第四节析因设计与方差分析
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生物统计(技术)：析因设计的方差分析
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21
22
两种药物联合镇痛效果研究
例6 .2 观察A，B两种镇痛药物联合运用在 产妇分娩时的镇痛效果。A药取3个剂量：1.0m， 2.5mg，5.0mg；B药也取3个剂量：5μg，15μg ，30μg。共9个处理组。将27名产妇随机等分为9 组，每组3名产妇，记录每名产妇分娩时的镇痛时 间。分析A，B两药联合运用的镇痛效果。
3. 交互效应（interaction) 如果一个处理因素的单 独效应随另一因素水平变化而变化，而且变化的幅 度超出随即波动的程度，则称两因素间存在 交互作 用。
4
一、固定效应型两因素两水平的析因分析
5
固定效应型
a
SS A bn (x ix )2 i 1
b
SSB an (x j x )2 j 1
29
表6-15 退休人员家庭亲密度资料
医院 职业
家庭亲密度分值
n
甲A B
乙A B
丙A B
合计
76 88 75 75 64 78 70 70 60 77 72 72 12 60 51 64 79 69 73 72 68 65 74 72 68 12 57 70 88 68 81 67 74 70 65 72 70 88 12 56 65 70 71 58 54 69 66 58 60 64 68 12 73 71 81 79 65 69 77 68 86 63 60 83 12 64 71 70 59 80 57 59 72 65 63 56 63 12
72
X
X2
877 64647
815 55945
870 63996
759 48383
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两种药物联合镇痛效果研究
例6 .2 观察A，B两种镇痛药物联合运用在 产妇分娩时的镇痛效果。A药取3个剂量：1.0m， 2.5mg，5.0mg；B药也取3个剂量：5μg，15μg ，30μg。共9个处理组。将27名产妇随机等分为9 组，每组3名产妇，记录每名产妇分娩时的镇痛时 间。分析A，B两药联合运用的镇痛效果。
3. 交互效应（interaction) 如果一个处理因素的单 独效应随另一因素水平变化而变化，而且变化的幅 度超出随即波动的程度，则称两因素间存在 交互作 用。
4
一、固定效应型两因素两水平的析因分析
5
固定效应型
a
SS A bn (x ix )2 i 1
b
SSB an (x j x )2 j 1
29
表6-15 退休人员家庭亲密度资料
医院 职业
家庭亲密度分值
n
甲A B
乙A B
丙A B
合计
76 88 75 75 64 78 70 70 60 77 72 72 12 60 51 64 79 69 73 72 68 65 74 72 68 12 57 70 88 68 81 67 74 70 65 72 70 88 12 56 65 70 71 58 54 69 66 58 60 64 68 12 73 71 81 79 65 69 77 68 86 63 60 83 12 64 71 70 59 80 57 59 72 65 63 56 63 12
72
X
X2
877 64647
815 55945
870 63996
759 48383
4析因设计方差分析
24~25 沪白种
13~15
0.063, 0.094, 0.047
0.013, 0.009, 0.013
0.471, 0.088,0.176
0.251, 0.368, 0.133
完全随机的三因素2×2×2析因设计
完全随机的三因素析因设计 方差分析表
交叉设计的方差分析
Cross-over design ANOVA
• 析因设计可以提供三方面的重要信息：
1、各因素不同水平的效应大小；
2、各因素间的交互作用通过比较各种组合；
