2018上海中学自招真题及答案

2018 上海市上海中学自招部分真题1、因式分解：6x3 -11x2 +x + 4 =

【答案】(x- 1)(3 x- 4)(2 x+ 1)

【解析】试根法易得x = 1时，上式值为 0.

利用长除法可得

原式= (x- 1)(6 x2 - 5 x- 4)

= (x- 1)(3 x- 4)(2 x+ 1)

2、设a >b > 0 ，a2 +b2 = 4ab ，则 a +b =

a -b

【答案】

【解析】令a +b =x ， a -b =y 则x >y > 0

a2 +b2 = 4ab

a2 +b2 - 2ab = 2ab

y2 =1

(x2 -y2 ) 2

x2 = 3y2

x

= 3 即 a +b = 3

y a -b

3、若x2 +x -1= 0 ，则x3 + 2x2 + 3 =

【答案】4

【解析】降次法x2 = 1 -x

所以原式= x (1 -x)+ 2(1 -x)+ 3

= x -x2 + 2 - 2x + 3

= -x -(1 -x)+ 5

=4

3

3 ( ,

4、已知 1 (b - c )2 = (a - b )(c - a ) ，且a ≠ 0 ，则

b +

c =

4

a

【答案】2

【解析】 1

(b - c )2 = (a - b )(c - a )

4 (c - b )2 = 4 (a - b )(c - a )

⎡⎣(c - a ) + (a - b )⎤⎦2

= 4(c - a )(a - b ) ⎣⎡(c - a ) - (a - b )⎤⎦2 = 0

所以c - a = a - b

b +

c = 2a 即b + c

= 2

a

5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是

【答案】 4

9

【解析】 P = 2 ⨯ 2 = 4

3 3 9

6,、直线l ： y = - 3x + 与 x 、 y 轴交于点 A 、 B ，△AOB 关于直线 AB 对称得到△ACB ，则点C 的坐标是

【答案】 3 3

)

2 2

【解析】如右图所示易得

∠CAD = ∠BAO = 60︒

过C 作CD ⊥ x 轴于点 D 在△ACD 中 AC = 1 易解得

AD = 1 ， CD =

2 2

3 3 即C ( , )

2 2

3

3 20 21 128

64

32

16

8 10 5

4

2

1

4 2 1 16 8 2 1 7、一张矩形纸片 ABCD ， AD = 9， AB =12 ，将纸片折叠，使 A 、C 两点重合，折痕的长是

【答案】 45

4

【解析】如右图所示 易得 AC = 所以OC = 15

2

= 15

△C △OF ∽ ABC

所以

OF = OC 解得OF = 45 即EF = 45

AB BC 8 4

8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即 n

），如果n 是奇

2

数，则将它乘以3 再加1 （即3n + 1 ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对于正整数n （首项）按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为

【答案】128/2/16/20/3/21 【解析】

92

+ 122

1 2 9、正六边形 ABCDEF 的面积是6 平方厘米，联结 AC 、CE 、 EA 、 BD 、

DF 、 FB ，求阴影部分小正六边形的面积

【答案】2

【解析】将小六边形的相对顶点联结后易得：

小正六边形的面积是大正六边形面积的 1

3

即面积为2

10、已知 y = 2x 2 + (4 - m ) x + (4 - m ) 与 y = mx 在 x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为

【答案】m < 4

【解析】（1）当0 < m 时， 0 < x ， y 2 = mx > 0 ，且 x ≤0 时， y 2≤0

∴ x ≤0 时 y 1> 0

∴ y 1 x =0 > 0

故4 - m > 0 ∴

m - 4

< 0

4

则∆ < 0 解得-4 < m < 4 ∴0 < m < 4

（2） 当m < 0 时，同理解得m < 0 （3） 当m = 0 时， y 1 > 0 恒成立

综上所述， m < 4

11、已知a 、b 、c 是互不相等的实数， x 是任意实数，

( x - a )2 ( x - b )2 ( x - c )2

(a - b )(a - c ) (c - b )(a - b ) (c - a )(c - b )

【答案】1

-( x - a )2

(b - c ) - ( x - b )2

(c - a ) - ( x - c )2

(a - b )

(a - b )(b - c )(c - a )

【解析】原式= (

a -

b )(b -

c )(c - a )

(a - b )(b - c )(c - a ) = 1