MATLAB实现拉格朗日插值

数值分析上机报告
题目：插值法
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一、调用MATLAB内带函数插值
1、MATLAB内带插值函数列举如下：
2、取其中的一维数据内插函数（）为例，程序如下：其调用格式为：
yi=interp1(x, y, xi)
yi=interp1(x, y, xi, method)
举例如下：
x=0:10:100
y=[40 44 46 52 65 76 80 82 88 92 110];
xi=0:1:100
yi=interp1(x,y,xi,'spline')
3、其他内带函数调用格式为：
Interpft函数：
y=interpft(x,n)
y=interpft(x,n,dim)
interp2函数：
ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI)，ZI=imerp2(Z, ntimes)
ZI=interp2(Z, XI, YI) ，ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI, method) interp3函数：
VI=interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) VI=interp3(V, ntimes)
VI=interp3(V,XI,YI,ZI) VI=interp3(…, method) Interpn函数：
VI=interpn(X1, X2, X3, …, V, Y1, Y2, Y3, …)
VI=interpn(V, ntimes)
VI=interpn(V, Yl, Y2, Y3, …) VI=interpn(…, method) Spline函数：
yi=spline(x,y,xi)
pp=spline(x,y)
meshgrid函数：
[X,Y]=meshgrid(x,y)
[X,Y]=meshgrid(x)
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z)
Ndgrid函数：
[X1, X2, X3, …]=ndgrid(x1, x2, x3, …)
[X1, X2, X3, …]=ndgrid(x)
Griddata函数：
ZI=griddata(x, y, z, XI, YI)
[XI, YI, ZI]=griddata(x, y, z, xi, yi)
[…]=griddata(… method)
二、自编函数插值
1、拉格朗日插值法：
建立M 文件：
function f = Language(x,y,x0)
syms t l;
if(length(x) == length(y))
n = length(x);
else
disp('x和y的维数不相等！');
return; %检错
end
h=sym(0);
for (i=1:n)
l=sym(y(i));
for(j=1:i-1)
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
end;
for(j=i+1:n)
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
end;
h=h+l;
end
simplify(h);
if(nargin == 3)
f = subs (h,'t',x0); %计算插值点的函数值
else
f=collect(h);
f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数
end
在MATLAB中输入：
x=[18 31 66 68 70 72 70;]
y=[23 33 52 51 43 40 46];
f=Language(x,y)
plot(x,y)
结果为：
f =Inf + (-t)*Inf - 54329.8*t^2 + 1503.75*t^3 - 22.2065*t^4 + 0.16789*t^5 -
0.000512106*t^6
图形如下：
MATLAB实现拉格朗日插值建立如下拉格朗日插值函数：
function y=lagrange(x0,y0,x);
n=length(x0);
m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
画图程序如下：
x=[-5:1:5];
y=1./(1+x.^2);
x0=[-5:0.001:5];
y0=lagrange(x,y,x0);
y1=1./(1+x0.^2);
plot(x0,y0,'r')
hold on
plot(x0,y1,'g')
注：画出的图形为n =10的图形得到图形如下：
牛顿K 次插值多项式
一、实验目的：
1、掌握牛顿插值法的基本思路和步骤。

2、 培养编程与上机调试能力。

二、牛顿插值法基本思路与计算步骤：
给定插值点序列（))(,i i x f x ,,,1,0,n i 。

构造牛顿插值多项式)(u N n 。

输入要计算的函数点,x 并计算)(x N n 的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面)(x N n 的各项系数恰好又是各阶均差，而各阶均差可用均差公式来计算。

为 的 一阶均差。

为
的 k 阶均差。

均差表：
n=10的图像
1． 输入n 值及（))(,i i x f x ,
,,1,0,n i =；要计算的函数点x 。

2． 对给定的,x 由
[][][]
00010101201101
()()(),()(),,()
()
(),,n n n N x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++---
计算
()
n N x 的值。

3．输出()
n N
x 。

程序清单：
function[c, d]=newpoly(x, y) %牛顿插值的MA TLAB 实现
%这里 x 为n 个节点的横坐标所组成的向量，y 为纵坐标所组成的向量。

%c 为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。

n=length(x);%取x 的个数。

d=zeros(n, n);%构造nXn 的空数组。

d(: , 1)=y'; for j=2 : n for k=j : n
d(k, j)=(d(k, j-1) - d(k-1, j-1)) / (x(k)-x(k-j+1)); end end
c =d(n, n);
for k=(n-1) : - 1 : 1
c =conv(c, poly(x(k)));% conv 求积，poly(x)将该多项式的系数赋给向量。

m=length(c);
c(m)=c(m)+d(k, k); end
五、测试数据与结果：
测试数据：（第三章习题第三题第2题）
01234Y0=-0.916291, y1=-0.693147, y2=-0.510826, y3=-0.357765, y4=-0.223144
建立一个主程序np.m
clc
clear
newpoly([0.4,0.5,0.6,0.7,0.8],[ -0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.357765, -0.223144]) 计算结果如下：
ans =
-0.3096 2.6083 -5.4861 5.6921 -2.4744
由此看出所求的牛顿多项式为：
P(x)= -0.3096x4+2.6083x3-5.4861x2+5.6921x-2.4744
P(0.53)= -0.6347。