博弈论习题解答(浙江大学)

2．求解下表所示的战略博弈式的所有的纯战略纳什均衡 表 1.2 S2 和 S3
S1
X3
Y3
X2
Y2
X2
Y2
X1 0,0,0 6,5,4 4,6,5 0,0,0
Y1 5,4,6 0,0,0 0,0,0 0,0,0 首先看 S1 选择 X 策略。如果 S2 同样选择 X 策略，那么 S3 一定选择 Y 策略；同样，如果 S3 选择 Y 策略，S2 也一定会选择 X 策略，因此（X，X，Y）是一个纳什均衡；如果 S2 选择 Y 策略， 那么 S3 一定选择 X 策略；同样，如果 S3 选择 X 策略，S2 也一定会选择 Y 策略，因此，（X，Y， X）是一个纳什均衡。 其次看 S1 选择 Y 策略。如果 S2 选择 X 策略，S3 一定选择 X 策略；同样，如果 S3 选择 X 策 略，S2 也一定会选择 X 策略，因此（Y，X，X）是一个纳什么均衡。如果 S2 选择 Y 策略，S3 选 择 Y 策略是理性的，如果 S3 选择 X，S2 将选择 X，这样（Y，Y，X）将不是一个纳什均衡；同 样，如果 S3 选择 Y 策略，S2 也一定会选择 Y 策略，因此（Y，Y，Y）是一个纳什均衡。 所以该博弈式的纯战略纳什均衡有 4 个：（X，X，Y）（X，Y，X）（Y，X，X）（Y，Y，Y）。
纳什均衡
1．在下表所示的战略式博弈中，找出重复删除劣战略的占优均衡 表 1.1
S1
L
S2 M
R
U 4,3
5,1
6,2
M 2,1
8,4
3,6
D 3,0
9,6
2,8
首先，找出 S2 的劣战略。对于 S2，M 策略严格劣于 R 策略，所以 M 为严格劣策略。删除后 M 再找出 S1 的劣战略，显然对于 S1 而言，M 策略和 D 策略严格劣于 U 策略，所以 M 和 D 为严 格劣策略。删除 M 与 D 后找占优均衡为（U,L）即，（4，3）。
（3）假定甲选择企业 1 的概率为α ，选择企业 2 的概率为1− α ；乙选择企业 1 的概率为 β ，选
择企业 2 的概率为1− β ，则甲选择企业 1 的期望收益为 W1 β +W1(1− β ) ，选择企业 2 的期望收
2
益为 W 2β + W 2 (1− β ) ，由二者相等可得乙选择两个企业的概率分别为： β = 2W1−W 2 ，
该方程组无解，所以 S2 无法同时采用 L、M 和 R 同时混合的战略
（2）S2 选择 L 和 M 混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，
因此，需要满足以下方程： 2α + 7(1 − α ) = 7α + 2(1 − α )，解得：α＝1/2。但是将 α＝1/2 代入等
式可得效用为 2α + 7(1 − α ) ＝ 7α + 2(1 − α ) ＝9/2；同时，将 α＝1/2 代入 6α + 5(1 − α )可得其值
1
与企业
2
提出申请。
8．考虑存在事前交流的性别战博弈。在丈夫决定去看足球还是芭蕾之前，丈夫有机会向妻子传递 以下信息：我们在足球场见面，或者我们在芭蕾馆见面。当以上信息交流完成以后，两者同时决 定去足球场还是去芭蕾馆。博弈支付如下：如果两者在足球场见面，则丈夫获得 3，妻子获得 1； 如果两者在芭蕾馆见面，则丈夫获得 1，妻子获得 3；在其他条件下两者的支付都是 0。
工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，
该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为 1/2。现在假定每
家企业的工资满足：W1/2<W2<2W1，则问：
a．写出以上博弈的战略式描述
b．求出以上博弈的所有纳什均衡
（1）该博弈的战略式描述为
xi ≤ M
0，
∑ xi > M
3
∑ 因此，对于参与人 i 来说，只要采用 xi = M − x j 都能实现自己的最大收益，也就是说，在 j≠i
∑ 该博弈中有着多个纳什均衡，所有使得 xi = M ，0 ≤ xi ≤ M 成立的战略组合都是该博弈的纯战
略纳什均衡。
7．考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。
2
W 2+W1
1− β = 2W 2 −W1 。 W 2 +W1
