上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题含答案
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一．填空题（本大题共8题，每题5分，满分40分）1．（5分）函数y=（a2﹣3a+1）•a x是指数函数，则a等于．2．（5分）已知ab＞0，下面四个等式中，正确的命题为．①lg（ab）=lga+lgb；②lg=lga﹣lgb；③lg（）2=lg；④lg（ab）=．3．（5分）若函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则实数a的取值范围是．4．（5分）已知函数y=2|x|．若给出下列四个区间：①；②；③（0，+∞）；④（﹣∞，0），则存在反函数的区间是．（将所有符合的序号都填上）5．（5分）函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，则实数a的取值范围是．6．（5分）若函数f（x）=的值域是，则函数f﹣1（x）的值域为．7．（5分）已知函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）有下列命题：①y=f（x）的图象关于y轴对称；②当x＞0时，当x＜0时，y=f（x）是减函数；③y=f（x）的最小值是lg2．其中正确的命题是．8．（5分）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是．二．解答题（本大题共5题，满分60分），9．（10分）设集合A={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，集合B={y|y=3﹣|x|}．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．10．（10分）若2x+4y﹣4=0，z=4x﹣2•4y+5，求z的取值范围．11．（12分）已知函数f（x）=|lgx|．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，并根据草图求出满足f（x）＞1的x的集合；（Ⅱ）若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），求证：ab＜1．12．（14分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？13．（14分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若m=﹣1时，判断函数f（x）在上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x，f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，当时，f（x）的取值恰为，求实数a，b的值．上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题共8题，每题5分，满分40分）1．（5分）函数y=（a2﹣3a+1）•a x是指数函数，则a等于3．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的定义是y=a x（a＞0且a≠1），列出条件表达式，求出a的值．解答：解：根据题意，得；，解得a=3．故答案为：3．点评：本题考查了指数函数的概念与应用问题，解题时应利用指数函数的定义进行解答，是容易题．2．（5分）已知ab＞0，下面四个等式中，正确的命题为③．①lg（ab）=lga+lgb；②lg=lga﹣lgb；③lg（）2=lg；④lg（ab）=．考点：命题的真假判断与应用；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接通过对数的基本性质判断A、B、C的正误；通过对数的换底公式判断D的正误即可．解答：解：对于①lg（ab）=lga+lgb，当a＞0、b＞0时成立，a＜0、b＜0时不成立，所以①不正确；对于②lg=lga﹣lgb，当a＞0、b＞0时成立，a＜0、b＜0时不成立，所以②不正确；对于③lg（）2=lg，当＞0时成立，＜0时不成立，由ab＞0可得：＞0，所以③正确；对于④当ab≠1时，lg（ab）=，当ab=1时，不成立，所以④不正确．故答案为：③点评：本题以命题的真假的判断为载体，考查对数的基本性质与换底公式的应用，考查基本知识的应用．3．（5分）若函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则实数a的取值范围是﹣＜a＜﹣．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，分a的取值讨论，从而求a的取值范围．解答：解：①当a=0时，﹣2x+1=0，故x=；②当a＜0时，函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1的零点一正一负，故f（﹣2）•f（﹣1）=（6a+5）（2a+3）＜0，故﹣＜a＜﹣；③当a＞0时，ax2﹣（a+2）x+1=0的两根为正值，故函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上没有零点，综上所述，﹣＜a＜﹣．故答案为：﹣＜a＜﹣．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．4．（5分）已知函数y=2|x|．若给出下列四个区间：①；②；③（0，+∞）；④（﹣∞，0），则存在反函数的区间是①③④．（将所有符合的序号都填上）考点：反函数．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由反函数的定义，结合函数y=2|x|的性质求解．解答：解：由函数y=2|x|的性质知，其在上单调递增，在上先减后增；在（0，+∞）上单调递增；在（﹣∞，0）上单调递减，故存在反函数的区间是①③④；故答案为：①③④．点评：本题考查了反函数存在的条件应用，属于基础题．5．（5分）函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，则实数a的取值范围是．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：设t=﹣x2+6x﹣5，根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：由﹣x2+6x﹣5＞0解得1＜x＜5，即函数的定义域为{x|1＜x＜5}，设t=﹣x2+6x﹣5，则函数y=log0.5t为减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知函数f（x）的单调递减区间，即是函数t=﹣x2+6x﹣5的递增区间，∵t=x2﹣6x﹣7，递减增间为（1，3]，∴函数f（x）的递减区间为（1，3]，∵函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，∴，解得1≤a≤2，故答案为：点评：本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．6．（5分）若函数f（x）=的值域是，则函数f﹣1（x）的值域为．考点：反函数．专题：计算题．分析：由已知中函数f（x）=的解析式，我们可以判断出函数f（x）的单调性，进而根据函数f（x）=的值域是，我们可以确定函数f（x）=的定义域，即函数f﹣1（x）的值域．解答：解：∵函数f（x）=为减函数又∵函数f（x）=的值域是，∴函数f（x）=的定义域为∴函数f﹣1（x）的值域故答案为：点评：本题考查的知识点是反函数，其中求反函数的值域，即求原函数的定义域是解答本题的关键．另外，判断出原函数的单调性，也很关键．7．（5分）已知函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）有下列命题：①y=f（x）的图象关于y轴对称；②当x＞0时，当x＜0时，y=f（x）是减函数；③y=f（x）的最小值是lg2．其中正确的命题是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断①；利用对勾函数的单调性判断②；由对勾函数的最值及复合函数的最值结合函数奇偶性求得函数的最值判断③．解答：解：函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，命题①正确；当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，命题②错误；由②知，f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（1）=lg2，由函数f（x）为偶函数，则f（x）在（﹣∞，0）上的最小值为lg2，则y=f（x）的最小值是lg2，命题③正确．故答案为：①③．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．8．（5分）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是①②．考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由图象知：t=2时，y=4，代入解析式求出a，可判断①；令t=5代入解析式求解判断②；令y=4、y=12分别求出t，再求出差值判断③；根据图象得变化趋势判断增长速度越来越快，可判断④．