高考数学(理科)易错题汇总(含解析)
易错题库-(精校版)2019年天津卷理数高考试题文档
A 处取得最大值。
x y 2 0,
由
x1
，得 A( 1,1)，所以 zmax
4 ( 1) 1 5。故选 C。
【点睛】 线性规划问题， 首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域， 分界线是实线还是虚线，
其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线
的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析。
二. 填空题
9.【答案】 13
【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
5i
【详解】
1i
(5 i )(1 i ) 2 3i
(1 i )(1 i )
13 。
【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题 .
10.【答案】 28
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。
7.【答案】 C
【分析】只需根据函数性质逐步得出 A, , 值即可。 【详解】因为 f ( x) 为奇函数，∴ f (0) A sin 0， =k , k 0, 0 ；
1
2
g(x) Asin x, T
又
2
1
2,
2 ， A 2，又 g( ) 4
（Ⅲ）若二面角 E BD F 的余弦值为 1 ，求线段 CF 的长． 3
18．（本小题满分 13 分）
设椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B ．已知椭圆的短轴长为
4，离心率
为 5． 5
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上．若 | ON | | OF | （ O 为原点），且 OP MN ，求直线 PB 的斜率．
64高考数学易错题举例解析
k 2 或 k 3.
错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+
8 2 28 )+ ， 3 3
8 28 28 ∴当 x=－3 时，x2+y2 有最大值 3 ，即 x2+y2 的取值范围是(－∞, 3 ]。 分析 没有注意 x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 事实上，由于(x+2)2+ y2 y2 =1 (x+2)2=1－ ≤1 －3≤x≤－1， 4 4 x2+y2 的取值范围是[1, 28 ]。 3
1 ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。 ab 1 1 1 1 1 1 2 事实上，原式= a2+b2+ 2 + 2 +4=( a2+b2)+( 2 + 2 )+4=[(a+b)2－2ab]+[( + )2－ ]+4 a b ab a b a b
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= (1－2ab)(1+ 由 ab≤(
从而当 x=－1 时 x2+y2 有最小值 1。∴
注意有界性：偶次方 x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数 ax>0，圆锥曲线有界性等。
●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。 1 1 【例 3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ a )2+(b+ b )2 的最小值。 错解 (a+
4 2
或 q 1。
错误分析 在错解中，由
a1 (1 q 3 ) a1 (1 q 6 ) a (1 q 9 ) ， 2 1 1 q 1 q 1 q
2024届高考数学易错题专项(平面向量) 练习(附答案)
2024届高考数学易错题专项（平面向量） 练习易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．已知a 、b为不共线的向量，5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()3CD a b =-uu u r r r ，则（ ）A ．1233AB AD -+C ．15AB AD -A ．43a ＋23b C ．23a 43-b1．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB a =，，则下列结论正确的是（）A ．1233AE AB AC =+ B ．若0AB AC ⋅= ，则易错点三：忽视数量积不满足结合律（平面向量的数量积及其应用）1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是1A B ，11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB a=，AC b = ，1AA c = ，若90BAC ∠= ，1160BAA CAA ∠=∠=，11AB AC AA ===，则（ ）A ．112333MN a b c =++C ．11AB BC ⊥A ．1AC BD ⊥ C ．185BD =10．(多选)下列说法中正确的是（参考答案易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．已知a 、b为不共线的向量，5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()3CD a b =-uu u r r r ，则（ ） A ．1233AB AD -+C ．15AB AD -A．43a＋23bC．23a43 -b故选：B.y= 10．已知抛物线C：24∵3FA FB = ，由ABH 与△AFM ∵||2MF =，∴2||23BH =⨯=由抛物线定义得||||BF BH =，∴即4AF = ，3AF BH =，故故选：BC ．易错点二：忽略基底选取原则（平面向量的基本定理及坐标表示）【答案详解】由题意可得，12AC AD DC b a=+=+，故A112对于A ，12||||||OF OF OA ==，因此对于B ，直线2:1AF y x =-，由⎧⎨⎩A ．1233AE AB AC =+ B ．若0AB AC ⋅= ，则易错点三：忽视数量积不满足结合律（平面向量的数量积及其应用）1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是1A B ，11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB a=，AC b = ，1AA c = ，若90BAC ∠= ，1160BAA CAA ∠=∠=，11AB AC AA ===，则（ ）A ．112333MN a b c =++C ．11AB BC ⊥7．已知向量()()2,11,,,1a b c ==-=A ．a 与b的夹角为钝角B ．向量a 在b 方向上的投影为C ．24m n +=对于C ，由PA PB PB PC ⋅=⋅ ，得(PA - 所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；A ．1AC BD ⊥ C ．185BD =【答案】AB由题意得，2216AB AD == ，1AA cos 4AB AD AB AD BAD ⋅=⋅∠=⨯111cos 4AB AA AB AA BAA ⋅=⋅∠=，其中四边形ABDC 为平行四边形，因为又|OA |=|CA|=|OC |，所以所以∠ACB=60°，且BC。
2022-2023年高考《数学(理科)》易错、难点强化练习题-10【3套含答案详解】
2022-2023年高考《数学（理科）》易错、难点强化练习题【3套含答案详解】全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第一卷一.综合考点题库(共100题)1.正确答案：3本题解析：暂无解析2.已知f(x)=kx+2,不等式▕f(x)▕（1）求实数K的值，以及集合A；（2）若B={x▏x2-(2a+1)x+a(a+1)正确答案：本题解析：暂无解析3.如图，在△ABC 中， AB＞AC， AD、 AE 分别为 BC 边上的高和中线， AD＝4，DE＝3．（1）若∠BAC＝90° ，求 AB 的长；（2）是否存在这样的△ABC，使得射线 AE 和 AD 三等分∠BAC？正确答案：本题解析：暂无解析4.A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-f(x)=1/3 本题解析：5.已知正方体 ABCD﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 a，点 E， F， G 分别为棱 AB， AA 1 ，C 1D 1 的中点，下列结论中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4本题解析：6.正确答案：本题解析：暂无解析7.已知复数 z 满足 z+1/z=1，则|z|＝（）A.1/2B.1C.2D.√2/28.六氟化硫，化学式为SF6 ，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为( ) B.BC.CD.D正确答案：D本题解析：9. 下列函数是偶函数，且在区间（﹣∞， 0）上为增函数的是（）A.AB.BC.C本题解析：10.其中所有正确结论的序号是正确答案：①③④本题解析：11.B.BC.CD.D正确答案：B 本题解析：12.正确答案：本题解析：暂无解析13.已知圆 C 过点 A（0， 2）且与直线 y＝﹣ 2 相切，则圆心 C 的轨迹方程为（）A.AC.CD.D正确答案：B 本题解析：14.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则的取值范围是A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]正确答案：D本题解析：15.在△ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 b＝asinC， c＝acosB，则△ABC一定是（）A.等腰三角形非直角三角形B.直角三角形非等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形正确答案：D本题解析：16.已知关于 x 的方程 x﹣ lna＝2ln|x|有三个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是（）A.AB.BC.CD.D正确答案：B 本题解析：17.正确答案：本题解析：18.已知集合A={a,b,c}的所有非空真子集的元素之和等于12，则a+b+c的值为A.1B.2C.3D.4正确答案：D本题解析：19.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于抽象的概念、公式、符号、推理论证、思维方法等之中，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：正确答案：①③本题解析：20.已知О为坐标原点，抛物线C:y ²= 2px(p >0)的焦点为F ,P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 上一点，且PQ⊥OP ,若|FQ|=6，则C 的准线方程为_____正确答案：21. A. B. C.D.正确答案：B、D 本题解析：22.A.14B.12C.6D.3正确答案：D本题解析：23.在某次展会中，有来自北京、上海、长春和杭州的四名志愿者，现将这四名志愿者分配到这四个城市的代表团服务，每个代表团只分配到其中一名志愿者，则这四名志愿者中恰有两名为自己家乡代表团服务的概率为（）A.AB.BC.CD.D正确答案：B本题解析：24.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A.2B.2√2C.4D.4√2正确答案：B本题解析：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有2r =180°/360°*2πr，化简得l=2r = 2√2，答案选B25.A.AB.BC.CD.D正确答案：C本题解析：26.若复数满足z（1-2i）=10，则A.AB.BC.CD.D正确答案：D 本题解析：27.A.-21B.-22C.-23D.-24正确答案：D 本题解析：28. 己知全集U={x|-3UAA.(-2,1]B.(-3,-2)∪[1,3)C.[-2,1)D. (-3,-2]U(1,3)正确答案：D本题解析：暂无解析29.定义集合 A﹣ B＝{x|x∈A 且 x∉B}．已知集合 U＝{x∈Z|﹣ 2＜x＜6}， A＝{0， 2，4， 5}， B＝{﹣ 1， 0， 3}，则∁ U （A﹣ B）中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6正确答案：B本题解析：30.A.5B.512C.1024D.64正确答案：D本题解析：31.已知 M 为抛物线上一点，点 M 到 C 的焦点的距离为 7，到 x 轴的距离为 5，则 p＝A.3B.4C.5D.6正确答案：B 本题解析：32.A.-1B.1C.-2D.2正确答案：D本题解析：33.已知函数f(x)=ln(a-x),x=0是函数xf(x)的极值点正确答案：本题解析：暂无解析34.(I) 求椭圆E的方程:(Ⅱ)过点P(-2,1)作斜率为h的直线与椭圆E交于不同的两点B,C，直线4B,.4C分别与x 轴交于点M,N，当|MN|=2时，求k的值.正确答案：本题解析：暂无解析35.复数 z 满足 z（1+i）＝3﹣ i，则复数 z 是（）A.2+iB.2﹣ iC.1﹣ 2iD.1+2i正确答案：C本题解析：36.已知 O 为坐标原点，点 A(1,1) 在抛物线上，过点的直线 C : x2=2py( p＞0) B(0,-1)交 C 于 P，Q 两点，则（）A.C 的准线为 y=-1B.直线 AB 与 C 相切C.CD.D正确答案：B、C、D 本题解析：37.设函数 f（x）＝﹣ x 2 +ax+b，若不等式 f（x）＞0 的解集为（﹣ 1， 3）．正确答案：本题解析：暂无解析38.A.AB.BC.CD.D正确答案：B本题解析：39.若干个正方体形状的积木按下图所示摆成塔型：上方正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，最下面的正方体的棱长为1，平放于桌面上，如果所有正方体能直接看到的表面积超过8.8，则正方体的个数至少是( )A.4B.5C.6D.7正确答案：C本题解析：40.正确答案：5x-y+2=0本题解析：41.我国冰雪健儿自 1992 年实现冬奥奖牌数 0 的突破，到北京冬奥会结束，共获得 77块奖牌．现将 1992 年以米我国冬奥会获得奖牌数量统计如表：则 1992 年以来我国获得奖牌数的中位数为（）A.8B.9C.10D.11正确答案：B本题解析：暂无解析42.己知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴,且过正确答案：本题解析：例．将他们分成A，B两组分别用新研发的两种药治疗，A组2人，B组3人（1）求A组的治愈率不小于B组的治愈率的概率（2）求这5位病人中被治愈人数的数学期望正确答案：本题解析：暂无解析44.A.2+2ln2B.2D.2-2ln2正确答案：A 本题解析：45.某高中学校需要安排男教师 x 名，女教师 y 名做义工， x 和 y 需满足条件则该校安排教师最多为_________人正确答案：13本题解析：46.已知圆 C 过点 A（0， 2）且与直线 y＝﹣ 2 相切，则圆心 C 的轨迹方程为（）A.AB.BC.CD.D正确答案：B47.A.AB.BC.CD.D正确答案：D 本题解析：48.A.AB.BC.CD.D正确答案：D49.A.AB.BC.CD.D正确答案：B本题解析：A.AB.BC.CD.D正确答案：B本题解析：51.已知抛物线C:y2=2px经过点p(1,2).过点Q（0,1）的直线ι与抛物线C有两个不同交点A,B,且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N。
