纵断面设计 竖曲线
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3000m以上，比正常值减1～3%。 F，高寒冰冻：公路：i≯8%， 城市道路：i≯6%
一般公路，路基未设加宽超高前的路肩边缘的高程。
设计标高
设分隔带公路，一般为分隔带外边缘。 设计标高
城市道路：行车道中线 中央分隔带中线
设计标高
2、最小纵坡
为使道路上行车快速、安全和通畅，希望道路纵坡设计的小一些为 好。但是在挖方、低填方路段以及其它横向排水不畅路段，为保证 排水需要，均应设置不小于0.3%的最小纵坡，一般使用0.5%。当 必须设置平坡（0%）或小于0.3%的纵坡时，其边沟应做纵向排水
t
V 1.2
则
Rmin
Lminຫໍສະໝຸດ Baidu
V
1.2
▪3．满足视距的要求：
凸形竖曲线：坡顶视线受阻
凹形竖曲线：下穿立交
4. 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
凸形竖曲线最小半径和最小长度 :
竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度 的3秒行程 。
（三）凹形竖曲线最小半径和最小长度
第三章 纵断面设计
3.3 纵断面设计
本章主要内容： 一、纵断面设计的一般要求（1） 二、纵坡及坡长设计（1） 三、爬坡车道（1） 四、合成坡度（1） 五、竖曲线（1） 六、纵断面设计方法及表达（1） 七、视觉分析及平纵组合（1）
设计任务：1.纵断面设计，2.拉坡设计， 设计成果：1.纵断面设计图 ，2.竖曲线表
i
22
2
A
（3）竖曲线上任一点竖距h：
x2
x2
h PQ yP yQ 2R i1x i1x 2R
式中：x——竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离，
y——竖曲线上任意点到切线的纵距，即竖曲线上任意点 与坡线的高差。
L-x i
2
h’
h
(4) 竖曲线外距E： ▪ 上半支曲线x = T1时：
设3、计。坡长限制
大于i1为陡坡，汽车减速行驶，初速为V1，终速不低于V2，大于i2 的纵坡要限制其长度。 （1）最小坡长的限制
小坡长限制主要是指从汽车行驶平顺陛、路容美观、相邻竖曲线 设置、纵面视距等考虑．通常以计算行车速度9～15s的行程作为规 定值。《标准》规定值见表
（2）最大坡长限制 当汽车在坡道上行驶，车速下降到最低容许速度时所行驶的距离
凸型竖曲线 ω<0
2．竖曲线的作用：
（1）其缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在 变坡点的突变。
（2）保证公路纵向的行车视距： 凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凹形：下穿式立体交叉的下线。
3. 竖曲线的线形 《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。
抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。
4000
K13+550 173.513
3000
试计算K12+700～K13+300段50m间隔的整桩号的设计高程 值。
设置凹竖曲线的主要目的是缓和行车时的离心力，
确定凹竖曲线半径时，应以离心加速度为控制指
标。
R V2 V2 13a 3.6
或
Lmin
V 2
3.6
凹形竖曲线的最小半径、长度，除满足缓和离心
力要求外，还应考虑两种视距的要求：一是保证
夜间行车安全，前灯照明应有足够的距离；二是
保证跨线桥下行车有足够的视距。
①按竖曲线终点分界计算：
横距x2= Lcz – QD = 5100.00 – 4940.00＝160m
竖距
y2
x22 2R
1602 6.40 2 2000
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
= 427.68 + 0.05×(5100.00 - 5030.00)
2、设计标高 ①新建公路的路基设计标高高速公路和一级公路采用中
央分隔带的外侧边缘标高；二、三、四级公路采用路基边缘 标高，在设置超高、加宽地段为设超高、加宽前该处边缘标 高。
②改建公路的路基设计标高一般按新建公路的规定办理， 也可视具体情况而采用中央分隔带中线或行车道中线标高。
