运筹学整数规划练习
运筹学：整数规划习题与答案
一、单选题1、下列说法正确的是（）。
A.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝D.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值正确答案：A2、整数规划的最优解中，决策变量满足（）。
A.决策变量不是整数B.没有要求C.决策变量至少有一个是整数D.决策变量必须都是整数正确答案：D3、下列（）可以求解指派问题。
A.梯度法B.牛顿法C.单纯形法D.匈牙利法4、整数规划中，通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割，切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是（）。
A.隐枚举法B.0-1规划法C.分支定界法D.割平面法正确答案：D5、标准指派问题（m人，m件事）的规划模型中，有（）个决策变量。
A.都不对B. m*mC. mD.2m正确答案：B二、判断题1、匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。
（）正确答案：×2、整数规划的可行解集合是离散型集合。
（）正确答案：√3、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，任何一个可行解的目标函数值是该问题的目标函数值的下界。
（）4、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可以任取一个作为下界值，在进行比较和剪枝。
（）正确答案：×5、用割平面求纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量都取整数。
（）正确答案：√。
运筹学_第4章__整数规划习题
运筹学_第4章__整数规划习题第四章整数规划4.1 某⼯⼚⽣产甲、⼄两种设备，已知⽣产这两种设备需要消耗材料A 、材料B ，有关数据如下，问这两种设备各⽣产多少使⼯⼚利润最⼤？（只建模不求解）解：设⽣产甲、⼄这两种设备的数量分别为x 1、x 2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建⽴模型如下：2123max x x z +=≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x4.2 2197max x x z +=≥≤+≤+-且为整数0,35763.212121x x x x x x t s割平⾯法求解。
（下表为最优表）线性规划的最优解为：63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x由最终表中得：27221227432=++x x x ④将系数和常数项分解成整数和⾮负真分式之和，上式化为；2132********+=++x x x移项后得：①②③④①②③即：21221227212212274343-≤--→≥+x x x x只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。
表4－3表4－4由x 1⾏得：7327171541=-+x x x 将系数和常数项分解成整数和⾮负真分数之和：74476715541+=+-+x x x x得到新的约束条件： 74767154-≤--x x747671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，⽤对偶单纯形法求解：则最优解为3,421==x x ，最优⽬标函数值为z =55。
4.3 max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥+≥++≤+-10,,13344352.32132321321或x x x x x x x x x x x t s隐枚举法解：（1）先⽤试探的⽅法找出⼀个初始可⾏解，如x 1＝x 2＝0，x 3＝1。
满⾜约束条件，选其作为初始可⾏解，⽬标函数z 0＝2。
（2）附加过滤条件以⽬标函数0z z ≥作为过滤约束：2234321≥++x x x原模型变为：max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥++≥+≥++≤+-10,,22341334435232132132321321或x x x x x x x x x x x x x x 求解过程如表所⽰。
运筹学第五章整数规划
分解 ai0 , j和 bi0 成最大整数与正分数之和：
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xi0 ai0 , j x j bi0 xi0 ( Ni0 , j f i0 , j )x j Ni0 f i0 xi0 Ni0 , j x j Ni0 f i0 f i0 , j x j
S1
x2 2
B: x1=2,x2=23/9 Z=41/9
x2 3
D: S12 x1=33/14,x2=2 Z=61/14
S11
无可行解
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对S12分枝：
构造约束：
x1 3
X
2 5
4
和
x1 2
3
3 10 A( , ) 2 3
形成分枝问题S121 和S122，得解E和F
形成松弛问题2
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CB XB 3 x1 -1 0 0 x2 x4 x6
3 -1 0 0 x1 x2 x3 x4 1 0 1/7 0 0 0 0 0 1 -2/7 0
0 x5 2/7 3/7
0 x6 0 0 0 1 0
b 13/7 9/7 31/7 -6/7
首先不考虑变量的整数约束，求解相应的线性规划问题：
z0
Max z = CX AX = b X0
D
C
下界
O Ir
Max z = CX AX = b xr Ir X0 Max z = CX AX = b xr Ir+1 X0
运筹学答案_第_8_章__整数规划
3 3
*=1,
或 x11 *=0,x1 *=1,x1 *=0,x14 *=0, x 2 3 x 34 *=0, x
41 21
*=0,x 2 *=0,x 2 *=0,x 2 *=1,x 3 *=0, 2 3 4 1 x
32
*=0, x
3 3
*=1,
*=1,x 42 *=0, x
4 3
*=0,x 44 *=0,z*=71
b.该目标函数的数学模型为： minz=100y1+300y2 +200y3 +7x1+2x2 +5x3 s.t. x1+x2 +x3 =2000， 0.5x1+1.8x2 +1.0x3 ≤ 2500， x1 ≤ 800， x2 ≤ 1200， x3 ≤ 1400， x ≤ yM，
1 1
x2 ≤ y2M， x3 ≤ y3M ， x1，x2，x3 ≥ 0，且为整数，y1，y2，y3 为 0-1 变量。 目标函数最优解为 : x1*=0,x2*=625,x3*=1375,y1=0,y 2 =1,y3=1,z*=8625
