反函数及其图像性质

九年级数学知识点反函数

九年级数学知识点反函数在九年级的数学学习中，我们接触到了很多重要的数学知识点。

其中，反函数是一个特别重要的概念，它帮助我们深入理解函数的性质和变化规律。

在本文中，我们将探讨九年级数学中与反函数相关的几个重要的知识点。

一、函数与反函数的关系首先，我们来回顾一下函数的基本概念。

函数是一个对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

一个函数可以用一个映射规则来表示，例如y = f(x)。

其中，x是自变量，y是因变量，f是函数。

那么，反函数是什么呢？反函数是指如果一个函数f将集合A中的元素映射到集合B中的元素，那么它的反函数f⁻¹将集合B中的元素映射到集合A中的元素。

简而言之，反函数实现了原函数的逆过程。

二、反函数的性质接下来，我们来讨论反函数的一些基本性质。

首先，对于一个函数f来说，它的反函数f⁻¹是否存在是取决于函数本身是否满足一一对应的关系。

也就是说，函数f必须是一个双射函数，才能存在反函数。

其次，我们来看反函数的定义域和值域。

如果函数f的定义域是A，值域是B，那么它的反函数f⁻¹的定义域就是B，值域就是A。

此外，对于反函数来说，它也满足一些性质。

反函数的复合是恒等函数，即f⁻¹(f(x)) = x，而原函数也满足这个性质，即f(f⁻¹(x)) = x。

三、求反函数的方法那么，如何求一个函数的反函数呢？有几种常见的方法。

第一种方法是通过函数的解析式进行求解。

“解析式”是指函数用一个等式或方程表示出来。

如果函数的解析式为y = f(x)，那么我们可以通过交换x和y的位置并解方程得到反函数的解析式。

第二种方法是通过函数的图像进行求解。

我们可以通过观察函数的图像，确定它是否满足一一对应的关系，然后通过绘制关于y = x的对称图像来得到反函数的图像。

第三种方法是通过实质性转化求解。

有一些函数，如指数函数、对数函数等，它们的反函数可以通过实质性的转化求得。

第14讲反比例函数的性质及其图象

，该函数的图象就不经过此点，四个选项中只有D不符合．
考点二、反比例函数表达式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=k/x中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
对于反比例函数y=3/x，下列说法正确的是（） A．图象经过点（1，-3） B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小解析： A.∵反比例函数y=3/x，
在x轴的正半轴上，若点D在
（x＜0）
【考点】反比例函数图象
上点的坐标特征；平行四边形的性质．
完成过关测试：第
题.
完成课后作业：第
题.
故答案为：没有实数根.
小结：此题综合考查了反比例函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式.注意正确判定a的取值范围是解决问题的关键.
【例题2】（2016·深圳市）如图，四边形ABCO是平行四
边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO
绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落
正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=6/x的图象的交点
位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：
【例题1】关于x的反比例函数 y a 4 的图象如
x
图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对
称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于
点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程 a 1 x2 x 1 0 的根的情况是没有实数根．
∴xy=3，故图象经过点（1，3），故此选项错误； B.∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误； C.∵k＞0，∴x＞0时，y随x增大而减小，故此选项错误； D.∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．

三角函数的复合函数与反函数

三角函数的复合函数与反函数三角函数是高等数学中重要的基础概念之一，而复合函数和反函数则是处理函数关系中常见的操作。

本文将介绍三角函数的复合函数和反函数的概念及其在数学中的应用。

一、复合函数的定义与性质复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的操作。

对于两个函数f(x)和g(x)，它们的复合函数可以表示为(g∘f)(x)，读作g 的f。

复合函数的定义如下：设函数f(x)的定义域为A，值域为B，函数g(x)的定义域为B，值域为C，则f和g的复合函数(g∘f)(x)定义如下：(g∘f)(x) = g(f(x)), x∈A复合函数的性质如下：1. 复合函数满足结合律，即(h∘(g∘f))(x) = ((h∘g)∘f)(x)2. 复合函数满足分配律，即(h∘(g+f))(x) = (h∘g + h∘f)(x)二、三角函数的复合函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)，割函数sec(x)，余割函数csc(x)，和余切函数cot(x)。

