第5章 积分学及其应用

5.3 定积分的概念与性质
图５-３ 定理１（定积分的存在定理） （1）若f（x）在［a，b］上连续，则f（x）在［a，b］上可积．
（2）若f（x）在［a，b］上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在 ［a，b］上可积．
即f（x）在［a，b］上有以下关系：可导=>连续=>可积
5.3 定积分的概念与性质
则称函数F（x）是已知函数f（x）在该区间上的一个原函数．
例如，因为在区间（－ ≦，＋ ≦）内有（x３）′＝３x２，所以x３ 是 ３x２ 在区间（－ ≦，＋≦）内的一个原函数，又因为（x３＋１）′＝ ３x２，（x３＋√2）′＝３x２，（x３ ＋C）２ ＝３x２（C为任意常 数），所以x３ ＋１，x３ ＋ √2 ，x３ ＋C都为３x２ 在区间（－ ≦， ＋ ≦）内的原函数． 定理１（原函数族定理） 如果函数f（x）在某区间内有一个原函数F （x），那么它必有无穷多个原函数，其形式可表示为F（x）＋C（C 为任意常数），且任意两个原函数之间相差一个常数． 定理２（原函数存在定理） 如果函数f（x）在某一区间内连续，则函 数f（x）在该区间上的原函数一定存在．
解 设所求曲线为y＝f（x），由题意
于是 又因为曲线过点（０，３），代入上式可得C＝３，所以，所求曲线 的方程为
5.1 不定积分
5.1.4 不定积分的性质
性质１ 不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），即
性质２ 一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个常数，即
性质３ 两个函数的代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，即
熟练之后，可以将设φ（x）＝u一步省略，直接进行凑微分．
5.2 不定积分的积分法
例5.10 解
2． 利用
等微分公式凑微分 思路：当被积函数是两个函数乘积且含有上式各因子时， 不妨将它凑 成相应微分来解决所求积分．
5.2 不定积分的积分法
例5.11 解 被积函数可以看成 可将其凑微分，即 的被积形式，且被积公式中含有 则
其中F (x) +C称为f(x)的原函数的一般表达式，C取一切实数值，称 之为积分常数． 由定义可知，求函数f(x)的不定积分， 就是求f(x)的全体原函数， 故 求不定积分的运算其实质就是求导（或求微分）运算的逆运算．
5.1 不定积分
例5.1 求下列不定积分．
２ ２ 解 （１）被积函数f（x）＝２x，因为（x ）′＝２x，x 是２x的 一个原函数，即f（x）＝x２，所以不定积分
内的一个原函数．
5.1 不定积分
5.1.4 不定积分的几何意义
若y＝F（x）是f（x）的一个原函数，则称y＝F（x）的图形是f（x）的 积分曲线，因为不定积分
是f（x）的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线， 称它为积分曲线族，积分曲线族y＝F（x）＋C有如下特点．
图５-１
5.1 不定积分
图５-２
5.3 定积分的概念与性质
（１）分割． 在［a，b］中任意插入n－１个分点 把［a，b］分成狀个子区间，每个子区间的长度为 （２）近似． （３）求和．
（４）逼近（取极限）
5.3 定积分的概念与性质
5.3.2 定积分的概念
定义 设f（x）在［a，b］上有界，在［a，b］上任取n－１个分点 把区间［a，b］分割成狀个小区间 各小区间的长度依次为 在每个小区间 值 并作和式 记 ，如果不论对［a，b］怎样的分法， 上任取一点 作函数
5.2 不定积分的积分法
例5.22
解
令
被积函数是幂函数与三角函数的乘积，用分部积分法，
得
例5.23 解 被积函数是幂函数与对数函数的乘积，用部分积分法，得
5.2 不定积分的积分法
（１）当被积函数是幂函数与指数函数或三角函数乘积时，设幂函数为 u，指数函数或三角函数与ｄx乘积部分为ｄv，如例5.21和例 5.22．
5.2.2 第二换元积分法
一般地，如果积分 不易凑微分，可设x＝φ（t），则上式化为
其中，x＝φ（t）的反函数t＝φ-1（x）存在且可导，则有
再将t＝φ-1（x）代入上式有，
这种求不定积分的方法称为第二换元法．
5.2 不定积分的积分法
例5.19 解 因为被积函数含有根号，不容易凑微分， 为了去掉根号，令 则有关系ｄx＝２tｄt，于是有
（２）φ（α）＝a，φ（β）＝b且a≤φ（t）≤b，则有
上式称为定积分的换元积分公式． 应用定积分的换元公式时应注意以下两点： （１）用x＝φ（t）把变量x换成新变量t时，积分限也要换成相应于 新变量狋的积分限，且上限对应于上限，下限对应于下限． （２）求出 的一个原函数Φ（x）后，不必像计算不 定积分那样再把Φ（t)变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、 下限分别代入Φ（t）然后相减就行了．