1, 当 第 i 项 工 程 被 选 定 时， xi = 0，当第 i 项工程没被选定时。 根据给定条件，使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为： maxz = 20x 1 + 40x2 + 20x3 +15x 4 + 30x 5 s.t. 5x +4x +3x +7x +8x ≤ 25，
1 2 3 4 5
max z=7x1+9x2 +3x3 -x1 +3x2 +x3 ≤ 7, 7x1+x2 +x3 ≤ 38, x1,x2,x3 ≥ 0,且 x1 为整数，x3 为 0-1 变量。
运筹学整数规划例题
练习4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元,拟在今后五年考虑用于下列项目的投资:项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4万元,第二.三.四年不限.项目B:第三年初需要投资,到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为5万元.项目C:第二年初需要投资,到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为4万元,或为6万元,或为8万元.项目D:五年每年年初都可购买公债,于当年末归还,并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额,使到第五年末拥有最大的资金收益.(1) x 为项目各年月初投入向量。
(2) ij x 为 i 种项目j 年的月初的投入。
(3) 向量c 中的元素ijc 为i 年末j 种项目收回本例的百分比。
(4) 矩阵A 中元素ija 为约束条件中每个变量ijx 的系数。
(5) Z 为第5年末能拥有的资金本利最大总额。
因此目标函数为4325max 1.15 1.28 1.40 1.06A B C D Z x x x x =+++束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金.第1年年初该投资者拥有10万元资金,故有11100000A D x x +=.第2年年初该投资者手中拥有资金只有()116%D x +,故有22211.06A C D D x x x x ++=.第3年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 21.06D x ,及从项目A 中第1年投资收回的本金: 11.15A x ,故有333121.15 1.06A B D A D x x x x x ++=+同理第4年、第5年有约束为44231.15 1.06A D A D x x x x +=+, 5341.15 1.06DA Dx x x =+max=1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d;x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0;-1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0;-1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0;x2c=40000 ;x2c=60000;x2c=80000;x2c=20000;x3b>=30000;x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0;x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0;x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0;x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;Variable Value Reduced CostX4A 22900.00 0.000000X3B 50000.00 0.000000X2C 40000.00 0.000000X5D 0.000000 0.000000X1A 62264.15 0.000000X1D 37735.85 0.000000X2A 0.000000 0.000000X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000X3D 21603.77 0.000000X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000X1B 0.000000 0.000000X2B 0.000000 0.000000X4B 0.000000 0.000000X5B 0.000000 0.000000X1C 0.000000 0.000000X3C 0.000000 0.000000X4C 0.000000 0.000000X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4，表示消防站1，2，…11表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间对所负责的区域的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习4.10某城市的消防站总部将全市划分为11个防火区，现有四的。
整数规划例题
〈运筹学〉补充例题例题 1.1 某工厂可以生产产品A和产品B两种产品。
生产单位产品A和B所需要的机时、人工工时的数量以及可利用资源总量由下表给出。
这两种产品在市场上是畅销产品。
该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标是使工厂的销售额最大。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100产品售价（元） 800 300MAX 800X1 +300X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.2该工厂根据产品A和产品B的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。
产品A和B的价格调整为600元和400元。
假设其它条件不变，请你帮助该工厂经理制订季度的生产计划，其目标仍然是使工厂的销售额最大。
X 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.3由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。