三角函数的复合函数在数学中有着广泛的应用，例如在解析几何、三角方程以及物理学等领域。

以正弦函数sin(x)为例，我们可以讨论其与其他函数的复合函数。

设函数f(x)为x的平方根函数，函数g(x)为x的倒数函数，则sin(f(x))和sin(g(x))分别表示正弦函数和平方根函数，以及正弦函数和倒数函数的复合函数。

类似地，我们还可以讨论其他三角函数与不同函数之间的复合函数。

三、反函数的定义与性质反函数是指将一个函数的输入和输出进行互换得到的新函数。

对于函数f(x)，如果存在函数g(x)，使得f(g(x))=x且g(f(x))=x，那么称g(x)为f(x)的反函数，记作f^(-1)(x)。

反函数的定义如下：设函数f(x)的定义域为A，值域为B，则函数g(x)的定义域为B，值域为A，且满足以下条件：f(g(x)) = x, x∈Ag(f(x)) = x, x∈B反函数的性质如下：1. 函数与其反函数互为镜像，即y=f(x)与y=f^(-1)(x)关于y=x对称；2. 函数与其反函数的图像关于直线y=x对称；3. 函数与其反函数的复合函数等于自变量，即(f∘f^(-1))(x) = x，(f^(-1)∘f)(x) = x；4. 函数为一对一函数时，才存在反函数。

反比例函数的图象和性质

P(a,b)
X>0
例5.已知函数y=k/x 的图象如下右图，则y=k x-2 的图象大致是（ D ）
y y o (B) y y o x x y o x x
(A)
o
x
o
(C)
(D)
练一练
1.所受压力为F (F为常数且F≠ 0) 的物体，所受压强P与所受面积S的图象大致为（ B）
P （A） P （B） O P （C） O S O （D） S S
8. 如图点Ｐ是反比例函数y= 4/x 的图象上的任意点，PA垂直于x轴，设三角形AOP的面积为S，则Ｓ＝_____
4 2
P
-5
O
A
5
-2
9。已知反比例函数y =k/x 和一次函数 y=kx+b 的图象都经过点（2，1）（1）分别求出这个函数的解析式（2）试判断是A（-2， -1）在哪个函数的图象上（3）求这两个函数的交点坐标
P C
A B
o Q x
1.5 8 1 1、反比例函数y , y , y 的共同点是（ C） x x 4x (A)图像位于同样的象限 (B)自变量取值是全体实数 (C)图像都不与坐标轴相交 (D)函数值都大于0
2、以下各图表示正比例函数y=kx与反比例函数 y y o (B) x o (C)
y
0
y x
0
x
如果两个变量x,y之间的关系可以表示成（k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中自变量不能为0。
y
k x
函数名称
函数解析式和自变量取值范围
正比例函数 y=kx(k≠0，k是常数) x取一切实数 K>0 K<0 y x o y随着x 增大而减小 x o

反函数与函数的图像变换

反函数与函数的图像变换一、反函数当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。

比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。

函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。

设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ϕ=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。

1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。

1f -表示的对应是f 的逆对应，11()()f x f x -≠。

()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。

只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。

特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=，一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。

例1 求下列函数的反函数：（1）21xy -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-⎧+=⎨>--+⎩。

二、互为反函数的两个函数的性质：指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。

根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。

函数与反函数的概念与性质

函数与反函数的概念与性质随着数学的发展，函数和反函数成为了数学中一个非常重要的概念。

函数被广泛应用于各个学科领域中，而反函数则帮助我们更好地理解和运用函数。

本文将介绍函数与反函数的概念和性质，并探讨它们在数学中的作用。

一、函数的概念与性质函数是数学中一种非常常见的关系，它描述了两个集合之间的对应关系。

具体来说，函数是将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中唯一的元素上的规则。

函数常用符号表示为 f(x)，其中 f 是函数的名称，x 是自变量，而 f(x) 则是函数在 x 上的取值。

函数的性质有以下几点：1. 唯一性：每个自变量只能对应一个函数值，即一个 x 对应一个f(x)。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。

