互排斥的计划 某公司拟在城市的东、西、南三区建立分公司，拟议中有七 个位置Ai（i=1, 2,…,7), 规定在东区A1,A2,A3个点中至多选二个; 在 西区A4,A5两点中至少选一个; 在南区A6,A7中至少选一个, 如选用Ai 点,设备投资估计为bi元, 每年可获利润估计为ci元, 但投资总额不能 超过B元, 问应选择哪几个点可年利润最大?
解：求解过程见下表
(x1,x2,x3) （0,0,0）
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值 0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件
过滤条件 Z0 Z5
Z8
所以，最优解为（x1，x2，x3)T=(1,0,1)T, 最优值为8.
令
xi
1
0
当Ai点被选用 当Ai点未被选用
i=1, …,7
7
max Z c i x i
i1
7
bixi
B
i1
x1 x 2 x 3 2
s .t
x
4
x5
1
x
0 or 1
例2: 相互排斥的约束条件
运筹学之整数规划
f 130
* 1
f 2* 135
B1 的解 X1* (5,4)T 是整数最优解,它当然也是问题 A0 问题
* * 的整数可行解,故 A0 的整数最优解 Z f1 130.
即此时可将 Z 修改为:
Z f1* 130
同时问题 B1 也被查清, 成为“树叶”。
题 A0 的最优目标函数值决不会比它小,故可令 Z =0.
3. 增加约束条件将原问题分枝 当问题 A0 的最优解 X 0* 不满足整数条件时,在 X 0* 中任选一个
不符合整数条件的变量.如本例选 x1 5.6,
显然问题 A0 的
整数最优解只能是 x1 5 或 x1 6 ,而绝不会在5与6之间.
规划.
问题 A1
max Z 20x1 10x2
问题 A2
max Z 20x1 10x2
5 x1 8 x2 60 x1 8 s.t x2 4 x1 5 x1 , x2 0, 取整数
5 x1 8 x2 60 x1 8 s.t x2 4 x1 6 x1 , x2 0, 取整数
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
运筹学第五章 整数规划
2、0-1型变量常用来表示是否处于某个特定状态
例5.6
有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产 品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产品 生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划，使 总收益最大。
0-1型变量常用来表示两个选项中非此即彼的选择
例5.7 用4台机床加工3件产品。各产品的机床加工顺序，以及产品在机 床上的加工工时见下表，且要求工件二的总工时不超过d。现要求确定 各件产品在机床上的加工方案,使在最短的时间内加工完全部产品.
A 甲 15 B 17 C 21 D 24
乙
丙 丁
19
26 19
23
17 21
22
16 23
18
19 17
解：令 xij=
1 若指派第i 人做第j 事 （i, j=1, …, n） 0 若不指派第i 人做第j 事
每个人只能完 成一项任务
满足约束条件的可行解 也可写成矩阵形式，称 为解矩阵。如例5.9的一 个可行解矩阵是:
每行减该行最小数
0 1 10 2
2 5 1 4
6 4 0 6
9 0 3 0
每列减该列最小数
0 1 10 2
1 4 0 3
6 4 0 6
产品1
产品2
产品3
a11 机床1 a21 机床1
a22 机床2 a32 机床2
a13 机床3
a33 机床3
a14 机床4 a24 机床4
xij表示第i种产品在第j台机床上加工的开始时间。 同一件产品在下一台机床上加工的开始时间不得早 1 同一 于在上一台机床上加工的结束时间 件产品 产品1：x11+a11x13 及 x13+a13x14 在不同 机床上 产品2：x21+a21x22 及 x22+a22x24 的加工 产品3：x32+a32x33 顺序
2.运筹学_整数规划案例
设每个月从仓库i运往地区j的产品的货物数量为xij，引入0－ 1变量yi= 1表示在Ai设立仓库，否则不设。 设每个月的总花费为z，则上述问题的数学模型为 Min z＝200x11+400x12+500x13+300x21+250x22+450x23 +600x31+400x32+250x33+300x41+150x42+350x43+45000y1+5000 0y2+70000y3+40000y4 s.t. x11+x12+x13≤1000y1 x21+x22+x23≤1000y2 x31+x32+x33≤1000y3 x41+x42+x43≤1000y4 x11+x21+x31+x41≥600 x12+x22+x32+x42≥700 x13+x23+x33+x43≥800 y2-y4≤0 y1+y2+y3+y4≤3
y3+y4 ≤ 1
工厂选址运输问题
设有n个需求点，有m个可供选择的厂址， 每个厂址只能建一个工厂，在i处建厂，生产 能力为Di，单位时间的固定成本为ai，需求点 j的需求量为bj，从厂址i到需求点j的单位运费 为Cij，问应如何选择厂址才能获得经济上的总 花费最小的方案。
《运筹学》实验二整数规划问题（学生版）
《运筹学》实验二整数规划问题（学生版）
运筹学实验二——整数规划
1、求以下整数规划问题的最优解（1）
（2）
≥≥+≤++=为整数
212121
2121,0,205462..x x x x x x x x t s x x MaxZ 2、求以下0，1规划问题的最优解
=≤+≤
+≤++≤-++-=1
0,,6
43
4422..5233
213
22
13213
21321或x x x x
x x x x x x x x x t s x x x MaxZ
3、某校组织4人篮球队，要从6人名单中选择总身高最高的首发阵容。
队员名单如表2-1所示。
表2-1
出场阵容必须满足下列约束条件：（1）至少有一个后卫；
（2）2号与5号队员中必须保留一个不出场；（3）中锋只能出一个；
（4）如果2号与4号两个人都出场，则6号不能出场。
≥≤+≤++=且取整数0,702075679..90402
1212121x x x x x x t s x x MaxZ
要求：（1）写出这个问题的整数规划模型；
（2）用WinQSB软件求出最优阵容。
4、有4个工人。
要指派他们分别完成4项工作。
每人做各项工作所消耗的时间(h) 如下表，问如何分派工作，使总的消耗时间最少？。
运筹学整数规划案例
0-1变量的作用
1…方案j被选中 1. xj＝
0…方案j未被选中
n
2. 从n个方案中必须选中一个： x j 1 j 1 n
3. 从n个方案中最多选中m个： x j m j 1
4. 方案i只有在方案j选中时，才可能被选中：
xi x j
5. 方案i与方案j是否选中是同时的： xi x j
解：
令0-1变量为决策变量，即xi＝1表示选中项目i， 否则xi＝0表示项目i未被选中。则模型可以表示为：
