最新导数微积分公式

导数微积分公式

导数、微分、积分公式总结

【导数】

（1）（u ± v）′＝u′±v′

（2）（u v）′＝u′v＋ u v′（记忆方法：u v ＋ u v ，分别在“u”上、“v”上加′）（3）（c u）′＝ c u′（把常数提前）

╭ｕ╮′u′v－ u v′

（4）│——│＝———————（ v ≠ 0 ）

╰ｖ╯v²

【关于微分】

左边：d打头

右边：dx置后

再去掉导数符号′即可

【微分】

设函数ｕ＝u（x），ｖ＝v（x）皆可微，则有：

（1）d（u ± v）＝ du ± dv

（2）d（u v）＝ du·v ＋ u·dv

╭ｕ╮du·v － u·dv

（3）d│——│＝———————（ v ≠ 0 ）

╰ｖ╯v²

（5）复合函数（由外至里的“链式法则”）

dy

——＝f′（u）·φ′（x）

dx

其中y ＝ f（u），u ＝φ′（x）

（6）反函数的导数：

1

[ fˉ¹（y）]′＝—————

f′（x）

其中，f′（x）≠ 0

【导数】

注：【】里面是次方的意思

（1）常数的导数：

（c）′＝ 0

（2）x的α次幂：

╭【α】╮′【α － 1】

│ｘ│＝αｘ

╰╯

（3）指数类：

╭【x】╮′【x】

│ａ│＝ａ lna（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）

╰╯

╭【x】╮′【x】

│ｅ│＝ｅ

╰╯

（4）对数类：

╭╮′ 1 1

│logｘ│＝——log ｅ＝———（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）

╰a╯ x a xlna

1

（lnx）′＝——

x

（5）正弦余弦类：

（sinx）′＝ cosx

（cosx）′＝－sinx

【微分】

注：【】里面是次方的意思

（1）常数的微分：

dC ＝ 0

（2）x的α次幂：

【α】【α － 1】

dｘ＝αｘdx

（3）指数类：

【x】【x】

dａ＝ａ lnadx（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）

【x】【x】

dｅ＝ｅ dx

（4）对数类：

1 1

dlogｘ＝——log ｅ＝———dx（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）

a x a xlna

1

dlnx ＝——dx

x

（5）正弦余弦类：

dsinx ＝ cosxdx

dcosx ＝－sinxdx

【导数】

（6）其他三角函数：

1

（tanx）′＝————＝ sec²x

cos²x

1

（cotx）′＝－————＝－csc²x

sin²x

（secx）′＝ secx·tanx

（cscx）′＝－cscx·cotx

（7）反三角函数：

１

（arcsinx）′＝———————（－1 ＜ x ＜1）

/￣￣￣￣￣

√1－x²

１

（arccosx）′＝－———————（－1 ＜ x ＜1）

/￣￣￣￣￣

√1－x²

１

（arctanx）′＝—————

1＋x²

１

（arccotx）′＝－—————

1＋x²

【微分】

（6）其他三角函数：

1

dtanx ＝————＝ sec²xdx

cos²x

1

dcotx ＝－————＝－csc²xdx

sin²x

dsecx ＝ secx·tanxdx

dcscx ＝－cscx·cotx dx

（7）反三角函数：

１

darcsinx ＝———————dx（－1 ＜ x ＜1）

/￣￣￣￣￣

√ 1－x²

１

darccosx ＝－———————dx（－1 ＜ x ＜1）

/￣￣￣￣￣

√ 1－x²

１

darctanx ＝—————dx

1＋x²

１

darccotx ＝－—————dx

1＋x²

导数的应用（一）——中值定理

特殊形式

【拉格朗日中值定理】—————→【罗尔定理】

【拉格朗日中值定理】

如果函数y ＝ f（x）满足：

（1）在闭区间〔a ，b〕上连续；

（2）在开区间（a ，b）上可导。

则：在（a ，b）内至少存在一点ξ（ a ＜ξ ＜ b ），使得

f（b）－ f（a）

f′（ξ）＝————————

b － a

【罗尔定理】

如果函数y ＝ f（x）满足：

（1）在闭区间〔a ，b〕上连续；

（2）在开区间（a ，b）上可导；

（3）在区间端点的函数值相等，即f（a）＝ f（b）。

则：在（a ，b）内至少存在一点ξ（ a ＜ξ ＜ b ），使得f′（ξ）＝0。导数的应用（二）——求单调性、极值（辅助作图）

【单调性】

（1）如果x ∈（a ，b）时，恒有f′（x）＞ 0 ，

则f（x）在（a ，b）内单调增加；

（2）如果x ∈（a ，b）时，恒有f′（x）＜ 0 ，

则f（x）在（a ，b）内单调减少。

【极值】

若函数f（x）在点x₁处可导，且f（x）在x₁处取得

极值，则f′（x₁）＝ 0 。

导数的应用（三）——曲线的凹向与拐点（辅助作图）

【凹向】

设函数y ＝ f（x）在区间（a ，b）内具有二阶导数，

（1）若当x∈（a ，b）时，恒有f〃（x）＞ 0 ，

则曲线y ＝ f（x）在区间（a ，b）内上凹；

（2）若当x∈（a ，b）时，恒有f〃（x）＜ 0 ，