(完整版)高中数学易错题(含答案)
高中数学易错题一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=06．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy的最大值．解答：解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，即=4，所以4x=12﹣3y，y=，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•=﹣•（x2﹣3x），∴当x=时，xy有最大值3故选B．点评：本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二次函数的性质求得问题的答案．2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．解答：解：由正弦定理可知：====．故选D．点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：数形结合；转化思想．分析：画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．解答：解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；∴d的取值范围是；故选D．点评：本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑推理能力，注意，P为△ABC内任一点，不包含边界．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解答：解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10，c=6，===；故选D．点评：本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．解答：解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．故选C．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．专题：应用题．分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为（2﹣，0），（0，3﹣2k），根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．故选B．点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．考点：向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．解答：解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，∵（1）÷（2），得，令a=4k，b=3k（k＞0）则∴三边长分别为3，4，5．以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知，且，故，令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是．故答案为：[]．点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，综合性强，难度大，易出错．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．考点：二倍角的余弦；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．解答：解：∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为：4．点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式，属于中档题．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本关系求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a2+b2，最后利用余弦定理求得c的值．解答：解：∵，∴sin（A+B）=∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=∴cosC==∵a，b是方程的两根∴a+b=2，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8∴c===故答案为：点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．解答：解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为，A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．解答：解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积．解答：解：因为2，转化为边长和角所以有2acosB=c可得：cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2．当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S△ABC=×2×2×sinC=；当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S△ABC=×2×2×sinC=1．故答案为：或1．点评：本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据AB=AC可推断出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式化简整理，把cosB的值代入即可．解答：解：∵AB=AC，∴B=C∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值．解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么：ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面积公式求得b．解答：解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°，∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为：点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB，进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得问题的答案．解答：解：设BD=x，则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC．∵S=（absinC）﹣（axsinC）=a（b﹣x）sinC=a2•sin2C，∴当C=时，S有最大值．点评：本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．（2）利用，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．解答：解：（1）得进而有（2）∵，∴即所以故当b=c=8时，S最大=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．（2）利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以（2）因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可．解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ=5m，CD=10m（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD，即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m，h=6.4m，即路灯高为6.4m．（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．则DE长即为所求的影长．∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m，即他在A路灯下的身影长为m．点评：此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；（2）根据三角形的面积公式，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC可求解答：解：（1）设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题的考点是三角形的几何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公式，合理化简．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；（3）直接根据前两问的结论填写即可．解答：解：（1）∵，…（2分）∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°…（2分）（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．…（2分）（3）点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．考点：三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可求得，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由得．由正弦定理得，．∴．∵A，B∈（0，π），∴sinB≠0，，∴．（Ⅱ）解：∵∴2cos2B+sin（A﹣2B）==，．2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值为点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，cosA=代入可求cosA，及A（2）代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∵∵∴=化简可得，b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得，cosA==∴；（2）==点评：本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用，解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，求出B的值；（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通过平方法结合a的范围求出面积的最大值．解答：解（Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin（C+B）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又B为三角形的内角，所以B=．（Ⅱ）因为S=，由B=及a+c=4得S===，又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值…（3分）点评：本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由，推出，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；（2）利用（1）中c2=a2+b2﹣ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．解答：解答：解：（1）∵∴且，由正弦定理得：化简得：c2=a2+b2﹣ab由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴，∵0＜C＜π，∴（2）∵a2+b2﹣ab=c2=（2RsinC）2=6，∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），所以，．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．。
易错题库-(精校版)2019年全国卷Ⅱ理数高考试题文档版(有答案)
合题目要求的。
1．设集合 A={ x|x2–5x+6>0} ， B={ x|x–1<0} ，则 A∩B=
A ． (–∞， 1)
B ．( –2， 1)
C． (–3， –1)
D ．(3， +∞ )
2．设 z=–3+2i ，则在复平面内 z 对应的点位于
A ．第一象限 C．第三象限
B ．第二象限 D ．第四象限
2
42
A ． f(x)= │ cosx2│
B ．f (x)= │sin2x│
C． f(x)=cos │x│
D ．f (x)=sin│x│
10．已知 α∈(0 ， )，2sin2 α=cos2α+1，则 sin α= 2
1 A．
5
B． 5 5
C． 3 3
2 D．
5
5
x2 y2 11．设 F 为双曲线 C： a 2 b2 1(a 0, b 0) 的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与
2 （ 1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； （ 2）过坐标原点的直线交 C 于 P， Q 两点，点 P 在第一象限， PE ⊥x 轴，垂足为 E，连结 QE 并
延长交 C 于点 G.