max z= 150x1 +210x2 +60x3 +80x4 +180x5
s.t.
210x1 +300x2 +100x3 +130x4 +260x5 ≤600
x1
+x2
+x3
=1
x3
+x4
=1
0y2+70000y3+40000y4
s.t.
x11+x12+x13≤1000y1
x21+x22+x23≤1000y2
x31+x32+x33≤1000y3
x41+x42+x43≤1000y4
x11+x21+x31+x41≥600
x12+x22+x32+x42≥700
x13+x23+x33+x43≥800
y2-y4≤0
y1+y2+y3+y4≤3
y3+y4 ≤ 1
工厂选址运输问题
设有n个需求点，有m个可供选择的厂址， 每个厂址只能建一个工厂，在i处建厂，生产 能力为Di，单位时间的固定成本为ai，需求点 j的需求量为bj，从厂址i到需求点j的单位运费 为Cij，问应如何选择厂址才能获得经济上的总 花费最小的方案。
运筹学-第4章--整数规划习题
第四章 整数规划４.1 某工厂生产甲、乙两种设备,已知生产这两种设备需要消耗材料A 、材料B,有关数据如下,问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？(只建模不求解）解:设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x １、x 2,由于是设备台数,则其变量都要求为整数,建立模型如下:2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x４．2 2197max x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+-且为整数0,35763.212121x x x x x x t s 割平面法求解。
(下表为最优表）线性规划的最优解为：63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x由最终表中得:27221227432=++x x x ﻩ④ 将系数和常数项分解成整数和非负真分式之和，上式化为；2132********+=++x x x移项后得:①②③④①②③即：21221227212212274343-≤--→≥+x x x x 只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。
表4-4由ｘ1行得:7327171541=-+x x x 将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和:74476715541+=+-+x x x x得到新的约束条件： 74767154-≤--x x747671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，用对偶单纯形法求解：则最优解为3,421==x x ，最优目标函数值为z *=55。
4．3 m ａx z =４ｘ1+３x 2+2x ３⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥+≥++≤+-10,,13344352.32132321321或x x x x x x x x x x x t s 隐枚举法解：(１）先用试探的方法找出一个初始可行解,如x 1=ｘ２＝０,x 3＝1。
满足约束条件，选其作为初始可行解，目标函数z 0=2。
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练习4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元,拟在今后五年考虑用于下列项目的投资:项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4万元,第二.三.四年不限.项目B:第三年初需要投资,到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为5万元.项目C:第二年初需要投资,到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为4万元,或为6万元,或为8万元.项目D:五年每年年初都可购买公债,于当年末归还,并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额,使到第五年末拥有最大的资金收益.(1) x 为项目各年月初投入向量。
(2) ij x 为 i 种项目j 年的月初的投入。
(3) 向量c 中的元素ijc 为i 年末j 种项目收回本例的百分比。
(4) 矩阵A 中元素ija 为约束条件中每个变量ijx 的系数。
(5) Z 为第5年末能拥有的资金本利最大总额。
因此目标函数为4325max 1.15 1.28 1.40 1.06A B C D Z x x x x =+++束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金.第1年年初该投资者拥有10万元资金,故有11100000A D x x +=.第2年年初该投资者手中拥有资金只有()116%D x +,故有22211.06A C D D x x x x ++=.第3年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 21.06D x ,及从项目A 中第1年投资收回的本金: 11.15A x ,故有333121.15 1.06A B D A D x x x x x ++=+同理第4年、第5年有约束为44231.15 1.06A D A D x x x x +=+, 5341.15 1.06DA Dx x x =+max=1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d;x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0;-1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0;-1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0;x2c=40000 ;x2c=60000;x2c=80000;x2c=20000;x3b>=30000;x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0;x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0;x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0;x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;Variable Value Reduced CostX4A 22900.00 0.000000X3B 50000.00 0.000000X2C 40000.00 