3. 单调性：函数可以是增函数（随着自变量的增大，函数值也增大），也可以是减函数（随着自变量的增大，函数值减小）。

4. 奇偶性：函数可以是奇函数（f(-x) = -f(x)），也可以是偶函数（f(-x) = f(x)）。

5. 周期性：函数可以是周期函数，即存在一个正数 T，使得对于所有 x，有 f(x + T) = f(x)。

6. 连续性：函数可以是连续函数，即函数在定义域内的任意两个点之间的函数值也满足函数关系。

二、反函数的概念与性质反函数，顾名思义，是函数的逆运算。

对于一个函数 f(x)，如果存在一个函数 g(x)，使得 g(f(x)) = x，那么 g(x) 就是 f(x) 的反函数。

反函数可以理解为将函数输入的结果逆向还原为输入的过程。

反函数的性质如下：1. 唯一性：原函数的每个函数值对应反函数的一个自变量。

2. 交换性：原函数和反函数的自变量和函数值可以互换位置。

3. 定义域和值域：反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域。

4. 奇偶性：如果原函数是奇函数，则反函数也是奇函数；如果原函数是偶函数，则反函数也是偶函数。

三、函数与反函数的应用函数与反函数在数学中有着广泛的应用。

反函数知识点

反函数知识点、概念总结1.反比例函数：形如y=k/x，（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式xy=k，y=kx(-1)。

2.自变量的取值范围：（1）k≠0；（2）在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；（3）函数y的取值范围也是任意非零实数。

3.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x和y=-x。

对称中心是：原点。

4.反比例函数的几何意义|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

即：过反比例函数y=k/x（k不等于0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=（x的绝对值）*（y的绝对值）=（x*y）的绝对值=k的绝对值。

5. 反比例函数的性质：（1）（增减性）当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

（2）k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0.（3）因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

（4）在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1=S2=|K|（5）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

（6）若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A、B 两点关于原点对称。

（7）设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2+4k·m ≥（不小于）0.（8）反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

最全反三角函数概念图像完整版.doc

反三角函数图像与特征反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为－1反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点：，该点切线斜率为－1渐近线：渐近线：名称反正割曲线反余割曲线方程图像顶点渐近线反三角函数的定义域与主值范围函数主值记号定义域主值范围反正弦若，则反余弦若，则反正切若，则反余切若，则反正割若，则反余割若，则一般反三角函数与主值的关系为式中n为任意数数学术语将y作为的主值限在y=x对称。

其，π/2]arcsin x x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

arccosx的角，该角的范围在[0，π]区间内。

【图中蓝线】⑶在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。

arctan x表示一x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。

【图中绿线】注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】反三角函数主要是三个：y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]图象用红色线条；y=arccos(x），定义域[-1，1] ，值域[0，π]，图象用蓝色线条；y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用绿色线条；y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），图象无；sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得cos(arccos x)=x，arccos(-x)=π-arccos x tan(arctan x)=x，arctan(-x)=-arctanx反三角函数其他公式：arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……（|x|<1) !！表示双阶乘arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……）（|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……举例当x∈[-π/2，π/2] 有arcsin(sinx)=x x∈[0，π]，arccos(cosx)=x x∈（-π/2，π/2），arctan(tanx)=x x∈（0，π），arccot(cotx)=x x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似若(arctanx+arctany）∈（-π/2，π/2），则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy)) 例如，arcsinχ表示角α，满足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β，满足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ，满足φ∈（-π/2，π/2)且tanφ=2基本知识：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsinx 可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。

反函数知识点总结大全

反函数知识点总结大全一、基本概念1. 反函数的定义：设函数f是定义在集合A上的函数，如果对于A中的每一个x都有唯一的一个y使得f(x) = y，那么就存在一个函数g，使得g(y) = x。