解答：解：由图象知，t=2时，y=4，∴a2=4，故a=2，①正确；当t=5时，y=25=32＞30，②正确，当y=4时，由4=2t1知，t1=2，当y=12时，由12=2t2知，t2=log212=2+log23．t2﹣t1=log23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．故答案为：①②．点评：本题考查指数函数的图象与性质，以及函数图象与解析式得关系，考查识图能力．二．解答题（本大题共5题，满分60分），9．（10分）设集合A={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，集合B={y|y=3﹣|x|}．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：（1）利用真数大于零、偶次根式的被开方数非负列不等式是解决本题的关键；准确求解一元二次不等式、含绝对值的不等式是解决本题的前提．（2）用字母p表示出集合C，借助数轴分析列出关于实数p的不等式是解决本题的关键．解答：解：（1）x2﹣x﹣2＞0∴（x﹣2）（x+1）＞0∴x＞2或x＜﹣1∴A={x|x＜﹣1或x＞2}y=3﹣|x|≤3∴B={x|x≤3}∴A∩B={x|x＜﹣1或2＜x≤3}A∪B=R．（2）∵C≤A∴∴p≥4∴p的取值范围为专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得z=（2x+1）2﹣4，令2x =t，则z=（t+1）2﹣4．再根据4y=4﹣2x＞0，求得0＜t＜2，根据z=（t+1）2﹣4在（0，2）上单调递增，可得z的范围．解答：解：∵2x+4y﹣4=0，∴z=4x﹣2•4y+5=（2x）2﹣2（4﹣2x）+5=（2x）2+2•2x﹣3=（2x+1）2﹣4．令2x =t，则z=（t+1）2﹣4．再根据4y=4﹣2x＞0，可得0＜2x＜4，即0＜t＜2．根据z=（t+1）2﹣4在（0，2）上单调递增，可得﹣3＜z＜21．点评：本题主要考查指数函数的定义域和值域，二次函数的性质的应用，属于基础题．11．（12分）已知函数f（x）=|lgx|．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，并根据草图求出满足f（x）＞1的x的集合；（Ⅱ）若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），求证：ab＜1．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，如图所示：令f（x）=1，可得x=10，或x=．由此求得满足f（x）＞1的x的集合．（Ⅱ）由条件可得|lga|＞|lgb|，故有﹣lga＞lgb，即lga+lgb＜0，化为lgab＜0，从而得到0＜ab＜1．解答：解：（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，如图所示：令f（x）=1，可得x=10，或x=．故满足f（x）＞1的x的集合为（0，）∪（10，+∞）．（Ⅱ）证明：若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），可得|lga|＞|lgb|，故有﹣lga＞lgb，即lga+lgb＜0，化为lgab＜0，∴0＜ab＜1．点评：本题主要考查对数函数的图象和性质应用，属于中档题．12．（14分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：（1）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．解答：解：（1）f（x）=k 1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．（0≤x≤20）令，则==所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y max=3万元．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．13．（14分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若m=﹣1时，判断函数f（x）在上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x，f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，当时，f（x）的取值恰为，求实数a，b的值．考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：（1）由于，单调递减，再由复合函数的单调性可得函数，在上的单调性．（2）由f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，可得m=±1，经检验，m=﹣1满足条件（3）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪，分（b，a）⊆（﹣∞，0）和（b，a）⊆2种情况，根据f（x）的取值恰为，求出实数a，b的值．解答：解：（1），任取x2＞x1＞2，记，∴，∴ϕ（x）单调递减．当a＞1时，f（x）在单调递减，当0＜a＜1时，f（x）在单调递增．…（4分）（2）由f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，可得+=0，得﹣m2x2=﹣x2，m=±1．…（8分）∵当m=1时，f（x）=无意义，∴m=﹣1，f（x）=．…（10分）（3）由于f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪，若（b，a）⊆（﹣∞，0），与a＞0矛盾，不合题意．…（12分）若（b，a）⊆，∴2≤b＜a，由（1）知f（x）为减函数．故值域即为，∴b=2…（15分）又，得a=3．…（16分）点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．。
2014-2015学年上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷含答案
2014-2015学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∪B=．2．（3.00分）“若，则”是（真或假）命题．3．（3.00分）函数的定义域为．4．（3.00分）命题“若x≠3且x≠4，则x2﹣7x+12≠0”的逆否命题是．5．（3.00分）已知f（x）=x，g（x）=，则f（x）•g（x）=．6．（3.00分）若幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）=．7．（3.00分）若函数f（x）=（）x+m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是．8．（3.00分）设函数y=f（x）在区间[﹣2，a]上是奇函数，若f（﹣2）=11，则f（a）=．9．（3.00分）设x＞0，则x+的最小值为．10．（3.00分）已知y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≥f（2），则a的取值范围是．11．（3.00分）已知关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式c（2x+1）2+b（2x+1）+a＞0的解集为．12．（3.00分）近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮在大片的水葫芦，严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容景观．为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关．如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2；③水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；其中正确的说法有．（请把正确的说法的序号都填在横线上）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分，不选、错选或者选出的代号超过一个（不论代号是否都写在圆括号内），一律得零分.13．（3.00分）下列命题中正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＞b D．若，则a＞b14．（3.00分）设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．（3.00分）若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1}B．{y|y≥1}C．{y|y＞0}D．{y|y≥0}16．（3.00分）函数的图象是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8.00分）解不等式组．18．（8.00分）已知函数，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．（10.00分）设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x ∈R}，（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．