画法几何总复习

重点： 求平面的投影（三等关系、平面上的直线和点）
平面的最大斜度线（反映平面与投影面的倾角）
1、平面的表示方法 b
（1）用几何
b c c a a b c c a c c
b
元素表示平面
有五种形式： 不在一直线上
a
a b
a
a b b
c c
的三个点；一
直线和直线外 一点；相交二
直角投影定理 若空间二直线相互垂直（相交或交叉）其中只要有一条直 线平行于某一投影面，则此二直线在该投影面上的投影相互垂直；反之， 若二直线在某一投影面上的投影相互垂直，且只要其中一直线平行于该投 影面，则此二直线在空间必然垂直。或者叙述为若直角有一条边平行于某 一投影面，则在该投影面上的投影反映直角。„
复习
作业讲评
【习题3-17】已知菱形ABCD的对角线AC和B点的V面投影,试完 成该菱形的V面投影。 b′ a′ 1′
c′
X
a 1
d′ d
b
c
【习题3-18】矩形ABCD的对角线AC为水平线，试完成该矩形的 V面投影。 b′
解题的关键点: 求另一对角线BD 的正投影长(用直 a′ 角三角形法); 1. ac=AC=BD 2. bd已知 3. 求出∣ZD-ZE︱ =∣ZE-ZB∣ 或求d′b′(e′d′或e′b′)
反之，若两直线同一投影面上的投影均平行，则此二直线平行。 平行两线段之比等于其同面投影之比。
（2）相交的两直线
d
d
k
b
B K D X
k a
b
a
X
c
c k d
c
C Ac a
b
b
k a d
两直线在空间相交，则它们的同面投影均相交，且交点属于两直线。 反之，若两直线同面投影均相交，且交点属于两直线，则两直线相交。 相交两直线的同面投影的交点连线垂直于相应投影轴。
a
d b b d
直线；平行二
直线；任意平 面图形。
c c
b
a
a
（2）用平面的迹线表示平面
V PV P
PV
H
V
PH QV
PH QV
Q H QH
QH
2、求平面的三面投影 b a B b a
b
b a c c
A b a C c
a
c
b c a
空间斜面（一般位置面）三个投影具有相似性
3、两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距 离远近（或坐标大小）来确定的。
X 坐标值大的点在左； Y 坐标值大的点在前； Z 坐标值大的点在上。
两点的相对位置一定要以其中一点作为参照物。
根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标
差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。
4、点的距离
③ 判断平行面：
在平面的三面投影中： 一个投影是图形 两个投影是直线 此面定为平行面
平行图形所在面
（3）一般位置平面
b
b
B b a c A b a a b c a
b a c
a
C
c
c
① 空间位置：与三投影面都倾斜 ② 投影特性：三个投影都是类似形，都不反映空间形体的实形(SX) ③ 判断：根据三投影中图形数量判断平面：
二、直线的投影
（习题集P9-13）
1、求直线的三面投影（“三等关系”） 2、各种位置直线（特殊位置直线、一般位置直线）
3、属于直线的点（从属性、定比性）
4、一般位置直线的实长和倾角（直角三角形法） 5、两直线的相对位置（平行、相交、相叉） 6、直角投影定理
重点： “ 三等关系 ”（求直线的三面投影） 直角三角形法（一般线的实长和倾角）
平面的影依然遵循：“长对正、高平齐、宽相等”
3、各种位置的平面
平面的位置 一般位置平面
倾斜于三个投影面
特殊位置平面
投影面平行面
平行于某一投影面的平面
投影面垂直面
垂直于一个投影面的直线
水平面 ∥H
铅垂面 ⊥H
正平面 ∥V
正垂面 ⊥V
侧平面 ∥W
侧垂面 ⊥W
（1）投影面垂直面
① ② 空间位置：垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面 投影特性：
c′
有四解
BC的Y差
b′
BC=25 30°
a′
c a b
BC的正投影长
c
三、平面的投影
（习题集P14-16）
1、平面的表示法（几何元素表示、迹线表示） 2、求平面的三面投影
3、各种位置平面（投影特性、判断） （垂直面：垂直一个投影面，倾斜两个投影面） （平行面：平行一个投影面，垂直两个投影面） （一般面：与三个投影面都倾斜） 4、平面上的直线和点 5、平面的最大斜度线（角度线）
画法几何总复习
第1章 点、直线、平面的投影
一、点的投影
二、直线的投影
三、平面的投影
一、点的投影
1. 点的三面投影
（习题集P8）
2. 特殊位置的点 （投影面上的点、投影轴上的点）
3. 点的位置 （上、下、左、右、前、后） 4. 点的距离
5. 重影点 （两点在某投影面上的投影重合） （不可见点加括号表示）
一个投影是一点
两个投影平一轴 此线定为垂直线 垂直一点所在面
（3）一般位置直线
① 空间位置：
与三投影面都倾斜
② 投影特性：
a、三个投影都是小于SC的斜线
