浙江省2019年中考数学专题复习专题九分类讨论型问题训练

专题九分类讨论型问题

类型一由概念内涵分类

(2018·江苏盐城中考)如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分别为边BC，AB 上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝________．

【分析】分两种情形分别求解：①当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时．

【自主解答】

此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等，直角三角形有一个角是直角等，解决此类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论之后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)．

1．(2018·浙江温州中考)如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连结AP，BD，AP交⊙O于点E.

(1)求证：∠BPD＝∠BAC.

(2)连结EB ，ED ，当tan ∠MAN＝2，AB ＝25时，在点P 的整个运动过程中． ①若∠BDE＝45°，求PD 的长；

②若△BED 为等腰三角形，求所有满足条件的BD 的长．

(3)连结OC ，EC ，OC 交AP 于点F ，当tan ∠MAN＝1，OC∥BE 时，记△OFP 的面积为S 1，△CFE 的面积为S 2，请写出S 1

S 2

的值．

类型二 由公式条件分类

(2018·江苏宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l 的条数是( ) A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

【分析】根据题意可以设出直线l 的函数表达式，然后根据题意即可求得k 的值，从而可以解答本题． 【自主解答】

2．(2018·浙江宁波中考)如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为__________．

类型三由位置不确定分类

(2018·山东潍坊中考)如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB 于点F，AB＝6，DH＝4，BF∶FA＝1∶5.

(1)如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连结M′B.

①求四边形BHMM′的面积；

②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．

(2)如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．

【分析】(1)①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；

②连结CM交直线EF于点N，连结DN，利用勾股定理解答即可；

(2)分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答．

【自主解答】

3．(2018·贵州铜仁中考)在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4 cm，b与c的距离为1 cm，则a与c的距离为( )

A．1 cm B．3 cm

C．5 cm或3 cm D．1 cm或3 cm

4．(2018·山东威海中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－4，0)，B(2，0)，与y 轴交于点C(0，4)，线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求点D的坐标；

(3)点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R.求点P的坐标；

(4)点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

类型一

【例1】 ①如图，当AQ ＝PQ ，∠QPB＝90°时，设AQ ＝PQ ＝x.

∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA， ∴

BQ BA ＝PQ AC ，∴10－x 10＝x 6

， ∴x＝154，∴AQ＝154

.

②如图，当AQ ＝PQ ，∠PQB＝90°时，设AQ ＝PQ ＝y.

∵△BQP∽△BCA，∴PQ AC ＝BQ

BC ，

∴y 6＝10－y 8，∴y＝307

. 综上所述，满足条件的AQ 的值为154或307.

故答案为154或30

7.

变式训练

1．解：(1)∵PB⊥AM，PC⊥AN， ∴∠ABP ＝∠ACP＝90°， ∴∠BAC＋∠BPC＝180°. 又∠BPD＋∠BPC＝180°， ∴∠BPD＝∠BAC.

(2)①如图，连结DE ，OC ，EC.

∵∠APB＝∠BDE＝45°，∠ABP＝90°， ∴BP＝AB ＝2 5. ∵∠BPD＝∠BAC， ∴tan∠BPD＝tan∠BAC， ∴

BD

DP

＝2，∴BP＝5PD ，∴PD＝2. ②当BD ＝BE 时，∠BED＝∠BDE ， ∴∠BPD＝∠BPE＝∠BAC， ∴tan∠BPE＝2.

∵AB＝25，∴BP＝5，∴BD＝2. 当BE ＝DE 时，∠EBD＝∠EDB. ∵∠APB＝∠BDE，∠DBE＝∠APC，

∴∠APB＝∠APC，∴AC＝AB ＝2 5.

如图，过点B 作BG⊥AC 于点G ，得四边形BGCD 是矩形．

∵AB＝25，tan∠BAC＝2， ∴AG＝2，∴BD＝CG ＝25－2. 当BD ＝DE 时，∠DEB＝∠DBE＝∠APC. ∵∠DEB＝∠DPB＝∠BAC， ∴∠APC＝∠BAC. 设PD ＝x ，则BD ＝2x ， ∴

AC PC ＝2，∴2x ＋24－x

＝2， ∴x＝3

2

，∴BD＝2x ＝3.

综上所述，当BD ＝2，3或25－2时，△BDE 为等腰三角形． (3)如图，过点O 作OH⊥DC 于点H.

∵tan∠BPD＝tan∠MAN＝1，∴BD＝PD. 设BD ＝PD ＝2a ，PC ＝2b ，

则OH ＝a ，CH ＝a ＋2b ，AC ＝4a ＋2b. ∵OC∥BE 且∠BEP＝90°，∴∠PFC＝90°， ∴∠PAC＋∠APC＝∠OCH＋∠APC＝90°， ∴∠OCH＝∠PAC，∴△ACP∽△CHO， ∴

OH CH ＝PC

AC

，即OH·AC＝CH·PC，