高考数学易错题举例解析
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则由 1 bc sin 3 , 0≤bc cos ≤6 ，可得
2
0≤
【错解】（Ⅱ）f
cot ≤1
( ) 2sin
2
∴
π 4
Байду номын сангаас
π 4
，π 2
3 cos
2
1
cos
π 2
2
3 cos 2
(1 sin 2 ) 3 cos 2
【错解】（Ⅱ）
f
(
)
2
sin 2
π 4
3 cos 2
1
cos
【例4】已知：a 0,b 0, a b 1.
求
a
1 a
2
b
1 b
2
的最小值.
【正解】由 a b 1, a b 2 ab 知
ab
1 4
,
1 ab
4
思路一：展开(均值思想)
a
1 a
2
b
1 b
2
a2
1 a2
b2
1 b2
4
a2
1 16a2
b2
1 16b2
15 16a2
15 16b2
③+④得
10 3a b 43 , 即10 f (3) 43.
3
33
3
3
【评注】这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数
f
(x)
ax
b x
，其值是同时受 a和b 制约的．当 a
取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题
思路是错误的．忽视等价性变形，导致错误．
【例2】已知
2
π 3
1
3
【例4】已知：a 0,b 0, a b 1.
高中数学错题集及解析
高中数学错题集及解析1. 题目：如图所示，已知AD∥CF，DE∥CF，∠ADE=40°，∠FCD=120°，求∠BCF的度数。
A B C DE F解析：根据题目所给的已知条件，我们可以得到如下信息：AD∥CF，DE∥CF，∠ADE=40°，∠FCD=120°。
要求∠BCF的度数，我们可以利用几何知识进行推理和计算。
首先，根据平行线的性质，我们知道∠ADE=∠FCD=40°。
由于∠FCD=120°，所以∠DCF=180°-120°=60°。
接下来，我们观察四边形ADCF，可以发现∠CAF和∠ADF是对顶角，因此它们的度数相等。
∠ADE和∠DCF是共顶角，它们的度数也相等。
由此，我们可以得到以下等式：∠CAF=∠ADF=40°∠ADE=∠DCF=60°现在我们来考虑三角形BCF。
已知∠CAF=∠ADF=40°，∠BCF为所求。
我们知道，三角形内角和为180°，因此有：∠CAF+∠ADF+∠BCF=180°带入已知信息，得到：40°+40°+∠BCF=180°化简得：80°+∠BCF=180°再进一步，我们可以得到：∠BCF=180°-80°∠BCF=100°因此，∠BCF的度数为100°。
2. 题目：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+x-5，求f(-1)和f(2)的值。
解析：我们可以使用给定的函数，将x的值代入函数中进行计算，从而得到f(x)的值。
首先，计算f(-1)的值。
将x=-1代入函数f(x)中，有：f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2+(-1)-5化简得：f(-1)=-2-3+(-1)-5=-2-3-1-5=-11因此，f(-1)的值为-11。
接下来，计算f(2)的值。
高考数学易错题分析与总结
高考数学易错题分析与总结高考数学作为众多考生心中的“拦路虎”，其难度和重要性不言而喻。
在备考过程中，对易错题的分析与总结是提高成绩的关键。
以下将为大家详细剖析一些常见的高考数学易错题类型及应对策略。
一、函数部分1、定义域问题函数的定义域是函数存在的基础，很多同学在求解函数问题时容易忽略定义域的限制。
例如，函数\（f(x) ＝＼frac{1}｛＼sqrt{x 1}｝＼），这里的根号下不能为负数，且分母不能为零，所以\（x 1 ＞0\），即\（x ＞ 1\）。
若在后续的计算中忽略了这一限制，就容易出错。
2、单调性与奇偶性判断函数的单调性和奇偶性是函数部分的重点和难点。
在判断单调性时，需要正确使用导数或者定义法。
对于奇偶性，要牢记奇函数满足\（f(x) ＝ f(x)＼），偶函数满足\（f(x) ＝ f(x)＼）。
有些同学在运用这些性质解题时，会因为对概念理解不清晰而出错。
例如，函数\（f(x) ＝ x^3 ＋ sin x\），判断其奇偶性。
首先，＼（f(x) ＝（x)＾3 ＋ sin(x) ＝ x^3 sin x ＝（x^3 ＋ sin x) ＝ f(x)＼），所以\（f(x)＼）为奇函数。
二、三角函数部分1、诱导公式三角函数的诱导公式众多，容易记混。
例如，＼（＼sin(＼pi ＼alpha) ＝＼sin ＼alpha\），＼（＼cos(＼pi ＋＼alpha) ＝＼cos ＼alpha\）等。
在解题时，如果不能准确运用诱导公式进行化简，就会导致错误。
2、图像变换三角函数图像的平移、伸缩等变换也是易错题点。
比如，将函数\（y ＝＼sin 2x\）的图像向左平移\（＼frac{＼pi}｛6}＼）个单位，得到的函数应为\（y ＝＼sin 2(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＝＼sin(2x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼），而不是\（y ＝＼sin(2x ＼frac{＼pi}｛6}）＼）。
三、数列部分1、通项公式与求和公式求数列的通项公式和前\（n\）项和公式是数列部分的核心内容。
高三数学常见易错题解析
高三数学常见易错题解析在高三数学学习中，有些题目看似简单，却是学生们常犯错误的地方。
本文将对一些高三数学中常见的易错题进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
一、函数与方程1. 高次多项式的根求解错误常见错误：对于高次多项式，同学们解方程时容易漏掉一些根，或者将非实数根误认为实数根。
解析：对于高次多项式的解题，应采取以下步骤：a. 利用因式定理进行因式分解，将多项式表示为一些一次因式的乘积；b. 将每个一次因式等于零，求解出每个一次因式的根；c. 判断每个根的重复次数，以确定多项式的所有根。
2. 对数函数的定义域错误常见错误：对于对数函数，同学们容易忘记对定义域的限制条件，将定义域限制错误，导致计算结果错误。
解析：对于对数函数，应注意以下几点：a. 底数必须大于0且不等于1；b. 对数函数中的真数必须大于0。
二、几何与三角学1. 三角函数值的计算错误常见错误：在计算三角函数值时，同学们容易忘记将角度转换为弧度制，或者将角度输入错误，导致计算结果错误。
解析：在计算三角函数值时，应注意以下几点：a. 角度制和弧度制之间的转换关系：1弧度= 180°/π；b. 确保输入的角度是正确的，特别是在使用计算器时，应仔细检查输入的角度是否与题目要求一致。
2. 直角三角形的边长比例错误常见错误：在直角三角形中，同学们容易将边长比例记错，或者将长边与短边混淆，导致计算结果错误。
解析：在解决直角三角形问题时，应注意以下几点：a. 确定直角三角形中的直角边、斜边和对边的位置关系；b. 判断使用何种三角函数计算边长比例，常用的有正弦、余弦和正切。
三、概率与统计1. 事件概率计算错误常见错误：在计算事件概率时，同学们容易将事件的排列组合数计算错误，或者将事件的可能性估计错误，导致计算结果错误。
解析：在计算事件概率时，应注意以下几点：a. 根据实际情况判断事件的可能性，合理估计事件发生的次数；b. 根据排列组合原理计算事件的总数和有利结果的总数；c. 根据概率公式计算事件的概率。
高考易错题解析：数学
高考易错题解析：数学高考数学考试是一项棘手的考试，但也有一些是常见的易错题，掌握这些常见的易错题能够有助于提高考试成绩。
本文就来为大家解析一些常见的高考数学易错题，帮助大家在备考中更好地把握考试的节奏，提高考试成绩。
一、常见易错题之一：百分数问题百分数问题包括计算百分比增幅、计算同率增减、计算原价与折后价等。
考生在临场更容易犯的错误是将增减的金额理解成百分比，而将百分比理解成增减的金额。
其实，增减的金额是以原价百分比为基础，乘以增减的金额就是新价格；而百分比是以100为基础，将其减去折后百分比，再除以100，就是增减的金额。
