描写质点位置变化的物理量

ω
r
角速度为角坐标对时间的一阶导数。 角速度为角坐标对时间的一阶导数。
方向：满足右手定则，沿质点转 方向：满足右手定则， 动方向右旋大拇指指向。 动方向右旋大拇指指向。 在圆周运动中： 在圆周运动中：
dS Rd θ v= = = ωR dt dt
ω
r
14
r r2
B
r r ∆r | 大小： 大小： | v |=| ∆t
O
平均速度可“近似”地描述质点在t 平均速度可“近似”地描述质点在t时刻附近运动 的快慢和方向。 的快慢和方向。 注意：平均速度（包括大小和方向）与所取的时间长 注意：平均速度（包括大小和方向） 短有关，所以在计算平均速度时， 短有关，所以在计算平均速度时，必须清楚是哪一段 时间的平均速度。 时间的平均速度。
θ1
∆θ
称为质点的角位移 角坐标的增量为： 角坐标的增量为： θ = θ 2 − θ1 称为质点的角位移 ∆ 单位：弧度， 单位：弧度，rad 描写质点转动快慢和方向的物理量。 描写质点转动快慢和方向的物理量。 3.角速度 3.角速度 1.平均角速度 平均角速度
∆θ ω = ∆t
单位：弧度 秒 单位：弧度/秒，rad/s,
r r r r r1 = x1i + y1 j + z1k
r r r r r2 = x2 i + y2 j + z 2 k
2
r r r r ∆r = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k
r r r = ∆xi + ∆yj + ∆zk
位移的大小： 位移的大小：
r 2 2 2 | ∆r |= ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z 2 − z1 )
r r r ∆ | r |= ∆r =| r2 | − | r1 |= r2 − r1 表示位矢大小的增量。 表示位矢大小的增量。
r | 同理： 同理： dr |≠ dr
3
r r 强调：位移的大小只能写成：| ∆r | ，不能写成∆ | r | 强调：位移的大小只能写成： 或 ∆r 。 r r r 表示质点位矢的增量。 | ∆r |=| r2 − r1 | 表示质点位矢的增量。
= xi + yj + zk
A
vA
r r r v v = vx i + v y j + vz k
dx dy dz vx = , v y = , vz = dt dt dt
8
vx 、vy 、 v z
为速度在x 方向的分量。 为速度在 、y、z方向的分量。 方向的分量
r r r r dx r dy r dz r v= i+ j + k = vx i + v y j + vz k dt dt dt
r r r ∆r = r2 − r1
O
5
在∆t时间间隔内的平均速度定义为：物体的位移与 时间间隔内的平均速度定义为： 定义为 发生这段位移所用的时间之比。 发生这段位移所用的时间之比。 r r r ∆r A vA v=
∆t
平均速度矢量，它的方向与位 平均速度矢量， 移相同。 移相同。
r r1
r ∆r
v=
∆t
∆t→ 0
瞬时速率： 瞬时速率： v = lim
ds ∆s = ∆t dt
9
瞬时速率是路程对时间的变化率。 瞬时速率是路程对时间的变化率。
注意 1.平均速度与平均速率的区别 平均速度为物体发生的位移与时间之比； •平均速度为物体发生的位移与时间之比；它指明了 质点运动的方向，为矢量。 质点运动的方向，为矢量。 平均速率为物体经过的路程与时间之比； •平均速率为物体经过的路程与时间之比；它只反映 在单位时间内质点实际走过的路程，为标量。 在单位时间内质点实际走过的路程，为标量。 2. 速度与速率的区别 速度为位矢对时间的一次导数，为矢量： •速度为位矢对时间的一次导数，为矢量：
在自然坐标系中， 在自然坐标系中， 运动方程为
s = s(t)
根据速度的定义， 根据速度的定义，
r r dr v= dt
s
O’
ˆ τ
c
s+
r 因为 | dr |= ds •切向坐标 τ 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的 切向坐标 ˆ
方向； 方向；
r 所以： dr = dsτ , 所以： ˆ
r ds ˆ ˆ v = τ = vτ dt
13
质点的角位移与发生这段角位移所用时间之比。 质点的角位移与发生这段角位移所用时间之比。
dθ ∆θ 角速度 ω = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
角速度可规定为矢量。 角速度可规定为矢量。
平均角速度也只是质点转动快慢的粗略描述。 平均角速度也只是质点转动快慢的粗略描述。 2.角速度 . 用平均角速度代替变化的角速度； ①.用平均角速度代替变化的角速度； 用平均角速度代替变化的角速度 取极限； ②.令 ∆t → 0 取极限； 令