因此，工厂要全面考虑各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100原材料(公斤) 11 8 130产品售价（元） 600 400MAX 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 10011X1 +8X2 <= 130X1, X2 >=0例题 1.４随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额变为注重销售利润，因此，要考虑资源的成本。
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量资源价格（元／单位）机器（时） 6 8 120 ５人工（时） 10 5 100 20原材料(公斤) 11 8 130 1产品售价（元） 600 400设： J为所用机器资源数量（小时）；R为所用人力资源数量（小时）；L为所用原材料数量（公斤）MAX 600X1 +400X2 -CST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L = 0J <= 120R <= 100L <= 1305J +20R +1L - C = 0x1, x2, J,R,L>=0例题 1.5 学习了管理课程后，该企业的经理明白了产品的成本包括变动成本和固定成本。
128501-管理运筹学-习题-03-整数规划
习题3-1某厂拟在A 、B 、C 、D 、E 五个城市中建立若干个配送中心，各处设配送中心都需要资金、人力、设备等，而这样的需求量及能提供的利润各处不同，有些点可能亏本，但却能得到贷款和人力等资源。
设数据已知，由下表所示。
厂方应作出何种最优选址方案能使总利润最大。
请建立该问题的数学模型。
3-2用分支定界法求解下列整数规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+-+=+=且为整数且为整数）（）（0,5427230,5021010m 2min 12121212121212121x x x x x x x x x x x x x x z ax x x z 3-3用割平面法求解下列整数规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=+=且为整数且为整数）（）（0,102920,1029232m 232min 12121212121212121x x x x x x x x x x x x x x z ax x x z 3-4用隐枚举法求解下列0-1规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤+≤+≤++≤-++-=1,0,,162444233max 3212232321321321x x x x x x x x x x x x x x x x z3-5安排4个人做4项不同的工作，每个人完成工作所需要的时间如下表所示，（1）应如何指派，可使总的时间最少？（2）如果表中的数据为创造的效益，应如何指派，使总效益最大？（3）如果在表中增加一个人（一行），完成A、B、C、D工作的时间分别为16、17、20、21天，这时应如何指派，使总时间最少？3-6对每题结论进行判断，如果结论错误请改正。
（1）整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到。
（2）求最大值整数规划问题的目标函数值是各分支函数值的上界。
（3）求最小值整数规划问题的目标函数值是各分支函数值的上界。
（4）整数规划的可行解集合是离散型集合。
（5）0一1规划的变量有n个，则有2n个可行解。
运筹学整数规划例题
练习 4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元, 拟在今后五年考虑用于下列项目的投资: 项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资, 并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4 万元, 第二. 三. 四年不限.项目B:第三年初需要投资, 到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为 5 万元.项目C:第二年初需要投资, 到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为 4 万元, 或为 6 万元, 或为8 万元.项目D:五年每年年初都可购买公债,于当年末归还, 并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额, 使到第五年末拥有最大的资金收益.(1)x 为项目各年月初投入向量。
(2)x ij 为i 种项目j 年的月初的投入(3)向量c中的元素cij为i 年末j种项目收回本例的百分比(4)矩阵A中元素aij为约束条件中每个变量xij的系数。
(5)Z为第5年末能拥有的资金本利最大总额。
因此目标函数为max Z 1.15 x4 A 1.28 x3B 1.40x2C 1.06 x5 D束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金第 1 年年初该投资者拥有10 万元资金, 故有x1A x1D 100000 .第 2 年年初该投资者手中拥有资金只有 1 6% x1D , 故有x2A x2C x2D 1.06 x1D .第3 年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 1.06x2D , 及从项目 A 中第1 年投资收回的本金: 1.15x1A , 故有max=1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d; x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0; -1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0; -1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0; x2c=40000 ; x2c=60000; x2c=80000; x2c=20000; x3b>=30000; x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0; x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0; x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0; x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;x 3A x 3B x 3D 1.15 x 1A 1.06 x 2 D同理第 4年、第 5 年有约束为 x 4A x 4D 1.15 x 2 A 1.06 x 3 D ,x5D1.15 x 3 A 1.06x 4DVariable Value Reduced Cost X4A 22900.00 0.000000X3B 