二、常见易错题之二：三角形的面积计算三角形的面积计算是高考中的一个重要考点，考生容易犯的错误是误将其他形状的面积公式使用到三角形的面积计算中。
其实，三角形面积的计算是利用求解三角形三边长度、角度等参数，先求出三角形的半周长，再用半周长求平方根计算三角形面积，即可计算出三角形的面积。
三、常见易错题之三：函数变换函数变换是高考中的考查内容，考生容易犯的错误是将变量x与变量y的变换关系弄反，即将x作为自变量，y作为因变量，而把因变量y当做自变量，x当做因变量。
其实，函数变换是把形式上的变量x和y交换到另一种形式的函数，而根据定义，自变量x在前，因变量y在后，一定不可以弄反，否则变换函数的关系就会出错。
四、常见易错题之四：空间几何题空间几何题既有平面几何又有立体几何，考生容易犯的错误是把平面几何算式用在立体几何上，而把立体几何算式用在平面几何上。
其实，空间几何题中，平面几何要求应用平面几何的算式，立体几何要求应用立体几何的算式来解答，一定要正确把握几何性质，才能正确求解出几何问题的结果。
总之，常见的高考数学易错题并不多，考生只要能够正确地理解题目，熟悉相关算式，掌握基本知识点，就能够避免犯错，提高考试成绩。
高考易错题举例解析
高考易错题举例解析 高考数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略.也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误.本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助,加强思维的严密性训练.● 忽视等价性变形，导致错误⎩⎨⎧>>00y x ?⎩⎨⎧>>+00xy y x ，但⎩⎨⎧>>21y x 与⎩⎨⎧>>+23xy y x 不等价 【例1】已知bx ax x f +=)(，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围. 错误解法 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+④得 .343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的.当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正确解法 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 337)3(316≤≤f . 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性.只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题.● 忽视隐含条件，导致结果错误【例2】(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是不存在)D (18)C (8)B (449)A (-思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当.利用一元二次方程根与系数的关系易得：，，62+==+k k αββα 有的学生一看到449-，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和,这正是思维缺乏反思性的体现,如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案.原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ? .32≥-≤k k 或当3≥k时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18，这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确.(2)已知14)2(22=++y x ，求22y x +的取值范围. 错误解法 由已知得1216422---=x x y ,因此328)38(3121632222++-=---=+x x x y x, ∴当38-=x 时，22y x +有最大值283 ，即22y x +的取值范围是(－∞, 283 ). 错误分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值. 事实上，由于14)2(22=++y x ? 41)2(22y x -=+ ≤1 ? －3≤x ≤－1， 从而当x =－1时22y x +有最小值1，∴ 22y x +的取值范围是[1,283 ]. ● 忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误【例3】已知：a ＞0，b ＞0 ，1=+b a ,求22)1()1(bb a a +++的最小值. 错误解法 411)1()1(222222++++=+++ba b a b b a a ≥422++ab ab ≥8414=+⋅ab ab , ∴22)1()1(bb a a +++的最小值是8. 错误分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式22b a +≥ab 2，第一次等号成立的条件是21==b a , 第二次等号成立的条件是abab1=，显然，这两个条件是不能同时成立的,因此，8不是最小值. 正确解法 由ab ≤41)2(2=+b a 得：1－ab 2≥1－21=21, 且221b a ≥16，1+221ba ≥17， ∴原式≥21×17+4=225 (当且仅当21==b a 时，等号成立)， ∴22)1()1(b b a a +++的最小值是252 . ● 不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列{}n a 的前n 项和12+=nn S ，求n a . 错误解法 1111222)12()12(----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a错误分析 显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a .因此在运用1--=n n n S S a 时，必须检验1=n 时的情形，即：⎩⎨⎧∈≥==),2()1(1N n n S n S a nn . (2)实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 错误解法 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=联立，消去y ， 得 )0(01)212(22≥=-+--x a x a x ① 因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a ， 解之得817=a . 错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当0=a 时，圆与抛物线有两个公共点.. 当方有一正根，得<->∆0102a 817=或-因此，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. ● 以偏概全，导致错误 以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性.【例5】(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .错误解法 ,2963S S S =+ qq a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131， 012(363）＝整理得--q q q .错误分析 在错解中，由qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131， 01q q 2(q 363）＝整理得--时，应有1q 0a 1≠≠和.