（ i ）证明： △ PQG 是直角三角形；
（ ii ）求 △ PQG 面积的最大值 .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
1．则该半正多面体共有
________个面，其棱长为 _________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
高三数学错题整理与解析
高三数学错题整理与解析在高三数学学习过程中，学生经常会遇到各种错题。
对于这些错题，我们需要进行仔细的整理与解析，以提高学生的数学水平。
本文将对高三数学错题进行整理分类，并给出详细的解答和解析。
一、代数与函数1. 题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求函数$f(f(x))$的表达式。
解析：将$f(x) = \frac{1}{x}$代入$f(f(x))$中，得到$f(f(x)) =\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$。
2. 题目：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像关于$x$轴对称，且顶点在直线$y = 2x + 1$上。
求$a$、$b$、$c$的值。
解析：由于图像关于$x$轴对称，所以顶点的纵坐标为0。
将顶点的横坐标代入直线方程$y = 2x + 1$中，得到$0 = 2x_0 + 1$，解得$x_0 = -\frac{1}{2}$。
将$x_0 = -\frac{1}{2}$代入二次函数$f(x)$中的横坐标，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$。
根据顶点坐标的性质，我们知道顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}$，解得$b = a$。
将$b = a$代入上述方程，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$，整理得$c = \frac{1}{4}$。
综上所述，$a = b$，$c = \frac{1}{4}$。
二、几何与三角学1. 题目：已知$\triangle ABC$中，$AB = 7$，$AC = 9$，$BC = 5$，$D$为边$BC$上一点，且$\angle BAD = \angle CAD$。
2020年高考数学(理)易错考点纠错笔记专题：不等式(全国版含解析)
谁就是参数.
易错点 4 解含参不等式时不能正确分类导致错误
解不等式
a(x 2) x 1
1(a
R)
．
【错解】原不等式可化为
a(x 2) x 1
1
0
，即
a(x
2) (x x 1
1)
0
，
等价于[(a 1)x (2a 1)](x 1) 0 ，即 (x 2a 1)(x 1) 0 ， a 1
2ax
b
0
的解集为
1 2
,
，求
f
x ，解不等式 f x 0 的解集.
2
【答案】（1）
1 2
,1
；（2）见解析
【解析】（1）
f
x
2ax b x 1
.
∵不等式
2ax
b
0
的解集为
1 2
,
a
b
4
①
3
，①＋②得：
a 3，
1
②−①得：
b 1.
②
2
2
由此得 4≤ f (2) =4a−2b≤11，所以 f (2) 的取值范围是[4,11]．
【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 f (2) 的范围扩大．
【试题解析】解法一：设 f (2) =m f (1) ＋n f (1) (m、n 为待定系数)，则 4a−2b=m(a−b)＋n(a＋b)，即
错点 3 忽略对二次项系数的讨论导致错误
已知关于 x 的不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 恒成立，则 m 的取值范围为______________． 【错解】由于不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 对一切实数 x 都成立， 所以 m＜0 且Δ＝m2－4m(m－1)＜0， 解得 m＜0．故实数 m 的取值范围为(－∞，0)． 【错因分析】由于本题中 x2 的系数含有参数，且当 m＝0 时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨 论 m 的值是否为 0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解． 【试题解析】由于不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 对一切实数 x 都成立， 当 m＝0 时，－1＜0 恒成立；当 m≠0 时，易知 m＜0 且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得 m＜0． 综上，实数 m 的取值范围为(－∞，0]． 【答案】(－∞，0]
备战2024年高考数学考试易错题专题10 直线和圆的方程(4大易错点分析)(原卷版)
专题10直线和圆的方程易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问题）距离问题技巧总结①两点间的距离：已知111222(,),(,)P x y P x y 则12P P ②点到直线的距离:0022Ax By C d A B③两平行线间的距离：两条平行直线11:0l Ax By C 与22:0l A x B y C 的距离公式d．易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线y x ,前的系数统一，然后代入公式求算.1易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的考点）直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式()11y y k x x -=-11(,)x y 是直线上一定点，k 是斜率不垂直于x 轴斜截式y kx b =+k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴两点式112121y y x x y y x x --=--11(,)x y ，22(,)x y 是直线上两定点不垂直于x 轴和y 轴截距式1x y a b+=a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不垂直于x 轴和y 轴，且不过原点一般式2200Ax By C A B ++=+¹（）A 、B 、C 为系数任何位置的直线给定一般式求截距相等时，具体方案如下：形如：第一种情况B A B C A C A C x y B C y x C By Ax000令令第二种情况：000时，横纵截距皆为 C C By Ax 截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解例．已知直线l 过点（2，1）且在x ，y 轴上的截距相等（1）求直线l 的一般方程；（2）若直线l 在x ，y 轴上的截距不为0，点 ,P a b 在直线l 上，求33a b 的最小值．变式1．已知直线l 过点 1,2且在x y ，轴上的截距相等(1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 在x y ，轴上的截距不为0，点(,)P a b 在直线l 上，求33a b 的最小值．变式2．已知直线1l ：240ax y ，直线2l ：210bx y ，其中a ，b 均不为0.(1)若12l l ，且1l 过点 1,1，求a ，b ；(2)若12//l l ，且1l 在两坐标轴上的截距相等，求1l 与2l 之间的距离.变式3．已知直线1:2240l ax y a ，直线222:4480l a x y a (1)若直线1l 在两坐标轴上的截距相等，求实数a 的值；(2)若1l 2l ，求直线2l 的方程.1易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问题）技巧总结第一类：求过圆上一点 00,y x 的圆的切线方程的方法正规方法：第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k 第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为k1第三步：利用点斜式 00x x k y y 求出切线方程注意：若0 k 则切线方程为0x x ，若k 不存在时，切线方程为0y y 秒杀方法：①经过圆222r y x 上一点 00,y x P 的切线方程为200r y y x x ②经过圆 222r b y a x 上一点 00,y x P 的切线方程为 200r b y b y a x a x ③经过圆022F Ey Dx y x 上一点 00,y x P 的切线方程为0220000F y y E x x D y y x x 第二类：求过圆外一点 00,y x 的圆的切线方程的方法方法一：几何法第一步：设切线方程为 00x x k y y ，即000 y kx y kx ，第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k ，切线方程即可求出方法二:代数法第一步：设切线方程为 00x x k y y ，即00y kx kx y ，第二步：代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0 可求得k ，切线方程即可求出注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的k 只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可得数形结合求出.第三类：求斜率为k 且与圆相切的切线方程的方法方法一：几何法第一步：设切线方程为m kx y ，即0m y kx第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得m ，切线方程即可求出.方法二:代数法第一步：设切线方程为m kx y ，第二步：代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0 可求得m ，切线方程即可求出方法三：秒杀方法已知圆222r y x 的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为12k r kx y 已知圆 222r b y a x 的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为kab k r kx y 12工具：点与圆的位置关系判断圆的标准方程为)0()()(222 r r b y a x 一般方程为)04(02222 F E D F Ey Dx y x .①点在圆上：22020)()(r b y a x 0002020 F Ey Dx y x ②点在圆外：22020)()(r b y a x 0002020 F Ey Dx y x ③点在圆内：22020)()(r b y a x 0002020 F Ey Dx y x 易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理例、圆的方程为122y x ，过点2321，的切线方程变形1、圆的方程为042422y x y x ，过点12323，的切线方程变形2、圆的方程为042422y x y x ，过点 11，的切线方程变形3、圆的方程为 11222 y x ，切线斜率为1方程为1易错点四：忽略斜率是否存在（与圆的代数结构有关的最值问题）处理此类问题宗旨：截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值①截距式：求形如ny mx 的最值转化为动直线斜率的最值问题②斜率式：求形如nx m y 的最值转化为动直线截距的最值问题③距离式：求形如222)()(r b y a x 的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题形如：若 y x P ,是定圆 222:r b y a x C 上的一动点，则求ny mx 和xy 这两种形式的最值思路1：几何法①ny mx 的最值，设t ny mx ，圆心 b a C ,到直线t ny mx 的距离为,22n m tnb ma d由r d 即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值②x y 的最值：xy 即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值思路2：代数法①ny mx 的最值，设t ny mx ，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值.②x y 的最值：设xy t ，则tx y ，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值.易错提醒：截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在例、已知()M m n ，为圆C ：22414450x y x y 上任意一点.(1)求2m n 的最大值；(2)求32n m 的最大值和最小值；(3)求22m n 的最大值和最小值.变形1、如果实数x ，y 满足 22336x y ，求：（1）y x的最大值与最小值；（2）x y 的最大值与最小值；（3）22x y 的最大值和最小值．变形2、已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y .（1）求y x的最大值和最小值；（2）求y x 的最大值和最小值；（3）求22x y 的最大值和最小值.变形3、已知实数x y 、满足222410x y x y ．（1）求4y x 的最大值和最小值；。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析(攻克“会儿不对,对而不全”这一制约高考分数的秘诀)
（2）由 a 1即
f
x
2x 2x
1
，设
