高中数学题型解法归纳《归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法》
2024年高中数学解题技巧归纳与总结
2024年高中数学解题技巧归纳与总结一、代数运算技巧1. 因式分解：对于多项式的因式分解，可以运用相关的公式和技巧来进行简化和化简，例如二次差平方公式、完全平方公式等。
2. 分数运算：对于分数的运算，在分子分母上同时进行化简和约分，可以简化计算过程。
3. 方程求解：对于一元一次方程和一元二次方程等，可以通过移项、合并同类项、配方法等来求解，并且可以借助图象、函数性质等来验证解的正确性。
4. 不等式求解：对于一元一次不等式和一元二次不等式等，可以通过化简和变形来求解，并且可以借助函数图象等来验证解的正确性。
二、几何解题技巧1. 利用几何图形性质：对于平面几何和立体几何的解题，可以通过运用几何图形性质，如平行线的性质、三角形的性质、圆的性质等来推导和解题。
2. 分析几何关系：对于几何题目中的给定条件，可以通过分析几何图形的相关关系，如相似关系、垂直关系、共线关系等来解题，并且可以通过构造辅助线、利用等距变换等来推导和证明。
3. 利用比例关系：对于比例题目，可以通过利用比例的性质，如比例的乘法性质、比例的倒数性质等来推导和解题。
三、函数与图像技巧1. 函数图像的性质：对于函数图像题目，可以通过利用函数图像的性质，如对称性、单调性、周期性等来推导和解题。
2. 图像的平移和伸缩：对于函数图像的平移和伸缩题目，可以利用平移和伸缩的性质来求解，并且可以借助图像和方程等来验证解的正确性。
3. 利用函数性质：对于函数的性质题目，可以通过运用函数的定义和性质，如函数的奇偶性、函数的连续性等来解题，并且可以借助图象和推导等来验证解的正确性。
四、概率与统计技巧1. 概率的计算：对于概率题目，可以通过利用概率的基本定义和性质，如加法定理、乘法定理等来计算，并且可以借助频率和样本空间等来验证结果的可靠性。
2. 统计的分析：对于统计题目，可以通过利用抽样调查和数据分析的方法，如频数分布、频率分布等来进行统计，并且可以借助图表和统计性质等来解题和验证。
高中数学各大题型详细解题方法总结，建议高考生收藏！
高中数学各大题型详细解题方法总结，建议高考生收藏！高考数学大题考查的包括三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、函数与导数。
每类题都有对应的出题套路，每一种套路都有对应的解题方法：三角函数三角函数的题有两种考法，其中10%~20%的概率考解三角形，80%~90%的概率考三角函数本身。
1. 解三角形不管题目是什么，要明白，关于解三角形，只学了三个公式——正弦定理、余弦定理和面积公式。
所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。
至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。
2. 三角函数然后求解需要求的。
套路一般是给一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域、值域、周期、频率、单调性等问题。
解决方法就是，首先利用“和差倍半”对式子进行化简。
化简成：掌握以上公式，足够了。
关于题型，见下图：立体几何立体几何的相关题目，稍微复杂一些，可能会卡住一些人。
这个题目一般有2~3问，一般会考查某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直，以及求二面角。
这类题目的解题方法有两种：空间向量法和传统法。
这两种方法各有利弊。
向量法：使用向量法的好处在于：没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。
缺点就是计算量大，且容易出错。
使用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。
建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。
其形式为AB=（a，b，c），然后进行后续证明与求解。
箭头指的是利用前面的方法求解。
如果有些同学会觉得比较乱，以下为无箭头标注的图。
传统法：在学立体几何的时候，有很多性质定理和判定定理。
但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了上图中6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。
所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。
另外，还有一类题，是求点到平面距离的，这类题百分之百用等体积法求解。
数列从这里开始，会明显感觉题目变难了，但是掌握了套路和方法，解决这类题目并不困难。
高中数学各章节解题方法总结
高中数学各章节解题方法总结【最新版3篇】《高中数学各章节解题方法总结》篇1高中数学各章节解题方法总结如下：1. 函数与导数：函数思想：将数学问题用函数表示出来，利用函数的性质探究问题的一般规律。
配方法：利用恒等变形的方法，将函数解析式配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式，以解决因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等问题。
2. 数列与数学归纳法：数列思想：将数列问题用函数的思想来解决，利用数列的性质探究问题的一般规律。
数学归纳法：通过归纳类比思想，对某种相类似的问题进行研究而得出他们的共同点，从而得出解决这些问题的一般方法。
3. 三角函数与解三角形：三角函数思想：将三角函数问题用函数的思想来解决，利用三角函数的性质探究问题的一般规律。
解三角形思想：通过构建方程组，解三角形的边角关系，求解三角形的问题。
4. 解析几何：数形结合思想：将代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。
方程思想：将解析几何问题转化为方程，对方程的性质进行研究以解决这个问题。
5. 立体几何：空间思维：通过空间想象能力，对立体几何问题进行分析和解决。
向量思想：将立体几何问题转化为向量，利用向量的性质探究问题的一般规律。
6. 概率与统计：概率思想：通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的及格率等。
统计思想：通过对数据的分析和处理，探究数据的规律，做出合理的判断和预测。
《高中数学各章节解题方法总结》篇2以下是高中数学各章节解题方法的总结：1. 函数与导数函数与导数是高中数学的基础章节之一，主要涉及函数的定义、性质、分类、图像、解析式、图像变换、函数的极值、最值问题、曲线的凸凹性、曲线的切线、导数的概念、性质、计算、导数的应用等内容。
解题方法：-认真理解函数的定义和性质，掌握函数的分类和图像变换规律。
-熟练掌握导数的概念和计算方法，能够根据函数的性质求解最值问题、曲线的凸凹性和切线等问题。
高中数学数列题型归纳及解题方法梳理
1数列典型例题分析【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得＝， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)==2n+1-2.小结与拓展：数列{}na 是等差数列，则数列}{na a 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}na 的121d +1812d d++2ma 2(12)12n --公差。
（a>0且a≠1）.【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。