在等比数列中，01≠a 是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1=q 的情况，再在1≠q 的情况下，对式子进行整理变形.正确解法 若1=q ，则有191613963a S a S a S ===，，，但01≠a ，即得，9632S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ? qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ? 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以0123=+q 解得 243-=q . (2)求过点)10(，的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点. 错误解法 设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y ，则它与抛物线的交点为⎩⎨⎧=+=xy kx y 212，消去y 得02)1(2=-+x kx 整理得 01)22(22=+-+x k x k 直线与抛物线仅有一个交点，,0=∆∴解得∴=21k 所求直线为121+=x y 错误分析 此处解法共有三处错误： 第一，设所求直线为1+=kx y 时，没有考虑0=k 与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的； 第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。
答案高中高考数学(函数部分)易错题汇总及解析
高中高考数学（函数部分）易错题汇总及解析一、选择题：1， 答案：B解析：结合数轴解答。
本题易错点在于集合M 的判断，易认为集合M 为}2211|{><<<=x x x x P 或或，而误选C,2. 答案：C解析：可从集合B 中()()1,2f f ，的象的和等于()3f 入手分析显然有110,000,011,011-+=+=+-=-+=四种情况分别对应的映射有：2个、1个、2个、2个共有个。
3．解析：此题根据复合函数的单调性求解时，转化为求二次函数的单调减区间但易忽视定义域的限制。
4． 答案：C 解析：根据同增异减的规律可知二交函数在区间]2,(a -∞上为减函数，则易知以a 为底的对数函数为增函数，易忽略当x 在区间]2,(a -∞上取值时，真数为零的限制。
5． 答案：A解析：根据导数解答，分出变量但注意等号是否取得。
6． 答案：A解析：数形结合，根据题意易知函数f （x ）在[]2,4上为增函数利用单调性即可比较大小。
7． 答案：B解析：可将选项逐次判断。
8．答案：D解析：数形结合9． 答案：B 解析：由条件1(2)()f x f x +=可推出函数为周期为4的函数，故根据周期性即得 10． 答案：D 解析：由132log <a=log a a 根据单调性分类讨论即得。
11． 答案：D解析：代入化简注意开方时由于01,0a x <<>故x x aa ->。
12答案：C解析：根据定义判断13．答案：A 解析：分a>1和a<1讨论解决14． 答案：D解析：将问题可转化为二次函数220x x a ---=（2x ≠±）有一解时实数a 的取值范围，注意二次函数可有一解或有两解但一解为2或-2。
15． 答案：A 解析：易知d cx bx ax x f +++=23)(=()(1ax x x --a,b,c,d 的关系，再利用当0<x<1时，f （x ）小于零得关于b 答案：一、选择题：BCCCAABBBDDCADA二、（17）)3,0()0,3(⋃-，（18）)23,(-∞，（19）)4,(--∞，（20）3，（21）-4，（22）)4,0[， （23）-4，（24）]3,1[-，三、解答题：25、211|||1|2||2|1|<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-m m m m m 。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B = 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B = 知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当Bφ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a=或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
ＡＢ时，【练1】已知集合{}2|40A x x x =+=、()22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是。
答案：1a=或1a ≤-。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x、y 满足()22214y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
高三数学错题整理与解析
高三数学错题整理与解析在高三数学学习过程中，学生经常会遇到各种错题。
对于这些错题，我们需要进行仔细的整理与解析，以提高学生的数学水平。
本文将对高三数学错题进行整理分类，并给出详细的解答和解析。
一、代数与函数1. 题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求函数$f(f(x))$的表达式。
解析：将$f(x) = \frac{1}{x}$代入$f(f(x))$中，得到$f(f(x)) =\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$。
2. 题目：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像关于$x$轴对称，且顶点在直线$y = 2x + 1$上。
求$a$、$b$、$c$的值。
解析：由于图像关于$x$轴对称，所以顶点的纵坐标为0。
将顶点的横坐标代入直线方程$y = 2x + 1$中，得到$0 = 2x_0 + 1$，解得$x_0 = -\frac{1}{2}$。
将$x_0 = -\frac{1}{2}$代入二次函数$f(x)$中的横坐标，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$。
根据顶点坐标的性质，我们知道顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}$，解得$b = a$。
将$b = a$代入上述方程，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$，整理得$c = \frac{1}{4}$。
综上所述，$a = b$，$c = \frac{1}{4}$。
二、几何与三角学1. 题目：已知$\triangle ABC$中，$AB = 7$，$AC = 9$，$BC = 5$，$D$为边$BC$上一点，且$\angle BAD = \angle CAD$。
高考数学易错题解题方法 15例
设直线 PF1 的斜率为 k，则 PF1： y k (x 4) 4 ， 即 kx y 4k 4 0 ． ∵ 直 线 PF1 与 圆 C 相 切 ，
∴ | k 0 4k 4 | 5 ．解得 k 11, 或k 1 ．
k2 1
2
2
当 k＝ 11 时，直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 36 ，不合题意，舍去．
（1）求 m 的值与椭圆 E 的方程；
（2）设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求 AP AQ 的取值范围．
【错解分析】本题易错点（1）在于计算椭圆的方程的量本 身就大，方法和计算技巧的运用很重要。
解：（1）点 A 代入圆 C 方程，得 (3 m)2 1 5 ．
∵m＜3，∴m＝1．圆 C： (x 1)2 y2 5 ．
13
12
y
P2
P1
P0
O
x
2
坐标为 4 ，则 cos 的值等于
.