b、三个投影都是倾斜于投影轴
c、不反映与三个投影面夹角（α 、β 、γ ）的真实大小
③ 判断：
根据三投影中斜线的数量来判断直线：
“无垂、一平、三一般”
V
Z a y
A
V
Z a
z x z x x ay y
az x O a W
az y
a y y O
a
z
W
X
ax a H
X
ax
y
YW
z
ay Y
H
a
YH
aa ox aa oz
三面投影面体系中点的投影规律
Aa = aax = a ay = azO = x Aa = aax = aaz = ay O = y Aa = aaz =aa y = axO =z
用细实线 画直角三 角形（不 是画直角 三角形的 投影，而 是一个几 何作图的 方法）
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【例题】已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点 C的投影，使BC的实长等于已知长度L。 b′ L AB c a′
zA- zB
X b
ab
BC(L) a c
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作业讲评
a″b″
习题3-3(1)求线段ＡＢ的实长和α角 (2)求线段ＡＢ与V、H面的倾角β和γ b
6、直角投影定理 • 如果空间二直线相互垂直（相交或相叉），且一直线是 某投影面的平行线，则此二直线在该投影面上的投影反 映垂直。 • 如果二直线在某一投影面上的投影反映垂直，且其中一 直线是该投影面的平行线，则此二直线在空间必然垂直。
解题方法：
垂直问题，先看有无平行线， 有：做垂直线；无：做平行线
③ 判断平行线： 在直线的三面投影中：
一个投影是斜线
两个投影平二轴 此线定为平行线
平行斜线所在面
（2）投影面垂直线
① 空间位置：垂直于一个投影面，平行于另两个投影面
②
投影特性：
a.在直线垂直的投影面上积聚为一个点 b.另二投影面都是反映实长的直线，并同时平行于一轴
③ 判断垂直线： 在直线的三面投影中：
特殊位置直线
投影面平行线
只平行于一个投影面的直线
投影面垂直线
只垂直于一个投影面的直线
水平线 ∥H
铅垂线 ⊥H
正平线 ∥V
正垂线 ⊥V
侧平线 ∥W
侧垂线 ⊥W
（1）投影面平行线
① ② 空间位置：平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面 投影特性：
a.在直线平行的投影面上是反映实长的斜线，并反映与另 二投影面的倾角。 b.另二投影面是缩短的直线，分别平行于两个轴
△Z △Y
γ SCAB
a
△X
a
X
β
△X
b a
α SCAB
X
△Y
b
△Z
b
a
也可以用补侧投影的方式求γ角
5、两直线的相对位置 （1）平行的两直线 b c a X A a B C X d D a b c d
b
c
b d
a c
d
两直线在空间相互平行，则它们同一投影面上的投影仍平行。
“一平，二垂，三一般”
4、平面上的直线和点
（1）一般面上的一般线和点
平面上的直线（属于平面的直线）
直线在平面上的几何条件是： ① 通过平面上的两点；
2、 特殊位置点的投影 空间一般点 点的X、Y、Z 三个坐标均不为零，其三个
投影都不在投影轴上。
投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影与该
点本身重合，另外两个投影分别在投影轴上。 投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影属于所 在投影轴，与该点本身重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点重合。 点的三个坐标为零，三个投影都与原
公垂线：和两条直线都垂直相交的直线。
+七、直角投影定理
定理一： 垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直 线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理二： 相交两直线在某一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平 行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。 定理三： 相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直 线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理四： 两直线在某一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于 该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。