反函数及其图像性质

函数y 2x (x(1,))的图象 1x
与其反函数的交点坐标为
A
21
已知函数y f (x)存在反函数且
f (3) 0, 则函数f -1( x 1)的图象
必经过点
( A)(2, 0)
(B)(0, 2)
(C )(3, -1)
(D)(-1, 3)
A
22
（二）反函数中应注意的几个问题
①y=f(x)与x=f-1(y)是定义上的反函数， 它们的图像相同。
2
2
4
:
:
x
y
R 乘以2 R
2
1
4
2
:
:
y
x
R 除以2 R
这个新函数的自变量是__y____A ，对应的函数值是___x____。3
（2）函数 y x1的定义域是_[_-1_,_+__)__，值域是__[0_,_+__)__。
如果由 y x1 解出x=__y_2___1___,则对于y在 [0，+)上 的任一个值，通过式子x=__y_2 __1____,x在[-1,+)上有_唯__一__确__定___
对于y在[0,+)上任一个值，通过式子 x y, x在R上有__________值和它对应，故 x_________y的函数。
这表明函数 y x 2 没有反函。
并非所有的函数都有反函数！
A
13
问：怎样的函数才具有反函数呢？
• 连续的单调函数一定有反函数
A
14
A
15
二、新授课
（一）例题讲解
x1 解：（1）由 y3x1解得 xy： 1,
3 互换 x,y得 经反函 y数 x1(为 xR)： .
3
(2) 由 yx31解得 x3： y1,
互x换 ,y得反函 A y数 3为 x1： (xR). 7
(3) 由 y x1解得 x(： y1)2,
互换 x,y得反函数 y为 (x： 1)2(x 1).
用 y 把 x 表示出来
如果…那么…
对调字母 x ， y
9 知识应用与解题研究
反函数的练习：
（1）.已 知 ： f ( x ) 1 x 2 , 且 x 0，1 ,
则 其 反 函 数 f 1( x)
1-x2 (0x1) ,
其定义域为
0,1 .
（ 2） 若 f ( x ) x 2 x ( x 1 ), 2
(4) 由 y2x3解得 x： y3,
x1
y2
互换 x,y得反函数 y为 x3：(xR,且 x2).
x2
A
8
2.求反函数的步骤 概念表明
也就是说,反函数定义是一种生成性定 义，体现了反函数的获得的过程
y = f(x) (x∈A)
反解
x=( y) (y∈C)
判断
x=f 1(y) (y∈C)
对调
y=f 1(x) (x∈C) A
yg(x)x1, 的反函数，记为：xg 1(y)y2 1 .
改写为： y g 1(x ) x 2 1 (x 0 ).
反函数的一般定义参见课本P.60第二段。
A
5
反函数与原函数的关系：
表达式： 定义域： 值域：
原函数
y=f(x) A
C
反函数
y=f –1(x) C
A
A
6
例.求下列函数的反函数：
(1)y3x1(xR)(;2)yx31(xR); (3)yx1(x0)(;4)y2x3(xR,且 x1)
例1. 求函数y=3x-2的反函数,
并画出原函数和反函数的图象.
解 ∵y=3x-2
y=3x-2
∴x=
y2 3
y
∴函数y=3x-2(x∈R）
的反函数为
1
x2
y=
3 x∈R
-2 -1 -1 1
-2
A
yx
y x2 3
x
16
原函数和反函数的关系
原函数和其反函数的图象关于 直线y=x对称，
若两个函数的图象关于直线 y=x对称，则它们互为反函数.
A
2
完成下列填空：
（y=12）x解函出数xy==_21_x_的_y_定__义,这域样是对_于__Ry_在__R,值上域任是一_个__R值__，__通。过如式果子由x=
2
1 y ，x在R上有唯__一__确__定__的值和它对应，故x是__y__的函数。 2
原函数: y=2x
新函数：x 1 y 2
1
② y=f(x)与y=f-1(x)是应用上的反函数， 它们的图像关于直线y=x对称。
反函数
A
1
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的
函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义 域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。
记为： y=f(x)
是：y 2xx2 ( 0A < x ≤1 )
11
例3.求函数yxx22 1 ( (01xx10)) 的反函数.
f1(x) x1(1x0) x(0x1)
A
12
5、是否任何一个函数都有反函数？
（1）函数 y x 2 的定义域是_____，值域是 _________。如果由 y x 2 解出x=_________,
的值和它对应，故x是__y__的函数。
原函数：
表达式： y x1
新函数：
xy2 1
定义域： [-1,)
[0,+)
值域： [0,+)
[-1,+)
A
4
在(1)中，我们称新函数 x 1 y 为原函数y=f(x)=2x的
反函数,记为：x
f
1(y)1y. 2
2
改写为：
yf1(x)1x(xR) 2
同源自文库，在(2)中，也把新函数 xy2 1 称为原函数
则 f 1(2) -2 .
A
10
例2：求函数 y1 1x2（1≤ x < 0）
的反函数.
解：∵ 1≤ x < 0 ∴0 < x2 ≤ 1 ∴0≤1 x2 < 1
∴ 0 ≤ 1 x2 < 1 ∴0 < y ≤ 1
由 y1 1x2解得 x. 2yy2
(∵ 1≤ x < 0 )
∴ y1 1x2(1≤ x < 0)的反函数
A
18
例2.求函数y=x3(x∈R)的反函数,并画
出原来的函数和它的反函数的图象.
解：yx3x3 y y
y x3 yx
1
y3 x(xR)
y3 x
1
x
A
19
例3.已知函数f (x) axb的图像 xa
与其反函数f -1(x) 的图像都经过 (-1,3)点.求实数a,b的值.
a 0
b
-3
A
20
应用思路：
已知函数的图像利用对称性可以
画出它的反函数的图像。
A
17
总结：
y=3x-2 y
yx
· ·· (0,
2 3
)
A1
B-2(2-,10)-1
1A ( 2 , 0 ) 3
·-2 B (0, 2)
y x2 3
x
原函数过 M(a,b), 则 y=f-1(x)过 M´(b,a).
注意：
M(a,b),与M´(b,a)两点关于直线y=x对称.