有理数运算的几种特殊方法

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有理数混合运算的知识点

有理数混合运算的知识点有理数混合运算在数学学习中是一个重要的环节，它综合了有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算。

掌握好有理数混合运算，对于后续更复杂的数学知识学习有着至关重要的作用。

首先，我们要清楚什么是有理数。

有理数包括整数和分数，即能表示为两个整数之比的数。

比如－3、0、1/2 等等都是有理数。

在有理数混合运算中，运算顺序是非常关键的。

先算乘方，再算乘除，最后算加减。

如果有括号，要先算括号里面的。

乘方运算相对来说比较特殊。

比如 2 的 3 次方，表示 2×2×2 ＝ 8；（－2)的 3 次方，则表示－2×－2×－2 ＝－8 。

要特别注意负数的乘方，当指数为奇数时，结果为负数；当指数为偶数时，结果为正数。

乘法运算中，同号相乘得正，异号相乘得负。

例如 2×3 ＝ 6，－2×（－3) ＝ 6，2×（－3) ＝－6 。

除法运算可以转化为乘法运算，除以一个数等于乘以它的倒数。

例如 6÷2 ＝ 6×1/2 ＝ 3，6÷（－2) ＝ 6×（－1/2) ＝－3 。

在进行加减运算时，要注意将减法转化为加法。

减去一个数等于加上它的相反数。

比如 5 3 可以看作 5 ＋（－3) ，结果为 2 ；5 （－3)就等于 5 ＋ 3 ，结果为 8 。

为了更准确地进行有理数混合运算，我们可以遵循一些技巧和方法。

一是要认真审题，看清运算符号和数字，避免粗心大意导致错误。

二是合理运用运算律。

加法交换律 a ＋ b ＝ b ＋ a ，加法结合律（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c) ，乘法交换律 a×b ＝ b×a ，乘法结合律（a×b)×c ＝ a×（b×c) ，乘法分配律 a×（b ＋ c) ＝ a×b ＋ a×c 。

数学巧记妙语有理数的加法运算：同号相加一边倒;异号相加

数学巧记妙语有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。

[注]“大”减“小”是指绝对值的大小。

合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。

去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。

一元一次方程：已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。

恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。

（a-b）2n+1=-（b-a）2n+1（a-b）2n=（b - a）2n平方差公式：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

完全平方：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。

因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。

“代入”口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小—中—大）单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。

一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。

一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间，大小，小大无处找。

一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大（鱼）于（吃）取两边，小（鱼）于（吃）取中间。

分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。

七年级数学上册有理数比较大小八种方法汇总

七年级数学上册有理数比较大小八种方法汇总有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.利用作差法比较大小1.比较1731和5293的大小.利用作商法比较大小2.比较－172 016和－344 071的大小.利用找中间量法比较大小3.比较1 0072 016与1 0092 017的大小.利用倒数法比较大小4.比较1111 111和1 11111 111的大小.利用变形法比较大小5.比较－2 0142 015，－1415，－2 0152 016，－1516的大小.6.比较－623，－417，－311，－1247的大小.利用数轴法比较大小7.已知a ＞0，b ＜0，且|b|＜a ，试比较a ，－a ，b ，－b 的大小.利用特殊值法比较大小8.已知a ，b 是有理数，且a ，b 异号，则|a ＋b|，|a －b|，|a|＋|b|的大小关系为________________________________________________________________________.利用分类讨论法比较大小9.比较a 与a 3的大小.答案1．解：因为5293－1731＝5293－5193＝193＞0，所以5293＞1731. 点拨：当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，作差比较是常采用的方法．2．解：因为172 016÷344 071＝172 016×4 07134＝1 3571 344＞1，所以172 016＞344 071.所以－172 016＜－344 071. 点拨：作商比较法是比较两个数大小的常用方法，当比较的两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果；当这两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对值大的反而小下结论．3．解：因为1 0072 016＜12，1 0092 017＞12，所以1 0072 016＜1 0092 017. 点拨：对于类似的两数的大小比较，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问题的答案．4．解：1111 111的倒数是101111，1 11111 111的倒数是1011 111. 因为101111＞1011 111，所以1111 111＜1 11111 111. 点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，从而确定这两个数的大小．5．解：每个分数都加1，分别得12 015，115，12 016，116. 因为12 016＜12 015＜116＜115，所以－2 0152 016＜－2 0142 015＜－1516＜－1415. 点拨：本题直接比较很困难，但通过把这些数适当变形，再进行比较就简单多了．6．解：因为－623＝－1246，－417＝－1251，－311＝－1244，－1244＜－1246＜－1247＜－1251，所以－311＜－623＜－1247＜－417. 点拨：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．7．解：把a ，－a ，b ，－b 在数轴上表示出来，如图所示，根据数轴可得－a ＜b ＜－b ＜a.(第7题)点拨：本题运用了数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断．8．|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|点拨：已知a ，b 异号，不妨取a ＝2，b ＝－1或a ＝－1，b ＝2.当a ＝2，b ＝－1时，|a ＋b|＝|2＋(－1)|＝1，|a －b|＝|2－(－1)|＝3，|a|＋|b|＝|2|＋|－1|＝3；当a ＝－1，b ＝2时，|a ＋b|＝|－1＋2|＝1，|a －b|＝|－1－2|＝3，|a|＋|b|＝|－1|＋|2|＝3.所以|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|.方法总结：本题运用特殊值法解题，取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件，又要考虑可能出现的多种情况．以本题为例，可以分为a 正、b 负和a 负、b 正两种情况．9．解：分三种情况讨论：①当a ＞0时，a ＞a 3； ②当a ＝0时，a ＝a 3； ③当a ＜0时，|a|＞⎪⎪⎪⎪a 3，则a ＜a 3.。