3、找出最佳组合 • 如果在一次实验中，一个因素水平间的效 应随其他因素水平的不同而变化时，则因 素间存在交互作用，它是各因素效应间不 独立的表现。
• 如将2×2析因设计中的4个均数作图，2条 直线方向一致但斜率不等，表示A、B两因 素有交互作用（协同作用）。
SS总=SS个体+SS阶段 + SS处理 + SS误差
ν总=ν个体+ν阶段 + ν处理 + ν误差
ν总= 2n – 1 ν个体= n - 1 ν阶段 = 1 ν处理 = 1 νe = n-2
MS个体= SS个体/ν个体 MS阶段 = SS阶段 /ν阶段 MS处理= SS处理 /ν处理 MS误差 = SS误差 /ν误差 F个体 = MS个体/ MS误差 F阶段 = MS阶段/ MS误差 F处理 = MS处理/ MS误差
a. R Squared = .974 (Adjusted R Squared = .937)
重复测量资料方差分析
Repeated measure ANOVA
• 重复测量的概念： • 对同一试验单位的某一观察指标在不同时 间点的多次观测。如对高血压患者治疗前 与治疗后2，4，6，8周的心率进行多次测 量。将试验结果的测量时间也作为一个因 素来分析。
析因设计资料的方差分析
若将例11-1进行完全随机设计ANOVA （错！）
处理组 误差
处理组间变异的分解
单独效应
B的效应
A的效应
B因素为2水平时A 因素的单独效应
A的效应
主效应
A的主效应
B的效应
A因素的主效应解释 为：束膜缝合与外 膜缝合相比（不考 虑缝合时间），神 经轴突通过率提高 了6%。
B因素的主效应解释 为：缝合后2月与1 月相比（不考虑缝 合方法），神经轴 突通过率提高了22% 。
完全随机的三因素2×2×2析因设计
例3：研究小鼠在不同注射剂量和不同注射频次下药 剂ACTH对尿总酸度的影响。问①A、B各自的主效应 如何？②二者间有无交互作用？
随机配伍的两因素3×2析因设计
析因设计的特点
➢ 2个以上处理因素（factor）（分类变量） ➢ 每个因素2个以上水平（level） ➢ 每一种处理有2个以上重复（repeat）
SS处理的析因分解
Ti、 Ai、 Bi的计算
析因分析结果(P239表11－5由SPSS计算）
建议：
原始数据作平方根反正弦变换后分析（考 虑ANOVA的条件）
此例平方根反正弦变换后的结论相同。
（二）两因素多水平 完全随机析因设计的方差分析
例11-2：观察A、B两药联合应用在产 妇分娩时的镇痛时间（min）P241
➢ 交互作用（Interaction）：当某一因素的 单独效应随着另一因素变化而变化时，称 这两个因素间存在交互作用。
（如一级交互作用AB、二级交互作用 ABC…）
析因设计的优缺点
优点
不仅用来分试验的次数很多，如2因素， 各3水平5次重复需要试验为45次。
➢ 试验将全部因素的不同水平组合,其组合数 即处理的组数；
析因设计资料的方差分析 ppt课件
60 50 40
缝合2月 （b2）
均数
30 20 10 0
缝合1月 （b1）
外膜缝合（a1）
束膜缝合（a2）
图11-2
两因素交互作用示意图
10 ppt课件YOUR SITE HERE
（二）方差分析
本例A因素（缝合方法）的主效应为6%，B因素 （缝合时间）的主效应为 22%， AB的交互作用 表示为 2% 。以上都是样本均数的比较结果，要 推论总体均数是否有同样的特征，需要对试验结
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表 11-4
两因素两水平处理 SS处理 的析因分解
变异来源 处理组间 A 因素主效应 B 因素主效应 AB 交互作用
自由度 3 1 1 1
SS
1 SS处理 (T12 T22 T32 T42 ) C n 1 2 SS A ( A12 A2 )C 2n 1 2 SS B ( B12 B 2 )C 2n
180 2420 20 300
0.60 8.07 0.07
0.05
0.05 0.05