解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n－1)(n∈N*) ②①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，2∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n －b n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，＋1法一（迭代法）b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二（累加法）即b n－b n－1＝2n－8，b n－1－b n－2＝2n－10，…b3－b2＝－2，b2－b1＝－4，b1＝8，相加得b n＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)34 ＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n∈N *)．小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。
数列通项公式的求解方法总结
数列通项公式的求解方法总结求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学。
一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f（n）可求前n项和）.例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。
解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1=2+（n-1）+1=（n-1）（n+1）+1=n2所以数列an的通项公式为an=n2。
例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.备注：取倒数之后变成逐差法。
解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.例3.已知数列{an}中a1=，an=·an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。
解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。
注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。
高中数学知识点全总结解法
高中数学知识点全总结解法一、代数1. 集合与函数概念集合的基本概念，包括集合的表示、运算及其性质。
函数的定义、性质和常见类型（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）。
2. 代数式的运算整式的加减乘除、因式分解、分式的运算法则。
根式的化简、同类二次根式的合并。
3. 不等式与方程一元一次不等式、一元二次不等式的解法。
方程的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、分式方程、无理方程等。
4. 函数的图像与性质函数的图像绘制，包括函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的判断与应用。
5. 指数与对数指数运算法则、对数运算法则及其在实际问题中的应用。
指数函数与对数函数的图像和性质。
6. 排列组合与概率排列组合的基本概念、公式及计算方法。
概率的基本概念、计算公式和条件概率、独立事件的概率等。
二、几何1. 平面几何点、线、面的基本性质。
三角形、四边形、圆的基本性质和计算公式。
2. 空间几何空间直线与平面的位置关系，包括平行与垂直的判定与性质。
空间几何体（如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等）的性质和体积、表面积的计算。
3. 解析几何坐标系的建立和点的坐标表示。
直线、圆的方程及其性质。
圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程和性质。
三、三角学1. 三角比与三角函数三角比的定义、关系和变换。
三角函数的图像、性质和周期性。
2. 三角恒等变换三角恒等式的证明和应用。
3. 解三角形利用三角比和三角函数解三角形的边长和角度问题。
四、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列等差数列和等比数列的通项公式、求和公式。
数列的极限概念及其计算。
2. 数学归纳法数学归纳法的原理和证明方法。
五、微积分1. 导数与微分导数的定义、几何意义和物理意义。
常见函数的导数计算，高阶导数。
2. 函数的极值与最值问题利用导数研究函数的极值和最值。
3. 不定积分与定积分不定积分的概念、基本积分表和积分技巧。
定积分的概念、性质及应用，包括计算面积、体积等。
高中数学数列通项公式的求法技巧大全
数列通项公式的求法技巧大全一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
高中数学：7种常用解题方法，可攻克80%的数学题，绝对干货！
高中数学：7种常用解题方法，可攻克80%的数学题，绝对干货！高中数学的学习同学往往有拿出题来不知道用什么方法解？做过的题再遇到相似的还是懵，题刷了很多就是没办法提高成绩？因此，在平时教学中，总结和归纳高中数学的解题的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法。
高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
高中数学必备技巧常见数学题型解答方法总结
高中数学必备技巧常见数学题型解答方法总结高中数学必备技巧——常见数学题型解答方法总结在高中学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的数学题型。
这些题目的解答方法也千变万化，而我们需要掌握的技巧和方法同样繁多。
本文将对常见的数学题型解答方法进行总结，帮助同学们更好地应对数学考试。
一、方程与不等式1. 一元一次方程一元一次方程是最基础的方程类型，解题的关键在于对方程进行变形、化简和消元。
一般步骤包括：（1）观察等式两边是否可以进行公因式提取；（2）将方程两边依次进行移项，合并同类项，并把未知数系数化为1；（3）解得未知数的具体值，并进行验证。
2. 一元二次方程一元二次方程是一元一次方程的扩展，它多了一个平方项。
解题的关键在于利用配方法或求根公式进行求解。
一般步骤包括：（1）将方程变形为完全平方形式，应用平方差公式或平方和公式进行化简；（2）进行因式分解，并令括号内的因式为零，解得未知数的值；（3）利用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)求解。
3. 不等式不等式问题与方程问题类似，只是对于不等式的运算规则和解答方法有一些特殊要求。
解题的关键在于找到不等式中的未知数范围，并进行不等式变形。
常用的不等式有大于等于、小于等于、大于、小于等形式，解题的关键在于正确地应用不等式的性质和规则。
二、函数与图像1. 一次函数一次函数的图像是一条直线，其中最常见的形式是y = kx + b。
解题的关键在于找到直线的斜率和截距，并确定图像在坐标平面上的位置。
一次函数的主要性质有斜率和截距。
2. 二次函数二次函数的图像是一条抛物线，其中最常见的形式是y = ax^2 + bx + c。