20．（12.00分）将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，设水箱的高h，底面边长x，水箱的表面积（各个面的面积之和）为S．（1）将S表示成x的函数；（2）根据实际需要，底面边长不小于0.25，不大于1.25，当底面边长为多少时，这个水箱表面积最小值，并求出最小面积．21．（14.00分）已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a、b为实常数．（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，求实数b的取值范围．2014-2015学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∪B={﹣1，0，1，2，4} ．【解答】解：∵A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∪B={﹣1，0，1，2，4}，故答案为：{﹣1，0，1，2，4}，2．（3.00分）“若，则”是真（真或假）命题．【解答】解：若若，则x+y＞2，xy＞1，故为真命题，故答案为：真；3．（3.00分）函数的定义域为[﹣2，1）∪（1，2] ．【解答】解：要使函数有意义，需满足，解得：﹣2≤x≤2且x≠1，所以函数的定义域为：[﹣2，1）∪（1，2]．故答案为：[﹣2，1）∪（1，2]．4．（3.00分）命题“若x≠3且x≠4，则x2﹣7x+12≠0”的逆否命题是若x2﹣7x+12=0，则x=3或x=4．【解答】解：逆否命题是：若x2﹣7x+12=0，则x=3或x=4；故答案为：若x2﹣7x+12=0，则x=3或x=4．5．（3.00分）已知f（x）=x，g（x）=，则f（x）•g（x）=x2﹣2x，（x≥2）．【解答】解：由题意，x﹣2≥0，故x≥2；f（x）•g（x）=x（x﹣2）=x2﹣2x，故答案为：x2﹣2x，（x≥2）．6．（3.00分）若幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）=．【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），∵，解得α=﹣．∴f（x）=．故答案为：．7．（3.00分）若函数f（x）=（）x+m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：∵函数f（x）为减函数，∴若函数f（x）=（）x+m的图象不经过第一象限，则满足f（0）=1+m≤0，即m≤﹣1；故答案为：（﹣∞，﹣1]8．（3.00分）设函数y=f（x）在区间[﹣2，a]上是奇函数，若f（﹣2）=11，则f（a）=﹣11．【解答】解：∵函数y=f（x）在区间[﹣2，a]上是奇函数，∴a=2；又∵f（﹣2）=11，∴f（2）=﹣f（﹣2）=﹣11；故答案为：﹣11．9．（3.00分）设x＞0，则x+的最小值为．【解答】解：∵x＞0，∴x+=x+1+﹣1﹣1=﹣1，当且仅当x=﹣1时取等号．故答案为：．10．（3.00分）已知y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≥f（2），则a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数∴y=f（x）在[0，+∞）是减函数∵f（a）≥f（2），∴|a|≤2∴a∈[﹣2，2]故答案为：[﹣2，2]11．（3.00分）已知关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式c（2x+1）2+b（2x+1）+a＞0的解集为（﹣，0）．【解答】解：关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，即有1，2是方程ax2+bx+c=0（a＜0）的两根，则1+2=﹣，1×2=，即有b=﹣3a，c=2a，不等式c（2x+1）2+b（2x+1）+a＞0即为2a（2x+1）2﹣3a（2x+1）+a＞0，即2（2x+1）2﹣3（2x+1）+1＜0，即有＜2x+1＜1，解得，﹣＜x＜0．则解集为（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．12．（3.00分）近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮在大片的水葫芦，严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容景观．为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关．如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2；③水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；其中正确的说法有①②④．（请把正确的说法的序号都填在横线上）．【解答】解：∵其关系为指数函数，图象过（4，16）点，∴指数函数的底数为2，故①正确，当t=5时，s=32＞30，故②正确4对应的t=2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；∵t1=1，t2，=log23，t3=log26，∴有t1+t2=t3，故④正确，综上可知①②④正确．故答案为：①②④．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分，不选、错选或者选出的代号超过一个（不论代号是否都写在圆括号内），一律得零分.13．（3.00分）下列命题中正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＞b D．若，则a＞b【解答】解：对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a=﹣2，b=﹣1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a=﹣1，b=2，满足，但a＜b，故D不正确．故选：C．14．（3.00分）设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵：|x﹣2|＜3，∴﹣1＜x＜5，显然，甲⇒乙，但乙不能⇒甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选：A．15．（3.00分）若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1}B．{y|y≥1}C．{y|y＞0}D．{y|y≥0}【解答】解：∵M={y|y=2﹣x}={y|y＞0}，P={y|y=}={y|y≥0}，∴M∩P={y|y＞0}，故选：C．16．（3.00分）函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：令x=0，则=1，即图象过（0，1）点，排除C、D；令x=1，则=＜1，故排除A故选：B．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8.00分）解不等式组．【解答】解：由≤2得：≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣＜x＜3+，∴不等式组得解集为（3﹣，﹣1）∪[1，3+）．18．（8.00分）已知函数，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【解答】解：由题意知，函数的定义域是R，又∵，∴f（x）为奇函数．19．（10.00分）设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x ∈R}，（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|x2+4x=0，x∈R}={0，﹣4}若A∩B=A∪B，则A=B，则有a+1=2且a2﹣1=0，解可得a=1（2）若A∩B=B，则B⊆A∴B=∅或{0}或{﹣4}或{0，﹣4}；①当B=∅时，△=[2（a+1）]2﹣4•（a2﹣1）＜0⇒a＜﹣1②当B={0}时，⇒a=﹣1③当B={﹣4}时，⇒a不存在④当B={0，﹣4}时，⇒a=1∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪{1}．20．（12.00分）将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，设水箱的高h，底面边长x，水箱的表面积（各个面的面积之和）为S．（1）将S表示成x的函数；（2）根据实际需要，底面边长不小于0.25，不大于1.25，当底面边长为多少时，这个水箱表面积最小值，并求出最小面积．【解答】解：（1）由题得8x+4h=12…（2分）水箱的表面积S=4xh+2x2…（4分），∴S=x（12﹣8x）+2x2=﹣6x2+12x（5分），…（6分）（2）S=﹣6（x﹣1）2+6（8分）x∈[0.25，1.25]…（9分），∴当…（11分）∴当水箱的底面边长为0.25米时，这个水箱的表面积最小，为平方米…（12分）21．（14.00分）已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a、b为实常数．（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由已知，方程）=x++b=3x+1有且仅有一个解x=2，因为x≠0，故原方程可化为2x2+（1﹣b）x﹣a=0，…（1分）所以，…（3分）解得a=﹣8，b=9．…（5分）（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．…（7分）证明：设x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）=x2+﹣x1﹣=（x2﹣x1）•，因为x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞a，所以f（x2）﹣f（x1）＞0．…（10分）所以f（x）在（，+∞）上是增函数．…（11分）（3）因为f（x）≤10，故x∈[，1]时有f（x）max≤10，…（12分）由（2），知f（x）在区间[，1]的最大值为f（）与f（1）中的较大者．…（13分）所以，对于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，当且仅当，即对任意的a∈[，2]成立．…（15分）从而得到b≤．…（17分）所以满足条件的b的取值范围是（﹣∞，]．…（18分）。