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表 H 0 ：A 因素主效应=0，
B 因素主效应所对应的检验假设为 H 0 ：B 因素主效应=0，
因素 A 为缝合方法，有两水平，一为外膜缝合，记作 a1，二为束膜缝合，记作a2；因素B为缝合后的时间， 亦有两水平，一为缝合后 1月，记作 b1，二为缝合后 2 月，记作 b2。试验结果为家兔神经缝合后的轴突通过
率(%)（注：测量指标，视为计量资料），见表11-1。
欲用析因分析比较不同缝合方法及缝合后时间对轴突 通过率的影响。
A因素的主效应 (4 8) / 2 6 B因素的主效应 (20 24) / 2 22
缝合2月 （b2）
均数
30 20 10 0
缝合1月 （b1）
外膜缝合（a1）
束膜缝合（a2）
图11-2
两因素交互作用示意图
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（二）方差分析
本例A因素（缝合方法）的主效应为6%，B因素 （缝合时间）的主效应为 22%， AB的交互作用 表示为 2% 。以上都是样本均数的比较结果，要 推论总体均数是否有同样的特征，需要对试验结
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表 11-4
两因素两水平处理 SS处理 的析因分解
变异来源 处理组间 A 因素主效应 B 因素主效应 AB 交互作用
自由度 3 1 1 1
SS
1 SS处理 (T12 T22 T32 T42 ) C n 1 2 SS A ( A12 A2 )C 2n 1 2 SS B ( B12 B 2 )C 2n
180 2420 20 300
0.60 8.07 0.07
0.05
0.05 0.05
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表 H 0 ：A 因素主效应=0，
B 因素主效应所对应的检验假设为 H 0 ：B 因素主效应=0，
因素 A 为缝合方法，有两水平，一为外膜缝合，记作 a1，二为束膜缝合，记作a2；因素B为缝合后的时间， 亦有两水平，一为缝合后 1月，记作 b1，二为缝合后 2 月，记作 b2。试验结果为家兔神经缝合后的轴突通过
率(%)（注：测量指标，视为计量资料），见表11-1。
欲用析因分析比较不同缝合方法及缝合后时间对轴突 通过率的影响。
A因素的主效应 (4 8) / 2 6 B因素的主效应 (20 24) / 2 22
析因设计的方差分析
SS SS SS 如AB的交互效应：AB=[(a1b1-a2b1)-(a1b2-a2b2)]/2=(0.
总 处 理 H0：染毒与不染毒的大鼠吞噬指数的总体均数相等 误 差
确定P值，作出推断结论
SS SS SS SS 01 ，提示染毒对吞噬指数有影响，可以降低大鼠吞噬指数。
其方法有很多种，析因设计就是其中的一种。
研究目的
当研究的因素不止一个时，这种研究设计就称为 多因素的实验设计 。其方法有很多种，析因设计 就是其中的一种。
研究目的：不仅分析单个因素不同水平效应之间 的差异，还要知道两个因素各水平间效应的相互 影响。
分析方法：采用多因素方差分析。
方差分析的根本思想
• 变异分解： --固定因子〔处理因素〕：A、B
定义3个列变量： 1个因变量〔y〕，2个处理因素分组变量 〔A，B〕,设置值标签。 主要分析过程
1〕Analyze ->General Linear Model ->Univariate ，弹出单变量对 话框：
--因变量名称：y --固定因子〔处理因素〕：A、B 2〕点击“模型〞按钮，弹出重复度量模型对话框。 --指定模型：本例选择全模型，即分析所有主效应及交 互效应〔系统默认〕。假设选择定制，可以自由选择进入 分析模型的主效应及交互效应。
假设i ：表示因素A的水平〔i=1，2，…，a〕， 指两个或多个研究因素间的效应互不独立，当某一因素在各水平间变化时，另一个或多个因素各水平的效应也相应地发生改变。
建立检验假设，确定检验水准 〔2〕A因素主效应的P>0.