人教版七年级上册数学期末提分练案专项1 巧用运算的十种特殊技巧进行有理数计算

解：原式＝(－5)×713－7×713－12×713＝(－5－7－12)×713 ＝－24×232＝－176.
6．计算：(1)－314＋323＋214＋－123；
【点拨】在计算过程中往往把分母相同或容易通分的数结合在一起，以达到简便运算的效果，简称同形结合法．
解：原式＝－314＋214＋323＋－123＝(－1)＋2＝1；
解：把原式括号内倒序后，得：1＋…＋(5690＋5680＋…＋620＋610)．原式与上式相加，得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59＝1 770.
所以12＋13＋23＋(14＋24＋34)＋(15＋25＋35＋45)＋…＋(610＋620＋…＋ 5680＋5690)＝12×1 770＝885.
解：原式＝（－5）＋－56＋（－9）＋－23＋[(－3)＋－12] ＋17＋34＝[(－5)＋(－9)＋(－3)＋17]＋[－56＋－23＋－12＋34] ＝0＋－54＝－54.
9．(2019·贺州)计算1×13＋3×15＋5×17＋7×19＋…＋37×139的结果是
( B)
A．1397
B．1399
11．计算：(－1)÷－2
02116×3.75－334＋(－1)2
022.
解：因为 3.75－334＝0，(－1)2022＝1，所以原式＝0＋1＝1.
12．计算：25÷－225－281×－134－0.25.
【点拨】运用分配律的目的是为了运算更简单，有的运算不需要正用分配律，反而逆用分配律后直接先算括号内的更简单．
解：根据题意，得[12－13＋57＋49×(－6)]÷－412＝(12－13＋57－83)× (－42)＝－21＋14－30＋112＝75，则原式＝715.
8．计算：－556＋－923＋－312＋1734.

