排列组合习题-(含详细答案)

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排列组合专项训练

1.题1 (方法对比，二星)

题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？

(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？ 解析：“名额无差别”——相同元素问题

(法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配，

可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：

2

1

33C C +(种)

(法2——挡板法)

相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共：

246C =(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每

个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别)

同类题一 题面：

有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

答案：6

9C

详解：

因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板

方法对应一种分法共有69C 种分法。

同类题二

题面：

求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 答案：36. 详解：

将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36（个）。

2.题2 (插空法，三星)

题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要

求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种. 答案：60，48

同类题一

题面：

6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？

答案：A 66·A 47种.

详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 6

6·A 4

7种不同排法．

同类题二 题面：

有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )

A ．36种

B ．48种

C ．72种

D ．96种

答案：C.

详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个

空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 2

4＝72种排法，故选C.

3．题3 (插空法，三星)

题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．

1]没有坐人的7个位子先摆好，

[2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有：

58A =6720种排法.

(法2)[1]5个男生先排好：55A ；

[2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，

共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插1个、2个、3个元素，

共有：3216662C C C ++种，

综上：有55A (

321

6

6

62C C C ++)=6720

种.

同类题一

题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目

的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列

方法有多少种？ 答案：30。 详解：

记两个小品节目分别为A 、B 。先排A 节目。根据

A 节目前后的歌舞节目数目 考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，有

种方法。

这一步完成后就有5个节目了。

再考虑需加入的B 节目前后的节目数，同理知有

种

方法。故由分步计数原理知，方

法共有

（种）。

同类题二 题面：

(2013年开封模拟)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A ．60 B ．48 C ．42

D ．36

答案：B. 详解：

第一步选2女相邻排列C 23·A 22，第二步与男—女排列

A 22，第三步男生甲插在中间，1

种插法，第四步男—男生插空C 14，故有

C 23·A 22·A 22·C 14＝48

种不同排法．

4.题4 (隔板法变形，三星)

题面：15个相同．．的球，按下列要求放入4个写上了1、2、3、4编号的盒子，各有多少种不同的放法?

(1)将15个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；

314364C =

(2)将15个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；

(3)将15个球放入盒子内，每个盒子不必非空； (4)任取5个球，写上1-5编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；

(5)任取10个球，写上1-10编号，奇数编号的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子． 解析：

(2)先将2、3、4号盒子分别放入1、2、3个球，剩下的

9个球用挡板法，3

8C =56

(3)借来4个球，转化为19个球放入盒子内，每个盒子

非空，3

18

816C =

(4)不能用“挡板法”，因为元素有差别.

(法1)必有一个盒子有2个球，24

5

4240C A =； (法2)先选3个球，分别排到4个盒子中的3个里，剩下的盒子自然放2个球.

33

54240C A =；

(法3)41

5

4480A C =，会重！需要除2！ 重复原因：1号盒子放1、5号球，先放1后放5与先放5、后放1是一样的！

(5)(法1)每个球都有2种选择，共有10

2种方法； (法2)奇数号的球有1、3、5、7、9，共5个，可以在1、3号两个盒子中选一个放入，

共有：54321055

555552C C C C C C +++++=种放法， 同理放偶数号的球也有52种方法，综上共有10

2种方法.