2014-2015年上海市闸北区高一上学期期末数学试卷带答案
2014-2015学年上海市闸北区高一（上）期末数学试卷一．填空题（本大题共8题，每题5分，满分40分）1．（5.00分）函数y=（a2﹣3a+1）•a x是指数函数，则a等于．2．（5.00分）已知ab＞0，下面四个等式中，正确的命题为．①lg（ab）=lga+lgb；②lg=lga﹣lgb；③lg（）2=lg；④lg（ab）=．3．（5.00分）若函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则实数a的取值范围是．4．（5.00分）已知函数y=2|x|．若给出下列四个区间：①[2，4]；②[﹣4，4]；③（0，+∞）；④（﹣∞，0），则存在反函数的区间是．（将所有符合的序号都填上）5．（5.00分）函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，则实数a的取值范围是．6．（5.00分）若函数f（x）=的值域是[﹣1，1]，则函数f﹣1（x）的值域为．7．（5.00分）已知函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）有下列命题：①y=f（x）的图象关于y轴对称；②当x＞0时，当x＜0时，y=f（x）是减函数；③y=f（x）的最小值是lg2．其中正确的命题是．8．（5.00分）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是．二．解答题（本大题共5题，满分60分），9．（10.00分）设集合A={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，集合B={y|y=3﹣|x|}．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．10．（10.00分）若2x+4y﹣4=0，z=4x﹣2•4y+5，求z的取值范围．11．（12.00分）已知函数f（x）=|lgx|．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，并根据草图求出满足f（x）＞1的x的集合；（Ⅱ）若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），求证：ab＜1．12．（14.00分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？13．（14.00分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若m=﹣1时，判断函数f（x）在上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x，f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，当时，f（x）的取值恰为，求实数a，b的值．2014-2015学年上海市闸北区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题共8题，每题5分，满分40分）1．（5.00分）函数y=（a2﹣3a+1）•a x是指数函数，则a等于3．【解答】解：根据题意，得；，解得a=3．故答案为：3．2．（5.00分）已知ab＞0，下面四个等式中，正确的命题为③．①lg（ab）=lga+lgb；②lg=lga﹣lgb；③lg（）2=lg；④lg（ab）=．【解答】解：对于①lg（ab）=lga+lgb，当a＞0、b＞0时成立，a＜0、b＜0时不成立，所以①不正确；对于②lg=lga﹣lgb，当a＞0、b＞0时成立，a＜0、b＜0时不成立，所以②不正确；对于③lg（）2=lg，当＞0时成立，＜0时不成立，由ab＞0可得：＞0，所以③正确；对于④当ab≠1时，lg（ab）=，当ab=1时，不成立，所以④不正确．故答案为：③3．（5.00分）若函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则实数a的取值范围是﹣＜a＜﹣．【解答】解：①当a=0时，﹣2x+1=0，故x=；②当a＜0时，函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1的零点一正一负，故f（﹣2）•f（﹣1）=（6a+5）（2a+3）＜0，故﹣＜a＜﹣；③当a＞0时，ax2﹣（a+2）x+1=0的两根为正值，故函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上没有零点，综上所述，﹣＜a＜﹣．故答案为：﹣＜a＜﹣．4．（5.00分）已知函数y=2|x|．若给出下列四个区间：①[2，4]；②[﹣4，4]；③（0，+∞）；④（﹣∞，0），则存在反函数的区间是①③④．（将所有符合的序号都填上）【解答】解：由函数y=2|x|的性质知，其在[2，4]上单调递增，在[﹣4，4]上先减后增；在（0，+∞）上单调递增；在（﹣∞，0）上单调递减，故存在反函数的区间是①③④；故答案为：①③④．5．（5.00分）函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：由﹣x2+6x﹣5＞0解得1＜x＜5，即函数的定义域为{x|1＜x＜5}，设t=﹣x2+6x﹣5，则函数y=log0.5t为减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知函数f（x）的单调递减区间，即是函数t=﹣x2+6x﹣5的递增区间，∵t=x2﹣6x﹣7，递减增间为（1，3]，∴函数f（x）的递减区间为（1，3]，∵函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，∴，解得1≤a≤2，故答案为：[1，2]6．（5.00分）若函数f（x）=的值域是[﹣1，1]，则函数f﹣1（x）的值域为[，] ．【解答】解：∵函数f（x）=为减函数又∵函数f（x）=的值域是[﹣1，1]，∴函数f（x）=的定义域为[，]∴函数f﹣1（x）的值域[，]故答案为：[，]7．（5.00分）已知函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）有下列命题：①y=f（x）的图象关于y轴对称；②当x＞0时，当x＜0时，y=f（x）是减函数；③y=f（x）的最小值是lg2．其中正确的命题是①③．【解答】解：函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y 轴对称，命题①正确；当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，命题②错误；由②知，f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，f （x）在（0，+∞）上的最小值为f（1）=lg2，由函数f（x）为偶函数，则f（x）在（﹣∞，0）上的最小值为lg2，则y=f（x）的最小值是lg2，命题③正确．故答案为：①③．8．（5.00分）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是①②．【解答】解：由图象知，t=2时，y=4，∴a2=4，故a=2，①正确；当t=5时，y=25=32＞30，②正确，当y=4时，由4=2t1知，t1=2，当y=12时，由12=2t2知，t2=log212=2+log23．t2﹣t1=log23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．故答案为：①②．二．解答题（本大题共5题，满分60分），9．（10.00分）设集合A={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，集合B={y|y=3﹣|x|}．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．【解答】解：（1）x2﹣x﹣2＞0∴（x﹣2）（x+1）＞0∴x＞2或x＜﹣1∴A={x|x＜﹣1或x＞2}y=3﹣|x|≤3∴B={x|x≤3}∴A∩B={x|x＜﹣1或2＜x≤3}A∪B=R．