4〕 Post Hocj〔：比照表〕按示钮：因素B的水平〔j=1，2，…，b〕，
相等 H1：给药与不给药的大鼠吞噬指数的总体均数
第四节析因设计和方差分析
第四节析因设计与方差分析1. 基本概念完全随机设计(单因素)随机区组设计(两因素, 无重复)拉丁方设计(三因素, 无重复)析因设计(两因素以上, 至少重复2次以上)析因设计的意义在评价药物疗效时，除需知道A药和B药各剂量的疗效外（主效应），还需知道两种药同时使用的协同疗效。
析因设计及相应的方差分析能分析药物的单独效应、主效应和交互效应。
例：A因素食物中蛋白含量; B因素食物中脂肪含量B A 平均a2-a1a1 a2b1 30 32 31 2b2 36 44 40 8平均33 38 35.5 5b2-b1 6 12 9(1)单独效应: 在每个B水平, A的效应。
或在每个A水平，B的效应。
(2)主效应：某因素各水平的平均差别。
(3)交互效应：某因素各水平的单独效应随另一因素水平变化而变化，则称两因素间存在交互效应。
如果)()()(000μμμμμμ-+-≠-b a ab ，存在交互效应。
如果)()()(000μμμμμμ-+->-b a ab ，协同作用。
如果)()()(000μμμμμμ-+-<-b a ab ，拮抗作用。
2527293133353739414345a1a22527293133353739414345a1a2如果不存在交互效应，则只需考虑各因素的主效应。
在方差分析中，如果存在交互效应，解释结果时，要逐一分析各因素的单独效应，找出最优搭配。
在两因素析因设计时，只需考虑一阶交互效应。
三因素以上时，除一阶交互效应外，还需考虑二阶、三阶等高阶交互效应，解释将更复杂。
析因设计的优点：用相对较小样本，获取更多的信息，特别是交互效应分析。
析因设计的缺点：当因素增加时，实验组数呈几何倍数增加。
实际工作中部分交互效应，特别是高阶交互效应可以根据临床知识排除，这时可选用正交设计。
2. 析因设计与结果的方差分析(1)实验设计设有k个因素，每个因素有L1, L2, …, L k个水平，那么共有G= L1×L2×…×L k个处理组。
析因设计的方差分析
完全随机的三因素析因设计 方差分析表
战士主 观感觉 冷热等 级评分
计算两因素交叉分组的合计
SS处理的析因分解
Ti、 Ai、 Bi的计算
析因分析结果
（二）两因素多水平 完全随机析因设计的方差分析
例11-2：观察A、B两药联合应用在产 妇分娩时的镇痛时间（min）
完全随机的两因素3×3析因设计
完全随机的两因素析因设计 方差分析表
A、B两药联合运用的镇痛时间 方差分析结果表
（三）三因素多水平 完全随机析因设计的方差分析
主效应（main effectsБайду номын сангаас：某因素各单 独效应的平均效应
交互作用（Interaction）：某一因素效 应随着另一因素变化而变化的情况。（ 如一级交互作用AB、二级交互作用 ABC…
析因设计的优缺点 优点
可用来分析全部主效应，以及因素 间各级的交互作用
缺点
所需试验的次数很多，如2因素，各 3水平5次重复需要试验为45次
交互作用
缝合后2月后束膜 缝合与外膜缝合神 经轴突通过率的差 异，仅比缝合后1 月提高了2%，
两条直线相互平行 , 表示两因素交互 作用很小
ANOVA分析的必要性
A因素（缝合方法）的主效应为6%， B因素（缝合时间）的主效应为22%， AB的交互作用表示为2%。
以上都是样本均数的比较结果，要 推论总体均数是否有同样的特征，需要 对试验结果进行方差分析后下结论。
完全随机的两因素2×2析因设计
实例3：小鼠种别A、体重B和性别C对皮内移植SRS瘤 细胞生长特征影响的结果（肿瘤体积cm3）问①A、B 、C各自的主效应如何？②三者间有无交互作用？
完全随机的三因素2×2×2析因设计
材料科学第4章 方差分析与析因实验
2020/1/22
3
二、 方差分析的基本原理
不同组的均值间的差别基本来源有两个： （1）随机误差如测量误差造成的差异，称为组内差异，用 指标值在各组的均值与该组内指标值之变差平方和的总和表示， 也称为误差变差平方和。 （2）实验条件即不同因素或因素不同的水平造成的差异， 称为组间差异。用指标值在各组的均值与总均值之变差平方和 表示，称为因素变差平方和。
试验中，使其他因素都尽量维持不变而只对一个因素的水 平加以变化，以检验该因素的影响是否显著的方法。
一、单因素方差分析的基本原理
因素A：