解题的关键在于根据给定的函数形式，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴。
二次函数的主要性质包括开口方向、顶点坐标、对称轴、零点和判别式。
3. 指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中较为复杂的函数类型。
高中数学题型归纳及方法
高中数学题型归纳及方法一、函数题型。
1. 求函数定义域题型。
题目：求函数y = (1)/(√(x 1))+ln(x + 2)的定义域。
解析：对于(1)/(√(x 1))，要使根式有意义，则根号下的数大于0，即x 1>0，解得x>1。
对于ln(x + 2)，对数函数中真数大于0，即x+2>0，解得x > 2。
综合起来，函数的定义域为x>1。
2. 函数单调性判断题型。
题目：判断函数y = x^2-2x + 3在(-∞,1)上的单调性。
解析：对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴为x =-(b)/(2a)。
在函数y = x^2-2x + 3中，a = 1，b=-2，对称轴x = 1。
因为a = 1>0，二次函数开口向上，所以在对称轴左侧(-∞,1)上函数单调递减。
二、三角函数题型。
3. 三角函数化简求值题型。
题目：化简sin(α+β)cosβ-cos(α +β)sinβ并求值（已知α=(π)/(3)）。
解析：根据两角差的正弦公式sin(A B)=sin Acos B-cos Asin B，这里A=α+β，B = β，所以sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα。
当α=(π)/(3)时，sinα=(√(3))/(2)。
4. 三角函数图象平移题型。
题目：将函数y=sin x的图象向左平移(π)/(3)个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），求得到的函数解析式。
解析：将y = sin x的图象向左平移(π)/(3)个单位，根据“左加右减”原则，得到y=sin(x+(π)/(3))的图象。
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则x的系数变为原来的(1)/(2)，得到y=sin((1)/(2)x+(π)/(3))。
三、数列题型。
5. 等差数列通项公式求题型。
题目：已知等差数列{a_n}中，a_1=2，公差d = 3，求其通项公式a_n。
高中数学解题方法总结
高中数学解题方法总结高中数学解题方法同学们有去总结过吗，没有的话，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“高中数学解题方法总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。
高中数学解题方法总结1、配方法把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
高中数学149个解题方法
高中数学149个解题方法【引言】高中数学是学生学业生涯中至关重要的一环，它不仅为后续学习打下基础，也对培养逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
在高中数学学习中，掌握解题方法是提高成绩的关键。
本文将介绍149个高中数学解题方法，帮助同学们更好地应对各类数学题目。
【高中数学解题方法分类】【代数解题方法】代数是高中数学的重要组成部分，包括数式、方程、不等式、函数等。
以下是一些常见的代数解题方法：1.消元法2.代入法3.因式分解法4.配方法5.韦达定理【几何解题方法】几何涉及平面几何、立体几何等方面的知识。
以下是一些常见的几何解题方法：1.几何直观法2.相似三角形法3.面积法5.角平分线定理【三角函数解题方法】三角函数是数学中的一个重要分支，以下是一些常见的三角函数解题方法：1.和差化积法2.倍角公式法3.半角公式法4.三角函数图像法5.三角恒等式法【概率与统计解题方法】概率与统计在高中数学中占有重要地位，以下是一些常见的概率与统计解题方法：1.概率计算法2.条件概率法3.独立事件法4.频数与频率法5.统计图表法【数学归纳法解题方法】数学归纳法是一种常用的证明方法，以下是一些数学归纳法解题方法：1.第一数学归纳法2.第二数学归纳法4.数学归纳法证明不等式5.数学归纳法证明恒等式【每种解题方法的详细阐述与实例】在本部分，我们将详细阐述每种解题方法，并通过实例进行说明。
例如，对于代数中的消元法，我们可以通过以下实例进行解释：消元法解一元二次方程组：ax + bx + c = 0ay + by + c = 0【结论与建议】掌握149个高中数学解题方法对提高学习成绩具有重要意义。
同学们要在学习中不断总结经验，熟练掌握各种解题方法，并学会灵活运用。
同时，多做练习题和模拟试题，提高解题速度和准确性。
在学习过程中，遇到难题时要勇于挑战，培养自己的解决问题的能力。
高中数学解题方法与技巧 必背公式总结
高中数学解题方法与技巧必背公式总结高中数学解题方法与技巧1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.在学习带参数的初等函数时，要抓住无论参数如何变化，有些性质不变的特点。
如函数的不动点，二次函数的对称轴等。
3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。
4.在常数建立问题中，利用二次函数的图像性质，灵活运用函数闭区间上的最大值和分类讨论的思想(分类讨论中要注意不要重复或遗漏)，可以转化为极大值问题或二次函数的常数建立问题。
5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。
6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值；三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。
7.求参数的值域，要建立关于参数的不等式或方程，利用函数的值域或定义或求解不等式。
在转换公式的过程中，应优先考虑分离参数的方法。
8、在解三角形的题目中，已知三个条件一定能求出其他未知的条件，简称“知三求一“。
9、求双曲线或者椭圆的离心率时，建立关于a、b、c之间的关系等式即可。
10、解三角形时，首先确认所求边角所在的三角形及已知边角所在的三角形，从而选择合适的三角形及定理。
11、在数列的五个量中：中，只要知道三个量就可以求出另外两个量，简称“知三求二”。
12.圆锥曲线的题目应优先考虑它们的定义。
如果直线与圆锥曲线相交的问题与弦的中点有关，则选择设定而不是求点差的方法，维耶塔定理公式的方法与弦的中点无关。
(使用维耶塔定理时，首先要考虑二次函数方程是否有根，即二次函数的判别式。
).13.解曲线方程的问题，如果知道曲线的形状，可以选择待定系数法。
如果不知道曲线的形状，采用的步骤是建立系统，设置点，列表化简。
14、在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a、b、c的两个方程或由题目得到的图形中找到a、b、c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围。
求数列通项公式的十一种方法
①若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例 3.已知数列{an }中,
an
0且 Sn
( 1 ) n1 2
1
2．形如： a n1 p an q n
(其中 q 是常数，且 n 0,1)
①若 p=1 时，即： a n1 an q n ，累加即可.
