练习题9参考答案
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for (k=i;k<j-1;k++)//R[i..j-1]元素前移,以便腾出一个位置插入tmp
R[k]=R[k+1];
R[j-Βιβλιοθήκη Baidu]=tmp;//在j-1位置处插入tmp
printf(" i=%d: ",i);
for (k=0;k<n;k++)
printf("%d ",R[k].key);
printf("\n");
区间:0-6基准:38:29 23 12 38 57 44 64 75 98 82
区间:0-2基准:29:12 23 29 38 57 44 64 75 98 82
区间:0-1基准:12:12 23 29 38 57 44 64 75 98 82
区间:4-6基准:57:12 23 29 38 44 57 64 75 98 82
i=0归位元素:1212 23 98 44 57 75 29 64 38 82
i=1归位元素:2312 23 98 44 57 75 29 64 38 82
i=2归位元素:2912 23 29 44 57 75 98 64 38 82
i=3归位元素:3812 23 29 38 57 75 98 64 44 82
3.
（1）简要叙述如何选择好的内排序方法。
答：没有哪一种内排序方法是绝对好的。每一种排序方法都有其优缺点，适合于不同的环境。因此，在实际应用中，应根据具体情况做选择。首先考虑排序对稳定性的要求，若要求稳定，则只能在稳定方法中选取，否则可以在所有方法中选取；其次要考虑待排序结点数n的大小，若n较大，则可在改进方法中选取，否则在简单方法中选取；然后再考虑其他因素。下面给出综合考虑了以上几个方面所得出的大致结论：
图9.2最佳归并树
③根据最佳归并树计算每一趟及总的读记录数：
第1趟的读记录数=9+16=25
第2趟的读记录数=25+25+38+40+48+53+64+77=370
第3趟的读记录数=128+88+242+98=556
总的读记录数=25+370+556+951。
4.
（1）设计一个直接插入算法：设元素为R[0..n-1]，其中R[i-1..n-1]为有序区，R[0..i]为无序区，对于元素R[i]，将其关键字与有序区元素（从头开始）进行比较，找到一个刚好大于R[i].key的元素R[j]，将R[i..j-1]元素前移，然后将原R[i]插入到R[j-1]处。要求给出每趟结束后的结果。
（2）给出关键字序列{4,5,1,2,8,6,7,3,10,9}的希尔排序过程。
答：希尔排序过程如图9.1所示。
图9.1希尔排序各趟排序结果
（3）一个有n个整数的数组R[1..n]，其中所有元素是有序的，将其看成是一棵完全二叉树，该树构成一个堆吗？若不是，请给一个反例，若是，请说明理由。
答：该数组一定构成一个堆，递增有序数组构成一个小根堆，递减有序数组构成一个大根堆。
初始堆:98 82 75 64 57 12 29 44 38 23
归位元素:98调整成堆[1..9]:82 64 75 44 57 12 29 23 38 98
归位元素:82调整成堆[1..8]:75 64 38 44 57 12 29 23 82 98
归位元素:75调整成堆[1..7]:64 57 38 44 23 12 29 75 82 98
i=8归位元素:8212 23 29 38 44 57 64 75 82 98
（7）已知序列{75,23,98,44,57,12,29,64,38,82}，给出采用堆排序法对该序列升序排序时的每一趟的结果。
答：采用堆排序法排序的各趟的结果如下：
初始序列:75 23 98 44 57 12 29 64 38 82
以递增有序数组为例，假设数组元素为k1、k2、…、kn是递增有序的，从中看出下标越大的元素值也越大，对于任一元素ki，有ki<k2i，ki<k2i+1（i<n/2），这正好满足小根堆的特性，所以构成一个小根堆。
（4）已知序列{75,23,98,44,57,12,29,64,38,82}，给出采用冒泡排序法对该序列作升序排序时的每一趟的结果。
for (j=0;j<n;j++)
if (A[j].key<A[i].key)
count++;
B[count]=A[i];
}
}
②对于有n个元素的表，每个元素都要与n个元素（含自身）进行比较，关键字比较的总次数是n2。
③简单选择排序比这种计数排序好，因为对有n个元素的数据表进行简单排序只需进行1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2次比较，且可在原地进行排序。
归位元素:64调整成堆[1..6]:57 44 38 29 23 12 64 75 82 98