p个水平，记为 Ai（i=1，2，......，p，水平数）；
每水平测试重复 n 次，数据记为 yiz ( z＝1，2，......，n，测量次 数)。
2020/1/22
第4章 方差分析与析因实验
析因实验：通过对试验结果观测值的波动（变差）的分析，寻找 影响结果的主要因素，判断因素的影响是否显著的一种方法。常 借助于对试验数据的方差分析来实现。
4.1 方差分析简述 4.2 单因素试验的方差分析 4.3 双因素试验的方差分析
2020/1/22
1
4.1 方差分析简述
i1 z1
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13
求因素变差平方和 SSA 和误差平方和 SS
SST
QT2 N
11502 4202 16
=477
SS A
1 n
p i 1
Ki2
T2 N
45114 4
4202 16
=253.5
SS SST SSA =477-253.5=223.5
结论：在风险度 ＝0.05 时，添加剂浓度对热水管传热系数的 影响显著。浓度取4ppm左右时最理想。
析因设计和分析课件
H1:两者不独立 （6）略 （7） H0:三个原因旳各水平旳体重平均增长值旳差别相互独立
H1:三个原因旳各水平旳体重平均增长值旳差别不独立 第(4)-（7）个假设就是检验原因旳交互影响。
2024年10月4日
1.计算总变异
S 2
(X X )2 SST
n 1
VT
SST X 2 ( X )2 n 24.3785 39.072 64 0.5275
AB=[( a2b2- a2b1)-(a1b2- a1b1)]/2=(22-10)/2=6
2024年10月4日
B
B1 (未用药) B2 (用药)
A
A1(未用药)
A2 (用药)
A1B1
A2B1
A1B2
A2B2
0 , a , b , ab 表达4个处理组A1B1,A2B1 ,A1B2,A2B2相应旳总体均值 存在交互效应 (ab 0 ) (a 0 ) (b 0 )
(I-1)(J-1) (I-1)(K-1) (J-1)(K-1)
SSTAB-SS(A)-SS(B) SSTAB-SS(A)-SS(C) SSTAB-SS(B)-SS(C)
SS(AB)/dfab SS(AC)/dfab SS(BC)/dfab
MS(AB)/MSE MS(AC)/MSE MS(BC)/MSE
豆
雌雄
A
B1
C1
C2
A1 A1B1C1 A1B1C2
A2 A2B1C1 A2B1C2
B2
C1
C2 玉米
A1B2C1 A1B2C2
A2B2C1 A2B2C2
(二)将试验单位随机分配
32只雌猪随机分配到（1）～（4）组，随机数序号 1 ～8（1）组，9 ～16（2）组，17 ～24（3）组，25 ～ 32（4）组。32只雄猪随机分配到（5）～（8）组。
H1:三个原因旳各水平旳体重平均增长值旳差别不独立 第(4)-（7）个假设就是检验原因旳交互影响。
2024年10月4日
1.计算总变异
S 2
(X X )2 SST
n 1
VT
SST X 2 ( X )2 n 24.3785 39.072 64 0.5275
AB=[( a2b2- a2b1)-(a1b2- a1b1)]/2=(22-10)/2=6
2024年10月4日
B
B1 (未用药) B2 (用药)
A
A1(未用药)
A2 (用药)
A1B1
A2B1
A1B2
A2B2
0 , a , b , ab 表达4个处理组A1B1,A2B1 ,A1B2,A2B2相应旳总体均值 存在交互效应 (ab 0 ) (a 0 ) (b 0 )
(I-1)(J-1) (I-1)(K-1) (J-1)(K-1)
SSTAB-SS(A)-SS(B) SSTAB-SS(A)-SS(C) SSTAB-SS(B)-SS(C)
SS(AB)/dfab SS(AC)/dfab SS(BC)/dfab
MS(AB)/MSE MS(AC)/MSE MS(BC)/MSE
豆
雌雄
A
B1
C1
C2
A1 A1B1C1 A1B1C2
A2 A2B1C1 A2B1C2
B2
C1
C2 玉米
A1B2C1 A1B2C2
A2B2C1 A2B2C2
(二)将试验单位随机分配
32只雌猪随机分配到（1）～（4）组，随机数序号 1 ～8（1）组，9 ～16（2）组，17 ～24（3）组，25 ～ 32（4）组。32只雄猪随机分配到（5）～（8）组。
析因设计资料的方差分析