（2）∵C≤A∴∴p≥4∴p的取值范围为[4，+∞）10．（10.00分）若2x+4y﹣4=0，z=4x﹣2•4y+5，求z的取值范围．【解答】解：∵2x+4y﹣4=0，∴z=4x﹣2•4y+5=（2x）2﹣2（4﹣2x）+5=（2x）2+2•2x ﹣3=（2x+1）2﹣4．令2x =t，则z=（t+1）2﹣4．再根据4y=4﹣2x＞0，可得0＜2x＜4，即0＜t＜2．根据z=（t+1）2﹣4在（0，2）上单调递增，可得﹣3＜z＜21．11．（12.00分）已知函数f（x）=|lgx|．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，并根据草图求出满足f（x）＞1的x的集合；（Ⅱ）若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），求证：ab＜1．【解答】解：（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，如图所示：令f（x）=1，可得x=10，或x=．故满足f（x）＞1的x的集合为（0，）∪（10，+∞）．（Ⅱ）证明：若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），可得|lga|＞|lgb|，故有﹣lga＞lgb，即lga+lgb＜0，化为lgab＜0，∴0＜ab＜1．12．（14.00分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【解答】解：（1）f（x）=k 1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．（0≤x≤20）令，则==所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y max=3万元．13．（14.00分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若m=﹣1时，判断函数f（x）在上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x，f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，当时，f（x）的取值恰为，求实数a，b的值．【解答】解：（1），任取x2＞x1＞2，记，∴，∴ϕ（x）单调递减．当a＞1时，f（x）在单调递减，当0＜a＜1时，f（x）在单调递增．…（4分）（2）由f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，可得+=0，得﹣m2x2=﹣x2，m=±1．…（8分）∵当m=1时，f（x）=无意义，∴m=﹣1，f（x）=．…（10分）（3）由于f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪，若（b，a）⊆（﹣∞，0），与a＞0矛盾，不合题意．…（12分）若（b，a）⊆，∴2≤b＜a，由（1）知f（x）为减函数．故值域即为，∴b=2…（15分）又，得a=3．…（16分）………………………………………………………………………………………………………………………………………………………第11页（共11页）。
上海市浦东新区2015年高一第二学期期末联考数学考试试题
2015学年第二学期高一年级数学学科期末联考试卷（满分：100分 完成时间：90分钟 ）一、填空题（本大题满分36分）本大题共12题，只要求填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1、的定义域是函数)12arcsin(-=x y _______________2、的反函数是函数23+=xy ________________________3、==x x x f 取最小值时，当函数sin 3)(_____________________4、的坐标为，则点）的图像恒经过定点，＜（函数P P a a x x f a 10log 4)(≠+=____________ 5、的终边在第）在第二象限，则（已知点α∠a a cos ,sin P 象限6、=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2cos ,257cos 2ααα则，且，ππ已知_______________ 7、=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧=310,90,log )(3f f x x x x f x ，则＜＞已知函数_______________ 8、的值域是函数)1(log )(22+=x x f ___________________9、=-∈=+αααααcos sin 0,32cos sin ，π），则（且已知__________________10、如右图，长为3，宽为1的矩形木块，在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一块小木块挡住，使木块与桌面成30角，则点A 走过的路程是_____________ 11、的取值范围是上恒成立，则实数在的不等式若关于c x x x x c ]21,0(0log 2∈≤-_____________ ()_____________)(),(B A C ,A C 0sin 12为的单调递增区间则函数的长为可以重合），设线段、（直线交曲线于点轴的且平行于上，过在曲线，动点＜π）的图像为曲线＜（、设函数x f x f AB B A x y x x x y =二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出4个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对的3分，否则一律得零分.13、是一个函数x y 2sin =…………………………………………………………………………（ ）（A ）周期为π的奇函数 （B ）周期为π的偶函数（C ）周期为2π的奇函数 （D ）周期为2π的偶函数 小值为的最轴对称，则关于）个单位，所得的图像＞（向左平移π、把函数m y m m x y 0)6cos(14-= ……………………………………………………………………………………………………………（ ）（A ）12π （B ）6π （C ）3π （D ）2π 此人将，，度分别为，要求它的三条高的长、某人要作一个三角形5111113115……………（ ） （A ）不能作出满足要求的三角形 （B ）作出一个锐角三角形（C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形[]）为（，上述结论正确的数目；④值域为；则函数最大值为单调函数；③若在定义域内不是②ππ，有下列结论：①、对于函数R x x f f f xx x x f 86,6)(;0)()(1010log )(162-∈=+-+-+-=（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤..)tan()2sin(53cos 17的值ππ是第二象限角，求，、已知αααα---=).1(log 1)1(log )4(log 18222++=-++x x x 、解方程的值》求，）若（）；（求和两点的横坐标分别是、）若（两点、于位圆，它们的终边分别交单、锐角轴正半轴为始边的两个，以、在平面直角坐标系中)cos(,1sin sin 23cos cos 2sin ,55210101.19βαβαβαβαβα-=+=++B A B A x[][].,43)(02)(11sin 32cos 2)(202的值，求，的值域是时，，π）当（增区间；的最小正周期和单调递时，求）当（，、已知函数b a x f x x f a b x x a x f ∈=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.,32A 1cos cos 221的取值范围则求）若（的值；）求角（）所对边，且（、、分别为角、、中，、已知在锐角△c b a Ba Abc C B A c b a ABC +==-。