同理可得甲选择两家企业的概率：α = 2W1−W 2 ，1−α = 2W 2 −W1 。因此，最后的混合
W 2 +W1
W 2+W1
均衡是两学生均以
⎛ ⎜⎝
ห้องสมุดไป่ตู้
2W1−W 2 W 2+W1
,
2W 2 −W1 W 2 +W1
⎞ ⎟⎠
的概率决定向企业
师；如果所有人要求的钱加总大于已有钱的总数，则所有的钱归律师所有。写出这个博弈每个参
与人的战略空间与支付函数，求出所有的纳什均衡。（假设钱的总数为 M，M 为共同知识）。
{ } 博弈参与人的战略空间是 C1 = C2 = x ∈ R 0 ≤ x ≤ M ，参与人 i 的支付函数是：
∑ ui = xi ，
6．一群赌徒围成一圈赌博，每个人将自己的钱放在边上（每个人只知道自己有多少钱），突然一 阵风吹来将所有的钱混在一起，使得他们无法分辨哪些钱是属于自己的，他们为此发生了争执，
最后请来一位律师。律师宣布这样的规则，每个人将自己的钱数写在纸上，然后将纸条交给律师，
如果所有人要求的钱数加总不大于已有钱的总数，每个人得到自己要求的那部分，剩余部分归律
1
是无差异的，但均衡策略只能是参与人 3 选择 A 策略，因此（A，A，A）是一个纳什均衡。如果 参与人 2 选择 B 策略，参与人 3 选择 AB 策略是差异的，但均衡策略只能是其选择 A，因此（A， B，A）是一个纳什均衡。如果参与人 2 选择 C 策略，参与人 3 将选择 C 策略；同样，如果参与 3 选择 C 策略，参与人 2 也将选择 C 策略。因此，（A，C，C）是一个纳什均衡。
3．（投票博弈）假定有三个参与人（1、2 和 3）要在三个项目（A、B 和 C）中选中一个。三人同 时投票，不允许弃权，因此，每个参与人的战略空间 Si=｛A，B，C｝。得票最多的项目被选中， 如果没有任何项目得到多数票，项目 A 被选中。参与人的支付函数如下：
U1(A)=U2(B)=U3(C)=2
可能有以下情况：
（1）S2 选择 L、M 和 R 的混合战略。对于 S2 而言，如果三种战略同时混合，必然满足三种
战略的期望效用相同，因此，这一混合战略能否成立取决于是否满足以下两个方程：
⎧2α + 7(1 − α ) = 7α + 2(1 − α ) ⎩⎨7α + 2(1 − α ) = 6α + 5(1 − α )
5．模型化下述划拳博弈：两个朋友在一些划拳喝酒，每个人有四个纯战略：杆子、老虎、鸡和虫 子。输赢规则是：杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令，如果一个 打败另一个人，赢者的效用为 1，输者的效用为－1；否则效用为 0。给出以上博弈的战略式描述 并求出所有的纳什均衡。
（1）以上博弈的战略式表述为
战略→S1 选择 T 战略……因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。所以我们考虑寻找混合战略纳什
均衡。因此，S1 可以对 T 与 B 策略进行混合，而 S2 则可以对 L、M、R 中的任意至少两个策略进
行选择，因此，设 S1 选择 T 策略的概率为 α，S2 选择 L 策略的概率为 β，M 策略的概率为 γ，则
所以，该博弈的所有纯战略纳什均衡有 5 个，分别是（A，A，A）（A，B，A）（A，C，C）（B， B，B）（C，C，C）。
4．求解以下战略式博弈的所有纳什均衡
表 1.3
S2
S1
L
M
R
T
7，2 2，7 3，6
B
2，7 7，2 4，5
首先考虑纯纳什均衡。如果 S1 选择 T 战略→S2 将选择 M 战略→S1 选择 B 战略→S2 将选择 L
必须使得这四种战略的期望效用相同，因此，必须满足以下四个方程：
⎧b − d = c − a
⎪ ⎨
c
−
a
=
c
−
b
⎪⎩c − b = a − c
解得：a＝b＝c＝d，所以 a＝b＝c＝d＝1/4。同理可得参与人 2 的战略，所以该博弈的唯一混
合策略纳什均衡是参与者以 1/4 的概率随机选择各自的四个纯战略。
B2 2,0,1 1,2,0 2,0,1 1,2,0 1,2,0 1,2,0 2,0,1 1,2,0 0,1,2
