导数微积分公式

导数、微分、积分公式总结

导数】

(1)( u ±v) = u ±J

(2) ( u v ) '= u'v+ u v'(记忆方法：U V + u v，分别在

(3)( c u) '= c u'(把常数提前)

(4 )1 ——I = ---------------

v2

关于微分】

左边：d 打头

右边：dx 置后再去掉导数符号 '即可

【微分】

设函数u= u ( x),v= V (x)皆可微，则有:

1) d( u ±

V ) = du ± dV

2) d( u V )= du V + u dV

厂u、du -V— u

dv

3) dI ——I = ——————

J V丿V2

( 5)复合函数(由外至里的“链式法则”) dy

--- =f ' ( u) •(<)

dx

其中y = f ( u), u = © ' (x)

( 6)反函数的导数：

1

[f _(y)]'= -------------

f'( x)

其中，f ' (x)工0

【导数】注：【】里面是次方的意思

( 1 )常数的导数：

( c) = 0

(2 ) x的a次幂：

“V上加')

1】

ax

3) 指数类：

x】x】

lna

x】x】

4) 对数类：

log ——log e 其中 a z 1)

xlna

lnx)

x

(5)正弦余弦类：

(sinx) '= cosx

(cosx) '= —sinx

【微分】

注：【】里面是次方的意思

(1 )常数的微分：

dC = 0

(2) x的a次幂：

【a 【a — 1】

d x = ax dx

3)指数类：

【x】【x】

da = a

(其中a > 0 , az 1)

lnad

【x】【x】

de =e dx

4)对数类：

1

dlog x = ------ log e = -------- d x 其中a > 0 , a z 1)

x a xlna

dlnx

x

5）正弦余弦类：

dsinx = cosxdx dcosx = —sinxdx

导数】

6）其他三角函数：

(tanx) '= --------- = sec2x

cos2x

1

(cotx )'= ————— = —csc2x

sin2x

(secx) '= secx •anx

(cscx) '= —cscx cotx

7 )反三角函数：

1

(arcsinx) ' = -------------- (—1 < x < 1)

/

V 1 — x2

1

(arccosx) '= ————————(—1 < x <1)

/

V 1—x2

1

( arctanx ) '= —————

1 ＋x2

1

( arccotx ) '= ——————

1 ＋x2

微分】

6)其他三角函数：

1

dtanx = ———— = sec2xdx

cos2x

dcotx

－csc2xdx

sin2x

dsecx = secx •anxdx

dcscx = —cscx cotx dx

7)反三角函数：

1

darcsinx = ------------ dx (—1 < x < 1)

/

V 1 — x2

1

darccosx = ————————dx (—1 < x <1)

/

V 1—x2

1

darctanx = —————dx

1＋x2

1

darccotx = ——————dx

1＋x2

导数的应用(一) ——中值定理

特殊形式

【拉格朗日中值定理】 ----------- 【罗尔定理】

【拉格朗日中值定理】

如果函数y = f (x)满足：

(1 )在闭区间〔a , b〕上连续；

(2)在开区间(a , b) 上可导。

_则：在(a , b)内至少存在一点 (a < E< b ),使得

f(b)—f(a)

f' ( B = --------------

b —a

【罗尔定理】

如果函数y = f (x)满足：

(1 )在闭区间〔a , b〕上连续；

(2)在开区间(a , b) 上可导；

(3)在区间端点的函数值相等,即

f(a)= f(b)。

_则：在(a , b )内至少存在一点 (a < Ev b ),使得f' ( B = 0

导数的应用（二）——求单调性、极值（辅助作图）【单调性】

（1）如果x €（a , b）时，恒有f' （x ）＞0 , 则f （x）在（a , b）内单调增加；

（2）如果x €（a , b）时，恒有f' （x ）＜0 , 则f （x）在（a , b）内单调减少。

【极值】

若函数f （x）在点x?处可导，且f （x）在x?处取得极值，则f'

（x?）= 0。

导数的应用（三）——曲线的凹向与拐点（辅助作图）【凹向】

设函数y = f （x）在区间（a ，b）内具有二阶导数，

（1）若当x€（a ，b ）时，恒有f〃（x ）＞0 ，

则曲线y = f （x）在区间（a，b）内上凹；

（2）若当x€（a，b ）时，恒有f〃（x ）＜0，

则曲线y = f （x）在区间（a，b）内下凹。

【拐点】

曲线上凹与下凹的分界点。

第一类：常数的积分

/ Odx = C

/dx = x + C （1 的积分）

/ kdx = kx + C

第二类：x的a次幂的积分

【d 1 【a+ 1】

/ x dx = x + C （ a 胡）

a＋1

第三类：倒数的积分【注意：绝对值】

1

/x = ln|x| + C （x 工0）

x

第四类：指数的积分

【x】 1 【x】

/a dx = ---------- a + C （a ＞0 ，a 工1）

lna

【x】【x】

/e dx = e ＋C

第五类：三角函数的积分

/sinxdx = －cosx ＋C

/cosxdx = sinx ＋C

/tanxdx = —ln|cosx| + C 【选记】