最大纵坡的总结： A，城市道路为公路按设计车速的最大纵坡-1%。 B，大、中桥≯4% C，非机动车≯ 2.5%，＞2.5%时有坡长限制。 D，隧道≯3% E, 海拔：公路：2000m以上，i≯8%。
《标准》规定竖曲线的最小长度应满足3s行程要 求。
（三）凹形竖曲线最小半径和最小长度
凹形竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度 的3秒行程 。
作业：
某二级公路一路段有三个变坡点，详细资料如下：
变坡点桩号 设计高程 竖曲线半径
K12+450 172.513
5000
+950 190.013
坡差
TA
Y L
TB
A
M
P
O
（1）二次抛物线的基本公式
Q
h
E
ω
l
t
y x2 2R
x
x
A
B
竖曲线计算图示
i 2
B
X
（2）竖曲线要素计算
L R
T1 T2 L/2 R
2
h l2 2R
E T2 2R
为竖曲任意点至竖曲线起点的距离
一、竖曲线要素的计算公式 1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式：
一、纵断面设计的一般要求
1、满足设计标准 2、尽量避免使用极限值 3、纵断面和地形协调 4、填挖平衡 5、满足最小填土高度和排水要求 6、桥头和交叉口处应该平缓 7、考虑通道和农田的要求
二、纵坡及坡长设计
1、最大纵坡
3%、4%的最大纵坡适合于高速公路和一级公路，当高速公路受地 形条件或其他特殊情况限制时，经技术经济论证最大纵坡可增加 1% 。8% 9%的最大纵坡适合于设计速度为30km/h 的三级公路以 及设计速度为20km/h 的四级公路上低速行驶。5%6% 7%的最大 纵坡适合于80km/h 60km/h 40km/h 的设计速度。
a v2 V2 , R V2
R 13R
13a
根据试验，认为离心加速度应限制在0.5～0.7m/s2比较 合适。我国《标准》规定的竖曲线最小半径值，相当于 a=0.278 m/s2。
Rm in
V2 3.6
,
或
Lm in
V 2
3.6
2．时间行程不过短 最短应满足3s行程。
Lmin
V 3.6
602 2 2000
0.90
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD） = 427.68 + 0.05×(5000.00 - 5030.00)
= 426.18m 设计高程 HS = HT - y1 = 426.18 - 0.90=425.18m （凸竖曲线应减去改正值）
K5+100.00：位于下半支
切线高程 HT = H1 + i2（ Lcz - BPD） = 427.68 - 0.04×(5100.00 - 5030.00)
= 424.88m 设计高程 HS = HT – y2 = 424.88 – 0.10 = 424.78m
二、竖曲线的最小半径
（一）竖曲线设计限制因素 1．缓和冲击 汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为:
▪下半支曲线x = T2时：
E1
T12 2R
E2
T22 2R
▪ 由于外距是变坡点处的竖距，则E1 = E2 = E，
故 T1 = T2 = T
T2 E
或
2R
R 2 L T
E 8 84
[例4-3]：某山岭区一般二级公路，变坡点桩号为k5+030.00， 高程H1=427.68m，i1=+5%，i2=-4%，竖曲线半径R=2000m。
第三节 竖曲线
1．定义：
纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车用一段 曲线来缓和，称为竖曲线。 变坡点：相邻两条坡度线的交点。
变坡角：相邻两条坡度线的坡角差，通常用坡度值 之差代替，用ω表示，即
ω=α2-α1≈tgα2- tgα1=i2-i1
i3 凹型竖曲线
ω>0 i1 α1
i2 ω α2
第一节 概 述
定义：沿道路中线竖向剖面的展开图即为路线纵断面。
纵断面设计：研究路线线位高度及坡度、坡长变化情 况的过程。
任务：研究纵断面线形的几何构成及其大小与长度。
依据：汽车的动力特性、道路等级、当地的自然地理 条件以及工程经济性等。
路线纵断面图构成：
地面线：根据中桩点的高程绘的一条折线； 设计线：路线上各点路基设计高程的连线。 变坡导线：变坡点间的连线
（2）Y轴过抛物线起点。
y
1 2R
x2
i1x
式中：R——抛物线顶点
B
处的曲率半径 ；
