高考数学易错题举例解析
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咼考数学易错题举例解析
高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略。也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,会经常出现错误。本文通过几个例子,剖析致错原因,希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。
•忽视等价性变形,导致错误。
x>0 y>0x + y>0
xy>0
,
但
x>1
y>2
与
x + y>3
xy >2
不等价。
【例1】已知f(x)x =ax + -b,若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。
3 a b0①
错误解法由条件得b
32a
26②
②X 2 —① 6 a15③
①X 2—②得8 b2④
3 33
③+④得10
3a
b43
J
即
10
—f(3)
43 33333
错误分析采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数f(x) ax -,其值是同时
b
受a和b制约的。当a取最大(小)值时,b不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的。
f⑴ a b
正确解法由题意有 b
、解得:
f(2)2a -
2
1 a §[2f(2)f (1)],b
j[2f(1)
f(2)],
f (3) 3a b 16
f(2)
5
-f (1).
16 37
把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3)
3 99 3 3
在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题。
•忽视隐含条件,导致结果错误。
【例2】
2 2 2
⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根,则(1) ( 1)的最小值是
49 十亠亠
(A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在
4
49
有的学生一看到
,常受选择答案(
4
能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。
⑵ 已知(x+2) 2+ * =1,求x 2+y 2的取值范围。
8 28
错解 由已知得 y 2
= — 4x 2
— 16x — 12,因此 x 2
+y 2
= — 3x 2
— 16x — 12= — 3(x+ )2
+
3
3
8 28 28 •••当x= — 3时,x 2+y 2有最大值"3",即x 2+y 2的取值范围是(—8 , ~3"]。
分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制,丢掉了最小值。 v 2
V 2
事实上,由于(x+2) 2+ 4 =1
(x+2) 2=1 — 4 W 1
— 3< X W — 1,
从而当x= — 1时x 2+y 2有最小值1。二 x 2+y 2的取值范围是[1, 28 ]。
注意有界性:偶次方 x 2> 0,三角函数—1 < sinx < 1,指数函数a x >0,圆锥曲线有界性等。
•忽视不等式中等号成立的条件,导致结果错误。
1
1
【例3】已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+
)2+(b+ )2的最小值。 a b
1
1
1 1
2 J 1
错解(a+ )2+(b+
)2=a 2+b 2+ 2 + 2 +4 > 2ab+ +4 > 4 “,ab?— +4=8,
a b a b ab i ab 1
1
• (a+ )2+(b+
)2的最小值是8.
a b
1
分析 上面的解答中,两次用到了基本不等式
a 2+
b 2>2ab ,第一次等号成立的条件是
a=b=丄,第二次等号
2
思路分析本例只有一个答案正确,设了 3个陷阱,很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得:
2k,
k 6,
(1)2 ( 1)2 2
( 2
)2
4(k
2 2( 49
这正是思维缺乏反思性的体现。如果
A )的诱惑,盲从附和。
原方程有两个实根 4k 2
4( k 6) 0 k 2 或 k 3.
当k 3时,(1)
2
(1)的最小值是8;
2 时,(1)2
2
( 1)的最小值是18。
这时就可以作出正确选择, 只有( B )正确。
错误原因:没有注意公式a n S n S n 1成立的条件是。
因此在运用a n S n S n 1时,必须检验n 1时的情形。即: a n
S (n 1)
。
(2)实数a为何值时,圆x 2 2 2ax a2 1 0与抛物线
错误解法将圆X22ax a20与抛物线
1
x有两个公共点。
2
1
得x2(2a 丄)x
2 1 0 (x 0).
因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得2a
17
解之得a —
8 0.
1
成立的条件是ab= ±,显然,这两个条件是不能同时成立的。因此,8不是最小值。
ab
11 11 11 2
事实上,原式=a2+b2+p +p+4=( a 2+b2)+( p +p )+4=[(a+b) 2—2ab]+[( - + - )2—一]+4
a b a b a b ab
1
=(1 —2ab)(1+ ^^)+4 ,
a b
a b 1 11 1 1
由ab w ( )2=—得:1 —2ab > 1 —-=—,且> 16 , > 17,
2 4 2 2 a2b2a2b2
1 25 1
•••原式> -x 17+4= (当且仅当a=b= 时,等号成立),
2 2 2
1 1 25
• (a + — )2+ (b + — )2的最小值是—。
a b 2
•不进行分类讨论,导致错误
【例4】⑴已知数列a n的前n项和S n 2n 1,求a n.
错误解法a n S n S n 1(2n1) (2n 11) 2n2n 12n 1
错误分析显然,当n 1时,a1S1 3 21 11。
0时,圆与抛物线有两个公共
点。
错误分析(如图2 — 2 — 1 ; 2— 2 —2)显然,当a