1
y
f
x ,则 2x 1
y 1
y 由于
y
1故 2x
1 1
y y
，x
1 y
log
1 2
y
，而
f
x
2x 2x
1 1
1
2 2x
1
1,1
所以
f
1
x
1 x
log
1 2
x
1
x
1
【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函 数的定义域为 R 可省略）。
答案：B
【易错点 5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。
lg 1 x2
例5、 判断函数 f (x)
的奇偶性。
x2 2
lg 1 x2
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解： f (x)
f x 从而得出函数 f x 为非奇
x2 2
非偶函数的错误结论。
x1 x2
f
x1 f x2 x1 x2
【练 1】已知集合 A x | x2 4x 0 、 B x | x2 2a 1 x a2 1 0 ，若 B A ，则实数 a 的取值范围
是
。答案： a 1 或 a 1。
【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例 2、已知 x 2 2 y2 1,求 x2 y2 的取值范围
t
2x 1 2x 1
1
2 2x 1
在
,
备战2024年高考数学考试易错题专题06 解三角形及应用(3大易错点分析)(解析版)
专题06解三角形及应用易错点一：易忽视三角形解的个数（解三角形多解情况）1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式sin a b Asin b A a ba b a b a b解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C ．技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题问题1：已知两角及其一边，求其它的边和角。
这时有且只有一解。
问题2：已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间 0, 内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。
题设三角形中，已知一个角A 和两个边b a ,，判断三角形个数，遵循以下步骤第一步：先画一个角并标上字母A 第二步：标斜边（非对角边）b 第三步：画角的高，然后观察（A b a sin ,）易错提醒：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数.故选：ABD变式2．在ABC 中，内角,A A ．若A B ，则cos A B ．若2BC BA AB ，则角1．在ABC 中，已知3cos 5A ，sinB a ，若cosC 有唯一值，则实数a 的取值范围为（）由BD DC ，可得OD OBOC 由2cos OB AB O OC AB B P 可得cos AB DP OP OD AB B sin2A =sin2B 《正弦定理》①正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ②变形：acA C c b CB b a B A sin sin ,sin sin ,sin sin ③变形：C B A c b a sin :sin :sin :: ④变形：CcB b A aC B A c b a sin sin sin sin sin sin⑤变形：B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin 《余弦定理》①余弦定理：Cab c b a B ac b c a A bc a c b cos 2,cos 2,cos 2222222222②变形：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222核心问题：什么情况下角化边什么情况下边化角?⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角⑵当每一项都有角《sin 》且次数一样时，采用角化边⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题⑷当每一项都有角《sin 》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可三角形面积公式①A bc S B ac S C ab S ABC ABC ABC sin 21,sin 21,sin 21 ② rl c b a r S ABC2121 其中l r ,分别为ABC 内切圆半径及ABC 的周长推导：将ABC 分为三个分别以ABC 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式③RabcC B A R S ABC 4sin sin sin 22（R 为ABC 外接圆的半径）推导：将A R a sin 2 代入ACB a S ABCsin sin sin 212可得C B A R S ABC sin sin sin 22 将C R c B R b A R a sin 2sin 2,sin 2 ，代入CB A R S ABC sin sin sin 22 可得RabcS ABC 4④CBA c SBC A b S A C B a S ABC ABC ABC sin sin sin 21,sin sin sin 21,sin sin sin 21222 ⑤海伦公式 c p b p a p p S ABC （其中 c b a p 21）推导：根据余弦定理的推论ab c b a C 2cos 222222222121cos 121sin 21ab c b a ab C ab C ab S ABCc b a b a c a c b c b a c b a ab 4124122222令 c b a p 21，整理得c p b p a p p S ABC 正规方法：面积公式+基本不等式① C c ab ab c C ab b a C ab c b a C ab S cos 122cos 2cos 2sin 212222222② B b ac ac b B ac c a B ac b c a B ac S cos 122cos 2cos 2sin 212222222③ A a bc bc a A bc c b Abc a c b A bc S cos 122cos 2cos 2sin 212222222易错提醒：当解题过程中出现类似于sin2A =sin2B 这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”1．在ABC 中，sin sin 2,2B A c a ，则（）A ．B 为直角B ．B 为钝角C ．C 为直角D ．C 为钝角易错点三：实际问题中题意不明致误（利用解三角形知识解决实际问题）解三角形的实际应用问题的类型及解题策略1、求距离、高度问题（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2、求角度问题（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．易错提醒：实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。
2022-2023年高考《数学(理科)》易错、难点强化练习题-11【3套含答案详解】
2022-2023年高考《数学（理科）》易错、难点强化练习题【3套含答案详解】全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第一卷一.综合考点题库(共100题)1.已知集合 A＝{x∈N|2x﹣7≤0}， B＝{x|x 2 ﹣ 2x﹣3≤0}，则A∩ B＝（）A.{x|0＜x≤3}B.{0， 1， 2， 3}C.{x| − 1 ≤ x ≤7/2 }D.{1， 2， 3}正确答案：B本题解析：2.已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣ 1），则|z﹣ i|＝（）A.√2B.2C.2√2D.8正确答案：C本题解析：3.已知函数 f（x）＝x 3 +ax 2 +bx+2 在 x＝1 处取得极小值 0，若∀x 1 ∈[m， n]，∃x 2 ∈[m，n]，使得 f（x 1 ）＝f（x 2 ），且x 1 ≠x 2 ，则 n﹣ m 的最大值为（）A.2B.3C.4D.6正确答案：C本题解析：4.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有A.60B.120C.240D.480正确答案：C本题解析：5. 己知全集U={x|-3UAA.(-2,1]B.(-3,-2)∪[1,3)C.[-2,1)D. (-3,-2]U(1,3)正确答案：D本题解析：暂无解析6.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是( )A.AB.BC.CD.D正确答案：A本题解析：7.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为ρ＝1﹣sinθ（0≤θ＜2π，ρ≥0）， M 为该曲线上一动点．正确答案：本题解析：暂无解析8.已知复数 z 满足 z+1/z=1，则|z|＝（）A.1/2B.1C.2D.√2/2正确答案：B 本题解析：9.A.①②B.①③C.①②④D.①②③④正确答案：C 本题解析：10.A.AB.BC.CD.D正确答案：B 本题解析：11.踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，是一项简便易行的健身活动．某单位组织踢毽子比赛，有4名男员工和6名女员工参加．其中男员工每人1分钟内踢毽子的数目为21， 30， 50， 53；女员工每人1分钟内踢毽子的数目为31， 38， 46， 52， 57，65.则从这10名员工中随机抽取2名，他们1分钟内踢毽子的数目大于50的概率是( )A.AB.BC.CD.D正确答案：B本题解析：12.正确答案：本题解析：暂无解析13.正确答案：5x-y+2=0本题解析：14.中华民族是一个历史悠久的民族，在泱泱五千年的历史长河中，智慧的华夏民族在很多领域都给人类留下了无数的瑰宝．比如，在数学领域中：十进位制记数法和零的采用；二进位制思想起源；几何思想起源；勾股定理（商高定理）；幻方；分数运算法则和小数；负数的发现；盈不是术；方程术；最精确的圆周率——“祖率”；等积原理——“祖暅” 原理；二次内插法；增乘开方法；杨辉三角；中国剩余定理；数字高次方程方法——“天元术”；招差术……，这些累累硕果都是华夏民族的祖先们为人类的智慧宝库留下的珍贵财富．近代中国数学也在一直向前发展，涌现了苏步青、华罗庚、陈省身、吴文俊、陈景润、丘成桐等国际顶尖数学大师，他们在微分几何学、计算几何学、中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论、整体微分几何、几何定理机械化证明、拓扑学、哥德巴赫猜想研究、几何分析等诸多领域取得了杰出成就．这些数学成就和数学大师激励了一代代华夏儿女自强不息，奋勇前进．为增强学生的民族自豪感，培养学生热爱科学、团结协作、热爱祖国的优良品德，以及培养学生的思维品质，改变学生的思维习惯，提高学生对数学学习的兴趣，某中学在该校高一年级开设了选修课《中国数学史》．经过一年的学习，为了解同学们在数学史课程的学习后，学习数学的兴趣是否浓厚，该校随机抽取了 200 名高一学生进行调查，得到统计数据如表：正确答案：本题解析：暂无解析15.已知集合 M＝{（x， y） |（x+1）2 +y 2 ＝0}， N＝{（x， y） |y＝ln（x+2） }，则M∪ N＝（）A.{﹣ 1， 0}B.{（﹣ 1， 0） }C.MD.N正确答案：D本题解析：16.2022年北京冬奥会、谷爱凌在女子自由式滑雪大跳台比赛中夺得冠军.而2021年12 月5日美国站女子自由式滑雪大跳台的比赛当时却充满悬念.中国选手谷爱凌的竞争对手主要是来自法国的TessLedeux和挪威的JohannebKilli.比赛分三轮，取最好的两个成绩的总分决出胜负，首轮比赛谷爱凌正常发挥，跳出了88.25分的成绩，而法国的TessLedeux和挪威的JohannebKilli则分别跳出了93分和91.5分的成绩，位居前2名，谷爱凌是否夺冠就看接下来的两轮比赛了.根据以往的比赛资料和本站参加此项目的选手情况，可以认定这个项目的前三名就锁定在这三位选手中.这时候有四位体育评论员对最终的比赛结果做出了预测:①谷爱凌是第二名或第三名，TessLedeux不是第三名;②TessLedeux是第一名或第二名，谷爱凌不是第一名;③TessLedeux是第一名;④TessLedeux不是第一名; .其中只有- -位评论员预测对了，则正确的是___(填序号).正确答案：④本题解析：17.一场疾病爆发，某药企研发出两种新药，治愈率都是4/5，现在某地出现了5例病例．将他们分成A，B两组分别用新研发的两种药治疗，A组2人，B组3人（1）求A组的治愈率不小于B组的治愈率的概率（2）求这5位病人中被治愈人数的数学期望正确答案：本题解析：暂无解析18.如图，在△ABC 中， AB＞AC， AD、 AE 分别为 BC 边上的高和中线， AD＝4，DE＝3．（1）若∠BAC＝90° ，求 AB 的长；（2）是否存在这样的△ABC，使得射线 AE 和 AD 三等分∠BAC？正确答案：本题解析：暂无解析19.A.AB.BC.CD.D正确答案：D 本题解析：20.A.AB.BC.CD.D正确答案：D 本题解析：21.A.AB.BC.CD.D正确答案：A本题解析：22.已知球O的半径为1,四棱锥的项点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为.A.AB.BC.CD.D正确答案：C 本题解析：23.A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同正确答案：C、D本题解析：24.在某次展会中，有来自北京、上海、长春和杭州的四名志愿者，现将这四名志愿者分配到这四个城市的代表团服务，每个代表团只分配到其中一名志愿者，则这四名志愿者中恰有两名为自己家乡代表团服务的概率为（）A.AB.BC.C正确答案：D.D正确答案：B本题解析：25.