5
答案： 3 3 4 10
【错解分析】本题常见错误写成 3 3 4 的相反数，这样的错误常常是忽略角度所在的象限。 10
【解题指导】本题主要考察三角函数的定义，及对两角和与差公式的理解。
【练习 7】已知 sin x sin cos , cos x sin cos ,则cos 2x
6 7 8 9
为( ) A．(1005,1004) C．(2009,2008)
B．(1004.1003) D．(2008,2007)
5
0
1
10 x
4
3
2
11
【范例 7】如图，点 P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置 P0 开
始沿单位圆按逆时针方向运动角
（
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备战2024年高考数学考试易错题专题10 直线和圆的方程(4大易错点分析)(原卷版)
专题10直线和圆的方程易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问题）距离问题技巧总结①两点间的距离：已知111222(,),(,)P x y P x y 则12P P ②点到直线的距离:0022Ax By C d A B③两平行线间的距离：两条平行直线11:0l Ax By C 与22:0l A x B y C 的距离公式d．易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线y x ,前的系数统一，然后代入公式求算.1易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的考点）直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式()11y y k x x -=-11(,)x y 是直线上一定点，k 是斜率不垂直于x 轴斜截式y kx b =+k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴两点式112121y y x x y y x x --=--11(,)x y ，22(,)x y 是直线上两定点不垂直于x 轴和y 轴截距式1x y a b+=a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不垂直于x 轴和y 轴，且不过原点一般式2200Ax By C A B ++=+¹（）A 、B 、C 为系数任何位置的直线给定一般式求截距相等时，具体方案如下：形如：第一种情况B A B C A C A C x y B C y x C By Ax000令令第二种情况：000时，横纵截距皆为 C C By Ax 截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解例．已知直线l 过点（2，1）且在x ，y 轴上的截距相等（1）求直线l 的一般方程；（2）若直线l 在x ，y 轴上的截距不为0，点 ,P a b 在直线l 上，求33a b 的最小值．变式1．已知直线l 过点 1,2且在x y ，轴上的截距相等(1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 在x y ，轴上的截距不为0，点(,)P a b 在直线l 上，求33a b 的最小值．变式2．已知直线1l ：240ax y ，直线2l ：210bx y ，其中a ，b 均不为0.(1)若12l l ，且1l 过点 1,1，求a ，b ；(2)若12//l l ，且1l 在两坐标轴上的截距相等，求1l 与2l 之间的距离.变式3．已知直线1:2240l ax y a ，直线222:4480l a x y a (1)若直线1l 在两坐标轴上的截距相等，求实数a 的值；(2)若1l 2l ，求直线2l 的方程.1易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问题）技巧总结第一类：求过圆上一点 00,y x 的圆的切线方程的方法正规方法：第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k 第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为k1第三步：利用点斜式 00x x k y y 求出切线方程注意：若0 k 则切线方程为0x x ，若k 不存在时，切线方程为0y y 秒杀方法：①经过圆222r y x 上一点 00,y x P 的切线方程为200r y y x x ②经过圆 222r b y a x 上一点 00,y x P 的切线方程为 200r b y b y a x a x ③经过圆022F Ey Dx y x 上一点 00,y x P 的切线方程为0220000F y y E x x D y y x x 第二类：求过圆外一点 00,y x 的圆的切线方程的方法方法一：几何法第一步：设切线方程为 00x x k y y ，即000 y kx y kx ，第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k ，切线方程即可求出方法二:代数法第一步：设切线方程为 00x x k y y ，即00y kx kx y ，第二步：代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0 可求得k ，切线方程即可求出注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的k 只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可得数形结合求出.第三类：求斜率为k 且与圆相切的切线方程的方法方法一：几何法第一步：设切线方程为m kx y ，即0m y kx第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得m ，切线方程即可求出.方法二:代数法第一步：设切线方程为m kx y ，第二步：代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0 可求得m ，切线方程即可求出方法三：秒杀方法已知圆222r y x 的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为12k r kx y 已知圆 222r b y a x 的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为kab k r kx y 12工具：点与圆的位置关系判断圆的标准方程为)0()()(222 r r b y a x 一般方程为)04(02222 F E D F Ey Dx y x .