归位元素:57调整成堆[1..5]:44 29 38 12 23 57 64 75 82 98
归位元素:44调整成堆[1..4]:38 29 23 12 44 57 64 75 82 98
归位元素:38调整成堆[1..3]:29 12 23 38 44 57 64 75 82 98
（11）设有11个长度（即包含记录个数）不同的初始归并段，它们所包含的记录个数为{25,40,16,38,77,64,53,88,9,48,98}。试根据它们做4路平衡归并，要求：
①指出总的归并趟数；
②构造最佳归并树；
③根据最佳归并树计算每一趟及总的读记录数。
答：①总的归并趟数=log411=2。
②m=11，k=4，(m-1) MOD (k-1)=1≠0，需要附加k-1-(m-1) MOD (k-1)=2个长度为0的虚归并段，最佳归并树如图9.2所示。
int IsHeap(SqTypeR[],int n)
{int i;
if (n%2==0)//n为偶数时,最后一个分支结点(编号为n/2)只有左孩子(编号为n)
{if (R[n/2].key>R[n].key)
return(0);
for (i=n/2-1;i>=1;i--)//判断所有双分支结点
if (R[i].key>R[2*i].key || R[i].key>R[2*i+1].key)
i=4归位元素:4412 23 29 38 44 75 98 64 57 82
i=5归位元素:5712 23 29 38 44 57 98 64 75 82
i=6归位元素:6412 23 29 38 44 57 64 98 75 82
i=7归位元素:7512 23 29 38 44 57 64 75 98 82
答：采用冒泡排序法排序的各趟的结果如下：
初始序列:75 23 98 44 57 12 29 64 38 82
i=0(归位元素:12):12 75 23 98 44 57 29 38 64 82
i=1(归位元素:23):12 23 75 29 98 44 57 38 64 82
i=2(归位元素:29):12 23 29 75 38 98 44 57 64 82
①当待排序的结点数n较大，关键字的值分布比较随机，并且对排序稳定性不作要求时，宜选用快速排序法。
②当待排序的结点数n较大，内存空间又允许，并且要求排序稳定时，宜采用归并排序法。
③当待排序的结点数n较大，关键字的值的分布可能出现升序或者逆序的情况，并且对排序稳定性不作要求时，宜采用堆排序方法或者归并排序方法。
（3）设计一个算法，判断一个数据序列是否构成一个大根堆。
解：当数据个数n为偶数时，最后一个分支结点（编号为n/2）只有左孩子（编号为n），其余分支结点均为双分支结点；当n为奇数时，所有分支结点均为双分支结点。对每个分支结点进行判断，只有一个分支结点不满足小根堆的定义，返回0；如果所有分支结点均满足小根堆的定义，返回1。对应的算法如下：
解：对应的算法如下：
void InsertSort3(SqTypeR[],int n)
{int i,j,k;
SqTypetmp;
for (i=n-2;i>=0;i--)
{tmp=R[i];
j=i+1;
while (j<n && tmp.key>R[j].key)
j++;//在有序区找到一个刚大于tmp.key的位置R[j]
length=8:12 23 29 38 44 57 64 75 82 98
（10）如果在106个记录中找前10个最小的记录，你认为采用什么样的排序方法所需的关键字比较次数最少？为什么？
答：采用堆排序方法，建立初始堆时间为4n，每次选取一个最小记录后再筛选的时间为log2n，找前10个最小的记录的时间=4n+9log2n。而冒泡排序和简单选择排序需10n的时间。而直接插入排序、希尔排序和二路归并排序等必须全部排好序后才能找前10个最小的记录，显然不能采用。
归位元素:29调整成堆[1..2]:23 12 29 38 44 57 64 75 82 98
归位元素:23调整成堆[1..1]:12 23 29 38 44 57 64 75 82 98
（8）已知序列{75,23,98,44,57,12,29,64,38,82}，给出采用归并排序法对该序列作升序排序时的每一趟的结果。
}
}
（2）有一种简单的排序算法，叫做计数排序。这种排序算法对一个待排序的表（用数组表示）进行排序，并将排序结果存放到另一个新的表中。必须注意的是，表中所有待排序的关键字互不相同，计数排序算法针对表中的每个元素，扫描待排序的表一趟，统计表中有多少个元素的关键字比该元素的关键字小。假设对某一个元素，统计出数值为c，那么这个元素在新的有序表中的合适的存放位置即为c。
return(0);
}