50000.00 0.000000X2C 40000.00 0.000000X5D 0.000000 0.000000X1A 62264.15 0.000000X1D 37735.85 0.000000X2A 0.000000 0.000000X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000X3D 21603.77 0.000000X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000X1B 0.000000 0.000000X2B 0.000000 0.000000X4B 0.000000 0.000000X5B 0.000000 0.000000X1C 0.000000 0.000000X3C 0.000000 0.000000X4C 0.000000 0.000000X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10 某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11 给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4 ，表示消防站1，2，⋯11 表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间对所负责的区域的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习 4.10某城市的消防站总部将全市划分为11 个防火区，现有四的。
运筹学整数规划例题
练习4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元,拟在今后五年内考虑用于下列项目的投资:项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4万元,第二.三.四年不限.项目B:第三年初需要投资,到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为5万元.项目C:第二年初需要投资,到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为4万元,或为6万元,或为8万元.项目D:五年内每年年初都可购买公债,于当年末归还,并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额,使到第五年末拥有最大的资金收益.(1) x 为项目各年月初投入向量。
(2) ij x 为 i 种项目j 年的月初的投入。
(3) 向量c 中的元素ijc 为i 年末j 种项目收回本例的百分比。
(4) 矩阵A 中元素ija 为约束条件中每个变量ijx 的系数。
(5) Z 为第5年末能拥有的资金本利最大总额。
因此目标函数为4325max 1.15 1.28 1.40 1.06A B C D Z x x x x =+++束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金.第1年年初该投资者拥有10万元资金,故有11100000A D x x +=.第2年年初该投资者手中拥有资金只有()116%D x +,故有22211.06A C D D x x x x ++=.第3年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 21.06D x ,及从项目A 中第1年投资收回的本金: 11.15A x ,故有333121.15 1.06A B D A D x x x x x ++=+同理第4年、第5年有约束为44231.15 1.06A D A D x x x x +=+,5341.15 1.06DA Dx x x =+max =1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d; x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0; -1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0; -1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0; x2c=40000 ; x2c=60000; x2c=80000; x2c=20000; x3b>=30000; x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0; x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0; x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0; x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;Variable Value Reduced Cost X4A 22900.00 0.000000 X3B 50000.00 0.000000 X2C 40000.00 0.000000 X5D 0.000000 0.000000 X1A 62264.15 0.000000 X1D 37735.85 0.000000 X2A 0.000000 0.000000 X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000 X3D 21603.77 0.000000 X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000 X1B 0.000000 0.000000 X2B 0.000000 0.000000 X4B 0.000000 0.000000 X5B 0.000000 0.000000 X1C 0.000000 0.000000 X3C 0.000000 0.000000 X4C 0.000000 0.000000 X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4，表示消防站1，2，…11表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间内对所负责的区域内的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习4.10某城市的消防站总部将全市划分为11个防火区，现有四的。
运筹学基础-整数规划(2)
【例 2 】求解 0-1 规划最优解
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 -5x2+3x3 ≤4 (1) 4x1 + x2+3x3 ≥3 (2) x2+x3 ≥1 (3) x1 , x2 , x3 =0或 1
解： 先将问题化为如下的标准问题