0.000000X5D 0.000000 0.000000X1A 62264.15 0.000000X1D 37735.85 0.000000X2A 0.000000 0.000000X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000X3D 21603.77 0.000000X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000X1B 0.000000 0.000000X2B 0.000000 0.000000X4B 0.000000 0.000000X5B 0.000000 0.000000X1C 0.000000 0.000000X3C 0.000000 0.000000X4C 0.000000 0.000000X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4，表示消防站1，2，…11表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间对所负责的区域的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习4.10某城市的消防站总部将全市划分为11个防火区，现有四的。
解：根据题意，用xi表示第i个消防站的关系的打开关闭情况X=1；第i个消防站不关闭0；第i个消防站关闭用y代表第i个消防站到第j个防火区域的到达情况，0表示不可达，1表示可达，Y=[1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0;1,1,0,1,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1;]则问题可归结为0—1整数规划模型。
min z=sum x（i）;St x（i）*y（i，j）>=1；j=1,2,3 (11)x（i）<=3；X=0或1利用lingo求解model:sets:n_i/1..4/:x;n_j/1..11/;link(n_i,n_j):y;endsetsdata:y=1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1 ,1,1,1,1,1;enddata[obj]min=sum(n_i(i):x(i));for(n_j(j):sum(n_i(i):x(i)*y(i,j))>=1;);for(n_j(j):sum(n_i(i):x(i))<=3;);for(n_i(i):bin(x(i));x(i)>=0;);end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 3.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX( 1) 1.000000 1.000000X( 2) 0.000000 1.000000X( 4) 1.000000 1.000000 Y( 1, 1) 1.000000 0.000000 Y( 1, 2) 1.000000 0.000000 Y( 1, 3) 1.000000 0.000000 Y( 1, 4) 1.000000 0.000000 Y( 1, 5) 0.000000 0.000000 Y( 1, 6) 1.000000 0.000000 Y( 1, 7) 1.000000 0.000000 Y( 1, 8) 1.000000 0.000000 Y( 1, 9) 0.000000 0.000000 Y( 1, 10) 0.000000 0.000000 Y( 1, 11) 0.000000 0.000000 Y( 2, 1) 1.000000 0.000000 Y( 2, 2) 1.000000 0.000000 Y( 2, 3) 0.000000 0.000000 Y( 2, 4) 1.000000 0.000000 Y( 2, 5) 0.000000 0.000000 Y( 2, 6) 0.000000 0.000000 Y( 2, 7) 0.000000 0.000000 Y( 2, 8) 1.000000 0.000000 Y( 2, 9) 1.000000 0.000000 Y( 2, 10) 0.000000 0.000000 Y( 2, 11) 0.000000 0.000000 Y( 3, 1) 0.000000 0.000000 Y( 3, 2) 0.000000 0.000000 Y( 3, 3) 0.000000 0.000000 Y( 3, 4) 1.000000 0.000000 Y( 3, 5) 1.000000 0.000000 Y( 3, 6) 1.000000 0.000000 Y( 3, 7) 0.000000 0.000000 Y( 3, 8) 0.000000 0.000000 Y( 3, 9) 0.000000 0.000000 Y( 3, 10) 0.000000 0.000000 Y( 3, 11) 1.000000 0.000000 Y( 4, 1) 0.000000 0.000000 Y( 4, 2) 0.000000 0.000000 Y( 4, 3) 0.000000 0.000000 Y( 4, 4) 0.000000 0.000000 Y( 4, 5) 0.000000 0.000000 Y( 4, 6) 1.000000 0.000000 Y( 4, 7) 1.000000 0.000000 Y( 4, 8) 1.000000 0.000000 Y( 4, 9) 1.000000 0.000000Y( 4, 11) 1.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price OBJ 3.000000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 1.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 2.000000 0.0000008 1.000000 0.0000009 1.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 0.000000 0.00000012 1.000000 0.00000013 0.000000 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 0.000000 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 0.000000 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 1.000000 0.00000025 0.000000 0.00000026 1.000000 0.00000027 1.000000 0.000000结果如下：X= X=X=1，X=0；即应关闭2号消防站。