初中数学有理数的乘方运算的特殊情况有哪些

初中数学有理数的乘方运算的特殊情况有哪些
有理数的乘方运算的特殊情况包括零次幂、负次幂和分数指数。

下面我将详细介绍这些特殊情况。

1. 零次幂：
对于任何非零有理数a，a的零次幂定义为1。

这是因为任何数的零次幂都表示乘以1，而乘以1不改变原数的值。

例如，2的零次幂为1，(-3)的零次幂也为1。

2. 负次幂：
对于任何非零有理数a和整数n，a的负n次幂定义为a的n次幂的倒数。

即，a的负n次幂等于1除以a的n次幂。

例如，2的负3次幂等于1/(2的3次幂)，即1/8；(-3)的负2次幂等于1/((-3)的2次幂)，即1/9。

3. 分数指数：
有理数的指数可以是分数。

对于任意非零有理数a和正整数m、n，a的m/n次幂定义为a 的m次幂的n次根。

即，a的m/n次幂等于a的m次幂的n次根。

例如，2的1/2次幂等于2的平方根，即√2；(-3)的2/3次幂等于(-3)的立方根的平方，即∛(-3)的平方。

需要注意的是，对于负数的分数指数，其结果可能是无理数。

例如，(-1)的1/3次幂等于(-1)的立方根，即∛(-1)，这个结果是一个无理数。

这些特殊情况在有理数的乘方运算中是非常重要的，学生需要理解并熟练运用它们。

通过这些特殊情况的学习，学生可以更好地理解和解决有理数的乘方运算问题，并且在实际应用中能够灵活运用。

人教版七年级上册有理数的比较大小的八种方法

专训2 有理数的比较大小的八种方法名师点金：有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.利用作差法比较大小1.比较1731和5293的大小.利用作商法比较大小2.比较－172 016和－344 071的大小.利用找中间量法比较大小3.比较1 0072 016与1 0092 017的大小.利用倒数法比较大小4.比较1111 111和1 11111 111的大小.利用变形法比较大小5.比较－2 0142 015，－1415，－2 0152 016，－1516的大小.6.比较－623，－417，－311，－1247的大小.利用数轴法比较大小7.已知a ＞0，b ＜0，且|b|＜a ，试比较a ，－a ，b ，－b 的大小.【导学号：11972021】利用特殊值法比较大小8.已知a ，b 是有理数，且a ，b 异号，则|a ＋b|，|a －b|，|a|＋|b|的大小关系为________________________________________________________________________.利用分类讨论法比较大小9.比较a 与a 3的大小.答案1．解：因为5293－1731＝5293－5193＝193＞0，所以5293＞1731. 点拨：当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，作差比较是常采用的方法．2．解：因为172 016÷344 071＝172 016×4 07134＝1 3571 344＞1，所以172 016＞344 071.所以－172 016＜－344 071. 点拨：作商比较法是比较两个数大小的常用方法，当比较的两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果；当这两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对值大的反而小下结论．3．解：因为1 0072 016＜12，1 0092 017＞12，所以1 0072 016＜1 0092 017. 点拨：对于类似的两数的大小比较，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问题的答案．4．解：1111 111的倒数是101111，1 11111 111的倒数是1011 111. 因为101111＞1011 111，所以1111 111＜1 11111 111. 点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，从而确定这两个数的大小．5．解：每个分数都加1，分别得12 015，115，12 016，116. 因为12 016＜12 015＜116＜115，所以－2 0152 016＜－2 0142 015＜－1516＜－1415. 点拨：本题直接比较很困难，但通过把这些数适当变形，再进行比较就简单多了．6．解：因为－623＝－1246，－417＝－1251，－311＝－1244，－1244＜－1246＜－1247＜－1251，所以－311＜－623＜－1247＜－417. 点拨：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．7．解：把a ，－a ，b ，－b 在数轴上表示出来，如图所示，根据数轴可得－a ＜b ＜－b ＜a.(第7题)点拨：本题运用了数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断．8．|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|点拨：已知a ，b 异号，不妨取a ＝2，b ＝－1或a ＝－1，b ＝2.当a ＝2，b ＝－1时，|a ＋b|＝|2＋(－1)|＝1，|a －b|＝|2－(－1)|＝3，|a|＋|b|＝|2|＋|－1|＝3；当a ＝－1，b ＝2时，|a ＋b|＝|－1＋2|＝1，|a －b|＝|－1－2|＝3，|a|＋|b|＝|－1|＋|2|＝3.所以|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|.方法总结：本题运用特殊值法解题，取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件，又要考虑可能出现的多种情况．以本题为例，可以分为a 正、b 负和a 负、b 正两种情况．9．解：分三种情况讨论：①当a ＞0时，a ＞a 3； ②当a ＝0时，a ＝a 3； ③当a ＜0时，|a|＞⎪⎪⎪⎪a 3，则a ＜a 3.初中数学试卷灿若寒星制作。