①点在圆上：22020)()(r b y a x 0002020 F Ey Dx y x ②点在圆外：22020)()(r b y a x 0002020 F Ey Dx y x ③点在圆内：22020)()(r b y a x 0002020 F Ey Dx y x 易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理例、圆的方程为122y x ，过点2321，的切线方程变形1、圆的方程为042422y x y x ，过点12323，的切线方程变形2、圆的方程为042422y x y x ，过点 11，的切线方程变形3、圆的方程为 11222 y x ，切线斜率为1方程为1易错点四：忽略斜率是否存在（与圆的代数结构有关的最值问题）处理此类问题宗旨：截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值①截距式：求形如ny mx 的最值转化为动直线斜率的最值问题②斜率式：求形如nx m y 的最值转化为动直线截距的最值问题③距离式：求形如222)()(r b y a x 的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题形如：若 y x P ,是定圆 222:r b y a x C 上的一动点，则求ny mx 和xy 这两种形式的最值思路1：几何法①ny mx 的最值，设t ny mx ，圆心 b a C ,到直线t ny mx 的距离为,22n m tnb ma d由r d 即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值②x y 的最值：xy 即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值思路2：代数法①ny mx 的最值，设t ny mx ，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值.②x y 的最值：设xy t ，则tx y ，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值.易错提醒：截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在例、已知()M m n ，为圆C ：22414450x y x y 上任意一点.(1)求2m n 的最大值；(2)求32n m 的最大值和最小值；(3)求22m n 的最大值和最小值.变形1、如果实数x ，y 满足 22336x y ，求：（1）y x的最大值与最小值；（2）x y 的最大值与最小值；（3）22x y 的最大值和最小值．变形2、已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y .（1）求y x的最大值和最小值；（2）求y x 的最大值和最小值；（3）求22x y 的最大值和最小值.变形3、已知实数x y 、满足222410x y x y ．（1）求4y x 的最大值和最小值；。
高考数学试卷错题
一、错题分析1. 错题类型：函数与导数题目：已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求$f(x)$的极值。
错因分析：在求极值时，没有正确运用导数的方法。
在求导数时，误将$f'(x)$求错，导致极值求解错误。
2. 错题类型：立体几何题目：已知长方体$ABCD-ABCD_1$，$AB=3$，$AD=4$，$AA_1=5$，求长方体的体积。
错因分析：在计算长方体体积时，误将底面积和高相乘，导致计算结果错误。
3. 错题类型：数列题目：已知数列$\{a_n\}$，$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求$a_n$的通项公式。
错因分析：在求解数列通项公式时，没有正确运用递推公式。
在推导通项公式时，误将等式两边同时除以$a_n$，导致通项公式错误。
4. 错题类型：概率与统计题目：袋中有5个红球、4个蓝球和3个绿球，从中随机取出3个球，求取出2个红球和1个蓝球的概率。
错因分析：在计算概率时，没有正确运用组合数公式。
在计算组合数时，误将分子分母的项数写错，导致概率计算错误。
二、反思1. 错题原因分析：从以上错题分析可以看出，错题产生的原因主要有以下几个方面：（1）基础知识掌握不牢固，对公式、定理理解不透彻；（2）解题思路不清晰，没有正确运用解题方法；（3）粗心大意，审题不仔细，导致计算错误。
2. 改进措施：（1）加强基础知识的学习，熟练掌握公式、定理，提高解题能力；（2）总结解题方法，形成解题思路，提高解题效率；（3）培养细心审题的习惯，避免粗心大意导致的错误；（4）多做练习题，提高解题速度和准确率。
总之，高考数学试卷错题是我们提高数学成绩的重要资源。
通过分析错题，找出错误原因，制定改进措施，有助于我们更好地提高数学水平。
在今后的学习中，我们要认真对待错题，总结经验教训，不断提高自己的数学能力。
高考题易错系列数学常见易错题解析
高考题易错系列数学常见易错题解析高考数学常见易错题解析在高考数学中，有一些题目常常让考生感到头疼。
这些题目看似简单，却隐藏着一些易错点，需要我们加以留意。
下面我将针对一些常见易错题进行解析，希望能帮助大家更好地备考。
1.分数的化简：在做分数题时，考生往往容易忽略化简的环节，导致最后答案错误。
常见的化简错误有两种情况。
第一种情况是没有将分子与分母进行约分，例如：$\frac{6}{12}$没有化简为$\frac{1}{2}$。
第二种情况是计算出结果后没有化简，例如：$\frac{2}{3} +\frac{3}{4}$计算出$\frac{17}{12}$，但没有进一步化简为$\frac{4}{3}$。
因此，在做题过程中，我们要时刻注意分数的化简，确保最后的答案是最简形式。
2.角度与弧度的转换：在高考数学中，经常会涉及到角度与弧度的转换问题。
考生在这方面容易出错的原因是没有正确掌握转换公式。
将角度转换为弧度时，需要记住公式：$弧度 = \frac{角度 \times\pi}{180}$。
将弧度转换为角度时，需要记住公式：$角度 = \frac{弧度 \times 180}{\pi}$。
掌握了正确的转换公式，在做相关题目时就能够避免出错。
3.错位相乘：错位相乘是高中数学中常见的易错点之一。
某些题目在计算过程中需要应用错位相乘，但考生往往会忽略或者不熟悉这一方法。
例如，计算$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$时，常常会计算出$\frac{ac}{bd}$，而忽略了错位相乘的规则。
正确的计算方法是将分子$a$与分母$d$相乘，以及分子$c$与分母$b$相乘，得到$\frac{ad}{bd}$，然后化简为最简形式。
因此，掌握错位相乘的方法，能够帮助我们在解题过程中避免出错。
4.函数的定义域与值域：在函数题中，很多考生对函数的定义域与值域容易混淆，导致答案错误。
函数的定义域是指能够使函数有意义的自变量的取值范围，需要注意排除使函数无意义的值。
备战2024年高考数学考试易错题专题06 解三角形及应用(3大易错点分析)(解析版)
专题06解三角形及应用易错点一：易忽视三角形解的个数（解三角形多解情况）1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式sin a b Asin b A a ba b a b a b解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C ．技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题问题1：已知两角及其一边，求其它的边和角。