2014-2015年上海市宝山区高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2014-2015学年上海市宝山区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3.00分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是．2．（3.00分）设全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，则∁U S=．3．（3.00分）设关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数，则实数k的取值范围是．4．（3.00分）已知x=log75，用含x的式子表示log7625，则log7625=．5．（3.00分）函数y=的最大值为．6．（3.00分）若函数f（x）=﹣a是奇函数，则实数a的值为．7．（3.00分）若不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集为（2，3），则m﹣n=．8．（3.00分）设α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．9．（3.00分）设a，b均为正数，则函数f（x）=（a2+b2）x+ab的零点的最小值为．10．（3.00分）给出下列命题：①直线x=a与函数y=f（x）的图象至少有两个公共点；②函数y=x﹣2在（0，+∞）上是单调递减函数；③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数f（x）=a x﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1）．⑤设函数y=f（x）存在反函数，且y=f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）﹣1的图象一定过点（2，0）．其中，真命题的序号为．11．（3.00分）设函数f（x）（x∈R）满足|f（x）+（）2|≤，且|f（x）﹣（）2|≤．则f（0）=．12．（3.00分）若F（x）=a•f（x）g（x）+b•[f（x）+g（x）]+c（a，b，c均为常数），则称F（x）是由函数f（x）与函数g（x）所确定的“a→b→c”型函数．设函数f1（x）=x+1与函数f2（x）=x2﹣3x+6，若f（x）是由函数f1﹣1（x）+1与函数f2（x）所确定的“1→0→5”型函数，且实数m，n满足f（m）=f（n）=6，则m+n的值为．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13．（3.00分）“a＞1”是“a＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3.00分）函数y=x+（x＞0）的递减区间为（）A．（0，4]B．[2，4]C．[2，+∞）D．（0，2]15．（3.00分）如图为函数f（x）=t+log a x的图象（a，t均为实常数），则下列结论正确的是（）A．0＜a＜1，t＜0 B．0＜a＜1，t＞0 C．a＞1，t＜0 D．a＞1，t＞0 16．（3.00分）设g（x）=|f（x+2m）﹣x|，f（t）为不超过实数t的最大整数，若函数g（x）存在最大值，则正实数m的最小值为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（8.00分）解不等式组：．18．（8.00分）某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N+，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？19．（10.00分）已知f（x）=|x+a|（a＞﹣2）的图象过点（2，1）．（1）求实数a的值；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．20．（12.00分）设函数f（x）=log m（1+mx）﹣log m（1﹣mx）（m＞0，且m≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当m=2时，解方程f（6x）=1；（3）如果f（u）=u﹣1，那么，函数g（x）=x2﹣ux的图象是否总在函数h（x）=ux﹣1的图象的上方？请说明理由．21．（14.00分）对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”．（1）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系；（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+，总存在k ∈N+，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．求正整数n的最小值．2014-2015学年上海市宝山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3.00分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．【解答】解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）2．（3.00分）设全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，则∁U S={x|x＜﹣1} ．【解答】解：∵全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，∴∁U S={x|x＜﹣1}，故答案为：{x|x＜﹣1}．3．（3.00分）设关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数，则实数k的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数所以：k﹣2＞0解得：k＞2所以实数k的取值范围为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）4．（3.00分）已知x=log75，用含x的式子表示log7625，则log7625=4x．【解答】解：∵x=log75，∴log7625==4x，故答案为：4x．5．（3.00分）函数y=的最大值为2．【解答】解：函数=函数的定义域{x|0＜x＜4}所以：当x=2时，函数取最小值所以：y min=2故答案为：26．（3.00分）若函数f（x）=﹣a是奇函数，则实数a的值为1．【解答】解：因为奇函数f（x）=﹣a的定义域是R，所以f（0）=﹣a=0，解得a=1，故答案为：1．7．（3.00分）若不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集为（2，3），则m﹣n=﹣1．【解答】解：∵不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集为（2，3），∴对应方程x2﹣mx+n=0的两个实数根2和3，由根与系数的关系，得，∴m﹣n=5﹣6=﹣1．故答案为：﹣1．8．（3.00分）设α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是[﹣2，0] ．【解答】解：∵α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，∴α是β的充分条件，则，即，解得﹣2≤m≤0，故答案为：[﹣2，0]．9．（3.00分）设a，b均为正数，则函数f（x）=（a2+b2）x+ab的零点的最小值为﹣．【解答】解：函数f（x）=（a2+b2）x+ab的零点即方程（a2+b2）x+ab=0的解，x=﹣≥﹣；当且仅当a=b时，等号成立；故答案为：﹣．10．（3.00分）给出下列命题：①直线x=a与函数y=f（x）的图象至少有两个公共点；②函数y=x﹣2在（0，+∞）上是单调递减函数；③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数f（x）=a x﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1）．⑤设函数y=f（x）存在反函数，且y=f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）﹣1的图象一定过点（2，0）．其中，真命题的序号为②④⑤．【解答】解：对于①，直线x=a与函数y=f（x）的图象至多有1个公共点；，故①错误；对于②，由于﹣2＜0，由幂函数的性质可知，函数y=x﹣2在（0，+∞）上是单调递减函数，故②正确；对于③，幂函数y=x﹣1的图象不经过坐标原点，故③错误；对于④，函数f（x）=a x﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1），故④正确；对于⑤，设函数y=f（x）存在反函数，且y=f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）的图象过点（2，1），y=f﹣1（x）﹣1的图象一定过点（2，0），故⑤正确．综上所述，真命题的序号为②④⑤．故答案为：②④⑤．11．（3.00分）设函数f（x）（x∈R）满足|f（x）+（）2|≤，且|f（x）﹣（）2|≤．则f（0）=．【解答】解：利用赋值法，令x=0，则|f（0）﹣1|解得：同理：令x=0，则|f（0）|解得：所以：即f（0）=故答案为：12．（3.00分）若F（x）=a•f（x）g（x）+b•[f（x）+g（x）]+c（a，b，c均为常数），则称F（x）是由函数f（x）与函数g（x）所确定的“a→b→c”型函数．设函数f1（x）=x+1与函数f2（x）=x2﹣3x+6，若f（x）是由函数f1﹣1（x）+1与函数f2（x）所确定的“1→0→5”型函数，且实数m，n满足f（m）=f（n）=6，则m+n的值为2．【解答】解：∵f1（x）=x+1，∴f1﹣1（x）=x﹣1，即f1﹣1（x）+1=x﹣1+1=x，∵f（x）是由函数f1﹣1（x）+1与函数f2（x）所确定的“1→0→5”型函数，∴f（x）=x（x2﹣3x+6）+5，由f（m）=f（n）=6可得f（m）=6，f（n）=12，即m（m2﹣3m+6）=1，n（n2﹣3n+6）=7，设m+n=t，则m=t﹣n，代入m（m2﹣3m+6）=1，可得（t﹣n）[（t﹣n）2﹣3（t﹣n）+6]=1，即n3﹣（3t﹣3）n2+（3t2﹣6t+6）n﹣t3+3t2﹣6t+1=0，对照n2的系数，可得3t﹣3=﹣3，∴t=2故答案为：2．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13．