完全随机的方差分析 变异来源 SS df MS F P-value 总 7420 19 处理组 组间 2620 3 873.333 2.91111 0.06657 4800 16 300 误差 组内
处理组间变异的分解
单独效应
B的效应
A的效应
B因素为2水平时A 因素的单独效应
主效应
B的效应
A因素的主效应解释 为：束膜缝合与外 膜缝合相比（不考 虑缝合时间），神 经轴突通过率提高 了6%。 B因素的主效应解释 为：缝合后2月与1 月相比（不考虑缝 合方法），神经轴 突通过率提高了22% 。
A2
A3
随机配伍的两因素3×2析因设计
析因设计的特点
2个以上处理因素（factor）（分类变量） 每个因素2个以上水平（level） 每一种处理有2个以上重复（repeat）
试验将全部因素的不同水平组合,其组合数 即处理的组数； 若行ANOVA，要求观察值（效应指标）为 定量资料（独立、正态、等方差）。
A的主效应 B的主效应
A的效应
交互作用
AB (a2b2 a1b2 ) (a2b1 a1b1 ) 2 (8 4) 2 2
缝合后2月后束膜 缝合与外膜缝合神 经轴突通过率的差 异，仅比缝合后1 月提高了2%， 两条直线几乎相互 平行, 可以不考虑 两因素间存在交互 作用。
64 78 80 不用 28 31 23 完全随机的两因素2×2析因设计
例2：小鼠种别（A）、体重（B）和性别（C）对皮 内移植SRS瘤细胞生长特征影响的结果（肿瘤体积cm3 ）问①A、B、C各自的主效应如何？②三者间有无交 互作用？
种别 A 昆明种 体重（ g ） 24 ～ 25 性别 雄性 0.7069 0.7854 0.3581 1.0838 0.9425 0.3335 0.0628 0.0942 0.0471 0.0126 0.0094 0.0125 雌性 0.1885 0.3403 0.2503 0.9550 0.9215 0.8514 0.4712 0.0880 0.1759 0.2513 0.3676 0.1327
卫生统计学之析因设计的方差分析
两因素两水平 完全随机析因设计的方差分析
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
例11-1：研究不同缝合方法及缝合后时间对家兔轴突通过 率（％）的影响，问①两种缝合方法间有无差别？缝合后 时间长短间有无差别？②两者间有无交互作用
完全随机的两因素2×2析因设计
A 因素
缝合方法
B 因素
缝合时间
n Σx 均数
18
26
21
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
析因设计的特点
➢ 2个以上（处理）因素（factor）（分类变 量）
➢ 2个以上水平（level） ➢ 2个以上重复（repeat） ➢ 每次试验涉及全部因素,即因素同时施加 ➢ 观察指标（观测值）为计量资料（独立、
正态、等方差）
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固 醇降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固 醇的作用？②两种药间有无交互作用
乙药
用
不用
甲药 用
73
47
不用
27
20
完全随机的两因素2×2析因设计
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效
乙药
用
不用
乙药单独效应
甲
用
73
47
26
药
不用
27
20
7
甲药单独效应 46
27
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
析因设计的有关术语
➢ 单独效应（simple effects）：其它因 素的水平固定为某一值时，某一因素不 同水平的差别
➢ 主效应（main effects）：某一因素各 水平间的平均差别 (即某因素各单独效 应的平均效应)
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例11-1：研究不同缝合方法及缝合后时间对家兔轴突通过 率（％）的影响，问①两种缝合方法间有无差别？缝合后 时间长短间有无差别？②两者间有无交互作用
完全随机的两因素2×2析因设计
A 因素
缝合方法
B 因素
缝合时间
n Σx 均数
18
26
21
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析因设计的特点