这时有且只有一解。
问题2：已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间 0, 内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。
题设三角形中，已知一个角A 和两个边b a ,，判断三角形个数，遵循以下步骤第一步：先画一个角并标上字母A 第二步：标斜边（非对角边）b 第三步：画角的高，然后观察（A b a sin ,）易错提醒：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数.故选：ABD变式2．在ABC 中，内角,A A ．若A B ，则cos A B ．若2BC BA AB ，则角1．在ABC 中，已知3cos 5A ，sinB a ，若cosC 有唯一值，则实数a 的取值范围为（）由BD DC ，可得OD OBOC 由2cos OB AB O OC AB B P 可得cos AB DP OP OD AB B sin2A =sin2B 《正弦定理》①正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ②变形：acA C c b CB b a B A sin sin ,sin sin ,sin sin ③变形：C B A c b a sin :sin :sin :: ④变形：CcB b A aC B A c b a sin sin sin sin sin sin⑤变形：B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin 《余弦定理》①余弦定理：Cab c b a B ac b c a A bc a c b cos 2,cos 2,cos 2222222222②变形：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222核心问题：什么情况下角化边什么情况下边化角?⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角⑵当每一项都有角《sin 》且次数一样时，采用角化边⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题⑷当每一项都有角《sin 》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可三角形面积公式①A bc S B ac S C ab S ABC ABC ABC sin 21,sin 21,sin 21 ② rl c b a r S ABC2121 其中l r ,分别为ABC 内切圆半径及ABC 的周长推导：将ABC 分为三个分别以ABC 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式③RabcC B A R S ABC 4sin sin sin 22（R 为ABC 外接圆的半径）推导：将A R a sin 2 代入ACB a S ABCsin sin sin 212可得C B A R S ABC sin sin sin 22 将C R c B R b A R a sin 2sin 2,sin 2 ，代入CB A R S ABC sin sin sin 22 可得RabcS ABC 4④CBA c SBC A b S A C B a S ABC ABC ABC sin sin sin 21,sin sin sin 21,sin sin sin 21222 ⑤海伦公式 c p b p a p p S ABC （其中 c b a p 21）推导：根据余弦定理的推论ab c b a C 2cos 222222222121cos 121sin 21ab c b a ab C ab C ab S ABCc b a b a c a c b c b a c b a ab 4124122222令 c b a p 21，整理得c p b p a p p S ABC 正规方法：面积公式+基本不等式① C c ab ab c C ab b a C ab c b a C ab S cos 122cos 2cos 2sin 212222222② B b ac ac b B ac c a B ac b c a B ac S cos 122cos 2cos 2sin 212222222③ A a bc bc a A bc c b Abc a c b A bc S cos 122cos 2cos 2sin 212222222易错提醒：当解题过程中出现类似于sin2A =sin2B 这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”1．在ABC 中，sin sin 2,2B A c a ，则（）A ．B 为直角B ．B 为钝角C ．C 为直角D ．C 为钝角易错点三：实际问题中题意不明致误（利用解三角形知识解决实际问题）解三角形的实际应用问题的类型及解题策略1、求距离、高度问题（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2、求角度问题（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．易错提醒：实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。
高考题易错系列数学题解析
高考题易错系列数学题解析数学是高考中的一门重要科目，对于很多考生来说，数学题可能是最容易出错的题型之一。
在复习备考过程中，了解和掌握一些常见易错题的解法是非常重要的。
本文将针对一些高考数学易错题进行解析，帮助考生更好地应对。
1. 高考数学易错题解析一：导数与函数在高考数学中，导数与函数是一种常见的考点。
考生容易在计算导数时出错，或者在根据导数求函数的性质时出问题。
针对导数与函数的易错点，我们可以重点进行解析和讲解。
2. 高考数学易错题解析二：集合与概率集合与概率是高考数学中的另一个容易出错的考点。
考生在解集合相关的题目时，往往未能准确找到正确的交集、并集或补集；而在解概率问题时，容易将概率的计算方法弄混。
我们将针对这些易错点进行详细的解析与说明。
3. 高考数学易错题解析三：几何与三角几何与三角是高考数学中的重要内容，也是容易出错的考点之一。
在解几何相关的问题时，考生常常没有将题目中的条件完全用上，或者在计算过程中出现了计算错误。
而在解三角函数相关的题目时，常常会忽略角度的单位或者使用错误的公式。
我们将通过具体例题进行解析，帮助考生更好地理解和掌握这些知识点。
4. 高考数学易错题解析四：函数方程与代数函数方程与代数是高考数学中的另一个重要考点，也是容易出错的地方。
考生在解函数方程时，常常会漏解或者解错，没有找到所有的解；而在解代数相关的题目时，常常会在运算过程中出现计算错误，导致最终答案错误。
我们将通过一些典型的函数方程与代数题目进行解析，帮助考生更好地应对这些难点。