本题解析：暂无解析26.有一容积为a3cm3的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1和面对角线BC1的重点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意防止，则其可装水的最大容积是（）A.B.C.D.正确答案：C 本题解析：27. 某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费， 需了解年宣传费 x （单位： 万元） 对年销售量 y （单位： 千件） 的影响． 现收集了近 5 年的年宣传费 x （单位： 万元） 和年销售量 y （单位： 千件）的数据，其数据如下表所示， 且 y 关于 x 的线性回归方程为y=bx-8.2则下列结论错误的是（）A.x ， y 之间呈正相关关系B.b= 2.15C.该回归直线一定经过点（8， 7）D.当此公司该种产品的年宣传费为 20 万元时， 预测该种产品的年销售量为 34800 件正确答案：C本题解析：28.已知函数 f（x）＝|x﹣ 4|+|x+3|．（1）求不等式 f（x）≥12 的解集；正确答案：本题解析：暂无解析29. 抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于点P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且⊙M与相切(1)求C,⊙M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.正确答案：(1)C的方程为y2=x,⊙M的方程为(x-2)2+y2=1;(2)相切本题解析：30.A.AB.BC.CD.D正确答案：C 本题解析：31.A.3B.2C.1D.0正确答案：D本题解析：32.某高中学校需要安排男教师 x 名，女教师 y 名做义工， x 和 y 需满足条件则该校安排教师最多为_________人正确答案：13本题解析：33.为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从 2022 年 1 月 13 日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种．该市有 3 个疫苗接种定点医院，现有 8 名志愿者将被派往这 3 个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少 2 名至多 4 名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.2940 种B.3000 种C.3600 种D.5880 种正确答案：A本题解析：34.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高度为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一,右图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C 三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A＇,B＇,C＇,满足∠A＇C＇B＇=45°,∠A＇B＇C＇=60°.由C点侧得B点的仰角为15°,BB＇与CC＇的差为100,由B点侧得A的仰角为45°,则A,C两点到水平面A＇B＇C＇的高度差AA＇-CC＇约为(√3≈1.732)A.346B.373C.446D.473正确答案：B本题解析：35.若复数z满足|z- 1 +√3i|=3，则|z|的最大值为()A.1B.2C.5D.6正确答案：C本题解析：36.设a=2n1.01b=ln1.02,c=√1.04-1,则A.aB. bC.bD.c正确答案：B 本题解析：37.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是：A.该农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭收入介于4.5万元至8.5万元之间正确答案：C本题解析：对于答案A：由频率分布直方图，有0.02+0.04+0.06=6%，故A正确；38.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D正确答案：A本题解析：39.为迎接 2022 年北京冬奥会，桂林市某中学举办了“迎接冰雪之约，奔向美好未来”的奥运知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的 6 个问题中，选手若能连续正确回答出 3 个问题，即停止答题，晋级下一轮．假定某选手正确回答每个问题的概率都是 2/3，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手至少回答了 5 个问题晋级下一轮的概率等于正确答案：16/81本题解析：40.已知 P 为球 O 球面上一点，点 M满足过点 M与 OP 成30° 的平面截球 O，截面的面积为16π，则球 O 的表面积为正确答案：72π本题解析：41.已知函数f(x)=sinx+cosx,将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍，纵坐标保持不变，得到函数y=g(x)的图象，若g(x1)g(x2)=-2，则▏x1-x2▕的最小值为A.π/2B.πC.2πD.4π正确答案：A本题解析：42.某校某学习小组调查研究“学生线上学习时智能手机对学习成绩的影响”，得到了如下样本数据：根据表中的数据，下列说法中正确的是（）A.有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习无影响B.有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响C.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为中学生使用手机对学习无影响D.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为中学生使用手机对学习有影响正确答案：B本题解析：43.A.AB.BC.CD.D正确答案：B本题解析：44.A.AB.BC.CD.D正确答案：B本题解析：45.A.AB.BC.CD.D正确答案：D 本题解析：46.A.AB.BC.CD.D正确答案：A 本题解析：47.A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-f(x)=1/3正确答案：C 本题解析：48.A.AB.BC.CD.D正确答案：A 本题解析：49.正确答案：本题解析：暂无解析50.A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n正确答案：B本题解析：51.随机变量 X的分布列为，则 P（|X|＝1）等于（）A.1/2B.1/3C.2/3D.1/6正确答案：C 本题解析：52.已知 M 为抛物线上一点，点 M 到 C 的焦点的距离为 7，到 x 轴的距离为 5，则 p＝A.3B.4C.5D.6正确答案：B本题解析：53.A.AB.BC.CD.D正确答案：B 本题解析：54.已知 O 为坐标原点，点 A(1,1) 在抛物线上，过点的直线 C : x2=2py( p＞0) B(0,-1)交 C 于 P，Q 两点，则（）A.C 的准线为 y=-1B.直线 AB 与 C 相切C.CD.D正确答案：B、C、D本题解析：55.已知数列{an}的各项为正数,记Sn为{an}的前项和,从下面①②③中选出两个条件,证明另一个条件成立①数列{an}为等差数列;②数列{Sn}为等差数列;③a2=3a1注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.正确答案：本题解析：暂无解析56.A.5B.512C.1024D.64正确答案：D 本题解析：57.如图，在三棱锥 D﹣ ABC 中， G 是△ABC 的重心， E， F 分别在 BC， CD 上，且BE=1/2EC，DF=1/2FC（1）证明：平面GEF∥平面 ABD；（2）若CD⊥平面 ABC，AB⊥BC， AC＝CD＝2， BC＝1， P 是线段 EF上一点，当线段GP 长度取最小值时，求二面角 P﹣ AD﹣ C 的余弦值．正确答案：本题解析：暂无解析58.A.2√2B.2√3C.2√7D.3√3正确答案：C 本题解析：59.正确答案：本题解析：暂无解析60.已知 R 是实数集，集合 A＝{x∈Z||x|＜3}， B＝{x|2x 2 ﹣ x﹣ 3＞0}，则A∩（∁R B）＝（）A.{﹣ 1， 0}B.{﹣ 1， 0， 1}C.{0， 1， 2}D.{﹣ 1， 0， 1， 2}正确答案：B本题解析：61.设{an}为等比数列，则“对于任意的m∈N，am+2>an”是“{an}为递增数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件正确答案：C本题解析：62.已知实数a＜b＜c，设方程则下列关系中恒成立的是A.AB.BC.CD.D正确答案：A 本题解析：63.A.cB.cC.aD.b正确答案：A本题解析：64.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c .已知b²= ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC = asinC.(1）证明:BD = b ;(2）若AD = 2DC，求cos∠ABC .正确答案：(1)证明:在⊙ABC中，由正弦定理得，BD·b = ac,又b²= ac ，所以BD·b=b²，即BD = b(2)本题解析：乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0，记该棋手连胜两盘的概率为p，则A. p与该棋手和甲，乙，内的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛， p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大正确答案：D本题解析：66.已知集合 A＝{x∈Z|﹣ 3＜x＜5}， B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩ B 的元素个数为（）A.6B.5C.4D.3正确答案：C本题解析：67.某中学举办了“迎接冰雪之约，奔向美好未来” 的奥运知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的 6 个问题中，选手若能连续正确回答出 3 个问题，即停止答题，晋级下一轮．假某选手正确回答每个问题的概率都是2/3，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手至少回答了 5 个问题晋级下一轮的概率等于正确答案：16/81本题解析：68.A.AB.BC.CD.D正确答案：D 本题解析：69.正确答案：本题解析： 暂无解析70.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，满足正确答案：本题解析：暂无解析71.正确答案：本题解析：暂无解析72.A.AB.BC.CD.D正确答案：A 本题解析：73.A.AB.BC.CD.D正确答案：A 本题解析：74.如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，∠BAD = 60°, E 是PB 的中点，且BE = DE.(1)证明: BD⊥平面ACE; .(2)若PD= AB ，PD⊥AC，求二面角A- DE - C 的余弦值.正确答案：本题解析：暂无解析75.A.AB.BC.CD.D正确答案：C 本题解析：76.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=A.2B.2√2C.3D.3√2正确答案：B本题解析：A.1/2B.-1/2C.1D.-1正确答案：A本题解析：78.某地质量检测部门从一企业的产品中随机抽取100件产品，测量这批产品的某项技术指标值，得到如图所示的频率分布直方图正确答案：本题解析：暂无解析79.正确答案：本题解析：暂无解析80.A.AB.BC.CD.D正确答案：B本题解析：81.A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形正确答案：C本题解析：82.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知直线 l ： y ＝kx+8 上存在点 P ， 过点 P 作圆 O ： x 2 +y 2 ＝4的切线， 切点分别为 A （x 1 ， y 1 ）， B （x 2 ， y 2 ）， 且 x 1 x 2 +y 1 y 2 ＝﹣ 2， 则实数 k 的取值范围为正确答案：（﹣ ∞， −√3]⊙ [√3， +∞）本题解析：83.定义集合 A ﹣ B ＝{x|x∈A 且 x ∉B}． 已知集合 U ＝{x∈Z|﹣ 2＜x ＜6}， A ＝{0， 2， 4， 5}， B ＝{﹣ 1， 0， 3}， 则∁ U （A ﹣ B ） 中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6正确答案：B 本题解析：84.A.AB.BC.CD.D正确答案：D 本题解析：85.正确答案：本题解析：暂无解析86.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 y（单位：万台）关于 x（年份）的线性回归方程为y= 4.7x − 9459.2，且销量 y 的方差为正确答案：本题解析：暂无解析87.若复数z满足i.z=3-4i，则|z|=A.1B.5C.7D.25正确答案：B本题解析：88.(I) 求椭圆E的方程:(Ⅱ)过点P(-2,1)作斜率为h的直线与椭圆E交于不同的两点B,C，直线4B,.4C分别与x轴交于点M,N，当|MN|=2时，求k的值. 正确答案：本题解析：暂无解析89.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为A.1/3B.2/5C.2/3D.4/5正确答案：C本题解析：90.设集合A={x|-2A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}正确答案：B 本题解析：A∩B是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3}91. 下列函数是偶函数，且在区间（﹣∞， 0）上为增函数的是（）A.AB.BC.CD.D正确答案：A本题解析：92.(I) 求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(II)设g(x)= f"(x)，讨论函数g(x)在[0,+∞).上的单调性;(II)证明:对任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)> f(s)+ f(t).正确答案：本题解析：暂无解析93.A.AB.BC.CD.D正确答案：C 本题解析：。