②若 p 1 时，即： a n1 p an q n ，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 p n1 .目的是把所求数列构造成等差数列
)
(
an 3n
2 2
an 3n
3 3
)
(
a2 32
3a11)
a1 3
(
2 3
1 3n
)
(
2 3
1 3n 1
)
(
2 3
1 3n 2
)
(
2 3
1 32
)
3 3
2(n 1) 3
(31n
1 3n
1 3n 1
1 3n 2
1 32
)
1
因此 an 3n
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的 11 种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法
高中数学解题的七种常用方法
高中数学解题的 七种常用方法
张晓娇
高中数学相对于初中数学，不仅要学习 掌握的内容数量增加了许多，而且内容难度 也加大了，所以学生需要掌握更多的数学思 想以及常见的解题方法。对于高中生而言，掌 握并熟练运用这些数学方法，可以在解题过 程中快速解决问题，得出正确答案。
一、配方法 在高中数学的学习中，学生首先掌握的 数学方法就是配方法。这是一种广泛运用的 数学方法，主要运用在已知或者未知中存在 二次方程、二次函数，或者二次不等式等，还 有在曲线平移等问题中被作为基础方法运 用。配方法是对数学式子进行定向变形，找到 已知与未知数量关系的联系，最终达到化繁 为简的目的。在配方过程中运用裂项和添项， 巧凑和巧拼，实现配方，所以也被称为“凑配 法”。例如已知 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２，则 ｓｉｎαｃｏｓα 的 值为 ＿＿＿＿＿＿。这道题就需要通过配方法进行 解答，将 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２ 进行配方，最终得到（ｓｉｎα＋ ｃｏｓα）２－２ｓｉｎαｃｏｓα，最终得到 ｓｉｎαｃｏｓα 的值。 二、换元法 换元法也是比较常用的数学解题方法， 就是通过将一个式子看作一个整体，用另一 个变量进行替换，使问题得以简化，快速找到 解答方法。其实，换元从本质上讲就是转化， 通过造元和设元，进行等量代换，将问题转移 到熟悉的环境下进行解决。从复杂到简单，由 非标准变成标准。这种方法主要运用于高次 降为低次，分式变成整式，将无理变成有理， 将复杂变成简单，适用函数、三角、不等式和 数列等问题中。例如，设实数 x、y 满足 x＋xy－ ３＝０，则 x＋y 的取值范围是多少。运用换元法， 将 x＋y 设置成“k”，然后运用“△”进行求解， 最终得出 k 的取值范围，从而得到 x＋y 的取 值范围。
六、参数法 数学参数法就是在解题过程中引入一些 与题目相关联的新变量。通过该变量进行分 析和解答，最终消除参数，得出答案。这种方 数 法在直线与二次曲线之间的关系中比较常 学 用。参数法充分体现出事物普遍的联系，而通 篇 过参数法就能找出联系，从而找出事物的本 质。参数法体现出运动与变化的思想，其观点 42 被运用在数学的各个方面。运用参数法时需
八种通项公式求解方法
求数列通项公式的八种方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的8种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、二.等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2．若，则两边分别相加得例1已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则所以数列的通项公式为。
例2已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则二、累乘法1.适用于：----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若，则两边分别相乘得，∏=+=nk n k f a a 111)(例4已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.三、待定系数法适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
高中数学常见题型解法归纳——第36招 归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法
a可以利用项和公式 a =⎨ 1 S - S (n ≥ 2)⎩ n .【知识要点】一、数列的通项公式如果数列{a }的第 n 项 a nn和项数 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即 a = f (n) .不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式.n二、数列的通项的常见求法：通项五法1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据 a 与项数 n 的关系，猜想数列n的通项公式，最后再证明.2、公式法：若在已知数列中存在：an +1- a = d (常数)或an +1 = q , (q ≠ 0) 的关系，可采用求等差数列、nn等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在： S = f (a )或S = f (n) 的关系，nnnn ⎧S (n = 1) n -1，求数列的通项.3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：a - ann -1= f (n) (n ≥ 2) 的关系，可用“累加法”求通项4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：5、构造法：(见下一讲)【方法讲评】a n an -1= g (n)(n ≥ 2) 的关系，可用“累乘法”求通项.方法一使用情景解题步骤【例 1】在数列{ a }中， a = 6 ，且 a - an1nn -1 =归纳法已知数列的首项和递推公式观察、归纳、猜想、证明.an -1 + n + 1 (n ∈ N * , n ≥ 2) ，n（1）求 a , a , a 的值；2 34（2）猜测数列{ a }的通项公式，并用数学归纳法证明.n（ （2）求数列{a } 的通项公式（将 a 用 n 表示）；（3）设数列{ } 的前 n 项和为 S ，证明： S < ， n ∈ N * ．an n + 2【点评】 1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.【反馈检测 1】在单调递增数列{a } 中，a = 1 ，a = 2 ，且 an122n -1, a , a2 n 2 n 1+成等差数列，a , a 2n2n +1 , a 2n +2成等比数列， n = 1, 2 , 3 ,．（1）分别计算 a ， a 和 a ， a 的值；3546nn1 4n n n方法二 公式法a =⎨ ，求数列的通项. 