则称g为函数f的反函数，记作g = f^(-1)。

反函数是满足f(g(x))=x和g(f(x))=x的一对函数。

2. 反函数存在的条件：一个函数有反函数的充分必要条件是该函数是一一映射的。

即对于函数f，如果对于不同的x1和x2，有f(x1)≠f(x2)，则称f是一一映射。

3. 反函数的表示：在一定条件下，函数的反函数可以表示为y=f^(-1)(x)，转换为x=f(y)。

可以通过求解来得到。

4. 反函数的组合：当两个函数互为反函数时，它们的反函数构成一对互为互逆的函数，进行组合后恰好得到自变量x，即(f^(-1)◦f)(x) = x。

二、性质1. 函数和反函数的图像关系：函数和它的反函数的图像分别关于y=x对称。

这意味着反函数的图像是原函数图像沿着y=x轴做对称得到的。

2. 反函数的导数关系：如果函数f在点x处可导且f'(x)≠0，则它的反函数g也在点y=f(x)处可导，且g'(y) = 1 / f'(x)。

3. 反函数的定义域和值域：一个函数的定义域和值域可以通过反函数来确定。

函数f的定义域是它的值域的反函数的定义域，函数f的值域是它的定义域的反函数的值域。

4. 函数和反函数的性质：反函数的奇偶性、周期性和单调性与原函数相似。

如果原函数是奇函数，那么反函数也是奇函数。

如果原函数是周期性函数，那么反函数也是周期性函数。

如果原函数是单调函数，那么反函数也是单调函数。

三、图像1. 原函数和反函数的图像：原函数和反函数的图像关于y=x轴对称。

通过这种方法，可以很方便得到反函数的图像。

2. 举例：y = f(x)，求f^(-1)(x)图像。

可以先画出原函数的图像，然后再对该图像进行关于y=x的对称处理。

正、反比例函数的图像和性质

图像形状
反比例函数的图像是两条关于原点对称的双曲线，分别位于第一、三象限和第二、四象限。
图像趋势
当 $x$ 趋近于正无穷或负无穷时，$y$ 趋近于 0；当 $x$ 趋近于 0 时，$y$ 趋近于无穷大。
图像与坐标轴关系
反比例函数的图像与坐标轴没有交点，即不经过任何象限的角平分线。
反比例函数性质分析
正比例函数性质分析
01
02
03
比例性
正比例函数中，$y$ 与 $x$ 成正比，即当 $x$ 增大时，$y$ 也随之增大；当 $x$ 减小时，$y$ 也随之减小。
直线性
正比例函数的图像是一条直线，因此具有直线性，即函数值的变化是均匀的。
过原点性
正比例函数的图像经过原点，这意味着当 $x = 0$ 时，$y = 0$。
函数的对称性
如果函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有对称性。例如，二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像关于直线$x=-frac{b}{2a}$对称。
02
正比例函数图像与性质
正比例函数定义及表达式
定义
正比例函数是形如 $y = kx$ （ $k$ 为常数，且 $k neq 0$）的函数。
反比例函数图像
反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k > 0$）的图像是两条分别位于第一象限和第三象限的双曲线。这两条曲线关于原点对称，且随着 $x$ 的增大， $y$ 逐渐减小并趋近于 0。
性质异同点分析
相同点
正比例函数和反比例函数都是关于原点对称的，即它们都是奇函数。
不同点
正比例函数的图像是直线，而反比例函数的图像是双曲线；正比例函数的值随着 $x$ 的增大而增大，而反比例函数的值随着 $x$ 的增大而减小。

最全反三角函数概念图像完整版.doc

反三角函数图像与特征反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为－1反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点：，该点切线斜率为－1渐近线：渐近线：名称反正割曲线反余割曲线方程图像顶点渐近线反三角函数的定义域与主值范围函数主值记号定义域主值范围反正弦若，则反余弦若，则反正切若，则反余切若，则反正割若，则反余割若，则一般反三角函数与主值的关系为式中n为任意数数学术语将y作为的主值限在y=x对称。

其，π/2]arcsin x x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

arccosx的角，该角的范围在[0，π]区间内。

【图中蓝线】⑶在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。

arctan x表示一x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。

【图中绿线】注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】反三角函数主要是三个：y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]图象用红色线条；y=arccos(x），定义域[-1，1] ，值域[0，π]，图象用蓝色线条；y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用绿色线条；y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），图象无；sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得cos(arccos x)=x，arccos(-x)=π-arccos x tan(arctan x)=x，arctan(-x)=-arctanx反三角函数其他公式：arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……（|x|<1) !！表示双阶乘arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……）（|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……举例当x∈[-π/2，π/2] 有arcsin(sinx)=x x∈[0，π]，arccos(cosx)=x x∈（-π/2，π/2），arctan(tanx)=x x∈（0，π），arccot(cotx)=x x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似若(arctanx+arctany）∈（-π/2，π/2），则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy)) 例如，arcsinχ表示角α，满足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β，满足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ，满足φ∈（-π/2，π/2)且tanφ=2基本知识：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsinx 可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。