专训巧用运算的特殊规律进行有理数计算精品课件

习题课阶段方法技巧训练（二）
专训1 巧用运算的特殊规律进行有理数计算
进行有理数的运算时，我们可以根据题目的特征，采用相应的运算技巧，这样不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致.
技巧 1 归类——将同类数(如正负数、整数、分数)归类计算
1.计算：(－100)＋70＋(－23)＋50＋(－6). 解：原式＝[(－100)＋(－23)＋(－6)]＋(70＋50)
青春风采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145分英语141分文综255分
毕业学校：北京二中报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市文科状元阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
＝0.
技巧 4 变序——运用运算律改变运算顺序
5. 计算：骣 ççç桫23 -
5+ 1 6 12
78 ÷÷÷ ×（－24）.
解：原式＝
2 3
×(－24)－
5 6
×(－24)＋
1 ×(－24) 12
－
7 8
×(－24)
＝－16＋20－2＋21
＝23.
技巧 5 换位——将被除数与除数颠倒位置
6.
计算：骣珑珑珑桫-
高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院

人教七级数学(,上册)双休作业二巧用运算的六种特殊技巧进行有理数计算

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2．计算：－2－3＋5－1－2＋4. 35 35
解：原式＝－ 23＋13＋53＋52＋(5＋4)＝－2＋9＝7.
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技巧 2 凑整——将和为整数的数结合计算
3．计算： 27 8 ＋－ 2 1 7 2 ＋ 55 3 ＋－ 17 8 ＋ 25 2 ＋－ 3 1 5 2 解：原式＝ 27 8＋－ 17 8 ＋－ 21 7 2 ＋－ 31 5 2 ＋ 553＋252＝ 1＋ (－6)＋8＝3.
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9．计算：2017×201820182018－2018×201720172017. 解：原式＝2 017×2 018×100 010 001－2 018×2 017×100 010 001＝0.
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3 ＝(－5－7－12)×
22 3
3 ＝－24× 7
1 3
3 ＝－176.
返回
技巧 5 换位——将被除数与除数颠倒位置
7．计算：－310÷13＋16－52－12
解：因为 1 3 ＋ 1 6 － 5 2 － 1 2 ÷ － 3 1 0 ＝ 1 3 ＋ 1 6 － 5 2 － 1 2 － 3 0
返回
技巧 4 变序——运用运算律改变运算顺序
5．计算：(－12.5)×(＋31)×
－
4 5
×(－0.1)．
解：原式＝[(－12.5－)×45
＝
×(－0.1)]×(＋31)
(－1)×(＋31)＝－31.
返回
6．计算：(－5)× ＋
7
1 3
＋7×
－
7
1 3
－(＋12)×
7
ห้องสมุดไป่ตู้
1 3
.
解：原式＝(－57 )1× －771× －1721×