i1——竖曲线顶 （底）点处切线的坡度。
A
2．竖曲线诸要素计算公式
（1）竖曲线长度L或竖曲线半径R：
L = xA - xB
L R , R L
（2）竖曲线切线长T：
因为T = T1 = T2，则
B
T L R
一、竖曲线要素的计算公式
1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： （1）Y轴过抛物线底（顶）部；
y 1 x2 2R
式中：R——抛物线顶点
A
B
处的曲率半径
1.竖曲线的几何要素
几个参数：
i1, i2 ,
i2
i1
前坡，i后坡， 1
竖曲线起点QD＝（K5+030.00）- 90 = K4+940.00
竖曲线终点ZD＝（K5+030.00）+ 90 = K5+120.00
2．计算设计高程
K5+000.00：位于上半支
横距x1= Lcz – QD = 5000.00 – 4940.00＝60m
竖距
y1
x12 2R
称为最大坡长限制。①.上坡时，汽车的动力性能。②.下坡的行车 安全。大于5%有坡长限制，大于限制坡长应设＜3%的缓坡。其长 度应大于最小坡长。
4、缓和坡段
大于限制坡长应设＜3%的缓和坡段，其长度应大于最小坡长。
5、平均纵坡
某段路线高差与水平距离之比。i平=H/L（%） (1）作用： ①.衡量纵断面线型质量。 ②.可供放坡定线参考。 (2）规定 ①.越岭线高差200～500m时，i平≈5.5%为宜。 ②.越岭线高差＞500m时，i平≈5.0%为宜。 ②.任何连续3km内，i平≤5.5%。 ④.要考虑公路等级影响。
= 431.18m 设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m
K5+100.00：位于下半支
②按变坡点分界计算：
横距x2= ZD – Lcz = 5120.00 – 5100.00 ＝20m
竖距
y2
x
2 2
2R
202 0.10 2 2000
试计算竖曲线诸要素以及桩号为k5+000.00和k5+100.00处 的设计高程。
解：1．计算竖曲线要素
ω=i2- i1= - 0.04-0.05= - 0.09<0，为凸形。 曲线长 L = Rω=2000×0.09=180m
切线长 外距
T L 180 90 22
E T 2 902 2.03 2R 2 2000
一般公路，路基未设加宽超高前的路肩边缘的高程。
设计标高
设分隔带公路，一般为分隔带外边缘。 设计标高
城市道路：行车道中线 中央分隔带中线
设计标高
2、最小纵坡
为使道路上行车快速、安全和通畅，希望道路纵坡设计的小一些为 好。但是在挖方、低填方路段以及其它横向排水不畅路段，为保证 排水需要，均应设置不小于0.3%的最小纵坡，一般使用0.5%。当 必须设置平坡（0%）或小于0.3%的纵坡时，其边沟应做纵向排水
t
V 1.2
则
Rmin
Lminຫໍສະໝຸດ Baidu
V
1.2
▪3．满足视距的要求：
凸形竖曲线：坡顶视线受阻
凹形竖曲线：下穿立交
4. 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
凸形竖曲线最小半径和最小长度 :
竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度 的3秒行程 。
（三）凹形竖曲线最小半径和最小长度
第三章 纵断面设计
3.3 纵断面设计
本章主要内容： 一、纵断面设计的一般要求（1） 二、纵坡及坡长设计（1） 三、爬坡车道（1） 四、合成坡度（1） 五、竖曲线（1） 六、纵断面设计方法及表达（1） 七、视觉分析及平纵组合（1）
设计任务：1.纵断面设计，2.拉坡设计， 设计成果：1.纵断面设计图 ，2.竖曲线表
i
22
2
A
（3）竖曲线上任一点竖距h：
x2
x2
h PQ yP yQ 2R i1x i1x 2R
式中：x——竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离，
y——竖曲线上任意点到切线的纵距，即竖曲线上任意点 与坡线的高差。
L-x i
2
h’
h
(4) 竖曲线外距E： ▪ 上半支曲线x = T1时：
设3、计。坡长限制
大于i1为陡坡，汽车减速行驶，初速为V1，终速不低于V2，大于i2 的纵坡要限制其长度。 （1）最小坡长的限制
小坡长限制主要是指从汽车行驶平顺陛、路容美观、相邻竖曲线 设置、纵面视距等考虑．通常以计算行车速度9～15s的行程作为规 定值。《标准》规定值见表