学科*网 S - S (n ≥ 2) ⎩ n（1）求 a ；（2）求证：数列{b使用情景已知数列是等差数列或等比数列或已知 S = f (a )或S = f (n) .n nn已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量 a , d (q ) ，再代入等 1解题步骤差（比）数列的通项公式；已知 S n = f (a n )或S n = f (n) 的关系，可以利用项和公式⎧S (n = 1)1 n n -1【例 2】已知数列 {a n}，Sn是其前 n 项的和，且满足 a = 2 ，对一切 n ∈ N *都有 S1n +1= 3S + n 2+ 2n成立，设 b = a + n ．n n2 n} 是等比数列；（3）求使 1b 11 1 40+ + ⋅⋅⋅ + > 成立的最小正整数 n 的值．b b 812 n【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项.【反馈检测 2】已知等比数列{ a }中， a = 64 ,公比 q ≠ 1 , a , a , a 又分别是某等差数列的第 7 项，第n 12343 项，第1 项.(1)求 a ；(2)设 b = log a ,求数列{| b |} 的前 n 项和 T .n n2nnn【例 3】数列{ a }的前 n 项和为 S ， a =1， ann1n +1= 2S n( n ∈ N *),求{ a }的通项公式. n) 上.（Ⅰ）求数列{a } 的通项公式；（Ⅱ）若b = ( ) n -1 ， c =26(9 - 6n )( )n -11 1 1 （Ⅱ）因为 b = ( )n -1, c = a b = = (3 - 2n )( )n ①所以2 6 n n 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 [1 - ( ) n -1 ]= + (-2) = 2 - (3 - 2n)( ) n +1 .1 12 1【点评】（1）已知 S = f (a )或S = f (n) ，一般利用和差法.如果已知 S = f (annnnn +1) 或f (a ) 也可n -1以采用和差法.（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验n = 1 是否满足，能并则并，不并则分.【例 4】已知函数 f ( x ) = -3x 2 + 6 x ，S 是数列{a } 的前 n 项和，点 (n, S （ n ∈ N * ）在曲线 y = f ( x ) n nn1n n n a • b n n ，且T 是数列{c } 的前 n 项和. 试n n问 T 是否存在最大值？若存在，请求出T 的最大值；若不存在，请说明理由.nn【解析】（Ⅰ）因为点 (n, S ) 在曲线 y = f ( x ) 上，又 f ( x ) = -3x 2 + 6 x ，所以 S = -3n 2 + 6n .nn当 n = 1 时， a = S = 3 .1 1当 n > 1 时， a = S - Snnn -1= (-3n 2 + 6n ) - [-3(n - 1)2 + 6(n - 1)] = 9 - 6n所以 a = 9 - 6n .n1 2n n1 1 1 1T = + (-1)( )2 + (-3)( )3 + + (3 - 2n )( )n , ② n 1 1 1 1 1T = ( )2 + (-1) + ( )3 + (-3)( )4 + + (3 - 2n )( )n +1, ③ n 1 1 1 1 1 1②－③得 T = + (-2)( ) 2 + (-2)( ) 3 + + (-2)( ) n - (3 - 2n )( ) n +12 n 2 2 2 2 2 1 12 2 2 1 -21整理得 T = (2n + 1)( ) n - 1 ， ④n方法一 利用差值比较法由④式得 T n +1 = (2n + 3)( 1 ) n +1- 1 ，所以2- T = (2n + 3)( )n +1 - (2n + 1)( )n = [(2n + 3)( ) - (2n + 1)]( ) n2 2 2 2 2> . 所以 T n 存在最大值 T = . 22 23 3 3T n +1n 1 1 1 13 1 1 1= [n + - (2n + 1)]( )n = ( - n)( )n .2 2 2 2因为 n ≥ 1 ，所以 1- n < 0 .21又 ( ) n > 0 ，所以 T n +1 - T < 0 所以 T n n +1 < T ，n所以 T > T > T > > T > T1 2 3 n n +11 1方法三 利用放缩法由①式得 cn +1 1 1= [3 - 2(n + 1)]( ) n +1 = (1 - 2n )( ) n +1 < 0 ，又因为 T 是数列{c } 的前 n 项和，n n所以 Tn +1< T + cnn +1< T . 所以 T > T > T > > T > T n 1 2 3 nn +1>所以 T 存在最大值 T = n 1 1 2.【反馈检测 3】已知数列{ a }的前 n 项和 S = n n 4 1 2a - ⨯ 2n +1 + ( n = 1,2,3, 4 ⋅⋅⋅ )，求{ a }的通项公n n式.方法三 累加法+1 ，S为数列 {b }的前 n 项和，Ta aa b Sab使用情景在已知数列中相邻两项存在： a - ann -1= f (n) (n ≥ 2) 的关系解题步骤先给递推式 a - ann -1= f (n) (n ≥ 2) 中的 n 从 2 开始赋值，一直到 n ，一共得到 n -1个式子，再把这 n -1个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项.【例 4】已知数列 { }，{ }，a = 1 ，a = a nn1n为数列 { }的前 n 项和.nn -1+ 2n -1 ，b = n a n -1n n +1n n n（1）求数列 { }的通项公式；（2）求数列 { }的前 n 项和 S ；（3）求证： T > nnnnn 1 - . 2 3【解析】（1）法一： a = ann -1+ 2n -1 ∴a =(a -a )+(a -a )+ +(a -a )+a ，n n n -1 n -1 n -2 2 1 1= 2n -1 + 2n -2 + + 2 + 1 = 1 - 2n 1 - 2= 2n - 1【点评】（1）本题 a - ann -1= n - 1，符合累加法的使用情景 a - ann -1= f (n)(n ≥ 2) ，所以用累加法求数列的通项.（2）使用累加法时，注意等式的个数，是 n -1个，不是 n 个.=2}满足 an +1 = a , 求aa【反馈检测 4】已知数列{a } 满足 ann +1= a + 2 ⨯ 3n + 1，a = 3 ，求数列{a } 的通项公式.n 1 n方法四使用情景累乘法若在已知数列中相邻两项存在：anan -1= g (n)(n ≥ 2) 的关系.解题步骤先给递推式 a n an -1= g (n)(n ≥ 2) 中的 n 从 2 开始赋值，一直到 n ，一共得到 n -1 个式子，再把这 n -1个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项.