5.2 不定积分的积分法
例5.12 解
例5.13 解
5.2 不定积分的积分法
例5.14 解
例5.15 解
5.2 不定积分的积分法
３． 利用三角恒等式凑微分 例5.16 解
例5.17 解
5.2 不定积分的积分法
例5.18 解
5.2 不定积分的积分法
我们可以归纳出常用的凑微分公式
5.2 不定积分的积分法
性质６（估值定理） 设犕及犿分别是函数f（x）在区间［a， b］上的最大值及最小值，则
性质７（定积分中值定理） f（x）在［a，b］上连续，则存在
5.3 定积分的概念与性质
图５-４
5.3 定积分的概念与性质
例5.28 比较下面积分值的大小．
解（１）由于x∈ ［０，１］时, （２）设
从而f（x）在［０，１］上单调增加， 因此 即 即
解
5.1 不定积分
例5.6 求不定积分
解
例5.7 求不定积分 解
5.1 不定积分
应用案例１ 设某商品的边际收益函数为 解 因为收益函数是边际收益的的原函数，所以 试求收益函数
由于R（０）＝０，得C＝０，所以 应用案例２ 已知某产品产量对时间的变化率是时间t的函数 设此产品在时间t的产量为Q（t），且Q（0）＝０，求Q（t）． 解 因为Q（t）是 的原函数，所以
的形式，则可令
当积分
容易求出时，就可用下面方法进行计算：
通常将这种积分方法称为第一换元法（或称为凑微分法）．
5.2 不定积分的积分法
1. 利用等式 例5.8 解 均为常数且a≠０凑微分
故
再将
代入上式，得
5.2 不定积分的积分法
例5.9 解 故 令u＝２x＋４，则ｄu＝２ｄx，即
再将u＝２x＋４代回上式，得
5.3 定积分的概念与性质
例5.29 估计积分 解 的值．
5.4 微积分的基本定理及定积分的计算
5.4.2 牛顿莱布尼茨(NewtonLeibniz)公式(微积分学基本公式)
定理２ 设f（x）在［a，b］上连续，若F（x）是f（x）在［a，b］上 的一个原函数，则
例5.32 计算下列定积分．
解
5.4 微积分的基本定理及定积分的计算
5.1 不定积分
5.1.2 不定积分的概念
定义 若F(x)是 f(x)在某区间内的一个原函数，则称F(x)+C（C为任意常 数）为f(x)在该区间上的不定积分，记为
其中，∫称为积分符号，f(x)称为被积分函数，f(x)dx称为被积表达式， x称为积分变量． 由此可知，不定积分与原函数是整体与个体的关系，即
（２）被积函数f(x)=cosx，因为(sinx)′=cosx，所以不定积分
例5.2 解
求函数 被积函数 当狓＞０时，因为
的不定积分． 的定义域为(－ ≦，0)∪ (0，＋ ≦)
5.1 不定积分
所以 因此在（０，＋ ≦） 内 内的一个原函数．
当x＜０时，因为
所以 因此在（－ ≦，０）内 合并以上两种情况，当x≠０时，得
小区间长度Δxi的乘积
5.3 定积分的概念与性质
也不论在小区间 上点ξi怎样取法，只要当λ→０时，和
式的极限存在，我们就称函数f（x）在闭区间［a，b］上可积，并且称 此极限值为函数f(x)在［a，b］上的定积分，记为
其中f（x）叫做被积函数，f(x)ｄx叫做被积表达式，x叫做积分变量， ［a，b］叫做积分区间．a和b分别称为下限与上限， 符号 读做函数f(x)从a到b的定积分． 定积分的几何意义 ：设f（x）在［a，b］上的定积分为 其积分值等于曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b和x＝０所围成的在 狓轴上方部分与下方部分面积的代数和（如图５-３所示）．
将t＝ √x代入上式，得
5.2 不定积分的积分法
例5.20 解 被积函数含有根号，由第二换元法，
设变量， 找关系， 求积分，
5.2 不定积分的积分法
代回变量，将 代入上式得
5.2.3 积分表续
5.24 分部积分法
设 微分法则，得 在某一区间上具有连续导数，由乘积的
5.2 不定积分的积分法
移项得， 两边同时积分，有 例5.21 解 令 则 由分部积分公式，得 被积函数是幂函数与指数函数的乘积，用分部积分法，
例5.34 汽车以每小时３６ｋｍ 的速度行使，到某处需要减速停车， 设汽车以等加速度a＝－５ｍ／ｓ２ 刹车，问从开始刹车到停车，汽 车需走多少距离？ 解 t＝０时，v０ ＝１０ｍ／ｓ
即刹车后，汽车需要走１０ｍ 才能停住．
5.4 微积分的基本定理及定积分的计算
5.4.3 定积分换元积分
定理３ 设函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，函数x＝φ（t）满 足条件： （１）φ（x）在［α，β］（或［β，α］）上具有连续导数；
• 理解定积分的概念，掌握微元法，了解定积分的几何意义及性质． • 掌握牛顿— 莱布尼茨公式，会计算定积分。
• 了解并能计算简单的广义积分。