else//n为奇数时,所有分支结点均为双分支结点
{for (i=n/2;i>=1;i--)//判断所有双分支结点
if (R[i].key>R[2*i].key || R[i].key>R[2*i+1].key)
return(0);
}
return(1);
}
上机实验题
有一个整型数组A[0..n-1]，前m（0<m<n）个元素是递增有序的，后n-m个元素也是递增有序的，设计满足以下条件的算法使A中所有元素均递增有序，并用相关数据进行测试。
（5）已知序列{75,23,98,44,57,12,29,64,38,82}，给出采用快速排序法对该序列作升序排序时的每一趟的结果。
答：采用快速排序法排序的各趟的结果如下：
初始序列:75 23 98 44 57 12 29 64 38 82
区间:0-9基准:75:38 23 64 44 57 12 29 75 98 82
④当待排序的结点数n较小，关键字的值基本有序（升序）或者分布比较随机，并且有排序稳定性要求时，宜采用插入排序法。
⑤当待排序的结点数n较小，对排序稳定性不作要求时，宜采用选择排序方法，若关键字的值不接近逆序，亦可采用直接插入排序法。
⑥已知两个有序表，若要将它们组合成一个新的有序表，最好的方法是归并排序方法。
区间:8-9基准:98:12 23 29 38 44 57 64 75 82 98
（6）已知序列{75,23,98,44,57,12,29,64,38,82}，给出采用简单选择排序法对该序列作升序排序时的每一趟的结果。
答：采用直接选择法排序的各趟的结果如下：
初始序列:75 23 98 44 57 12 29 64 38 82
答：采用归并排序法排序的各趟的结果如下：
初始序列:75 23 98 44 57 12 29 64 38 82
length=1:23 75 44 98 12 57 29 64 38 82
length=2:23 44 75 98 12 29 57 64 38 82
length=4:12 23 29 44 57 64 75 98 38 82
①设计实现计数排序的算法。
②对于有n个元素的表，比较次数是多少？
③与简单选择排序相比，这种方法是否更好？为什么？
解：①对应的计数排序的算法如下：
void CountSort(SqTypeA[],SqTypeB[],int n)
{int i,j,count;
for (i=0;i<n;i++)
{count=0;//统计A中小于A[i].key的元素个数
i=3(归位元素:38):12 23 29 38 75 44 98 57 64 82
i=4(归位元素:44):12 23 29 38 44 75 57 98 64 82
i=5(归位元素:57):12 23 29 38 44 57 75 64 98 82
i=6(归位元素:64):12 23 29 38 44 57 64 75 82 98
R[k]=R[k+1];
R[j-Βιβλιοθήκη Baidu]=tmp;//在j-1位置处插入tmp
printf(" i=%d: ",i);
for (k=0;k<n;k++)
printf("%d ",R[k].key);
printf("\n");
区间:0-6基准:38:29 23 12 38 57 44 64 75 98 82
区间:0-2基准:29:12 23 29 38 57 44 64 75 98 82
区间:0-1基准:12:12 23 29 38 57 44 64 75 98 82
区间:4-6基准:57:12 23 29 38 44 57 64 75 98 82
i=0归位元素:1212 23 98 44 57 75 29 64 38 82
i=1归位元素:2312 23 98 44 57 75 29 64 38 82
i=2归位元素:2912 23 29 44 57 75 98 64 38 82
i=3归位元素:3812 23 29 38 57 75 98 64 44 82
3.
（1）简要叙述如何选择好的内排序方法。
答：没有哪一种内排序方法是绝对好的。每一种排序方法都有其优缺点，适合于不同的环境。因此，在实际应用中，应根据具体情况做选择。首先考虑排序对稳定性的要求，若要求稳定，则只能在稳定方法中选取，否则可以在所有方法中选取；其次要考虑待排序结点数n的大小，若n较大，则可在改进方法中选取，否则在简单方法中选取；然后再考虑其他因素。下面给出综合考虑了以上几个方面所得出的大致结论：
图9.2最佳归并树
③根据最佳归并树计算每一趟及总的读记录数：
第1趟的读记录数=9+16=25
第2趟的读记录数=25+25+38+40+48+53+64+77=370
第3趟的读记录数=128+88+242+98=556
总的读记录数=25+370+556+951。
4.