【例 5】已知数列 {nn, a 3 n + 1 n n【点评】（1）由已知得an +1=ann n + 1, 符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项.（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出n -1个等式就可以了，不必写 n 个等式.【反馈检测 5】 已知数列{a } 满足 ann +1= 2( n + 1)5n ⨯ a ，a = 3 ，求数列{a } 的通项公式.n 1 n22+ 1⎪ 2 8 + 1⎪ ⎭ = (n + 2) 2 ⎝ 2 2 8 ⎧ (n + 1)(n + 3) ⎪⎪ 8(n + 2) 2 ⎪ ⎪⎩ 82 ⎝ 2 ⎭ = (n + 1)(n + 3)高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 36 讲：数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案【反馈检测 1 答案】 a = 3 ， a = 6 ， a = 9， a = 8 .3 546①当 n = 1时， a2⨯1-1= a = 1 ， a1 2⨯122= = 2 ，猜想成立；2②假设 n = k (k ≥ 1,k ∈ N *) 时，猜想成立，即 a 2k -1 =k (k + 1) 2 , a (k + 1)22k = ，那么a2( k +1)-1= a2k +1= 2a - a 2k2k -1 (k + 1)2 k (k + 1) (k + 1)[(k + 1) + 1]= 2 ⨯ - = ,2 2 2a2( k +1)= a2k +2a2 =2k +1=a2k[(k + 1)(k + 2)]22 (k + 1)22= (k + 2)2 2=[(k + 1) + 1]22∴ n = k + 1时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n ∈ N * ，猜想成立．n + 1 ⎛ n + 1 ⎫∴当 n 为奇数时， a = ；n⎛ n ⎫ 2当 n 为偶数时， a = ． n, n为奇数即数列{a } 的通项公式为 a = ⎨ ．n n,n 为偶数n ⎪8 , n 为偶数 ⎩ a < 4k+ 4⎢ + - = - ； ⎥ k + 3 k + 2 (k + 3) 2 k + 3 ⎦ k + 3 (k + 2)(k + 3) 2 (k + 1) + 2 ⎡ k（方法 2）由（2）得a ⎧ 81 ⎪ (n + 1)(n + 3) , n 为奇数=⎨(n + 2) 2．以下用数学归纳法证明 S <n 4nn + 2， n ∈ N * ．①当 n = 1时， S = 1当 n = 2 时， S = 2 1 4 4 ⨯ 1= 1 < = ；a 3 1 + 2 11 1 1 3 4 ⨯ 2+ = 1 + = < 2 = ．∴ n = 1 , 2 时，不等式成立．a a 2 2 2 + 21 2②假设 n = k (k ≥ 2) 时，不等式成立，即 S <k那么，当 k 为奇数时，4k k + 2，Sk +1 = S + 1 k k +18+ k + 2 (k + 3) 2= 4(k + 1) 2 k + 1 ⎤ 4(k + 1) 8 4(k + 1) < ⎣当 k 为偶数时，a< 4kk + 3 ⎥⎦ + 4⎢ + - =- k + 3 k + 2 (k + 2)(k + 4) k + 3 (k + 2)(k + 3)(k + 4) ⎡ k (k + 1) + 2．∴ n = k + 1时，不等式也成立．综上所述： S < ⎧n(13 - n)(n ≤ 7), 2 ⎪ (n - 7)(n - 6) 【反馈检测 2 答案】（1） a = 64 ⨯ ( )n -1 ；(2) T = ⎨ 2 ⎩ 2 + 21 (n > 7).Sk +1 = S + 1k k +18+k + 2 (k + 2)(k + 4)= 4(k + 1) 2 k + 1 ⎤ 4(k + 1) 8 ⎣< 4(k + 1)n 4nn + 2n n 1 ⎪.【反馈检测 3 答案】 a = 4n - 2nn1 - 3a a +2+1 2【反馈检测 4 答案】 a = 3n + n - 1. 学科*网 n【反馈检测 4 详细解析】由 an +1 = a + 2 ⨯ 3n + 1 得 a n n +1 - a = 2 ⨯ 3n + 1 则 na = (a - a ) + (a n n n -1n -1 - a n -2 ) + + (a - a ) + (a - a ) + a 3 2 2 1 1= (2 ⨯ 3n -1 + 1) + (2 ⨯ 3n -2 + 1) + + (2 ⨯ 32 + 1) + (2 ⨯ 31 + 1) + 3 = 2(3n -1 + 3n -2 + + 32 + 31 ) + (n - 1) + 33(1- 3n -1 ) = 2 + (n - 1) + 3 = 3n - 3 + n - 1 + 3 = 3n + n - 1 所以 a = 3n + n - 1. n 【反馈检测 5 答案】 a = 3 ⨯ 2n -1 ⨯ 5 n n(n -1) 2 ⨯ n!.【反馈检测 5 详细解析】因为 a n +1= 2( n + 1)5n ⨯ a ，a = 3 ，所以 a ≠ 0 ，则 n 1 n a n +1 = 2(n + 1)5n ， a n故 a =a n n n -1 a ⋅ n -1 ⋅ an -2 ⋅ a 3 ⋅ a 2 a 2 ⋅ a 1 1= [2( n - 1 + 1)5n -1 ][2( n - 2 + 1)5n -2 ] ⋅ ⋅[2(2 + 1)⨯ 52 ][2(1+ 1)⨯ 51 ] ⨯ 3= 2n -1[n(n - 1) ⋅ ⋅ 3 ⨯ 2] ⨯ 5(n -1)+(n -2) + ⨯ 3n (n -1)= 3 ⨯ 2n -1⨯ 5 ⨯ n !所以数列{a } 的通项公式为 a = 3 ⨯ 2n -1 ⨯ 5 n n n(n -1)2 ⨯ n!.。
(完整版)求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一．利用递推关系式求数列通项的11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
、累加法1．适用于：a n 1 a n f (n) ------------------ 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2．若a n 1 a n f (n) (n 2) ，a2 a1 f (1)a3 a2 f (2) LLa n 1 a n f ( n)n两边分别相加得a n 1 a1 f (n )k1例1已知数列｛a n ｝满足a n 1a n 2n 1, a i 1，求数列｛a n ｝的通项公式。
解：由 a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1 则a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L @3a 2) (a 2 aja 1 [2( n 1) 1] [2( n 2) 1]L (2 21) (2 11) 12[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1 (n 1)n 2 (n 1) 12(n 1)( n 1) 1 2n2所以数列｛a n ｝的通项公式为a n n 。