2023届高考复习数学易错题专题(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)汇编 (附答案)
2023届高考复习数学易错题专题（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）汇编1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( )2．若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1,2]上有最大值4，则a 的值为( )A.38 B ．－3 C.38或－3 D ．43．函数f (x )＝|a x －a |(a >0且a ≠1)的图象可能为( )4．若函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞)5．已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则x y ＝( )A ．4B ．1C ．4或1D ．546．已知函数f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )．若f (2a －1)<f (a )，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) B.(0,1)C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎭⎫0，13 7、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋2，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，34 B.⎣⎡⎭⎫34，1 C.⎣⎡⎦⎤23，34 D.⎝⎛⎦⎤23，348．已知函数f (x )的定义域为R ，且在[0，＋∞)上是增函数，g (x )＝－f (|x |)，若g (lg x )>g (1)，则x 的取值范围是( )A ．(0,10)B ．(10，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫110，10D ．⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)9．若函数f (x )＝12x 2＋a |x |在区间[3,4]和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[－6，－4]C ．[2,3]D ．[－3，－2]10．(多选)若实数a ，b 满足log a 2＜log b 2，则下列关系中可能成立的有( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜1＜bC ．a ＞b ＞1D ．0＜b ＜1＜a 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，0≤x <1，log 2(x ＋1)，x ≥1，g (x )＝ax 2＋2x ＋a －1，若对任意的实数x 1∈[0，＋∞)，总存在实数x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，74 B.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，74 D.⎣⎡⎦⎤0，74 12．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[－1,4)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,6] 13．(多选)已知函数f (x )＝3x 2－6x －1，则( )A ．函数f (x )有两个不同的零点B ．函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增C ．当a ＞1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝3D ．当0＜a ＜1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝1314．已知函数y ＝ax 2－2x ＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．15．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.16．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝_______.17．已知函数y ＝a 4－ax (a >0且a ≠1)在区间[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．18、已知函数y ＝log 12(6－ax ＋x 2)在[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________．19．已知点P (a ，b )在函数y ＝e 2x 的图象上，且a >1，b >1，则a ln b 的最大值为________．20．已知函数f (x )＝log a (x ＋3)在区间[－2，－1]上总有|f (x )|<2，则实数a 的取值范围为________．又x ＝0时，y ＝12，没有选项同时符合这3个条件．4．若函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞)【参考答案】B【答案解析】令u ＝2－ax ，因为a >0，所以u ＝2－ax 在定义域上是减函数，要使函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，则函数y ＝log a u 在其定义域上必为增函数，故a >1.当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax >0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min >0，即2－a >0，a <2.综上可知，a 的取值范围是(1,2)．5．已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则x y ＝( )A ．4B ．1C ．4或1D ．54 【参考答案】A【答案解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ lg xy ＝lg (x －2y )2，x －2y >0，x >0，y >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝(x －2y )2，①x >2y >0. ②由①得x 2－5xy ＋4y 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫x y 2－5x y＋4＝0，解得x y ＝4或x y ＝1(不满足②，舍去)，∴x y 4. 6．已知函数f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )．若f (2a －1)<f (a )，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) B.(0,1) C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎭⎫0，13【参考答案】D【答案解析】由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0可得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．因为f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，所以f (－x )＝ln [1－(－x )2]＝ln(1－x 2)＝f (x )，所以f (x )为偶函数．易知y ＝1－x 2在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增．由f (2a －1)<f (a )可得f (|2a －1|)<f (|a |)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2a －1<1，－1<a <1，|2a －1|>|a |，解得0<a <13.故选D.7、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋2，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，34B.⎣⎡⎭⎫34，1C.⎣⎡⎦⎤23，34D.⎝⎛⎦⎤23，34【参考答案】C 【答案解析】由题意，分段函数f (x )在R 上单调递减，可得对数的底数需满足0<a <1，根据二次函数图象开口向上，二次函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－4a －32上单调递减，可得－4a －32≥0，解得a ≤34.又由[x 2＋(4a －3)x ＋3a ]min ≥[log a (x ＋1)＋2]max ，得3a ≥2，又a ∈(0,1)，解得1>a ≥23.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，34.8．已知函数f (x )的定义域为R ，且在[0，＋∞)上是增函数，g (x )＝－f (|x |)，若g (lg x )>g (1)，则x 的取值范围是( )A ．(0,10)B ．(10，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫110，10 D ．⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞) 【参考答案】C【答案解析】∵g (－x )＝－f (|－x |)＝g (x )，∴g (x )是偶函数，又f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴g (x )在[0，＋∞)上是减函数．∵g (lg x )>g (1)，∴g (|lg x |)>g (1)，∴|lg x |<1，解得110<x <10，选C.9．若函数f (x )＝12x 2＋a |x |在区间[3,4]和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[－6，－4]C ．[2,3]D ．[－3，－2]【参考答案】D【答案解析】f (x )＝12x 2＋a |x |，∵f (－x )＝12(－x )2＋a |－x |＝12x 2＋a |x |＝f (x )，∴f (x )为实数集上的偶函数，∵f (x )在区间[3,4]和[－2，－1]上均为增函数，∴f (x )在[3,4]上递增，在[1,2]上递减，∴函数f (x )＝12x 2＋a |x |，x >0的对称轴x ＝－a ∈[2,3]，得a ∈[－3，－2]，故选D.10．(多选)若实数a ，b 满足log a 2＜log b 2，则下列关系中可能成立的有( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜1＜bC ．a ＞b ＞1D ．0＜b ＜1＜a【参考答案】ABC【答案解析】当0＜b ＜a ＜1时，log 2b ＜log 2a ＜0，即1log b 2＜1log a 2＜0，故log a 2＜log b 2，A 正确；当0＜a ＜1＜b 时，log b 2＞0，log a 2＜0，故log a 2＜log b 2，B 正确；当a ＞b ＞1时，log 2a ＞log 2b＞0，即1log a 2＞1log b 2＞0，故log a 2＜log b 2，C 正确；当0＜b ＜1＜a 时，log b 2＜0，log a 2＞0，故log a 2＞log b 2，D 错误．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，0≤x <1，log 2(x ＋1)，x ≥1，g (x )＝ax 2＋2x ＋a －1，若对任意的实数x 1∈[0，＋∞)，总存在实数x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，74 B.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，74 D.⎣⎡⎦⎤0，74 【参考答案】D【答案解析】因为对任意的实数x 1∈[0，＋∞)，总存在实数x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以函数f (x )的值域是函数g (x )的值域的子集．当0≤x <1时，f (x )＝x 2－x ＋1，此时f (x )∈⎣⎡⎦⎤34，1；当x ≥1时，f (x )＝log 2(x ＋1)单调递增，f (x )∈[1，＋∞)，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.