有理数加法规则

有理数加法规则有理数加法是数学中的一种基本运算，它遵循一定的规则和原则。

有理数包括整数、分数和小数，它们都可以进行加法运算。

下面我们来详细介绍有理数加法规则。

1. 同号相加当两个有理数的符号相同时，可以直接将它们的绝对值相加，然后保持相同的符号。

例如，对于两个正数相加，可以直接将它们的数值相加，然后保持为正数。

同样，对于两个负数相加，也可以直接将它们的数值相加，然后保持为负数。

例如，2 + 3 = 5，-4 + (-6) = -10。

2. 异号相加当两个有理数的符号不同时，可以先将它们的绝对值相减，然后去绝对值，再根据差的符号确定结果的符号。

例如，5 + (-3)可以看作5 + 3，然后再根据差的符号确定结果的符号，得到2。

同样，-7 + 4可以看作7 - 4，然后再根据差的符号确定结果的符号，得到-3。

3. 加法交换律有理数的加法满足交换律，即改变加数的顺序不会改变结果。

例如，对于任意两个有理数a和b，a + b = b + a。

4. 加法结合律有理数的加法满足结合律，即将三个有理数相加时，先将前两个数相加，然后再与第三个数相加，结果是一样的。

例如，对于任意三个有理数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。

5. 零元素对于任意一个有理数a，都存在一个特殊的数0，使得a + 0 = 0 + a = a。

即0在加法运算中起着零元素的作用。

例如，对于任意一个有理数a，a + 0 = a。

6. 负元素对于任意一个有理数a，都存在一个特殊的数-b，使得a + (-b) = (-b) + a = 0。

即-b在加法运算中起着负元素的作用。

例如，对于任意一个有理数a，a + (-a) = (-a) + a = 0。

有理数加法规则是数学中的基础知识，它在我们日常生活和学习中都有广泛的应用。

通过掌握有理数加法规则，我们能够更好地理解数学中的加法运算，更准确地进行计算和推理。

在实际应用中，有理数加法规则可以用于解决各种问题。

初中数学有理数的加法和减法运算的特殊情况有哪些

初中数学有理数的加法和减法运算的特殊情况有哪些有理数的加法和减法运算涉及到很多特殊情况。

下面我将详细解释一些常见的特殊情况。

1. 相同符号的有理数相加：当两个有理数的符号相同时（即都为正数或都为负数），它们的绝对值相加，并保持相同的符号。

例如，2 + 3 = 5，(-4) + (-7) = -11。

2. 不同符号的有理数相加：当两个有理数的符号不同时（一个为正数，一个为负数），我们需要取它们的绝对值的差，并按照绝对值较大的数的符号来确定结果的符号。

例如，5 + (-3) = 2，(-8) + 6 = -2。

3. 零的加法和减法：任何有理数加零仍等于原有理数，即a + 0 = a，其中a为任意有理数。

同样，任何有理数减去零仍等于原有理数，即a - 0 = a。

4. 零的相反数：零的相反数是零本身，即-0 = 0。

这是因为加法的逆元素是相反数，而零在加法中的相反数仍然是零。

5. 互为相反数的有理数相加：互为相反数的两个有理数相加的结果为零。

例如，3 + (-3) = 0，(-5) + 5 = 0。

6. 零减去有理数：零减去任何有理数仍等于该有理数的相反数。

例如，0 - 4 = -4，0 - (-2) = 2。

7. 有理数的减法：有理数的减法可以转化为加法运算。

例如，a - b 可以写为a + (-b)。

因此，有理数的减法运算可以归结为加法运算。

这些是有理数的加法和减法运算中的一些特殊情况。

了解这些特殊情况可以帮助我们更好地理解和应用有理数的运算规则。

希望本文能够帮助你更好地理解有理数的加法和减法运算的特殊情况。

如果你还有其他关于有理数运算的问题，欢迎继续探索和学习。

祝你在数学学习中取得更多的成就！。

(口诀)有理数的加法运算

有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。

【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。

合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。

去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。

一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。

恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。

（a-b）2n+1=-（b - a）2n+1（a-b）2n=（b - a）2n平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。

代入”口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小—中—大）单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。

一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。

一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间,大小,小大无处找。

一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼)于(吃)取两边,小(鱼)于(吃)取中间。

有理数的加法与减法运算

有理数的加法与减法运算一、有理数加法运算：1.定义：有理数的加法是将两个有理数相加得到一个新的有理数。

2.加法法则：a)同号相加，保留同号，并把绝对值相加。

b)异号相加，保留绝对值较大的符号，并把绝对值相减。

3.加法运算顺序：先算同号相加，再算异号相加。

4.加法运算中的特殊现象：a)两数相加等于其中一数。

b)两数相加等于0。

二、有理数减法运算：1.定义：有理数的减法是已知两个有理数，求其中一个有理数比另一个有理数少多少。

2.减法法则：a)将减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。

b)按照加法法则进行计算。

3.减法运算顺序：先算同号相减，再算异号相减。

4.减法运算中的特殊现象：a)两数相减等于其中一数。

b)两数相减等于0。

三、有理数加减混合运算：1.定义：有理数的加减混合运算是有理数加法和减法的组合。

2.运算顺序：先算加法，再算减法。

3.运算中的特殊现象：a)加减混合运算中出现0。

b)加减混合运算中出现负数。

四、有理数加减法运算的计算法则：1.先算绝对值，再确定符号。

2.异号相加，保留绝对值较大的符号。

3.同号相加，保留同号，并把绝对值相加。

4.减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。

五、有理数加减法运算的应用：1.解决实际问题：例如，计算购物后的总价，计算距离等。

2.简化表达式：例如，化简代数式，求解方程等。

3.数学证明：例如，证明恒等式，证明不等式等。

以上是对有理数的加法与减法运算的详细归纳，希望对您的学习有所帮助。

习题及方法：1.习题：计算2 + 3。

解题思路：根据加法法则，同号相加，保留同号，并把绝对值相加。

2.习题：计算-2 + 3。

解题思路：根据加法法则，异号相加，保留绝对值较大的符号，并把绝对值相减。

3.习题：计算5 - 2。

解题思路：根据减法法则，将减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数，然后按照加法法则进行计算。

4.习题：计算-5 + 3。

解题思路：根据减法法则，将减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数，然后按照加法法则进行计算。

