高中数学必修三1.3算法案例

1.3《算法案例1——辗转相除法与更相减损术》导学案
【学习目标】
1、会用辗转相除法和更相减损术求最大公约数；
2、能根据辗转相除法和更相减损术设计完整的程序框图并写出算法程序。

【课前导学与探究】
（一）辗转相除法
（1）辗转相除法，又叫欧几里得法，是一种求两个正整数的的古老而有效的算法。

（2）辗转相除法是指对于给定的两个数，用除以，若余数不为零，则将余数和构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时就是原来两个数的最大公约数。

试一试①：用辗转相除法求288和123的最大公约数．
（3）辗转相除法的算法步骤：第一步，给定；第二步,计算；第三步, ；第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于；否则返回。

(4)程序框图：程序：
（二）更相减损术
（1）更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求的算法.
(2)其基本过程是: 第一步，任意给定两个正整数,判定它们是否都
是，若是，；若不是，执行．第二步,以的数减去的数，接着把所得的差与的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。

试一试②：用更相减损术求80和36的最大公约数．
（三）辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是则得到，而更相减损术则以
相等而得到。

试一试③：分别用辗转相除法和更相减损术求两个正整数282和470的最大公约数.
【精讲点拨】
例1.用辗转相除法和更相减损术两种方法求1734和816的最大公约数．
变式：求1734和816的最小公倍数．
例2.求324,243和135的最大公约数．
【巩固练习】
1、用辗转相除法求295和85的最大公约数时,需要做出除法的次数是 ( )
A 1.
B 2.
C 3.
D 4
2、下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是（）
A.16和12的最大公约数是4
B.78和36的最大公约数是6
C.85和357的最大公约数是34
D.105和315的最大公约数是105
3、求下列各组数的最大公约数（先用辗转相除法求，再用更相减损术验证）
（1）225，135；（2）840，1785；（3）612，468；（4）36，54，90.
4、写出从键盘任意输入两个正整数a ，b ，输出这两个数的最小公倍数的算法，画出程序框图，写出算法语句．
1.3《算法案例2——秦九韶算法》导学案
【学习目标】
1、用转化的数学思想方法理解秦九韶算法。

2、掌握用秦九韶算法计算高次多项式的值。

【课前导学与探究】
1.已知一个四次多项式f(x)= 4322351x x x x +-++, 用秦九韶算法求当x=4的值。

（1）根据秦九韶算法能把多项式f(x)= 4322351x x x x +-++改写成 的形式。

当x=4时求f(x)的值为 ；
（2）按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=4时的值：
0v =2； 1v =2×4+1=（ ）； 2v =（ ）×4-3=（ ）；
3v =（ ）×4+（ ）= （ ）；4v =（ ）×4+（ ）=（ ）；
思考：在以上的算法中共需＿＿ 次乘法运算，＿＿次加法运算。

（3）用秦九韶算法求多项式763452)(2345+-+--=x x x x x x f 当5x =时的值。

2.仿照上述问题研讨如何用秦九韶算法完成多项式
f(x)=a n x n + a 1-n x
1-n +···+a 1x+a 0的求值问题？ 思考：（1）0v = ； 1v = ；
2v = ； 3v = ；
… …
n v =
①在上边的算法中共需 次乘法运算， 次加法运算。

②观察上边秦九韶算法中的n 个一次式。

若0v = a n ，我们可以得到公式：
()0,n k n k v a v x a -=⎧⎪⎨=+⎪⎩ （k =1，2，…，n ）
③在秦九韶算法中，上述公式可以用 结构来实现。

（2）请你设计出用秦九韶算法解决多项式 f(x)=a n x n + a 1-n x 1-n +···+a 1x+a 0求值问题的算法步骤，画出程序框图并写出程序。

（Ⅰ）算法步骤： （Ⅱ）程序框图： （Ⅲ）程序：
第一步，输入＿＿＿＿＿＿ .
第二步，将v 的值初始化为＿＿，
将i 的值初始化为＿＿，
第三步，输入＿＿＿＿＿＿ .
第四步，v =＿＿＿ ，i =＿＿.
第五步，判断i ＿＿＿＿＿.
若是，则返回第＿步；否则，
＿＿＿＿＿＿ .
【精讲点拨】
例. 用秦九韶算法计算多项式f(x)= x 7+4x 5+3x 2
+1，当x=2时的值，并思考需 次乘法运算， 需 次加法运算。

【巩固练习】
1. 用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x 6+4x 5+5x 4+6x 3+7x 2
+8x+1当x=4的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ） A 6,6 B 5,6 C 5,5 D 6,5
2．用秦九韶算法求多项式654322.5666.38.136.02)(x x x x x x x f +-+-++=在x=-1.3的值时，令50160a x v v a v +==；；……056a x v v +=时，3v = 。

3. 根据秦九韶算法能把多项式f(x)=3x 5+4x 4+5x 3+6x 2
+7x+1改写成 的形式。

当x=5时求f(x)的值 。

4. 用秦九韶算法求多项式f(x)= 54351x x x -+-,当x=2的值。

1.3《算法案例3——进位制》导学案
【学习目标】
1、了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。

2、学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律。

【课前导学与探究】
1．进位制的概念：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．“满k 进一”就是 ， k 进制的基数是 ．可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数.如,二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 十进制可使用的数字有 , , ,…, , 等十个数字,基数是 ;十六进制可使用的数字或符号有0～9等10个数字以及A ～F 等6个字母(规定字母A ～F 对应10～15),十六进制的基数是16.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数. (十进制数一般不标注基数)
如, 111001(2)表示 进制数, 34(5)表示 进制数
2．将k 进制数化为十进制数：
十进制数3721中的3表示3个千,7表示 ,2表示 ,1表示 ,从而它可以写成
下面的形式: 33721310++
++=⨯ 想一想:二进制数: (2)1011=+++
五进制数: (5)3421=+++
十六进制数: (16)716C A =++++
一般地,若k 是一个大于1的整数,z 则以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式:
110()(0,0)n n i n k a a a a a k a -≤<≠ = 。

将k 进制数化为十进制数的方法是：先把k 进制数写成 的形式，再 ．
试一试：将下列各进制数化为十进制数.（1）)4(10303 ； （2）)5(1234
.
3． 将十进制数化为k 进制数：
将十进制数化为k 进制数的方法是： ,即 ，直到商为零为止，然后 ，就是相应的k 进制数．
参考教材，用除k 取余法将119转化成六进制数得 119=
【精讲点拨】
例1. 将(5)2341, (3)121,(2)110101转化成十进制数.
例2. 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
变式：将五进制数3241（5）转化为七进制数.
【巩固练习】
1．已知k 进制的132与十进制的数30相等，那么k 等于（ ）
A ．7或4
B ．-7
C ．4
D ．以上都不对
2．四位二进制数能表示的最大十进制数是（ ）
A ．4
B ．15
C ．64
D ．127
3．以下各数中有可能是五进制数的是（ ）
A ．55
B ．106
C ．732
D ．2134
4．下列各数最小的数是（ ）
A ．111111（2）
B ．210（6）
C ．1000（4）
D ．81
5、完成下列进位制之间的转化.
()21011001=_______()10=____ _()5； ()8105=______()10=________()5； ()320212=_____()10
6、若六进数()613502m 化为十进数为12710,则_____m =,把12710化为八进数为____________.
7．用“除k 取余法”将十进制数2008转化为二进制和八进制数．。