对于函数g (x )＝ax 2＋2x ＋a －1，当a ＝0时，函数g (x )＝2x －1在[0，＋∞)上单调递增，此时g (x )的值域为[－1，＋∞)，满足⎣⎡⎭⎫34，＋∞⊆[－1，＋∞)； 当a ≠0时，要使函数f (x )的值域是函数g (x )的值域的子集，则二次函数的图象开口必须向上，即a >0，此时函数g (x )的对称轴为x ＝－1a <0，故函数g (x )在[0，＋∞)上单调递增，此时g (x )的值域为[a －1，＋∞)，由⎣⎡⎭⎫34，＋∞⊆[a －1，＋∞)得，a －1≤340<a ≤74.综上可得：实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，74. 12．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[－1,4)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,6] 【参考答案】C【答案解析】不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2，3]恒成立，等价于a ≥y x 2⎝⎛⎭⎫y x 2，对于x∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立．令t ＝y x ，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立．∵y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝⎛⎭⎫t －142＋18，∴t ＝1时，y max ＝－1，∴a ≥－1，故选C. 13．(多选)已知函数f (x )＝3x 2－6x －1，则( )A ．函数f (x )有两个不同的零点B ．函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增C ．当a ＞1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝3D ．当0＜a ＜1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝13【参考答案】ACD【答案解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝(－6)2－4×3×(－1)＝48＞0，所以函数f (x )有两个不同的零点，A 正确．因为二次函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，且图象开口向上，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，B 不正确．令t ＝a x ，则f (a x )＝g (t )＝3t 2－6t －1＝3(t －1)2－4.当a ＞1时，1a ≤t ≤a ，故g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上先减后增，又a ＋1a 2＞1，故最大值为g (a )＝3a 2－6a －1＝8，解得a ＝3(负值舍去)．同理当0＜a ＜1时，a ≤t ≤1a ，g (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫1a ＝3a 2－6a －1＝8，解得a ＝13(负值舍去)．故C 、D 正确．14．已知函数y ＝ax 2－2x ＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．【参考答案】(－∞，0]【答案解析】当a ＝0时，y ＝－2x ＋3满足题意；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1a≤2，解得a <0.综上得a ≤0. 15．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.【参考答案】2或12【答案解析】当a >1时，y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上单调递增，所以log a 4－log a 2＝1，解得a＝2；当0<a <1时，y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上单调递减，所以log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.综上可得，a ＝2或12.16．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝_______.【参考答案】－32【答案解析】当a >1时，f (x )在[－1,0]上是增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－1，f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，1＋b ＝0，无解． 当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝－1，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝－1，a －1＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32.17．已知函数y ＝a4－ax (a >0且a ≠1)在区间[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 【参考答案】(1,2]【答案解析】令u ＝4－ax ，由于a >0且a ≠1，内层函数u ＝4－ax 在区间[1,2]上为减函数，所以外层函数y ＝a u 为增函数，则有a >1.由题意可知，不等式4－ax ≥0对任意的x ∈[1,2]恒成立，所以4－2a ≥0，解得a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．18、已知函数y ＝log 12(6－ax ＋x 2)在[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【参考答案】[4,5)【答案解析】设u ＝6－ax ＋x 2，∵y ＝log 12u 是减函数，∴函数u 在[1,2]上是减函数．∵u ＝6－ax ＋x 2的对称轴为直线x ＝a 2，∴a 2≥2，且u >0在[1,2]上恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥2，6－2a ＋4>0，解得4≤a <5，∴实数a 的取值范围为[4,5)． 19．已知点P (a ，b )在函数y ＝e 2x 的图象上，且a >1，b >1，则a ln b 的最大值为________．【参考答案】e【答案解析】由题意知b ＝e 2a ，则a ln b ＝a ln e 2a ，令t ＝a 2－ln a (t >0)， 则ln t ＝ln a 2－ln a ＝－(ln a )2＋2ln a ＝－(ln a －1)2＋1≤1，当ln a ＝1时，“＝”成立， 此时ln t ＝1，所以t ＝e ，即a ln b 的最大值为e.20．已知函数f (x )＝log a (x ＋3)在区间[－2，－1]上总有|f (x )|<2，则实数a 的取值范围为________．【参考答案】⎝⎛⎭⎫0，2∪(2，＋∞)． 【答案解析】∵x ∈[－2，－1]，∴1≤x ＋3≤2.当a >1时，log a 1≤log a (x ＋3)≤log a 2，即0≤f (x )≤log a 2.∵对任意的x ∈[－2，－1]，|f (x )|<2恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2<2，解得a > 2. 当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋3)≤log a 1，即log a 2≤f (x )≤0.∵对任意的x ∈[－2，－1]，|f (x )|<2恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 2>－2，解得0<a <2. 综上可得，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，2∪(2，＋∞)．。
高考数学易错题专项训练(一)
高考数学易错题专项训练(一)一、正误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A是B的真子集；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.()2.A⊆B说明集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.()3.若集合A中含有n个元素，则集合A的子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个.()4.交集的补集等于补集的并集，即∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；并集的补集等于补集的交集，即∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).()5.A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．()6.若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，綈p是綈q的必要不充分条件.()7.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.()8.否命题是原命题的条件与结论同时否定，命题的否定是仅仅否定原命题的结论，而命题的条件不变.()9.函数y＝f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根，所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.()10.函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a∈R)的交点可能是0个、1个或2个.()11.f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.存在既是奇函数又是偶函数的函数：f(x)＝0.()12.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.()13.若满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a；若满足f(x＋a)＝1f（x），则f(x)是周期函数，T＝2a(a≠0，a为常数).()14.若f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于x＝a对称；如果f(x)满足f(x)＝－f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a，0)对称.()15.函数y＝a x与y＝log a x(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称，且两函数在各自定义域上具有相同的单调性.()16.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.如果f(x)在(a，b)上单调，则y＝f(x)在(a，b)内有唯一的零点.()17.在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果f′(x)<0.那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.()18.函数f(x)在x0处有f′(x0)＝0，且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值；若在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值，函数的极大值可能会小于函数的极小值.()19.f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线斜率，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).()20.f′(x)≥0是可导函数f(x)在x∈(a，b)内是增函数的充要条件；f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要条件.()二、矫正训练(一)选择题(共10小题)1.集合A＝{x||x＋1|≤3}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}.则下列关系正确的是()A ．A ∪B ＝R B ．A ⊆∁R BC ．B ⊆∁R AD ．∁R A ∁R B2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数且是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x 2＋sin xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋sin 2x 4.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(13，＋∞) 5.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 7.如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1，2) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2，3) 8.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．－2C ．3或－2D ．129.