反比例函数图像与性质知识点

反比例函数图像与性质知识点一、反比例函数公式口诀反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。

二、反比例函数图象当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.图象画法1）列表x...-3-2-11234...y...-4-6-1212643...2）在平面直角坐标系中标出点（一般标5个点，称为5点作图法）。

3）用平滑的曲线连接点。

当K>0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而减小。

当K<0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而增大。

当两个数相等时那么曲线呈弯月型。

k的意义及应用过反比例函数y=k/x（k≠0）图象上任意一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积为|k|。

过反比例函数图象一点，作任一坐标轴的.垂线，并连接原点，围成的三角形的面积为|k|/2。

研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积为|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

这个常数是k的绝对值。

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

三、反比例函数性质单调性当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。

k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

反函数性质

反函数性质
（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；
（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0}且f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）。

奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。

若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；
（7）反函数是相互的且具有唯一性；
（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（9）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I}内也可导；
（10）y=x的反函数是它本身。

高中数学之反比例函数类的图像画法与性质总结

反比例函数类的图像形如ax bycx d+=+的函数，实际上是由最基本的反比例函数1yx=或者1yx=-经过平移变换得来的。

也是比较常考常用的。

下面就将该图像的画图方法以及图像的核心性质总结下来。

1、画图方法步骤：（1）先分离常数（2）确定渐近线的交点（即点（0,0）平移到了哪个点）注意这里的平移口诀是“左加右减，上加下减”（3）画出渐近线，并画出函数图像（注意分子的正负）下面以两道题为例，详细说明画图步骤。

例1 作321xyx+=+的图像解：()2113212111xxyx x x+++===++++分离常数完成后，可以明显看到，原本的反比例函数的中心点（0,0），先向左平移1再向上平移2，变成了点（-1，2）。

因此渐近线的交点就是（-1,2）。

画出渐近线并画图函数图像如下注意到该函数恒过点（0,3），中点为（-1,2）例2 作341xyx-=-的图像解析：()3113413111xxyx x x---===----显然是将（0,0）平移到了（1,3）画出渐近线并作函数图像如下。

这里需要注意，分子为-1，实际上该函数图像是由1y x=-平移得来的。

2、核心性质通过以上作图，很容易观察到ax b y cx d +=+具备如下性质（1）d x c ≠-（2）a y c≠ （3）恒过点(0,)bd（4）中心对称点为,d a c c ⎛⎫⎪⎝⎭3、习题小练求值域：（1）32(0)1x y x x+=>+ （2）4[3,6]2y x x =∈- （3）1(1,2]3x y x x -+=∈-+ （4）34[3,5]1x y x x -=∈- （5）42(1,0]1x y x x -+=∈-- 解：画图各个函数的图像，从图像上看即可。

画图略。

答案如下（1）(2,3)y ∈（2）[2,4]y ∈（3）1[,1)5y ∈-（4）511[,]24 y∈（5）(3,2]y∈--。

三角函数的反函数和反比例关系

三角函数的反函数和反比例关系三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

其中，反函数和反比例关系是三角函数的两个重要概念。

本文将介绍这两个概念的定义、性质以及其在实际问题中的应用。

一、反函数在数学中，如果函数f(x)的定义域和值域分别为A和B，对于任意的a∈A和b∈B，存在b=f(a)，则称函数g(y)为函数f(x)的反函数，记作g(y)=f^(-1)(y)，其中y∈B，x∈A。

即反函数是将原函数的自变量与因变量交换的函数。

对于三角函数而言，正弦函数、余弦函数和正切函数的反函数分别为反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，分别用sin^(-1)(x)、cos^(-1)(x)和tan^(-1)(x)表示。