（1）设计一个直接插入算法：设元素为R[0..n-1]，其中R[i-1..n-1]为有序区，R[0..i]为无序区，对于元素R[i]，将其关键字与有序区元素（从头开始）进行比较，找到一个刚好大于R[i].key的元素R[j]，将R[i..j-1]元素前移，然后将原R[i]插入到R[j-1]处。要求给出每趟结束后的结果。
（2）给出关键字序列{4,5,1,2,8,6,7,3,10,9}的希尔排序过程。
答：希尔排序过程如图9.1所示。
图9.1希尔排序各趟排序结果
（3）一个有n个整数的数组R[1..n]，其中所有元素是有序的，将其看成是一棵完全二叉树，该树构成一个堆吗？若不是，请给一个反例，若是，请说明理由。
答：该数组一定构成一个堆，递增有序数组构成一个小根堆，递减有序数组构成一个大根堆。
初始堆:98 82 75 64 57 12 29 44 38 23
归位元素:98调整成堆[1..9]:82 64 75 44 57 12 29 23 38 98
归位元素:82调整成堆[1..8]:75 64 38 44 57 12 29 23 82 98
归位元素:75调整成堆[1..7]:64 57 38 44 23 12 29 75 82 98
i=8归位元素:8212 23 29 38 44 57 64 75 82 98
（7）已知序列{75,23,98,44,57,12,29,64,38,82}，给出采用堆排序法对该序列升序排序时的每一趟的结果。
答：采用堆排序法排序的各趟的结果如下：
初始序列:75 23 98 44 57 12 29 64 38 82
以递增有序数组为例，假设数组元素为k1、k2、…、kn是递增有序的，从中看出下标越大的元素值也越大，对于任一元素ki，有ki<k2i，ki<k2i+1（i<n/2），这正好满足小根堆的特性，所以构成一个小根堆。
（4）已知序列{75,23,98,44,57,12,29,64,38,82}，给出采用冒泡排序法对该序列作升序排序时的每一趟的结果。
for (j=0;j<n;j++)
if (A[j].key<A[i].key)
count++;
B[count]=A[i];
}
}
②对于有n个元素的表，每个元素都要与n个元素（含自身）进行比较，关键字比较的总次数是n2。
③简单选择排序比这种计数排序好，因为对有n个元素的数据表进行简单排序只需进行1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2次比较，且可在原地进行排序。
归位元素:64调整成堆[1..6]:57 44 38 29 23 12 64 75 82 98
归位元素:57调整成堆[1..5]:44 29 38 12 23 57 64 75 82 98
归位元素:44调整成堆[1..4]:38 29 23 12 44 57 64 75 82 98
归位元素:38调整成堆[1..3]:29 12 23 38 44 57 64 75 82 98
（11）设有11个长度（即包含记录个数）不同的初始归并段，它们所包含的记录个数为{25,40,16,38,77,64,53,88,9,48,98}。试根据它们做4路平衡归并，要求：
①指出总的归并趟数；
②构造最佳归并树；
③根据最佳归并树计算每一趟及总的读记录数。
答：①总的归并趟数=log411=2。
②m=11，k=4，(m-1) MOD (k-1)=1≠0，需要附加k-1-(m-1) MOD (k-1)=2个长度为0的虚归并段，最佳归并树如图9.2所示。
int IsHeap(SqTypeR[],int n)
{int i;
if (n%2==0)//n为偶数时,最后一个分支结点(编号为n/2)只有左孩子(编号为n)
{if (R[n/2].key>R[n].key)
return(0);
for (i=n/2-1;i>=1;i--)//判断所有双分支结点
if (R[i].key>R[2*i].key || R[i].key>R[2*i+1].key)
i=4归位元素:4412 23 29 38 44 75 98 64 57 82
i=5归位元素:5712 23 29 38 44 57 98 64 75 82
i=6归位元素:6412 23 29 38 44 57 64 98 75 82
i=7归位元素:7512 23 29 38 44 57 64 75 98 82
答：采用冒泡排序法排序的各趟的结果如下：
初始序列:75 23 98 44 57 12 29 64 38 82
i=0(归位元素:12):12 75 23 98 44 57 29 38 64 82
i=1(归位元素:23):12 23 75 29 98 44 57 38 64 82
i=2(归位元素:29):12 23 29 75 38 98 44 57 64 82
①当待排序的结点数n较大，关键字的值分布比较随机，并且对排序稳定性不作要求时，宜选用快速排序法。
②当待排序的结点数n较大，内存空间又允许，并且要求排序稳定时，宜采用归并排序法。
③当待排序的结点数n较大，关键字的值的分布可能出现升序或者逆序的情况，并且对排序稳定性不作要求时，宜采用堆排序方法或者归并排序方法。