（3.00分）“a＞1”是“a＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若a＞1，则a＞0成立，若a=，满足a＞0，但a＞1不成立，故“a＞1”是“a＞0”的充分不必要条件，故选：A．14．（3.00分）函数y=x+（x＞0）的递减区间为（）A．（0，4]B．[2，4]C．[2，+∞）D．（0，2]【解答】解：函数y=（x＞0）则：解得：0＜x＜2所以函数的递减区间为：（0，2）故选：D．15．（3.00分）如图为函数f（x）=t+log a x的图象（a，t均为实常数），则下列结论正确的是（）A．0＜a＜1，t＜0 B．0＜a＜1，t＞0 C．a＞1，t＜0 D．a＞1，t＞0【解答】解：因为对数函数y=t+log a x的图象在定义域内是增函数，可知其底数大于1，由图象可知当x=1时，y=t＜0，故选：C．16．（3.00分）设g（x）=|f（x+2m）﹣x|，f（t）为不超过实数t的最大整数，若函数g（x）存在最大值，则正实数m的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（t）为不超过实数t的最大整数，∴当n﹣1≤x+2m＜n，（n∈Z）时，f（x+2m）=n﹣1；故n﹣1﹣2m≤x＜n﹣2m；故2m﹣1＜f（x+2m）﹣x≤2m；又∵m＞0；故若函数g（x）存在最大值，则2m≥|2m﹣1|；故m≥；故选：D．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（8.00分）解不等式组：．【解答】解：原不等式组可化为，解得，从而有0＜x＜2，所以，原不等式的解集为（0，2）．18．（8.00分）某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N+，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？【解答】解：（1）若每间客房日租金提高4x元，则将有10x间客房空出，故该中心客房的日租金总收入为y=（40+4x）（200﹣10x）=40（10+x）（20﹣x），（这里x∈N•且x＜20）．（2）∵y=40（10+x）（20﹣x）≤40（=40×225=9000，当且仅当10+x=20﹣x，即x=5时，y的最大值为9000，即每间客房日租金为40+4×5=60（元）时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为9000元．19．（10.00分）已知f（x）=|x+a|（a＞﹣2）的图象过点（2，1）．（1）求实数a的值；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．【解答】解：（1）依题意得f（2）=1，即|2+a|=1，∵a＞﹣2，∴2+a=1，解得a=﹣1，（2）由（1）可得f（x）=|x﹣1|，故y==，即y=．定义域：（﹣∞，1）∪（1，+∞），值域：[﹣1，1]，奇偶性：非奇非偶函数，单调（递减）区间：（﹣∞，0]．20．（12.00分）设函数f（x）=log m（1+mx）﹣log m（1﹣mx）（m＞0，且m≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当m=2时，解方程f（6x）=1；（3）如果f（u）=u﹣1，那么，函数g（x）=x2﹣ux的图象是否总在函数h（x）=ux﹣1的图象的上方？请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣，），关于原点对称；又f（﹣x）=log m（1﹣mx）﹣log m（1+mx）﹣f（x），即f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为定义域（﹣，）上的奇函数．（2）当m=2时，f（x）=log2（1+2x）﹣log2（1﹣2x），由f（6x）=1得log2（1+2•6x）﹣log2（1﹣2•6x）=1，去对数得1+2•6x=2（1﹣2•6x），解得6x=，从而x=﹣1．经检验，x=﹣1为原方程的解．（3）方法一：注意到f（x）的定义域为（﹣，）．若m＞1，则﹣＜u＜，即u2＜1；若0＜m＜1，则考虑函数F（x）=f（x）﹣x+1．因log m（1+mx）在（﹣，）上递减，而log m（1﹣mx）在（﹣，）上递增，故f（x）在（﹣，）上递减，又﹣x在（﹣，）上递减，所以F（x）在（﹣，）上也递减；注意到F（0）=1＞0，F（1）=f（1）＜0，所以函数F（x）在（0，1）上存在唯一零点，即满足f（u）=u﹣1的u∈（0，1）（且u唯一），故u2＜1．综上所述，u2＜1．于是g（x）﹣h（x）=（x2﹣ux）﹣（ux﹣1）=（x﹣u）2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，即g（x）﹣h（x）＞0，即对于任一x∈R，均有g（x）＞h（x），故函数g（x）=x2﹣ux的图象总在函数h（x）=ux﹣1图象的上方．方法二：注意到f（x）的定义域为（﹣，）．若m＞1，则﹣＜u＜，即u2＜1；若0＜m＜1，设函数G（x）==﹣m x﹣1﹣1，注意到在（﹣，）上递增，m x﹣1在（﹣，）上递减，故G（x）在（﹣，）上递增，又G（0）=1﹣＜0，G（1）=﹣1＞0，所以函数G（x）在（0，1）上存在唯一零点，又G（x）=0，即f（x）=x﹣1，于是，满足f（u）=u﹣1的u∈（0，1）（且u唯一），故u2＜1．综上所述，u2＜1．于是g（x）﹣h（x）=（x2﹣ux）﹣（ux﹣1）=（x﹣u）2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，即g（x）﹣h（x）＞0，即对于任一x∈R，均有g（x）＞h（x），故函数g（x）=x2﹣ux的图象总在函数h（x）=ux﹣1图象的上方．21．（14.00分）对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”．（1）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系；（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+，总存在k ∈N+，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．求正整数n的最小值．【解答】解：（1）∵3×7＜11×2，∴（2，7）的下位序对是（3，11）．（2）∵（a，b）是（c，d）的“下位序对”，∴ad＜bc，∵a，b，c，d均为正数，故﹣=＞0，即﹣＞0，所以＞；同理＜．综上所述，＜＜．（3）依题意，得，注意到m，n，l 整数，故，于是2014（mn+n﹣1）≥2014×2015k≥2015（mn+1），∴n ≥，该式对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+的每个正整数m都成立∴n ≥=4029，∵＜＜，∴＜＜，∴＜＜，∴对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．正整数n 的最小值为4029。
上海市浦东新区2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题含答案
浦东新区2014-2015学年度第一学期期末质量测试高二数学一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．数1与9的等差中项是 .5 2．方程组21320x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为 .211320⎛⎫⎪-⎝⎭3．行列式24152134--k 的元素-3的代数余子式的值为7，则=k .34．若131lim 33(1)n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是 . )2,4(-∈a5．已知等差数列{}n a 的前n 项和248,60,n n S S ==则3n S =_______ . 366．已知()()126,3,3,8P P --，且12||2||PP PP =，点P 在线段12PP 的延长线上，则P 点的坐标为__________.()12,19-7. 已知向量、a b 满足==+=1a b a b ，则、a b 的夹角为___________.120︒ 8．设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .251+- 9．执行右边的程序框图，若9p =，则输出的S _______=. 5210. 给出下列命题：① 若022=+b a ，则==；② 若R k ∈，则0=⋅k ; ③若//=;④若两个非零向量+=+，则b a ⋅;（第11题图）⑤ 已知a 、b 、c 是三个非零向量，若0=+b a=. 其中真命题的序号是 . ①、④、⑤11．已知1e 、2e 是两个不平行的向量，实数x 、y 满足1212(5)(1)xe y e y e xe +-=++，则x y +=____________.512. 若数列{}n a 是等差数列，首项120142015201420150,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是___________ .4028 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13.