ds ∴v = dt
11
三、质点位矢的角速度
引入： 引入：很多物体作圆周运动 不同， 各点的速度 不同，用以往的速度 描述不便，为此引入角量描述。 描述不便，为此引入角量描述。 1.角坐标 1.角坐标 在转动平面内， O点作一极轴 点作一极轴， 在转动平面内，过O点作一极轴， 设极轴的正方向是水平向右。 设极轴的正方向是水平向右。 连接OP，则OP与极轴之间的夹角为θ。 ， 与极轴之间的夹角为θ 连接 与极轴之间的夹角为 角称为角坐标 或角位置） 角坐标（ θ角称为角坐标（或角位置）。 角坐标为标量。但可有正负。 角坐标为标量。但可有正负。 规定： 轴逆时针到达P点的矢径 规定：从ox轴逆时针到达 点的矢径，角坐标为正值。 轴逆时针到达 点的矢径，角坐标为正值。 单位：弧度， 单位：弧度，rad 12
位移 速度
1
一、位移
描写质点位置变化的物理量。 描写质点位置变化的物理量。
运动着的质点，其位置在轨道上是连续变化的。 运动着的质点，其位置在轨道上是连续变化的。
r 时刻， t时刻，A点位矢为 r1
t+Δt时刻在B t+Δt时刻在B点位矢为 时刻在
z
r r r 位移： A→B位移：∆r = r2 − r1
大小： 大小：
r dr dx 2 dy 2 dz 2 2 2 2 v =| |= ( ) + ( ) + ( ) = v x + v y + v z dt dt dt dt
3.速率 3.速率 平均速率：路程∆ 和走过这段路程所用的时间∆ 平均速率：路程∆s和走过这段路程所用的时间∆t的 比值。 比值。 ∆s
= (∆x) + (∆y ) + (∆z )
2 2
2
注意 1.位矢与位移的区别： 位矢与位移的区别： 位矢与位移的区别 位矢为从坐标原点指向质点所在位置的有向 方向 线段； 线段； 位移为从起点指向终点的有向线段。 位移为从起点指向终点的有向线段。 位矢与某一时刻对应； 位矢与某一时刻对应； 时间 位移与某一段时间对应。 位移与某一段时间对应。 2.位移与路程的区别： 位移与路程的区别： 位移与路程的区别 ∆ 路程： 为物体Δ 内走过的轨道的长度 为标量； 轨道的长度， 路程： s 为物体Δt内走过的轨道的长度，为标量； r 位移： r 位移： ∆ ∆s 从起点指向终点的有向线段，而 从起点指向终点的有向线段， B 位移大小是质点实际移动的直线 r ∆r A 距离，为矢量。 距离，为矢量。
二、速度 速率
描写物体运动快慢和方向的物理量。 描写物体运动快慢和方向的物理量。 1.平均速度 1.平均速度
r r1
r ∆r
r r2
B
t 时刻到t + ∆t时刻, 质点的位移 :
在∆t时间间隔内的平均速度定义为：物体的位移与 时间间隔内的平均速度定义为： 定义为 发生这段位移所用的时间之比。 发生这段位移所用的时间之比。
B
r ∆r
A
∆t
③以不变代变；用平均速度代r r ∆r d r v = lim = ∆t →0 ∆t dt
质点在某时刻的瞬时速 度等于在该时刻位置矢 量对时间的一阶导数。 量对时间的一阶导数。
7
速度单位： 秒 速度单位：米/秒，m/s
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，r
r r dr dx r dy r dz r v= = i+ j+ k r dt dt dt dt r ds dr 速率为速度的大小，为标量： v = =| v | •速率为速度的大小，为标量： = dt dt
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r ˆ 为沿速度方向的单位矢量。 τ 为沿速度方向的单位矢量。是一个大小 ˆ 不变（恒为1）但方向不断变化的矢量。 v = vτ 不变（恒为 ）但方向不断变化的矢量。
6
2.速度 2.速度 对于变速曲线运动的物体， 对于变速曲线运动的物体，速度大小与方 向都在随时间改变， 向都在随时间改变，用平均速度并不能精确地 描写质点瞬时的运动情况。 描写质点瞬时的运动情况。 处理方法： 处理方法： ①.无限分割路径； 无限分割路径； 无限分割路径 ②.以直代曲； 以直代曲； 以直代曲 取极限。 ④令 ∆t → 0 取极限。 r 速度
O
θ
P
x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： 在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：θ= θ（t）， ）， 叫做转动方程 转动方程。 叫做转动方程。 2.角位移 2.角位移 θ2 描写质点位置变化的物理量。 描写质点位置变化的物理量。 时刻，质点在P 角坐标为θ t时刻，质点在P点，角坐标为θ1， t+Δt时刻 质点到达P 角坐标为θ 时刻， t+Δt时刻，质点到达P/，角坐标为θ2。