例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2 3n 1，印3，求数列 佝｝的通项公式。
解法一：由a n 1 a n n 2 31 得 a n 1a n n2 31则a n (a * an 1)(a n 1 a n 2) L(a 3 a 2) (a 2 a 1) a 1n (2 3 1 1) (2 3n 21)L (2 32 31 1) (2 31) 312(33n2L 32 ；31)(n 1)3「(1 3n1)2(n 1) 31 3n3 3 n 133 n1所以a n 3n n 1.解法二：时3an 2 3 1两边除以3n1，得鄴J 3 3a n 2 n3 32132)3 32 3a3na n 3a n 1)a n 1(an 1a n 1a n 2) (a n 2(尹z a2 q 色(3231)33n )1)12门22(n 1)313n 3n13n2Lan 13n22答案：n数、分式函数，求通项 an .① 若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ② 若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 ； ③ 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ④ 若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
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【知识要点】一、数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即()n a f n =.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式. 二、数列的通项的常见求法：通项五法1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据n a 与项数n 的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.2、公式法：若在已知数列中存在：)0(,)(11≠==-++q q a a d a a nn n n 或常数的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：)()(n f S a f S n n n ==或的关系，可以利用项和公式11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求数列的通项.3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)n n a a f n n --=≥的关系，可用“累加法”求通项.4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)nn a g n n a -=≥的关系，可用“累乘法”求通项. 5、构造法：(见下一讲) 【方法讲评】【例1】在数列{n a }中，16a =，且111n n n a a n n---=++*(,2)n N n ∈≥， （1）求234,,a a a 的值；（2）猜测数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.【反馈检测1】在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,n =．（1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；（3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42n n S n <+，n *∈N ．【例2】已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项. 【反馈检测2】已知等比数列{n a }中，164a =,公比1q ≠,234,,a a a 又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.(1)求n a ；(2)设2log n n b a =,求数列{||}n b 的前n 项和n T .【例3】数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，12n n a S += ( n ∈N *),求{n a }的通项公式.【点评】（1）已知)()(n f S a f S n n n ==或，一般利用和差法.如果已知1()n n S f a +=1()n f a -或也可 以采用和差法.（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验1n =是否满足，能并则并，不并则分.【例4】已知函数x x x f 63)(2+-= ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，点(,)n n S （n N *∈）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6nn n b a c ∙=，且n T 是数列}{n c 的前n 项和. 试问n T 是否存在最大值？若存在，请求出n T 的最大值；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）因为点(,)n n S 在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当1n =时，311==S a .当1n >时，221(36)[3(1)6(1)]96n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为111(96)()1112(),(32)()2662n n n n n n n n b c a b n ---====- ①所以 231111(1)()(3)()(32)(),2222n n T n =+-+-++- ②234111111()(1)()(3)()(32)(),22222n n T n +=+-++-++- ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n .