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
0 13 aij－列min 6 (0) 0 (0) 5 0 0 1 (0) 7 0 6 9 3 2 0 (0) 0 2 15 10 4 9 14 7 8 13 14 16 11 4 15 13 9
（a）从行开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在列 （b）再从列开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在行
∑ ∑
指派问题的解法－－匈牙利法 指派问题的解法－－匈牙利法 －－
从时间表（效率表）出发构建效率矩阵 效率矩阵。 效率矩阵
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
2 15 10 4 9 14 7 8
13 14 16 11
分配表
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
E x11 x21 x31 x41 1
i
J x12 x22 x32 x42 1
G x13 x23 x33 x43 1
ij x ij
R x14 x24 x34 x44 1
合计
1 1 1 1
最新最全整数规划习题(完整版)
第五章整数规划习题5.1考虑以下数学模型min z = fi(Xi) + f2 (x2)且满意约束条件(1) 或 ,或X2 河0：(2) 以下各不等式至少有一个成立：2x〔+ x2 *5+ X2 >15x〔+2x2 215(3) Xi -X2 =0或 5 或10(4) 为No , X2 2 0其中20 + 5xi,如>0fi(xO= 10 ，如=°12 + 6x2,如>0f2(X2)= .0 ，如=0将此问题归结为混合整数规划的模型；minz = 1°y〔* 5xi 十12y2 -6x2（0）xi V yi ,M; x2 y2• M（1）% >10- y3 <MX2 己10 —（1 — y3）• M（2）X1 +xA5- y4M2Xi +X2 2 15- y5MX1 + 2x2 2 15 - yeM第 +y5 + y6 < 2（3）x1 _X2 =0y7 -5y8+5y9 -10y w+ 11yn工y8 + y9 + Yw + y” = 1（4）xi >0，x2 - 0; yi = 0或5.2试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题_ 2 + 3max z - % x2 x3 - x3一 2xi + 3x2 + X3 <3Xj = 0或 1,= 1,2,3)，当=Xs = 1X 22 3又X 〔，Xi 分别与X 、X3等价，因此题中模型可转换为max z = % + y - X3—2xi + 3x2 X3 — 3 y WX2"X3X2 * X3 V y F一Xi ，X2，X3，y 均为 一1 变5.3某科学试验卫星拟从以下仪器装置中选如干件装上；有关数据资料见表5-1表5-1要求：(1)装入卫星的仪器装置总体积不超过 V,总质量不超过 W (2) A 与A 中最多安装一件；(3)氏与4中至少安装一件；(4) As 同玲或者都安上，或者都 担心；总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的试验价值； 试建立 这个问题的数学模型； 解： 6max z = Z CjXj j ='6三 VjXj -V jT解：令y = 故有 x 2x3 =y,I 6£ Wj Xj - w jTXi + x3 -1 X2十X4 Z 1X5 = X61 ，安装Aj仪器X・=< J 0，否就5.4 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探 费用最小；如10个井位的代号为Si , S2, S10,相应的钻探费用为C1 , C2, ,C 10, 并且井位选择上要满意以下限制条件：(1) 或选择S1和S7,或选择钻探S8；(2) 选择了 S3或S4就不能选择S5,或反过来也一样；(3) 在S5,S6,S7,S8,中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型； 解： 10min z = £ CjXj j=3'10E Xj = 5 jmX1 + X8 = 1 X3 + Xs < 1 X7 〜彘=1 X4 + X5 三 1 X5 + X6 + X7 + X8 M 2，选择钻探第Sj 井‘0 ,否就5.5用割平面法求解以下整数规划问题(a) maxz = 7x 〔 一 9x 2 —q 3x2 — 6 7Xi +x 2 V 35 x 1s x 2, - 0且为整(b) minz =数4对 5x2% +2X2 V Xi -4x2 - 5 3xi + X2 -2 XlJ x 2 20且为整、 I ' £4xi — 4X 2 J 5 -Xi 〜6X2 — 5一 Xi + X2 + X3 -5*,X2，X3,20 且为整 (d) max z = "Xi +4x2(c)max z 一 4xi 6x 2 + 2x3-x〔+2x2 £14 5x1+ 2X2 <16 2xi - X2 三 4KM*。
运筹学习题解答(chap4 整数规划与分配问题)
第四章 整数规划与分配问题一、建立下列问题的数学模型1、P143, 4.1 利用0－1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件 (a) 221≤+x x 或53221≥+x x ； (b) x 取值0,3,5,7中的一个； (c) 变量x 或等于0，或50≥； (d) 若21≤x ，则12≥x ，否则42≤x ； (e) 以下四个约束条件中至少满足两个：6225433121≥+≥≤≤+x x x x x x ，，，。
解：(a) 设⎩⎨⎧=否则。
，个条件起作用；第1i ,0y i （i=1,2）,M 为任意大正数。
则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≥++≤+1y y My -5x 3x 2My 2x x 21221121(b) 设⎩⎨⎧=≠=ix i x y i ,1,0，7,5,3,0=i ，则原条件可表示为⎩⎨⎧=++++++=1753075307530y y y y y y y y x(c) 设⎩⎨⎧≥==50,10,0x x y ，则原条件可表示为⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥≤0)1(50x M y x yM x(d)⎩⎨⎧=否则。
，组条件起作用；第1i ,0y i （i=1,2）,M 为任意大正数。
则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++≤->-≥+≤.1,4,2,1,22122211211y y My x My x My x My x (e)设⎩⎨⎧=个条件不成立第个条件成立第i ,1i ,0y i ，4,3,2,1i =，则原条件可表示为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+++-≥+-≥+≤+≤+2y y y y My 6x x My 2x M y 2x M y 5x x 43214433321121 2、P143, 4.2 某钻井队要从以下10个可供选择的井位确定5个钻井探油，目的是使得总的钻探费用最小。