5. 高考数学易错题解析五：数列与数论数列与数论是高考数学中的重要内容，也是容易出错的考点之一。
考生在解数列相关的题目时，常常会出现求和错误、项数判断错误等问题；而在解数论相关的题目时，常常会忽略一些定理或者公式的应用。
我们将通过一些典型的数列与数论题目进行解析，帮助考生更好地掌握解题方法。
通过对高考数学易错题的解析，我们希望能够帮助考生更好地理解和掌握这些考点，减少出错的可能性。
高三数学教学中的错题解析
高三数学教学中的错题解析错题1：求函数的定义域题目：已知函数f(x)=-2x+3，求函数f(x)的定义域。
解析：函数的定义域是指函数中自变量x的取值范围。
对于这道题目，函数f(x)的定义域可以通过求解不等式来获得。
首先，由函数f(x)的表达式可知，自变量x可以取任意实数。
因此，函数f(x)的定义域为R（全体实数）。
错题2：求函数的反函数题目：已知函数f(x)=2x+1，求函数f(x)的反函数f^(-1)(x)。
解析：函数的反函数是指将函数的自变量和因变量对调得到的新函数。
求函数的反函数需要先将原函数转化为方程，然后通过求解方程来得到反函数。
对于这道题目，我们需要将函数f(x)转化为方程：y = 2x + 1。
接下来，将方程中的自变量x和因变量y对调：x = 2y + 1。
解该方程，得到y = (x - 1) / 2，则反函数f^(-1)(x) = (x - 1) / 2。
因此，函数f(x)的反函数为f^(-1)(x) = (x - 1) / 2。
错题3：求函数的极限题目：已知函数f(x)=3x^2-2x+1，求lim(x→1) f(x)的值。
解析：函数的极限是指自变量无限接近某一特定值时，函数的取值趋于的稳定值。
求函数的极限需要通过代入法或极限运算法则来计算。
对于这道题目，我们先代入x=1，计算函数f(x)在x=1处的取值：f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2。
接下来，求lim(x→1) f(x)的值。
根据已知函数f(x)的表达式可以得知，当x无限接近1时，函数f(x)的取值趋于2。
因此，lim(x→1) f(x)的值为2。
错题4：求函数的导函数题目：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，求函数f(x)的导函数f'(x)。
解析：函数的导函数是指在函数图像上各点的切线斜率。
求函数的导函数需要对原函数进行求导运算。
对于这道题目，我们需要对函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1进行求导运算。
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咼考数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。
也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。
本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。
加强思维的严密性训练。
•忽视等价性变形，导致错误。
x>0 y>0x + y>0xy>0，但x>1y>2与x + y>3xy >2不等价。
【例1】已知f(x)x =ax + -b，若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。
3 a b0①错误解法由条件得b32a26②②X 2 —① 6 a15③①X 2—②得8 b2④3 33③+④得103ab43J即10—f(3)43 33333错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) ax -，其值是同时b受a和b制约的。
当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。
f⑴ a b正确解法由题意有 b、解得：f(2)2a -21 a §[2f(2)f (1)],bj[2f(1)f(2)],f (3) 3a b 16f(2)5-f (1).16 37把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3)3 99 3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。
只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
•忽视隐含条件，导致结果错误。
【例2】2 2 2⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是49 十亠亠(A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在449有的学生一看到，常受选择答案(4能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
⑵ 已知(x+2) 2+ * =1,求x 2+y 2的取值范围。
8 28错解 由已知得 y 2= — 4x 2— 16x — 12，因此 x 2+y 2= — 3x 2— 16x — 12= — 3(x+ )2+338 28 28 •••当x= — 3时，x 2+y 2有最大值"3"，即x 2+y 2的取值范围是(—8 , ~3"］。
分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。
v 2V 2事实上，由于(x+2) 2+ 4 =1(x+2) 2=1 — 4 W 1— 3< X W — 1,从而当x= — 1时x 2+y 2有最小值1。
二 x 2+y 2的取值范围是［1, 28 ］。
注意有界性：偶次方 x 2> 0，三角函数—1 < sinx < 1，指数函数a x >0，圆锥曲线有界性等。
•忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
11【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+ )2的最小值。
a b111 12 J 1错解(a+ )2+(b+)2=a 2+b 2+ 2 + 2 +4 > 2ab+ +4 > 4 “，ab?— +4=8,a b a b ab i ab 11• (a+ )2+(b+)2的最小值是8.a b1分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2>2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=丄，第二次等号2思路分析本例只有一个答案正确，设了 3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得:2k,k 6,(1)2 ( 1)2 2( 2)24(k2 2( 49这正是思维缺乏反思性的体现。
如果A )的诱惑，盲从附和。
原方程有两个实根 4k 24( k 6) 0 k 2 或 k 3.当k 3时，(1)2(1)的最小值是8;2 时，(1)22( 1)的最小值是18。