（2）最大坡长限制 当汽车在坡道上行驶，车速下降到最低容许速度时所行驶的距离
凸型竖曲线 ω<0
2．竖曲线的作用：
（1）其缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在 变坡点的突变。
（2）保证公路纵向的行车视距： 凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凹形：下穿式立体交叉的下线。
3. 竖曲线的线形 《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。
抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。
4000
K13+550 173.513
3000
试计算K12+700～K13+300段50m间隔的整桩号的设计高程 值。
设置凹竖曲线的主要目的是缓和行车时的离心力，
确定凹竖曲线半径时，应以离心加速度为控制指
标。
R V2 V2 13a 3.6
或
Lmin
V 2
3.6
凹形竖曲线的最小半径、长度，除满足缓和离心
力要求外，还应考虑两种视距的要求：一是保证
夜间行车安全，前灯照明应有足够的距离；二是
保证跨线桥下行车有足够的视距。
①按竖曲线终点分界计算：
横距x2= Lcz – QD = 5100.00 – 4940.00＝160m
竖距
y2
x22 2R
1602 6.40 2 2000
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
= 427.68 + 0.05×(5100.00 - 5030.00)
2、设计标高 ①新建公路的路基设计标高高速公路和一级公路采用中
央分隔带的外侧边缘标高；二、三、四级公路采用路基边缘 标高，在设置超高、加宽地段为设超高、加宽前该处边缘标 高。
②改建公路的路基设计标高一般按新建公路的规定办理， 也可视具体情况而采用中央分隔带中线或行车道中线标高。
最大纵坡的总结： A，城市道路为公路按设计车速的最大纵坡-1%。 B，大、中桥≯4% C，非机动车≯ 2.5%，＞2.5%时有坡长限制。 D，隧道≯3% E, 海拔：公路：2000m以上，i≯8%。
《标准》规定竖曲线的最小长度应满足3s行程要 求。
（三）凹形竖曲线最小半径和最小长度
凹形竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度 的3秒行程 。
作业：
某二级公路一路段有三个变坡点，详细资料如下：
变坡点桩号 设计高程 竖曲线半径
K12+450 172.513
5000
+950 190.013
坡差
TA
Y L
TB
A
M
P
O
（1）二次抛物线的基本公式
Q
h
E
ω
l
t
y x2 2R
x
x
A
B
竖曲线计算图示
i 2
B
X
（2）竖曲线要素计算
L R
T1 T2 L/2 R
2
h l2 2R
E T2 2R
为竖曲任意点至竖曲线起点的距离
一、竖曲线要素的计算公式 1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式：
一、纵断面设计的一般要求
1、满足设计标准 2、尽量避免使用极限值 3、纵断面和地形协调 4、填挖平衡 5、满足最小填土高度和排水要求 6、桥头和交叉口处应该平缓 7、考虑通道和农田的要求
二、纵坡及坡长设计
1、最大纵坡
3%、4%的最大纵坡适合于高速公路和一级公路，当高速公路受地 形条件或其他特殊情况限制时，经技术经济论证最大纵坡可增加 1% 。8% 9%的最大纵坡适合于设计速度为30km/h 的三级公路以 及设计速度为20km/h 的四级公路上低速行驶。5%6% 7%的最大 纵坡适合于80km/h 60km/h 40km/h 的设计速度。
a v2 V2 , R V2
R 13R
13a
根据试验，认为离心加速度应限制在0.5～0.7m/s2比较 合适。我国《标准》规定的竖曲线最小半径值，相当于 a=0.278 m/s2。
Rm in
V2 3.6
,
或
Lm in
V 2
3.6
2．时间行程不过短 最短应满足3s行程。
Lmin
V 3.6
602 2 2000
0.90
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD） = 427.68 + 0.05×(5000.00 - 5030.00)