若10个井位代号为101S ,...,S ，相应的钻探费用为101C ,...,C ，并且井位的选择要满足下列条件：（1）或选择1S 和7S ，或选择8S ；（2）选择了3S 或4S 就不能选择5S ，反过来也一样； （3）在10962S ,S ,S ,S 中最多只能选两个。
《运筹学》习题汇总
整数、运输、目标三、整数规划（每小题20分，共100分）1.对应线性规划的最优解是（3.25，2.5），它的整数规划的最优解是A. (4，1)B.(4，3)C.(3，2)D.(2，4)2.下列说法正确的是A.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝D.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解。
3. x 1要求是非负整数，它的来源行是A. B. C. D. 4.，最优解是A.（0, 0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）5 分枝定界法中a .最大值问题的目标值是各分枝的下界b .最大值问题的目标值是各分枝的上界c .最小值问题的目标值是各分枝的上界d .最小值问题的目标值是各分枝的下界 12121212max 32,2314,0.5 4.5,,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≥且为整数145578333x x x -+=32313154-≤-x x －254-≤-x x －254＝＋S x x +254＝－＋s x x 12121212max 3,437,24,,01Z x x x x x x x x =++≤+≤=或e .以上结论都不对A. a,bB. b,dC. c,dD. e四、目标规划（每小题20分，共100分）1.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值，目标函数是A.B.C.D.2.下列正确的目标规划的目标函数是 "A. max Z ＝d －+d +B. max Z ＝d －－d +C. min Z ＝d －+d +D. min Z ＝d －－d +3. 目标函数的含义是A. 首先第一和第二目标同时不低于目标值，然后第三目标不低于目标值B.第一、第二和第三目标同时不超过目标值C.第一和第二目标恰好达到目标值，第三目标不超过目标值D.首先第一和第二目标同时不超过目标值，然后第三目标不超过目标值4.目标规划)(m in 22211+--++=d d p d p Z )(m in 22211+-+++=d d p d p Z 11222min ()Z p d p d d +-+=+-11222min ()Z p d p d d --+=+-11223min ()Z p d d p d ---=++⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-++=-+++++=+-+-+-+-+---+)4,,1(0,,,20506040)(min 21442331222111214332211 i d d x x d d x d d x d d x x d d x x d P d P d d p z i i －的满意解是A.（50，20）B.（40，0）C.（0，60）D.（50，10）5 下列线性规划与目标规划之间错误的关系是A.线性规划的目标函数由决策变量构成，目标规划的目标函数由偏差变量构成B.线性规划模型不包含目标约束，目标规划模型不包含系统约束C.线性规划求最优解，目标规划求满意解D.线性规划模型只有系统约束，目标规划模型可以有系统约束和目标约束E.线性规划求最大值或最小值，目标规划只求最小值五、运输问题（每小题10分，共100分）1.有6个产地7个销地的平衡运输问题模型的对偶模型具有特征A 有12个变量B 有42个约束 C. 有13个约束D．有13个基变量2.有5个产地4个销地的平衡运输问题A.有9个变量B.有9个基变量C. 有20个约束D．有8个基变量3.下列变量组是一个闭回路A.{x11,x12,x23,x34,x41,x13}B.{x21,x13,x34,x41,x12}C.{x12,x32,x33,x23,x21,x11}D.{x12,x22,x32,x33,x23,x21}4. m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件是A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路B.m+n－1个变量不包含任何闭回路C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关5.运输问题A.是线性规划问题B.不是线性规划问题C.可能存在无可行解D.可能无最优解6.下列结论正确的有A 运输问题的运价表第r行的每个c ij同时加上一个非零常数k，其最优调运方案不变B 运输问题的运价表第p列的每个c ij同时乘以一个非零常数k，其最优调运方案不变C.运输问题的运价表的所有c ij同时乘以一个非零常数k, 其最优调运方案变化D．不平衡运输问题不一定存在最优解7.下列说法正确的是A.若变量组B包含有闭回路，则B中的变量对应的列向量线性无关B.运输问题的对偶问题不一定存在最优解C. 平衡运输问题的对偶问题的变量非负D．第i行的位势u i是第i个对偶变量8. 运输问题的数学模型属于A.0-1规划模型B.整数规划模型C. 网络模型D.以上模型都是9.不满足匈牙利法的条件是A.问题求最小值B.效率矩阵的元素非负C.人数与工作数相等D.问题求最大值10.下列错误的结论是A.将指派（分配）问题的效率矩阵每行分别乘以一个非零数后最优解不变B.将指派问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解不变C.将指派问题的效率矩阵每个元素同时乘以一个非零数后最优解不变D.指派问题的数学模型是整数规划模型PPT习题。
运筹学第五章 整数规划
2、0-1型变量常用来表示是否处于某个特定状态
例5.6
有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产 品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产品 生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划，使 总收益最大。
0-1型变量常用来表示两个选项中非此即彼的选择
例5.7 用4台机床加工3件产品。各产品的机床加工顺序，以及产品在机 床上的加工工时见下表，且要求工件二的总工时不超过d。现要求确定 各件产品在机床上的加工方案,使在最短的时间内加工完全部产品.
A 甲 15 B 17 C 21 D 24
乙
丙 丁
19
26 19
23
17 21
22
16 23
18
19 17
解：令 xij=
1 若指派第i 人做第j 事 （i, j=1, …, n） 0 若不指派第i 人做第j 事
每个人只能完 成一项任务
满足约束条件的可行解 也可写成矩阵形式，称 为解矩阵。如例5.9的一 个可行解矩阵是:
每行减该行最小数
0 1 10 2
2 5 1 4
6 4 0 6
9 0 3 0
每列减该列最小数
0 1 10 2
1 4 0 3
6 4 0 6
产品1
产品2
产品3
a11 机床1 a21 机床1
a22 机床2 a32 机床2
a13 机床3
a33 机床3
a14 机床4 a24 机床4
xij表示第i种产品在第j台机床上加工的开始时间。 同一件产品在下一台机床上加工的开始时间不得早 1 同一 于在上一台机床上加工的结束时间 件产品 产品1：x11+a11x13 及 x13+a13x14 在不同 机床上 产品2：x21+a21x22 及 x22+a22x24 的加工 产品3：x32+a32x33 顺序
《运筹学》实验二整数规划问题（学生版）
《运筹学》实验二整数规划问题（学生版）
运筹学实验二——整数规划
1、求以下整数规划问题的最优解（1）
（2）
≥≥+≤++=为整数
212121
2121,0,205462..x x x x x x x x t s x x MaxZ 2、求以下0，1规划问题的最优解
=≤+≤
+≤++≤-++-=1
0,,6
43
4422..5233
213
22
13213
21321或x x x x
x x x x x x x x x t s x x x MaxZ
3、某校组织4人篮球队，要从6人名单中选择总身高最高的首发阵容。
队员名单如表2-1所示。
表2-1
出场阵容必须满足下列约束条件：（1）至少有一个后卫；
（2）2号与5号队员中必须保留一个不出场；（3）中锋只能出一个；
（4）如果2号与4号两个人都出场，则6号不能出场。
≥≤+≤++=且取整数0,702075679..90402
1212121x x x x x x t s x x MaxZ
要求：（1）写出这个问题的整数规划模型；
（2）用WinQSB软件求出最优阵容。
4、有4个工人。
要指派他们分别完成4项工作。
每人做各项工作所消耗的时间(h) 如下表，问如何分派工作，使总的消耗时间最少？。
第六章---运筹学-整数规划案例
第六章---运筹学-整数规划案例第六章整数规划用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。
1、 max z=3x1+2x2. 2x1+3x2≤122x1+x2≤9x1、x2≥0解：2、 min f=10x1+9x2. 5x1+3x2≥45x1≥8x2≤10x1、x2≥0求解下列整数规划问题1、 min f=4x1+3x2+2x3. 2x1-5x2+3x3≤44x1+x2+3x3≥3x2+x3≥1x1、x2、x3=0或1解：最优解（0，0，1），最优值：22、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3. -4x1+x2+x3+x4≥2-2x1+4x2+2x2+4x2≥4x1+x2-x2+x2≥3x1、x2、x3、x3=0或1解：此模型没有可行解。
3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4. 5x1+3x2+3x3+x4≤302x1+5x2-x2+3x2≤20-x1+3x2+5x2+3x2≤403x1-x2+3x2+5x2≤25x1、x2、x3、x3=正整数解：最优解（0，3，4，3），最优值：474、 min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19约束条件x1 + x2+x3≤30x4+ x5＋ x6-10 x16≤0x7+ x8＋ x9-20 x17≤0x10+ x11＋ x12-30 x18≤0x13+ x14＋ x15-40 x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20x i为非负数（i=1,2…..8）x i为非负整数（i=9,10…..15）x i为为0－1变量（i=16,17…..19）解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：公司办公会决定选择原则如下：（1）B5、B3和B7只能选择一个。
运筹学：目标规划、整数规划习题与答案
一、判断题1、正偏差变量大于等于零，负偏差变量小于等于零。
（）正确答案：×2、系统约束中最多含有一个正或负的偏差变量。
（）正确答案：×3、目标约束一定是等式约束。
（）正确答案：√4、一对正负偏差变量至少一个大于零。
（）正确答案：×5、一对正负偏差变量至少一个等于零。
（）正确答案：√6、要求不超过目标值的目标函数是minZ= d+。
（）正确答案：√7、超出目标的差值称为正偏差。
（）正确答案：√8、未到达目标的差值称为负偏差。
（）正确答案：√二、填空题1. 用分枝定界法求极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的（）。
正确答案：下界2.在分枝定界法中，若选Xr=4／3进行分支，则构造的约束条件应为（）。
正确答案：X1<=1，X1>=23. 已知整数规划问题P0，其相应的松驰问题记为P0’，若问题P0’无可行解，则问题P0（）。
正确答案：无可行解4.在0 - 1整数规划中变量的取值可能是（）。
正确答案：0或15. 对于一个有n项任务需要有n个人去完成的分配问题，其解中取值为1的变量数为（）个。
正确答案：n三、选择题1. 整数规划问题中，变量的取值可能是（）。
A.整数B.0或1C.大于零的非整数D.以上三种都可能正确答案：D2.在下列整数规划问题中，分枝定界法和割平面法都可以采用的是（）。
A.纯整数规划B.混合整数规划C.0—1规划D.线性规划正确答案：A3.下列方法中用于求解分配问题的是（）。
A.单纯形表B.分枝定界法C.表上作业法D.匈牙利法正确答案：D。
线性规划、整数规划习题
线性规划、整数规划习题运筹学课程作业姓名专业、班级：学号：课程名称：运筹学指导⽼师：完成⽇期：作业名称：运筹学课程作业第⼀讲线性规划的概念及标准化⼀、课后作业1、⽤图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解或⽆可⾏解。
(1) min f＝6X1＋4X2约束条件：2 X1＋X2≥1，3 X1＋4X2≥3，X1，X2≥0(2) max z＝4X1＋8X2约束条件：2 X1＋2X2≤10，－X1＋X2≥8，X1，X2≥02、将下述线性规划问题化成标准形式：(1) max f＝3X1＋2X2约束条件：9 X1＋2X2≤30，3 X1＋2X2≤13，2X1＋2X2≤9，X1，X2≥0(2) min f＝4X1＋6X2约束条件： 3 X1－X2≥6，X1＋2X2≤10，7X1－6X2＝4，X1，X2≥0第三讲LP的应⽤举例⼀、课后作业1、某咨询公司受⼚商的委托对新上市的⼀种产品进⾏消费者反映的调查，该公司采⽤了挨户调查的⽅法，委托他们调查的⼚商以及该公司的市场研究专家对调查提出下列⼏点要求：a）必须调查2000户家庭；b）在晚上调查的户数和⽩天调查的户数相等；c）⾄少应调查700户有孩⼦的家庭；d）⾄少应调查450户⽆孩⼦的家庭。
1）请⽤线性规划⽅法，确定⽩天和晚上调查这两种家庭的户数，使得总调查费⽤最少。
2）对⽩天和晚上调查两种家庭的费⽤进⾏灵敏度分析。
3）对调查的总户数，有孩⼦家庭和⽆孩⼦家庭的最少调查数进⾏灵敏度分析。
2.某公司正在⽣产两种产品，产品Ⅰ和产品Ⅱ，每天的产量分别为30个和120个，利润分别为500元/个和400元/个，公司负责⼈希望了解是否可以通过改变这两种产品的（1）最优解及最优产品组合是什么？此时最⼤⽬标函数值即最⼤利润为多少？（2）哪些车间的加⼯⼯时数已使⽤完？哪些车间的加⼯⼯时数还没⽤完？其松弛变量即没有⽤完的加⼯⼯时数为多少？（3）四个车间的加⼯⼯时的对偶价格各为多少？请对此对偶价格的含义予以说明（4）如果请你在这四个车间中选择⼀个车间进⾏加班⽣产，你会选择哪个车间？为什么？（5）⽬标函数中x1的系数c1，即每单位产品甲的利润值，在什么范围内变化时，最优产品组合不变？（6）⽬标函数中x2的系数c2，即每单位产品⼄的利润值，从400元提⾼为490元时，最优产品组合变化了没有？为什么？（7）请解释约束条件中的常数项的上限和下限。
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练习3：某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个 钻井探油，使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为s1，s2， ，s10，相应的钻探费用为c1，c2，，c10，并且井位选择上要 满足下列限制条件： （1）或选择s1和s7，或选择 钻探s8； （2）选择了s3 或s4 就不能选s5，或反过来也一样； （3）在s5，s6，s7，s8 中最多只能选两个； 试建立这个问题的整数数学规划模型。 练习4：派甲，乙，丙，丁四人分 5 6 别去完成A，B，C，D四项工作中的一 项，某人做某项工作的收益由下面的效 Cij 6 益矩阵给出，试做出总效益最大的分派 方案。 9
数 学
物 理
化 学
外 语
88
85
92
88
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85
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95
75
89
78
85
89
72
96
赵 钱 孙 李 周 19.8 20.5 21.4 19.7 18.9
自由泳 15.8 17.5 17.5 16.9 18.6 蝶泳 20.1 19.8 21.5 20.4 19.9
仰泳
30.4 28.5 28.1 29.4 27.6
6 8 10 7