这时就可以作出正确选择, 只有( B )正确。
错误原因：没有注意公式a n S n S n 1成立的条件是。
因此在运用a n S n S n 1时，必须检验n 1时的情形。
即: a nS (n 1)。
(2)实数a为何值时，圆x 2 2 2ax a2 1 0与抛物线错误解法将圆X22ax a20与抛物线1x有两个公共点。
21得x2(2a 丄)x2 1 0 (x 0).因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得2a17解之得a —8 0.1成立的条件是ab= ±，显然，这两个条件是不能同时成立的。
因此，8不是最小值。
ab11 11 11 2事实上，原式=a2+b2+p +p+4=( a 2+b2)+( p +p )+4=[(a+b) 2—2ab]+[( - + - )2—一]+4a b a b a b ab1=(1 —2ab)(1+ ^^)+4 ,a ba b 1 11 1 1由ab w ( )2=—得：1 —2ab > 1 —-=—,且> 16 , > 17,2 4 2 2 a2b2a2b21 25 1•••原式> -x 17+4= (当且仅当a=b= 时，等号成立)，2 2 21 1 25• (a + — )2+ (b + — )2的最小值是—。
a b 2•不进行分类讨论，导致错误【例4】⑴已知数列a n的前n项和S n 2n 1，求a n.错误解法a n S n S n 1(2n1) (2n 11) 2n2n 12n 1错误分析显然，当n 1时，a1S1 3 21 11。
0时，圆与抛物线有两个公共点。
错误分析(如图2 — 2 — 1 ; 2— 2 —2)显然，当a正确解法 若q 1，则有S 3 3a 1, S 6 6a 1,S 9 9a 1.但印 0 ,即得S 3 S e 2S 9,与题设矛盾,要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时，得2 解之，得 1 a 1.a 210.17 22221因此，当a 或1 a 1时，圆x y 2ax a 1 0与抛物线yx 有两个公共点。
8 21 思考题：实数a 为何值时，圆x2 y 2 2ax a 2 1 0与抛物线y 2x ， 2（1）有一个公共点；（2）有三个公共点；（3）有四个公共点；（4）没有公共点。
•以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出 思维的不严密性。
整理得 q 3(2q 6 q 3 1)= 0.【例5】（1）设等比数列a n 的全n 项和为S n 若S 3S62 S9，求数列的公比q .错误解法S3S62 S9，aM1 q 3) ad q 6) a,1 q 9)由q 0得方程 2q6q 310.(2q 3 1)(q 31) 0, 4或 q 1。
2错误分析在错解中,a 1(1 q 3)a,1 6\也21 qa,1整理得 3 63q (2q q1）= 0时，应有a 1 0 和 q 在等比数列中，a 1 0是显然的，但公比 q 完全可能为1，因此, 在解题时应先讨论公比 q 1的情况，再在q 1的情况下,对式子进行整理变形。
y kx 122 22，消去 y 得(kx 1) 2x 0.整理得 k x (2k2)x1 0.y 2x11直线与抛物线仅有一个交点， 0,解得k —.所求直线为y — x 1.22错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为 y kx 1时，没有考虑k 0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线 的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切 的情况，只考虑相交的情况。
原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系 数不能为零，即k 0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
即直线垂直x 轴，因为过点(0,1)，所以x 0,即y 轴，它正好与抛物线y 2 2x 相切。
2 2 1又依题意S3S 62S9印(1 q 3)a,1 q 6)引(1 q 9)q 3(2q 6 q 3 1 = 0 ,即33(2q1)(q1) 0,因为q3 1，所以q 1 30,所以2q1 0.解得q说明此题为 1996年全国高考文史类数学试题第 21)题, 不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
(2)求过点 (0,1)的直线，使它与抛物线 y 2 2x 仅有一个交点。
错误解法设所求的过点(0,1)的直线为ykx 1,则它与抛物线的交点为正确解法①当所求直线斜率不存在时, ②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x 轴，它正好与抛物线 y 22x只有一个交点。
③一般地，设所求的过点(0,1)的直线为y kx 1 (kkx 1 2x所求直线为y -x 1.2k2x2(2k 2)x 1 0.令0,解得k =21 综上，满足条件的直线为：y 1, x 0, y 2x 1.《章节易错训练题》1、已知集合 M = ｛直线｝ , N = ｛圆｝，贝U M A N 中元素个数是 A （集合元素的确定性）f （x ） f （y ）。
证明：f （x ）为奇函数。
（特殊与一般关系）（单调性、单调区间）（漏反函数定义域即原函数值域）(A) ( — 2 2 ,2 2 )(B) [ — 2.2 ,2 2(C) ( — ，— 2 2 ) U (2 2,+ )(D) ( — ，— 2 2 ] U [2 , 2 ,+ )12、若 x > 0 , y > 0 且 x+2y=1，那么 2x+3y 2的最小值为B （隐含条件）号） (A ) (4,)(B )4,(C )( ,4)( D),45、若不等式x 2— log 1ax<0 在(0, ）内恒成立，则实数 a 的取值范围是 A （等号）1 (A) [16,1) (B) (1, +)1 (C)(16 ,1)1(D) § ,1) U (1,2)6、若不等式 (—1)n a(—1)n +<2 + (n1 对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是A （等号3333(A) [ — 2 ,2 )(B)(— 2, 2 )(C) [ — 3, )(D) ( — 3 ,㊁)4、命题A: a ） v 0,若A 是B 的充分不必要条件，则)7、已知定义在实数集 R 上的函数f （x ）满足：f ⑴1 ;当x 0时，f （x ） 0 ;对于任意11、函数 f (x) = log 1 (x 2 + a x + 2) 2值域为R ，则实数 a 的取值范围是 D （正确使用0和厶＜0）(A) 2（B ）3(D) 0(A)(B) 0 或 1(C) 0 或 2 (D) 0 或 1 或 22、已知 A = {x | x 2 + tx + 1 = 0 }，若 A A R * =，则实数 t 集合T =。