有理数运算的几种特殊方法修订稿

有理数运算的几种特殊方法WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-有理数运算的几种特殊方法王尧兴?有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

一、倒序相加法例1?计算1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值。

分析：观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用如下解法。

解：用字母S表示所求算式，即S＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999。

①再将S各项倒过来写为S＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1。

②将①，②两式左右分别相加，得从而有说明：该题之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。

另该式后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用表示；最后一项叫末项，通常用表示，相等的差叫公差，通常用d表示，项数用n表示（），则该题也可以用等差数列的求和（）公式：来计算。

?二、错位相减法例2?计算的值。

分析：观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍，如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算。

解：设，①所以②②－①，得，所以。

说明：如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决。

?三、裂项相减法例3?计算分析：一般情况下，分数计算是先通分，但本题通分计算很繁。

由1＋2＋……＋100想到等差数列求和公式：，所以，又有想到，从而把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法。

有理数的计算技巧

有理数的计算技巧一、凑整法凑整法主要是正确运用有理数运算中的交换律和结合律，使那些能凑成整数的有理数结合在一起，使运算简化。

（1）536+24－（﹣524）－16+（﹣6.8）+1-3.2（2）（﹣0.125）×（﹣53）×（﹣8）×321×（﹣5）（3）﹣161－232＋454－531＋161－3.8（4）19＋299＋3999＋49999（5）2002＋98＋997＋9996＋99995（6）6.6+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-4.8（7）125×5×32（8）16×75×45（9）1＋2＋3＋4＋...＋59（10）43×（﹣75）×（﹣4）×（﹣51）（11）（﹣98）×12×（﹣811）（12）25×（﹣18）×（﹣4）（13）-3.2+2.37+(-2.8)（14）（﹣0.5）－（﹣341）＋2.75－（721）（15）17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88（16）（﹣12.5）×31×（﹣54）×（﹣0.1）（17）〔4125＋（﹣71）〕＋〔（﹣72）＋6127〕（18）2002＋98＋997＋9996＋99995（19）11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋79999997＋899999998（20）123＋234＋345＋456＋567＋678＋789二、分组法分组法是指将满足同样规律的数分成一组，便于运用同一算法进行计算。

1.1－3＋5－7＋9－11＋...＋2009－20112.1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋...＋97＋98－993.1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋...＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－20114.2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋...＋66－67－68＋695.100－99＋98－97＋...＋4－3＋2－16.200＋199－198－197＋...＋4＋3－2－17.（31211—）＋（32212—）＋（33213—）＋...＋（3102110—）8.()()()()()()()++++++的值为_______________.++++-198199197...2-34-1+9.211×555+445×789+555×789+211×44510.算式2011-2009+2007-2005+...-...+3-1的计算结果是______________.11.计算（100＋99－98＋97－96＋...＋3－2＋1）÷5.12.100－99＋98－97＋...＋2－1＋2－3＋4－...－99＋100.13.1000＋999－998－997＋996＋...＋104＋103－102－101＝（）A.225B.900C.1000D.400014.193＋187＋181＋...＋10315.99-97＋95－93＋91-89＋...＋3－116.1000-1-2-3-4-...-10017.﹣1＋3﹣5＋7﹣9＋...﹣97＋9918.1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋...＋601＋602－603＋604＋605－60619.20032002＋...＋20033＋20032＋2003120.1997＋1996－1995－1994＋1993＋1992－1991－1990＋...－2＋121.1999+1998-1997-1996+1995+1994-1993-1992+1991+199022.-1-2-3-4-...-100三、整体设元法整体设元法就是将一串有理数的代数和视为整体，用一个字母来代替，化繁为简。

双休作业二 1 巧用运算的六种特殊技巧进行有理数计算

3
6
5
2
＝－10＋(－5)＋12＋15＝12，
所以

－
1 30

÷
1 3
＋
1 6
－
2 5
－
1 2
＝
1 12
返回
技巧 6
分解——将一个数拆分成两个数的和的形式，或分解为它的因数相乘的形式
8．计算：＋6
3 5
＋－5
2 3
＋＋4
2 5
＋－1
－＝127技巧 5 换位——将被除数与除数颠倒位置
7．计算：－
1 30