整理得1)21)(12(-+=n n n T ， ④方法一 利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以111111(23)()(21)()[(23)()(21)]()22223111[(21)]()()().2222nn n n n n nT T n n n n n n n ++-=+-+=+-+=+-+=-因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n ，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值11.2T =方法三 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为n T 是数列}{n c 的前n 项和， 所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以n T 存在最大值211=T . 【反馈检测3】已知数列{n a }的前n 项和14122333n n n S a +=-⨯+(1,2,3,4n =⋅⋅⋅)，求{n a }的通项公式.【例4】已知数列{}n a ，{}n b ，11=a ，112--+=n n n a a ，111+-+=n n n n a a a b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，nT 为数列{}n S 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）求证：312->n T n . 【解析】（1）法一：112--+=n n n a a 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=∴--- ，122121122221-=--=++++=--n nn n【点评】（1）本题11n n a a n --=-，符合累加法的使用情景1()(2)n n a a f n n --=≥，所以用累加法求数列的通项.（2）使用累加法时，注意等式的个数，是1n -个，不是n 个.【反馈检测4】已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.【例5】已知数列{}n a 满足n n n a a n a a 求,1,311+==+【点评】（1）由已知得,11+=+n n a a n n 符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项.（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出1n -个等式就可以了，不必写n 个等式.【反馈检测5】 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲：数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案【反馈检测1答案】33a =，56a =，492a =，68a =.①当1=n 时，21111a a ⨯-==，221222a ⨯==，猜想成立； ②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，猜想成立，即21(1)2k k k a -+=,22(1)2k k a +=，那么 []22(1)121221(1)(1)1(1)(1)22222k k k k k k k k k a a a a +-+-+++++==-=⨯-=,[][]2222212(1)2222(1)(2)(1)1(2)222(1)2k k k kk k k a k a a a k ++++++++=====+∴1+=k n 时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，猜想成立．∴当n 为奇数时，8)3)(1(212121++=⎪⎭⎫⎝⎛+++=n n n n a n ；当n 为偶数时，8)2(21222+=⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a n ． 即数列}{n a 的通项公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8)2(,8)3)(1(2．（方法2）由（2）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 以下用数学归纳法证明24+<n nS n ，*n N ∈． ①当1=n 时，2114341111+⨯=<==a S ； 当2=n 时，222422321111212+⨯=<=+=+=a a S ．∴2,1=n 时，不等式成立． ②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即24+<k kS k ， 那么，当k 为奇数时，211)3(8241+++<+=++k k k a S S k k k 22)3)(2(83)1(431)3(2243)1(4++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++++=k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++<k k ； 当k 为偶数时，)4)(2(824111++++<+=++k k k k a S S k k k )4)(3)(2(83)1(431)4)(2(2243)1(4+++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++++++=k k k k k k k k k k k k k2)1()1(4+++<k k ．∴1+=k n 时，不等式也成立．综上所述：42n nS n <+ 【反馈检测2答案】（1）1164()2n n a -=⨯；(2) n T =⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤-).7(212)6)(7(),7(2)13(n n n n n n.【反馈检测3答案】42n nn a =-【反馈检测4答案】3 1.n n a n =+-学科*网【反馈检测4详细解析】由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+1221(231)(231)(231)(231)3n n --=⨯++⨯+++⨯++⨯++12212(3333)(1)3n n n --=+++++-+13(13)2(1)313n n --=+-+-3313n n =-+-+31n n =+- 所以3 1.n n a n =+- 【反馈检测5答案】(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯【反馈检测5详细解析】因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n n a n a +=+， 故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ 1221[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯1(1)(2)212[(1)32]53n n n n n --+-+++=-⋅⋅⨯⨯⨯ (1)12325!n n n n --=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯。