运筹学基础-整数规划(2)

1、用计算机模拟穷举法
maxZ= 3x1 －2x2 +5x3 0－1规划模型为： 规划模型为： x1 +2x2－x3 ≤2 x1 +4x2＋x3 ≤4 x1 + x2 ≤3 4x2+x3 ≤6 x1 , x2 , x3 =0或 1 （ （x1 , x2 , x3 ）=（0，0，0） 列表进行枚举： （ （x1 , x2 , x3 ）=（1，0，0） （ （x1 , x2 , x3 ）=（0，1，0） （x1 , x2 , x3 ）=（0，0，1） （ （ （x1 , x2 , x3 ）=（1，1，0） （x1 , x2 , x3 ）=（1，0，1） （ （ （x1 , x2 , x3 ）=（0，1，1） （x1 , x2 , x3 ）=（1，1，1） （
x j 只取 0或1, j = 1,2, L , n
（3）先看所有变量都取 0 时是否满足所有约束条件，如果满 足，则已经得到最优解。 如不满足，把问题分支成两个子问题。分支的方法是： 固定变量，其余变量称为自由变量 自由变量。 指定一个变量，称为固定变量 固定变量 自由变量 在两个子问题中，一个子问题中的固定变量取 1，另一个子问 题中的固定变量取 0 。每个自由变量都取 0。检验由此得到的 这组变量值是否满足所有约束条件： 如满足，则得到一个可行解，并得到 0-1 规划最优值的一 个上界 上界。 上界 如果某些约束条件未满足，则按照与分支定界法类似的方 法再判断是否要继续分支及如何分支。如果需要继续分支，则 固定变量，向下把子问题分成自由变量更少 再指定一个变量为固定变量 固定变量 自由变量更少 的子问题；直到不需分支时，即求得了最优解。
0 13 aij－列min 6 (0) 0 (0) 5 0 0 1 (0) 7 0 6 9 3 2 0 (0) 0 2 15 10 4 9 14 7 8 13 14 16 11 4 15 13 9
（a）从行开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在列 （b）再从列开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在行
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
分配表
E 0 0 1 0 1 1 J 0 1 0 0 1 G 0 0 0 1 1 R 1 0 0 0
合计
1 1 1 1
即 x14=1,x22=1,x31=1,x43=1, 其余xij=0
此时得问题的最优解为： 此时得问题的最优解为：
minZ＝4+4+9+11＝28（小时）
∑ ∑
指派问题的解法－－匈牙利法 指派问题的解法－－匈牙利法 －－
从时间表（效率表）出发构建效率矩阵 效率矩阵。 效率矩阵
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
2 15 10 4 9 14 7 8
13 14 16 11
4 15 13 9
本题要求，在效率表中找出位于不同行不同列的4个数字， 得到一分配方案，使得该方案的时间总和为最小。 一个比较有效的方法是“匈牙利法” “匈牙利法” 先介绍几个定理
基本原理：
定理1：如果从效率矩阵{aij}m×m中每行元素分别减去一 个常数 ui，从每列元素分别减去一个常数 vj ，所得新 的效率矩阵{bij}m×m的任务分配问题的最优解等价于原问 题的最优解。 证明：略 定理2：若方阵中一部分元素为零，一部分元素非零，则 覆盖方阵内所有零元素的最少直线数等于位于不同行、 不同列的零元素的最多个数。 证明：略
(1,0,0)
(1,1,0)
上述 P4和PHale Waihona Puke Baidu 在不考虑约束条件时的目标函数值（分别为 3 和 4） 劣于的目标函数值 2，因而 P4和P5 不需要再分支。 P8 即为最优解。 即最优解为：X＝（0，0，1）MinZ*=2
求解过程可用图表示如下：
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
3、利用EXCEL计算0－1型整数规划 、利用EXCEL计算0
0－1型整数规划练习
【例1】背包问题 maxZ= 12x1+12x2 +9x3 +16x4 +30x5 3x1 +4x2+3x3 +4x4 +6x5 ≤16 x1 , x2 , x3 ,x4 ,x5 =0或 1 【例2】 0－1型整数规划模型为： 型整数规划模型为： maxZ= 8x1+2x2 -4x3-7x4 -5x5 3x1 +3x2+x3 +2x4 +3x5 ≤4 5x1 +3x2-2x3 -x4 +x5 ≤3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 =0或 1
隐枚举法的步骤是：
（1）化问题为0-1规划隐枚举法的标准形式：
MinZ = ∑ c j x j
i =1 n
s.t.∑ aij x j ≤ bi i = 1,2, L , m
j =1
n
这里要注意： 标准形式的目标函数中各系数cj必须是非负数(不是非负数， 令变量x’j=1-xj)； 所求的问题必须是求最小值的形式； 所有不等式约束都是≤形式。 （2）在标准形式下，各 0-1 变量必优先考虑取 0
【例 2 】求解 0-1 规划最优解
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 -5x2+3x3 ≤4 (1) 4x1 + x2+3x3 ≥3 (2) x2+x3 ≥1 (3) x1 , x2 , x3 =0或 1
解： 先将问题化为如下的标准问题
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
【引例】背包问题 背包问题
一个旅行者的背包最多只能装 16 千克的物品。待装的有 5 件 物品，其重量和价值见下表：
物品编号 重量（千克） 重量（千克） 价值（ 价值（元） 1 3 12 2 4 12 3 3 9 4 4 16 5 6 30 合计 20
他应在背包中携带哪几样物品可使携带的价值最大？试将该 问题归结为数学问题。 解：以x1, x2 , x3, x4, x5表示旅行者携带的第 1、2、…、5 件物品的件数。 各xi只能取1或者0：xi =1表示携带该件物品，xi =0 表示不携带该件物品。 问题归结为: maxZ= 12x1+12x2 +9x3 +16x4 +30x5 3x1 +4x2+3x3 +4x4 +6x5 ≤16 x1 , x2 , x3 ,x4 ,x5 =0或 1
变换过程中的三种可能情况： 变换过程中的三种可能情况：
①恰好的零：重复效率矩阵的每行都有一个打（ ）的零元素， 恰好的零： 恰好的零 即打上（ ）号=m，且位于不同行不同列，只要令对应打（ ） 零元素的xij＝1，就找到了问题的最优解。（如前例） ②较多的零：打（ ）的零元素个数小于m，但未被划去的零元 较多的零： 较多的零 素之间存在闭合回路，此时沿着闭合回路的走向，对每个间隔的 零元素打上一（ ），使得打上（ ）号=m，然后对所有打 （ ）零元素所在列画一条直线。 ③较注的零：矩阵中所有零元素元素或被划去，或打上（ ） 较注的零： 较注的零 号，但打（ ）的零元素个数≤m；
匈牙利算法的基本思路： 匈牙利算法的基本思路： 算法的基本思路
根据定理 1 变换效率矩阵，使矩阵中有足够多的零。 若矩阵中存在 m 个不同行不同列的零，就找到了最 优解 若覆盖变换后的效率矩阵零元素的直线少于m 条， 就尚未找到最优解，设法进一步变换矩阵，增加新 的零
指派问题的解法－－匈牙利法
第一步：找出效率矩阵行的最小元素，并分别从每行中减去；再找 出效率矩阵列中的最小元素，并分别从每列中减去；
P0不满足条件(2)、(3)
(0,0,0)
(1,0,0)
P2不满足条件 (3) 。进一步指定x2为固定变量，将P1分支为P3和P4, 将 P2分支为 P5和 P6,
(0,0,0)
(0,1,0)
(1,0,0)
(1,1,0)
P6为可行解，停止分支。 P3和P5 相当于P1和P2 ，不能满足所有的约束条件。 P4也不能满足 所有的约束条件。都需要再进行分支。 先将 P3 分支为P7和P8 。
(2) 15 2 10 (4) 4 (9) 14 9 (7) 8 7 13 14 16 11 4 15 13 9 min 2 a －行min 4 ij 9 7 min (0) 0 6 0 0 0 13 (0) 0 5 1 0 11 10 7 (4) 4 4 (2) 2 11 4 2 2
第二步：看覆盖该矩阵中的所有零元素，至少要多少条直线；
分配表
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
E x11 x21 x31 x41 1
i
J x12 x22 x32 x42 1
G x13 x23 x33 x43 1
ij x ij
R x14 x24 x34 x44 1
合计
1 1 1 1
建立线性规划模型为： 建立线性规划模型为：
min z =
∑∑ C
j
x ij = 1, j = 1,2, L , n i 1，分配第i个人去完成第j项任务 令x ij = x ij = 1, i = 1,2, L , n 0，不分配第i个人去完成第j项任务 j x ij = 1或0
我们用图来说明解题的过程：
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x － 5x2+3x3 ≤4 (1) 求解过程：下面各图中 求解过程：下面各图中 下面各图中红字为固定变量。 － 4x －1 x － 3x ≤－3 (2) 。 1 2 3 (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
二、分配问题
有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记 作：E、J、G、R，现在有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明 书翻译成不同的语种的说明书所需时间如表所示，问应指派何人去 完成何工作，使所需总时间最少 所需总时间最少？ 所需总时间最少
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
*
（0,0,0） （0,0,1） （0,1,0） （0,1,1） （1,0,0） （1,0,1） （1,1,0） （1,1,1） 0 5 -2 3 3 8 1 6
(1) (2) (3) (4) 0 -1 1 1 0 2 0 1 5 1 2 6
1 1
0 1
3 8
2、隐枚举法
对一个有n个决策变量的 0-1 规划模型，其所要考虑的情 况最多有2n 种。如果变量不多，可以用隐枚举法 隐枚举法来求解。 隐枚举法 基本思想： 基本思想： 隐枚举法的本质是穷举法，但是应用隐枚举法可以更快地 得到最优解。其实质是分枝定界法。 但一般用是分枝定界法求解整数规划时，替代问题是放宽 放宽 变量的整数约束。 变量的整数约束 但用隐枚举法时，替代问题是在保持变量 保持变量0-1的约束条件 保持变量 先不考虑问题的主要约束。 下先不考虑问题的主要约束 先不考虑问题的主要约束
2 15 10 4 9 14 7 8
13 14 16 11
4 15 13 9
此题为第①种情况：位于不同行不同列的零元素有四个。 此题为第①种情况：位于不同行不同列的零元素有四个。
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
§4.2 0－1规划 － 规划
一、0-1规划的计算方法 规划的计算方法
此时决策变量只取 0 或 1 值。只取 0 或 1 值的变量称为 0-1变量，决策变量为 0-1 变量的线性规划称为 0-1 规划 规划。 0-1 规划的求解方法： 规划的求解方法： 1、穷举法 2、隐枚举法 3、利用EXCEL的“规划求解”功能
列举法列表
maxZ= 3x1 －2x2 +5x3 x1 +2x2－x3 ≤2 （1） ） x1 +4x2＋x3 ≤4 （2） ） x1 + x2 ≤3 （3） ） 4x2+x3 ≤6 （4） ） x1 , x2 , x3 =0或 1
点
条件
满足条件 是（＋） z值 否（－） 0 0 0 1 ＋ ＋ － － ＋ ＋ － － 0 5
求解过程
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
(0,0,0)
(0,0,1)
P7为不可行解， P8为可行解。
(0,0,0)
(0,1,0)