➢ 2个以上（处理）因素（factor）（分类变 量）
➢ 2个以上水平（level） ➢ 2个以上重复（repeat） ➢ 每次试验涉及全部因素,即因素同时施加 ➢ 观察指标（观测值）为计量资料（独立、
正态、等方差）
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实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固 醇降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固 醇的作用？②两种药间有无交互作用
乙药
用
不用
甲药 用
73
47
不用
27
20
完全随机的两因素2×2析因设计
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甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效
乙药
用
不用
乙药单独效应
甲
用
73
47
26
药
不用
27
20
7
甲药单独效应 46
27
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析因设计的有关术语
➢ 单独效应（simple effects）：其它因 素的水平固定为某一值时，某一因素不 同水平的差别
➢ 主效应（main effects）：某一因素各 水平间的平均差别 (即某因素各单独效 应的平均效应)
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A 因素 食物中蛋白含量 ;
B 因素 食物中脂肪含量
A 因素
缺乏 (a1)
正常 (a2)
B 因素 缺乏 (b1)
a1b1
a2b1
正常 (b2)
a1b2
a2b2
B
b1 b2 平均 b2-b1
A
a1
a2
30
32
36
44
33
38
6
12
平均 a2-a1
31
2
40
8
35.5
5
9
(1) 单独效应 : 在每个 B 水平 , A 的效应。或在每个 A 水平， B
E 4800 16 300
A1=120+220=340, A2=400, B1=260, B2=480
A 180
1
180 0.60 >0.05
B 2420 1 2420 8.07 <0.05
AB 20
1
20 0.07 >0.05
结论：缝合时间（ B）的主效应有统计学意义，即
x B1 (120 140 ) / 10 26 x B 2 ( 220 260 ) / 10 48
两个因素以上的析因设计，计算原理类似，但手工计算较繁琐。
当有计算机后和统计软件的帮助后， 已完全没必要手工计算。 但
是掌握变异来源分解的基本思想很重要， 应该将哪项变异作为误
差项，如何解释结果都与此有关。
下面用实例介绍计算过程：
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A(缝合方法)
外膜缝合(a 1)
束膜缝合 (a 2)
B(缝合时间) 1 月 (b 1) 2 月(b 2) 1 月 (b 1) 2 月(b 2)
确定了处理组数后， 将实验对象分配到各组的方法可以采用完全
随机设计、随机区组设计或拉丁方设计。
注意：析因设计的基本要求，各组例数相等，每组例数必须
2
例以上。
(2) 析因设计资料的方差分析
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第一步： 与一般的方差分析一样， 将总变异分离成组间变异和组
内变异。如果是随机区组设计还需从组内变异分离出单位组间变
异和误差变异。
方差来源
DF
SS
MS
总变异 (T)
N-1
组间变异 (B)
G-1
X2 C
1/ r
T
2 k
C
SSB/(G-1)
组内变异 (E)
N-G
SST-SSB
SSE/(N-G)
Tk(k=1,2, …,G) 为各处理组观察值小计， r 为各处理组例数， C=(Σ X)2/N
第二步： 将组间变异分解出主效应项和交互效应项， 以两因素析 因设计为例， i 和 j 分别是因素 A 和因素 B 的水平数， Ai 和 Bj 分 别是各水平观察值的小计。
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方差来源
DF
SS
