电磁感应微元法

电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律”

江苏省特级教师 江苏省丰县中学 戴儒京

所谓：“微元法”

所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。

1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。

2. 关于微元法。在时间t ∆很短或位移x ∆很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ∆=∆，s x l t lv ∆=∆=∆。微元法体现了微分思想。

3. 关于求和∑。许多小的梯形加起来为大的梯形，即∑∆=∆S s ，（注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且0v v v -=∆∑，当末速度0=v 时，有∑=∆0v v ，或初速度00=v 时，有∑=∆v v ，这个求和的方法体现了积分思想。

4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法. 如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。

微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。

电磁感应中的微元法

一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割

磁感线运动，产生感应电动势为B L v E =，感应电流为R BLv

I =，受安培力为

v R

L B B I L F 2

2

=

=，因为是变力问题，所以可以用微元法.

1.只受安培力的情况

例1. 如图所示，宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中。质量为m 、电阻为r 的导体棒从高度为h 的斜轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为S 而停下。

（1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v ；

（2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v 与在水平导轨上滑行的距离x 的函数关

系，并画出x v -关系草图。 （3）求出导体棒在水平导轨上滑行的距离分别为S/4、S/2时的速度1v 、2v ；

h

x 0 S/4 S/2 S 例题图

解：（1）根据机械能守恒定律，有2

02

1mv mgh =，得gh v 20=

。 ①

(2)设导体棒在水平导轨上滑行的速度为v 时，受到的安培力为v R

L B BIL f 2

2

-==，

安培力的方向与速度v 方向相反。

用微元法，安培力是变力，设在一段很短的时间t ∆内，速度变化很小，可以认为没有变化，所以安培力可以看做恒力，根据牛顿第二定律，加速度为==

m f a v mR

L B 2

2

-

，很短的时间

t ∆内速度的变化为==∆at v t v mR

L B ∆⋅-

2

2，而x t v ∆=∆，那么在时间t 内速度的变化为

∑∆⋅-

=

∆t v mR

L B V )(2

2，因为x ，所以x mR

L B V ⋅-

=∆)(2

2，速度

=∆+=V v v 0x mR

L B v ⋅-

2

20 ②

2.既受安培力又受重力的情况 例2. 2010年南京市高考模拟题

如图所示，竖直平面内有一边长为L 、质量为m 、电阻为R 的正方形线框在竖直向下的匀强重力场和水平方向的磁场组成的复合场中以初速度0v 水平抛出，磁场方向与线框平面垂直，磁场的磁感应强度随竖直向下的z 轴按kz B B +=0得规律均匀增大，已知重力加速度为g ,求：

（1） 线框竖直方向速度为1v 时，线框中瞬时电流的大小； （2） 线框在复合场中运动的最大电功率；

（3） 若线框从开始抛出到瞬时速度大小到达2v 所经历的时间为t ，那么，线框在时间t 内

的总位移大小为多少？

解：（1）因在竖直方向两边的磁感应强度大小不同，所以产生感应电流为 R

kL R

Lv B B R e i 2

1

12)(=-=

=

(2)当安培力等于重力时竖直速度最大，功率也就最大

=

-=IL B B mg )(12R

v L k R

v L B B m

m

4

22

212)(=

-

所以4

2

L

k mgR v m =

=

=m m mgv P 4

2

2

2

L

k R g m

（3）线框受重力和安培力两个力，其中重力mg 为恒力，安培力

=

f R

v L k R

v L B B z

z

4

22

2

12)(=

-为变力，我们把线框的运动分解为在重力作用下的运

动和在安培力作用下的运动。在重力作用下，在时间t 内增加的速度为gt v =∆1)(，求在安培力作用下在时间t 内增加的速度为2)(v ∆

用微元法，设在微小时间t ∆内，变力可以看做恒力，变加速运动可以看做匀加速运动，加速度为=a mR

v L k z 4

2

-

，则在t ∆内速度的增加为=∆v mR

v L k z 4

2-

t ∆，而z t v z ∆=∆，所以

在时间t 内由于安培力的作用而增加的速度（因为增加量为负，所以实际是减小）为∑∆-

=∆z mR

L k v 4

2

2)(，所以

z mR

L k v ⋅-

=∆4

22)(

再根据运动的合成，时间t 内总的增加的速度为21)()(v v ∆+∆=-

gt z mR

L k ⋅4

2。

从宏观看速度的增加为20

22v v -，所以-

gt z mR

L k ⋅4

2

=2

022v v -，得线框在时间t 内的总