考察分段线性插值

《数值分析》课程设计

题目考察分段线性插值

学生黄立健丁威程发林

指导教师郭阁阳

天津工程师范学院

课程设计任务书

数理系数学班学生黄立健丁威程发林

课程设计课题：

考察分段线性插值

一、课程设计工作日自 2009 年 6 月 22 日至 2009 年 6 月 28 日

二、同组学生：黄立健丁威程发林

三、课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、完成时

间、主要参考资料等）：

【来源与意义】

本课题来源于教材第二章插值法，目的是从几何意义掌握分段线性插值的思想，加深对其的理解以及掌握用计算机与Matlab解决相关问题的能力。

【基本要求】

要求自编程序；掌握编程思想，学会一门编程语言；报告要有较强的理论分析；有较强说服力的数据表或图像；对结果进行分析；给出相应结论；鼓励创新；

【参考资料】

1.数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001，清华大学出版社（第四版）。

2.数值方法，关治，陆金甫，2006，清华大学出版社。

3.数值分析与实验学习指导，蔡大用，2001，清华大学出版社。

4.数值分析与实验，薛毅，2005，北京工业大学出版社。

指导教师签字：教研室主任签字：

天津工程师范学院

课程设计评审表系班学生

一、 问题提出：

题目：对2

1

()1f x x

=

+在【-5，5】上进行分段线性插值，取不同节点个数n ，得到不同分段线性插值函数。（要求：自编程序，报告有数据表、图像、分析、结论。）

二、 理论基础：

通过学习构造插值公式的方法，以及分析了它们的余项知道了在实际应用插值函数作近似计算时，我们总是希望插值公式余项的绝对值小一些，即使得逼近的精度良好。从插值公式余项表达式()n

R x 看，似乎提高插值多项式的次数便可达到

目的，但实际上会产生一称为Runge 现象的畸形现象，如下图所示：

从上图易知：Lagrange 插值多项式只在区间【-3.63，3.63】内收敛。因此我们通过构造分段线性插值的方法(在每个小区间上采用一次Lagrange 插值)来消除Runge 现象。

下面我们构造分段线性插值函数：

易知 在每个子区间 上是一次插值多项式

分段线性插值的余项:

其中:

1[,](0,1,)i i x x i n +=()x ϕ11111(),i i

i i i i i i i i

x x x x x y y x x x x x x x ϕ+++++--=+≤≤--2

()()()8Mh f x x R x ϕ-=≤

max ''()

a x b

M f x ≤≤=

三、 实验内容：

1、分段插值：

先对【-5，5】进行不同的等分，并分别求出节点数为n=3，5，7，9时的插值情况，用plot 函数画图观察函数的逼近情况，如下所示：

X 轴

Y 轴

2、 误差分析：

本题中我们采取的是求解分段内中点的函数值与差值函数值的差值d 的均值ave ，通过改变节点数n ，比较在xi=-5：5这些点处的误差值，并描绘出节点数从3至20时的误差均值图像：

误

差

均 值

节点数i

2468101214161820

四、结果分析：

1、分段线性插值实行时，节点加密误差变小，且插值函数只依赖于本

段的节点值，计算误差基本不扩大、稳定。

2、在节点处的插值函数不可微，光滑度不够。

3、插值函数在节点处的值与同原函数值一致。

五、结论：

运用分段线性插值的方法进行插值时，插值节点选取越是密集，则构造的插值函数越逼近原函数。

六、参考文献：

1、《数值分析》汪卉琴，刘目楼编著冶金工业出版社；

2、《数值分析》，李庆扬，王能超，易大义，清华大学出版社（第四版）

3、《数值分析与实验》，薛毅，2005，北京工业大学出版社。

附录：

1、程序：

%已知函数‘fun’

》function y=fun(x)

y=1./(1+x.^2);

%分段线性插值函数

》function f=inter1(x,y,xi)

n=length(x);

m=length(xi);

for j=1:m

for i=1:n-1

if xi(j)>=x(i)&xi(j)<=x(i+1)

f(j)=y(i)+(xi(j)-x(i))*((y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i)));

end

end

end

%分段内中点的函数值与插值函数值的差值均值；

》function [d,ave]=dif(x,xi)

n=length(xi);

y=fun(x);

s=0;

for i=1:n-1

d(i)=(fun((xi(i)+xi(i+1))./2)-inter1(x,y,(xi(i)+xi(i+1))./2));

s=s+d(i);

end

ave=abs(s/(n-1));

%描绘出节点数从3至20时的误差均值图像

》function ave2=dp(xi)

ave=[];j=[];

for i=3:20

x=linspace(-5,5,i);

[d,ave(i-2)]=dif(x,xi);

end

j=[3:20];

plot(j,ave,'r-o');

ave2=ave

%运行过程及结果：

>> xi=-5:5

xi =

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 >> x=linspace(-5,5,3)

x =

-5 0 5

>> y=fun(x)

y =

0.0385 1.0000 0.0385

>> fplot('fun',[-5,5])

>> hold on

>> plot(x,y,'ro-')

>> x=linspace(-5,5,5)

x =

-5.0000 -2.5000 0 2.5000 5.0000

>> y=fun(x)

y =

0.0385 0.1379 1.0000 0.1379 0.0385