= 426.18m 设计高程 HS = HT - y1 = 426.18 - 0.90=425.18m （凸竖曲线应减去改正值）
K5+100.00：位于下半支
切线高程 HT = H1 + i2（ Lcz - BPD） = 427.68 - 0.04×(5100.00 - 5030.00)
= 424.88m 设计高程 HS = HT – y2 = 424.88 – 0.10 = 424.78m
二、竖曲线的最小半径
（一）竖曲线设计限制因素 1．缓和冲击 汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为:
▪下半支曲线x = T2时：
E1
T12 2R
E2
T22 2R
▪ 由于外距是变坡点处的竖距，则E1 = E2 = E，
故 T1 = T2 = T
T2 E
或
2R
R 2 L T
E 8 84
[例4-3]：某山岭区一般二级公路，变坡点桩号为k5+030.00， 高程H1=427.68m，i1=+5%，i2=-4%，竖曲线半径R=2000m。
第三节 竖曲线
1．定义：
纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车用一段 曲线来缓和，称为竖曲线。 变坡点：相邻两条坡度线的交点。
变坡角：相邻两条坡度线的坡角差，通常用坡度值 之差代替，用ω表示，即
ω=α2-α1≈tgα2- tgα1=i2-i1
i3 凹型竖曲线
ω>0 i1 α1
i2 ω α2
第一节 概 述
定义：沿道路中线竖向剖面的展开图即为路线纵断面。
纵断面设计：研究路线线位高度及坡度、坡长变化情 况的过程。
任务：研究纵断面线形的几何构成及其大小与长度。
依据：汽车的动力特性、道路等级、当地的自然地理 条件以及工程经济性等。
路线纵断面图构成：
地面线：根据中桩点的高程绘的一条折线； 设计线：路线上各点路基设计高程的连线。 变坡导线：变坡点间的连线
（2）Y轴过抛物线起点。
y
1 2R
x2
i1x
式中：R——抛物线顶点
B
处的曲率半径 ；
i1——竖曲线顶 （底）点处切线的坡度。
A
2．竖曲线诸要素计算公式
（1）竖曲线长度L或竖曲线半径R：
L = xA - xB
L R , R L
（2）竖曲线切线长T：
因为T = T1 = T2，则
B
T L R
一、竖曲线要素的计算公式
1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： （1）Y轴过抛物线底（顶）部；
y 1 x2 2R
式中：R——抛物线顶点
A
B
处的曲率半径
1.竖曲线的几何要素
几个参数：
i1, i2 ,
i2
i1
前坡，i后坡， 1
竖曲线起点QD＝（K5+030.00）- 90 = K4+940.00
竖曲线终点ZD＝（K5+030.00）+ 90 = K5+120.00
2．计算设计高程
K5+000.00：位于上半支
横距x1= Lcz – QD = 5000.00 – 4940.00＝60m
竖距
y1
x12 2R
称为最大坡长限制。①.上坡时，汽车的动力性能。②.下坡的行车 安全。大于5%有坡长限制，大于限制坡长应设＜3%的缓坡。其长 度应大于最小坡长。
4、缓和坡段
大于限制坡长应设＜3%的缓和坡段，其长度应大于最小坡长。
5、平均纵坡
某段路线高差与水平距离之比。i平=H/L（%） (1）作用： ①.衡量纵断面线型质量。 ②.可供放坡定线参考。 (2）规定 ①.越岭线高差200～500m时，i平≈5.5%为宜。 ②.越岭线高差＞500m时，i平≈5.0%为宜。 ②.任何连续3km内，i平≤5.5%。 ④.要考虑公路等级影响。
= 431.18m 设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m
K5+100.00：位于下半支
②按变坡点分界计算：
横距x2= ZD – Lcz = 5120.00 – 5100.00 ＝20m
竖距
y2
x
2 2
2R
202 0.10 2 2000
试计算竖曲线诸要素以及桩号为k5+000.00和k5+100.00处 的设计高程。
解：1．计算竖曲线要素
ω=i2- i1= - 0.04-0.05= - 0.09<0，为凸形。 曲线长 L = Rω=2000×0.09=180m
切线长 外距
T L 180 90 22
E T 2 902 2.03 2R 2 2000