（3）设计一个算法，判断一个数据序列是否构成一个大根堆。
解：当数据个数n为偶数时，最后一个分支结点（编号为n/2）只有左孩子（编号为n），其余分支结点均为双分支结点；当n为奇数时，所有分支结点均为双分支结点。对每个分支结点进行判断，只有一个分支结点不满足小根堆的定义，返回0；如果所有分支结点均满足小根堆的定义，返回1。对应的算法如下：
解：对应的算法如下：
void InsertSort3(SqTypeR[],int n)
{int i,j,k;
SqTypetmp;
for (i=n-2;i>=0;i--)
{tmp=R[i];
j=i+1;
while (j<n && tmp.key>R[j].key)
j++;//在有序区找到一个刚大于tmp.key的位置R[j]
length=8:12 23 29 38 44 57 64 75 82 98
（10）如果在106个记录中找前10个最小的记录，你认为采用什么样的排序方法所需的关键字比较次数最少？为什么？
答：采用堆排序方法，建立初始堆时间为4n，每次选取一个最小记录后再筛选的时间为log2n，找前10个最小的记录的时间=4n+9log2n。而冒泡排序和简单选择排序需10n的时间。而直接插入排序、希尔排序和二路归并排序等必须全部排好序后才能找前10个最小的记录，显然不能采用。
归位元素:29调整成堆[1..2]:23 12 29 38 44 57 64 75 82 98
归位元素:23调整成堆[1..1]:12 23 29 38 44 57 64 75 82 98
（8）已知序列{75,23,98,44,57,12,29,64,38,82}，给出采用归并排序法对该序列作升序排序时的每一趟的结果。
}
}
（2）有一种简单的排序算法，叫做计数排序。这种排序算法对一个待排序的表（用数组表示）进行排序，并将排序结果存放到另一个新的表中。必须注意的是，表中所有待排序的关键字互不相同，计数排序算法针对表中的每个元素，扫描待排序的表一趟，统计表中有多少个元素的关键字比该元素的关键字小。假设对某一个元素，统计出数值为c，那么这个元素在新的有序表中的合适的存放位置即为c。
return(0);
}
else//n为奇数时,所有分支结点均为双分支结点
{for (i=n/2;i>=1;i--)//判断所有双分支结点
if (R[i].key>R[2*i].key || R[i].key>R[2*i+1].key)
return(0);
}
return(1);
}
上机实验题
有一个整型数组A[0..n-1]，前m（0<m<n）个元素是递增有序的，后n-m个元素也是递增有序的，设计满足以下条件的算法使A中所有元素均递增有序，并用相关数据进行测试。
（5）已知序列{75,23,98,44,57,12,29,64,38,82}，给出采用快速排序法对该序列作升序排序时的每一趟的结果。
答：采用快速排序法排序的各趟的结果如下：
初始序列:75 23 98 44 57 12 29 64 38 82
区间:0-9基准:75:38 23 64 44 57 12 29 75 98 82
④当待排序的结点数n较小，关键字的值基本有序（升序）或者分布比较随机，并且有排序稳定性要求时，宜采用插入排序法。
⑤当待排序的结点数n较小，对排序稳定性不作要求时，宜采用选择排序方法，若关键字的值不接近逆序，亦可采用直接插入排序法。
⑥已知两个有序表，若要将它们组合成一个新的有序表，最好的方法是归并排序方法。
区间:8-9基准:98:12 23 29 38 44 57 64 75 82 98
（6）已知序列{75,23,98,44,57,12,29,64,38,82}，给出采用简单选择排序法对该序列作升序排序时的每一趟的结果。
答：采用直接选择法排序的各趟的结果如下：
初始序列:75 23 98 44 57 12 29 64 38 82
答：采用归并排序法排序的各趟的结果如下：
初始序列:75 23 98 44 57 12 29 64 38 82
length=1:23 75 44 98 12 57 29 64 38 82
length=2:23 44 75 98 12 29 57 64 38 82
length=4:12 23 29 44 57 64 75 98 38 82
①设计实现计数排序的算法。
②对于有n个元素的表，比较次数是多少？
③与简单选择排序相比，这种方法是否更好？为什么？
解：①对应的计数排序的算法如下：
void CountSort(SqTypeA[],SqTypeB[],int n)
{int i,j,count;
for (i=0;i<n;i++)
{count=0;//统计A中小于A[i].key的元素个数
i=3(归位元素:38):12 23 29 38 75 44 98 57 64 82
i=4(归位元素:44):12 23 29 38 44 75 57 98 64 82
i=5(归位元素:57):12 23 29 38 44 57 75 64 98 82
i=6(归位元素:64):12 23 29 38 44 57 64 75 82 98