1. 反正弦函数（arcsin 或 sin^(-1)）反正弦函数是正弦函数的反函数。

它的定义域在区间[-1, 1]内，值域在区间[-π/2, π/2]内。

反正弦函数的图像关于y=x对称。

2. 反余弦函数（arccos 或 cos^(-1)）反余弦函数是余弦函数的反函数。

它的定义域在区间[-1, 1]内，值域在区间[0, π]内。

反余弦函数的图像关于y=x对称。

3. 反正切函数（arctan 或 tan^(-1)）反正切函数是正切函数的反函数。

它的定义域为整个实数集R，值域在区间[-π/2, π/2]内。

反正切函数的图像关于y=x对称。

利用反函数，我们可以求解三角函数方程，或是降低函数复杂性，使得处理问题更加简便。

二、反比例关系反比例关系是指两个量之间的关系成反比。

如果两个变量x和y满足等式xy=k，其中k为常数且不为0，则称x和y成反比例关系。

在三角函数中，正弦函数和余弦函数、正切函数和余切函数是典型的反比例关系。

1. 正弦函数和余弦函数的反比例关系正弦函数和余弦函数的反比例关系可以表示为sin(x)·cos(x) = k，其中k为常数。

当一个角的正弦值增大时，其余弦值会减小，反之亦然。

反函数的性质与像

反函数的性质与像反函数是数学中重要的概念之一，在函数论中有着重要的应用。

在本文中，我们将探讨反函数的性质以及它们的像。

1. 反函数的定义在数学中，如果对于一个函数f(x)，对于任意的x1和x2，有f(x1) = f(x2)只能推出x1 = x2，那么我们称函数f(x)是一一对应的。

在这种情况下，我们可以定义函数g(y)，使得对于任意的x，有g(f(x)) = x和f(g(y)) = y成立。

函数g(y)就是函数f(x)的反函数。

2. 反函数的存在性反函数的存在性与原函数的性质密切相关。

对于严格单调递增或递减的函数来说，它们一定存在反函数。

然而，对于非严格单调递增或递减的函数来说，它们的反函数并不一定存在。

因此，在研究反函数时，我们需要首先确定原函数的性质。

3. 反函数的性质反函数与原函数在很多方面是互补的。

以下是一些常见的反函数的性质：3.1 有序对的关系：对于函数f(x)和其反函数g(y)，有(f(x), g(y))和(g(y), f(x))是一对有序对。

3.2 变量的替换：对于函数f(x)和其反函数g(y)，变量x和y可以互相替换，即f(g(y)) = y和g(f(x)) = x。

3.3 图像的对称性：函数f(x)和其反函数g(y)的图像关于直线y = x对称。

3.4 定义域与值域的互换：原函数f(x)的定义域等于反函数g(y)的值域，并且原函数f(x)的值域等于反函数g(y)的定义域。

4. 反函数的像反函数的像与原函数的像有一定的关系。

当原函数的像与定义域相同时，反函数的像与值域相同，即原函数的像等于反函数的值域。

换句话说，反函数的像是原函数的值域的倒映。

如果原函数不是一对一的函数，则反函数的像可能不等于值域。

这是因为原函数中有多个不同的x值对应同一个y值，而反函数中每个y值只能对应一个x值。

总之，在研究反函数的像时，我们需要考虑原函数的一对一性以及定义域与值域的关系。

结论通过本文的讨论，我们了解到反函数的性质与像的重要性。

反比例函数图象及性质

反比例函数图象及性质【知识点】定义：一般的，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成(k 为常数，k≠0，x≠0），其中k 叫做反比例系数，x 是自变量，y 是x 的函数，x 的取值范围是不等于0的一切实数,且y 也不能等于0。

表达式：y*x=-1,y=x^(-1)*k ，y=kx^-1（k 为常数(k≠0），x 不等于0）函数的图像：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x 和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交.函数的性质：Y 与x 的变化：当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大。

因为在(k≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交，只能无限接近x 轴，y 轴。

面积：在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，反比例函数上一点向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y 轴和x 轴，则QOWM 的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT △OMQ 的面积=½|k|。

对称性：类型一：函数性质，比较大小例1.如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数xy 1=的图象上，那么y 1与y 2间的关系是（） A. y 2＜y 1＜0 B.y 1＜y 2＜0 C.y 2＞y 1＞0 D.y 1＞y 2＞0 例2.对于函数3x ky x+＝（k ＞0）有以下四个结论： ①这是y 关于x 的反比例函数；②当x ＞0时，y 的值随着x 的增大而减小； ③函数图象与x 轴有且只有一个交点；④函数图象关于点（0，3）成中心对称．其中正确的是。