÷
1 3
＋
1 6
－
2 5
－
1 2

解：因为

1 3
＋
1 6
－
2 5
－
1 2

÷
－
1 30
＝
1 3
＋
1 6
－
2 5
－
1 2

－30
＝1 －30＋1 －30－ 2 －30－1 －30
返回
×(－0.1)．
解：原式＝[(－12.5)×
－
4 5

×(－0.1)]×(＋31)＝
(－1)×(＋31)＝－31.
返回
6．计算：(－5)×＋7
1 3
＋7×－7
1 3
－(＋12)×
7
1 3
.
解：原式＝(－5)× 7 ＝(－5－7－12)×
13＝－23－27×247×13
解：原式＝
2
7 8
＋－1
7 8
＋－2
7 12

有理数减法法则

有理数减法法则有理数减法是数学中的一种基本运算，它遵循一定的规则和法则。

在进行有理数减法运算时，我们需要注意一些特殊情况和技巧，以确保计算的准确性。

本文将介绍有理数减法的法则，包括有理数减法的定义、规则、特殊情况和实际应用。

有理数的定义在介绍有理数减法法则之前，首先需要了解有理数的定义。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零、分数和小数。

有理数可以用分数形式表示，其中分子和分母都是整数，并且分母不为零。

有理数可以在数轴上表示，并且可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

有理数减法的法则有理数减法的法则包括以下几点：1. 同号相减，取绝对值相减，符号不变。

例如，-5-(-3)=-5+3=-2。

2. 异号相减，变减法为加法，取绝对值相加，结果的符号取绝对值较大的数的符号。

例如，-5-3=-5+(-3)=-8。

3. 有理数减法可以转化为加法，即a-b=a+(-b)。

这样可以简化计算，特别是在复杂的减法运算中。

特殊情况的处理在进行有理数减法运算时，有一些特殊情况需要特别注意：1. 减数为零时，被减数不变。

即a-0=a。

2. 被减数和减数相等时，差为零。

即a-a=0。

3. 减数和被减数都是负数时，可以先将它们变为正数，再按照同号相减的法则进行计算。

实际应用有理数减法在现实生活中有着广泛的应用，例如在金融、商业、工程等领域。

在日常生活中，有理数减法也经常用于计算、测量和比较。

例如，计算温度变化、货币兑换、距离差值等都涉及到有理数减法运算。

总结有理数减法是数学中的基本运算之一，它遵循一定的法则和规则。

通过掌握有理数减法的定义、法则、特殊情况和实际应用，我们可以更加准确地进行有理数减法运算，从而更好地应用于实际问题中。

希望本文对有理数减法的理解有所帮助。

初中数学有理数的乘法和除法运算的特殊情况有哪些

初中数学有理数的乘法和除法运算的特殊情况有哪些有理数的乘法和除法运算中存在一些特殊情况，需要特别注意。

下面将详细介绍这些情况：1. 乘法中的零元素：任何数与0相乘的结果都是0。

例如，5乘以0等于0，-3乘以0等于0。

这是因为乘法中的零元素具有吸收性质，即任何数乘以0都会得到0。

2. 乘法中的倒数：除了0以外的任何有理数，都有一个倒数。

一个数的倒数是指与其乘积等于1的数。

例如，2的倒数是1/2，-5的倒数是-1/5。

倒数的概念在除法运算中非常有用，因为除法可以转化为乘法。

例如，除法运算5除以2可以写为5乘以1/2。

3. 除法中的除数为0：在除法运算中，除数不能为0。

这是因为0不能作为除数，除以0是没有定义的。

例如，5除以0是没有意义的。

4. 除法中的分数除法：在除法运算中，分数的除法可以转化为乘法。

例如，1/4除以1/2可以写为1/4乘以2/1，结果为1/2。

这是因为除法可以转化为乘法，将除法的除数乘以其倒数。

5. 除法中的负数除法：负数的除法可以通过倒数和乘法进行计算。

例如，-6除以-3可以写为-6乘以-1/3，结果为2。

6. 除法中的小数除法：小数的除法可以通过移动小数点和乘法进行计算。

例如，0.6除以0.2可以写为6除以2，结果为3。

教师在教学中可以通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和应用这些特殊情况。

同时，提供练习题，让学生巩固和应用有理数的乘法和除法运算的特殊情况。

通过实际操作和实际问题的应用，学生可以更好地理解和掌握有理数的乘法和除法运算的特殊情况，并提高解决问题的能力。