MS
F
主效应
A
i-1
1 rj
Ai2
C
SS(A) /df a MS(A) /MSE
B
j-1
交互效应
1 ri
B
2 j
C
SS(B) /df b MS(B) /MSE
AB (i-1)(j-1)
SSB-SS(A) -SS(B) SS(AB) /df ab MS(AB) /MSE
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的效应。
(2) 主效应：某因素各水平的平均差别。
(3) 交互效应：某因素各水平的单独效应随另一因素水平变化而
变化，则称两因素间存在交互效应。如果
( ab 0 ) ( a 0 ) ( b 0 ) ，存在交互效应。 如果 ( ab 0 ) ( a 0 ) ( b 0 ) ，协同作用。
如果 ( ab 0 ) ( a 0 ) ( b 0 ) ，拮抗作用。
45 43 41 39 37 35 33 31 29 27 25
a1
b1 b2
a2
45 43 41 39 37 35 33 31 29 27 25
a1
b1 b2
a2
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如果不存在交互效应，则只需考虑各因素的主效应。
在方差分析中， 如果存在交互效应， 解释结果时， 要逐一分析各
因素的单独效应，找出最优搭配。
如果将作用于二级实验单位的处理因素称为二级处理， 作用于一 级实验单位的处理因素称为一级处理。 显然前者为区组设计， 后 者为完全随机设计， 两种处理的设计精度不同。 因此又称这类设 计为不完整析因设计。
一般在设计时，常选最感兴趣的主要研究因素为二级处理因素 或出于区组的限制，选水平数少的研究因素为二级处理因素
2. 析因设计与结果的方差分析
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(1) 实验设计 设有 k 个因素，每个因素有 L1, L 2, …, L k 个水平，那么共有 G= L1× L2×…× Lk 个处理组。
例如有三个因素，分别是 A，B，C。A 因素有两水平， B 因素有 3 水平和 C 因素有 2 水平，则共有 G=2×3× 2=12 个处理组。大家 可以自己回去将这 12 种组合排列出来。
1
10
30
10
50
2
10
30
20
50
3
40
70
30
70
4
50
60
50
60
5
10
30
30
30
Tk
120
Σx2
4400
C=(740) 2/20=27380
220 11200
140 4800
260 14400
总计
740 34800
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方差分析表
SS DF MS
F
P
T 7420 19
B 2620 3 873.3 2.911 >0.05
(2) 实验设计方法
在两因素析因设计时，只需考虑一阶交互效应。三因素以上时，
除一阶交互效应外， 还需考虑二阶、 三阶等高阶交互效应， 解释
将更复杂。
析因设计的优点： 用相对较小样本， 获取更多的信息， 特别是交 互效应分析。 析因设计的缺点： 当因素增加时， 实验组数呈几何倍数增加。 实 际工作中部分交互效应， 特别是高阶交互效应可以根据临床知识 排除，这时可选用正交设计。
第四节
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析因设计与方差分析
1. 基本概念
完全随机设计 ( 单因素 ) 随机区组设计 ( 两因素 , 无重复 ) 拉丁方设计 ( 三因素 , 无重复 ) 析因设计 ( 两因素以上 , 至少重复 2 次以上 )
析因设计的意义 在评价药物疗效时， 除需知道 A 药和 B 药各剂量的疗效外 （主效 应），还需知道两种药同时使用的协同疗效。 析因设计及相应的 方差分析能分析药物的单独效应、主效应和交互效应。 例：
B 的主效应 =48-26=22。
第五节 裂区设计与结果的方差分析
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(1) 基本概念
裂区设计与一般析因设计的区别在于每种处理因素分别作用于
不同级别的实验单位。 如眼科实验中， 兔子为一级实验单位， 每
只兔子的两只眼睛为二级实验单位。 当处理因素分别作用于一级
实验单位和二级实验单位时，称裂区设计。