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≤－2}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}10.已知函数y ＝f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且当x >0，f (x )＋xf ′(x )>0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124，b ＝2f (2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．a >c >b(二)填空题(共6小题)11.已知命题p ：x 2－2x －3<0，命题q ：x >a ，若命题p 是命题q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________.12.如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________.13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（a －2）x －1，x ≤1，log a x ，x >1.若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.14.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.15.若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2，(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.16.已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________.参考答案一、1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√ 8.√9.√10.×解析：不符合函数的定义，不会有2个及2个以上的交点.11.√ 12.√ 13.√ 14.√ 15.√16.×解析：不满足零点存在定理的条件，即没有明确图象是连续不断的一条曲线.17.√18.×解析：没有理解函数的极大(小)值的概念，本题把极大值与极小值定义弄反了.19.√20.×解析：错误理解函数单调性与导数的关系.二、1.解析：没有分析清楚集合中的元素导致错误.D [A ＝{x ||x ＋1|≤3}＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，所以∁R B ＝{y |y >2或y <0}，∁R A ＝{x |x <－4或x >2}，所以∁R A∁R B ，选D ．] 2.解析：容易遗漏幂函数的系数是1，且当α>0时，g ＝x α在(0，＋∞)上为增函数而导致错误.B [因为函数为幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.因为幂函数在(0，＋∞)上是增函数，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1.选B ．]3.解析：判断函数的奇偶性时，应注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，这一点易忽略.A [函数f (x )＝x 2＋sin x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (1)＝1＋sin 1，f (－1)＝1－sin 1，所以函数f (x )＝x 2＋sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数f (x )＝x 2－cos x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x 2－cos x 是偶函数；函数f (x )＝2x ＋12x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以函数f (x )＝2x ＋12x 是偶函数；函数f (x )＝x ＋sin 2x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝－x ＋sin(－2x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x ＋sin 2x 是奇函数.故选A ．]4.解析：此类问题易于忽略的是首先判断函数的奇偶性和单调性，从而避免讨论.A [由 f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上增函数，所以f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔13＜x ＜1，故选A ．]5.解析：此类问题易于忽略的是判断函数的单调性和转化到同一单调区间上讨论问题.C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，所以m ＝0，即f (x )＝2|x |－1，所以a ＝f (log 0.53)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f (log 23) b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )＝f (0)，因为log 25＞log 23＞0，而f (x )＝2|x |－1在[0，＋∞)上为增函数，所以c ＜a ＜b ，故选C ．]6.解析：忽略了由f (f (a ))＝2f (a )直接得到f (a )≥1，从而解不等式或利用数形结合的方法解决问题.C [由f (f (a ))＝2f (a )可知f (a )≥1，则⎩⎨⎧a ≥12a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1，解得a ≥23，答案选C ．] 7.解析：忽略利用函数的图象求出a ，b 的范围导致错误.C [由函数图象可知0<b <1，f (1)＝0，从而－2<a <－1，f ′(x )＝2x ＋a ，所以g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，函数g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝ln 1＋2＋a >0，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，选C ．] 8.解析：忽略函数的定义域导致错误.A [函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y ′＝x 2－3x ，由y ′＝x 2－3x ＝12，得x 2－x －6＝0，解得x ＝3或x ＝－2(舍去)，选A ．]9.解析：不能分析清楚存在与恒成立的区别导致错误.A [由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，x ∈[1，2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题“p ∧q ”是真命题，则p ，q 同时为真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2，即a ≤－2或a ＝1，选A ．] 10.解析：不会构造函数，不能判断函数的奇偶性导致错误.C [令函数F (x )＝xf (x )，则函数F (x )＝xf (x )为偶函数.当x >0时，F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数递增，则a ＝F (log 124)＝F (－log 24)＝F (－2)＝F (2)，b ＝F (2)，c ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝F (－lg 5)＝F (lg 5)，因为0<lg 5<1<2<2，所以a >b >c ，选C ．] 11.解析：忽略从集合的角度解决充要条件的应用问题而导致错误.(－∞，－1] [M ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，因为N ＝{x |x >a }且M ⊆N ，所以有a ≤－1.]12.解析：忽略倾斜角的范围以及正切函数的单调性导致错误.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 [由题意可设f ′(x )＝a (x －1)2＋3，(a >0)，即函数切线的斜率为k ＝f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，所以π3≤α<π2.]13.解析：忽略了第一段函数的最大值小于或等于第二段函数的最小值导致错误.(2，3][要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a ≤3.解得2<a ≤3，即a 的取值范围是(2，3].]14.解析：忽略函数的f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0导致错误. (－2，2) [由f (x )＝x 3－3x ＋a ＝0，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，由图象可知f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0，即－2<a <2，所以实数a 的取值范围是(－2，2).]15.解析：分段函数的值域是各段函数值域的并集，应首先求出各段函数的值域，易于忽略. (1，2] [当x ≤2，故－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，只需f 1(x )＝3＋log a x (x ＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a ＞1，所以f 1(x )＞3＋log a 2，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2].]16.解析：由于是存在性的问题，易忽略g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值导致错误. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞ [f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，当x >－1时，f ′(x )>0函数递增；当x <－1时，f ′(x )<0函数递减，所以当x ＝－1时f (x )取得极小值即最小值f (－1)＝－1e .函数g (x )的最大值为a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则有g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值，即a ≥－1e .]。
高考理科数学易错题总结
高考理科数学易错题总结重点处置导数在研讨函数单调性中的运用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考察分类与整合思想的一个主要命题点)，在处置好上述效果后，要留意把不等式效果、方程效果转化为函数的单调性、极值、最值停止研讨性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考察点.查字典数学网整理了2021高考文科数学易错题总结，希望对大家有协助。
要点1：应用导数研讨曲线的切线1.导数的几何意义：函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数对时间的导数)。
2.求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率;(2)在切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。
注：①当曲线在点处的切线平行于轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为;②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。
要点2：应用导数研讨导数的单调性应用导数研讨函数单调性的普通步骤。
(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)①假定求单调区间(或证明单调性)，只需在函数的定义域内解(或证明)不等式0。
②假定的单调性，那么转化为不等式0在单调区间上恒成立效果求解。
要点3：应用导数研讨函数的极值与最值1.在求可导函数的极值时，应留意：(以下将导函数取值为0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，留意一定要是可导函数。
例如函数在点处有极小值=0，可是这里的基本不存在，所以点不是的驻点.(1) 可导函数的驻点能够是它的极值点，也能够不是极值点。
例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，经常把驻点左近的函数值的讨论状况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减状况了如指掌.(3) 在务实践效果中的最大值和最小值时，普通是先找出自变量、因变量，树立函数关系式，并确定其定义域.假设定义域是一个开区间，函数在定义域内可导(其实只需是初等函数，它在自己的定义域内肯定可导)，并且按常理剖析，此函数在这一开区间内应该有最大(小)值(假设定义域是闭区间，那么只需函数在此闭区间上延续，它就一定有最大(小).记住这个定理很有益处)，然后经过对函数求导，发现定义域内只要一个驻点，那么立刻可以判定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。