C1 2,0,1 2,0,1 0,1,2 2,0,1 1,2,0 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0,1,2 由上，若参与人 1 选择 A 策略。如果参与人 2 同样选择 A 策略，那么参与人 3 选择 ABC 策略
等于 11/2。9/2<11/2 表明 L 和 M 的混合战略的期望效用小于 R 战略的期望效用，因此，这一混合 战略也不满足纳什均衡。
（3）S2 选择 L 和 R 混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，
2
因此，需要满足以下方程： 6α + 5(1 − α ) = 2α + 7(1 − α ) ，解得：α＝1/3。同样，将 α＝1/3 代入
2
1
杆子
老虎
鸡
虫子
杆子
0，0
1，－1
0，0 －1，1
老虎 －1，1
0，0
1，－1
0，0
鸡
0，0
－1，1
0，0
1，－1
虫子 1，－1
0，0
－1，1
0，0
（2）显然，这一博弈战略并不存在纯纳什均衡。假定参与人 1 选择杆子，老虎，鸡和虫子四
种战略的混合战略，其概率分别为 a，b，c 和 d，且 a＋b＋c＋d＝1。如果这四种战略同时混合，
等式可得 6α + 5(1 − α ) = 2α + 7(1 − α ) ＝16/3；将 α＝1/3 代入 7α + 2(1 − α ) 可得其值等于 13/3。
16/3>13/3 表明 L 和 R 的混合战略的期望效用大于 M 战略的期望效用，因此，这一混合战略满足纳 什均衡。
另一方面，计算 S1 的混合战略，需要满足以下等式： 7β + 2(1 − β ) = 2β + 7(1 − β ) ，解得：
若参与人 1 选择 B 策略。如果参与人 2 选择 A 策略，那么参与人 3 将选择 A 或 C 策略；但当 参与人 3 选择 C 策略时，参与人 2 的最优策略是选择 B，当其选择 A 策略时，参与人 2 将选择 B 策略，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人 2 选择 B 策略，参与人 3 将选择 ABC 是无差 异的，但其选择 A 和 C 都不满足纳什均衡，因此当其选择 A 和 C 时，参与人 1 将选择 A 或 C，因 此有当参与人 3 选择 B 策略时，才存在纳什均衡（B，B，B）。如果参与人 2 选择 C 策略，参与人 3 也将选择 C 策略；但参与人 3 选择 C 策略时，参与人 2 将选择 B 策略，因此，这时不存在纳什 均衡。
若参与人 1 选择 C 策略。如果参与人 2 选择 A 或 B 策略，那么参与人 3 将选择 C 策略；但当 参与人 3 选择 C 策略时，参与人 1 的最优策略是选择 B，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参 与人 2 选择 C 策略，参与人 3 将选择 C 策略；因为这时的 AB 策略都不满足纳什均衡，因此，存 在一个纳什均衡（C，C，C）。
β＝1/2，因此这一混合战略的纳什均衡为 ⎜⎛ 1 T + 2 B，1 L + 1 R ⎟⎞ 。 ⎝3 3 2 2 ⎠
（4）S2 选择 M 和 R 的混合战略。显然，这一战略不可能是纳什均衡战略，对于 S2 来说，如 果放弃了 L 战略，那么对 S1 而言 T 战略将是劣战略，其将直接选择 B 战略，这时 S2 只能选择 R 战略，S1 的反应只可能是 L 战略，这显然与假设矛盾。
U1(B)=U2(C)=U3(A)=1
U1(C)=U2(A)=U3(B)=0 求解以上博弈的所有纯战略纳什均衡。
首先：将上述博弈过程转换为战略式博弈矩阵。
2和3
1
A3
B3
C3
A2 B2 C2 A2 B2 C2 A2 B2 C2
A1 2,0,1 2,0,1 2,0,1 2,0,1 1,2,0 2,0,1 2,0,1 2,0,1 0,1,2
乙 甲
申请企业 1 申请企业 2
申请企业 1
W 1，W1 22
W1，W2
申请企业 2 W2，W1
W 2，W2 22
（2）若甲选择企业 1，乙将选择企业 2；若乙选择企业 2，甲必然选择企业 1，因此，（企业 1，（企 业 2，企业 1））是一个纯战略纳什均衡。若甲选择企业 2，乙将选择企业 1；若乙选择企业 1，甲 必然选择企业 2，因此，（企业 2，（企业 2，企业 1））也是一个纯战略纳什均衡。