“11220a b D a b =≠”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的 （ ）C A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14．若=)4,5(-，=)9,7(，向量AB 同向的单位向量坐标是 （ ）BA. )135,1312(--B. )135,1312(C. )135,1312(-D. )135,1312(- 15．用数学归纳法证明123(21)(1)(21)n n n +++++=++…时，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是 （ ）CA. 1B. 13+C. 123++D. 1234+++16. 由9个正数组成的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行中的三个数成等差数列，且131211a a a ++、232221a a a ++、333231a a a ++成等比数列，下列四个判断正确的有 （ ）A①第2列322212,,a a a 必成等比数列 ②第1列312111,,a a a 不一定成等比数列 ③23213212a a a a +≥+ ④若9个数之和等于9，则122≥a A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）已知关于x 的不等式012<+xa x 的解集为()b ,1-．求实数a 、b 的值。
上海第期高三名校数学理试题分省分项汇编 专题 数列数学归纳法与极限解析含解析
一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （ ）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】221lim 2n n n n→∞+=-___________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .【答案】1 【解析】试题分析：圆心为(0,1)，21nd n =+，22limlim1111n n n n→∞→∞==++． 考点：点到直线距离公式，极限．7.【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】14【解析】试题分析：等差数列}{n a 的公差为d ，则21()22n d dS n a n =+-，21()22n d dS n a n =+-，数列}{n S 是等差数列，则n S 是关于n 的一次函数（或者是常函数），则102da -=，2n d S n =，从而数列}{n S 的公差是2d ，那么有2d d =，0d =（舍去）或12d =，114a =． 考点：等差数列的通项公式．10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】计算：2211lim[()]12n n n n n →+∞--++=_________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：210lim323xnn→∞++=.【答案】23【解析】试题分析：这属于“∞∞”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以n（n的最高次幂），化为一般可求极限型，即210lim323xnn→∞++1022lim2333nnn→∞+==+．考点：“∞∞”型极限13.【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()1111112312nf nn n=++++++++L L(*n N∈)那么()()1f k f k+-共有项.14.【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：=+∞→133limnnn．15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.【答案】85 【解析】试题分析：数列{}n c 到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和10S 表示出来，1210b b S a a =++L10b a +11121[(1)][(1)][(1)]n a b a b a b =+-++-+++-L 1121010()10a b b b =++++-L =111091010102a b ⨯++-1110()451085a b =++-=. 考点：等差数列的通项公式与前n 和公式.二．能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}na 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________．可行，由此我们可得2016S =12344342414()()k k k k a a a a a a a a ---+++++++++L L 20132014(a a ++2015a + 2016)a +(222)(226)(22(42))(222014)k =+⨯++⨯+++⨯-+++⨯L L 25044(13=⨯+⨯++5+L 1007)+=1017072．考点：分组求和．2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ ． 【答案】4032- 【解析】试题分析：考虑到sin2n π是呈周期性的数列，依次取值1,0,1,0,-L ，故在122014a a a +++L 时要分组求和，又由n a 的定义，知1352013a a a a ++++L (1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f =++++++L2222221357200920112013=-+-++-+L 1(53)(53)(97)(97)=+-++-++L (20132011)+-⋅(20132011)+12(357920112013)=+++++++L 110062016=+⨯，242014a a a +++L(2)(3)(4)f f f =+++(5)(2014)(2015)f f f +++L 22223520132015=-+++-L 22(352013)2015=+++-L 2100620062015=⨯-，从而122014a a a +++L 1210062016=+⨯⨯图（1）图（2）图（3）……22015-4032=-．考点：周期数列，分组求和．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于 ．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a .6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2cos 1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 【答案】1006 【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子cos2n π，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和2014S 时，想象应该分组，依次4个为一组，12341(12)1(14)a a a a +++=+-+++6=，56781(16)1(18)6a a a a +++=+-+++=，43424141[1(42)]1(14)k k k k a a a a k k ---+++=+--+++6=，最后还剩下20131a =，2014120142013a =-=-，所以20146503120131006S =⨯+-=．考点：分组求和．9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S= .（用数字作答）10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =____时，n B 取得最大值.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数()(2318,3133,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为 （用k 表示）三．拔高题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值； （3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1) 210n a n =-；（2）20-；（3）229,15,*,940,6,*,n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列{}a中，n13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.（2）假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1k a -，k a ，1k a +（2k ≥，*k N ∈），由题意得，112+-+=k k k a a a ，将1)1(2--+=k k k a ，211)1(2----+=k k k a ，kk k a )1(211-+=++代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分化简得，21)1(42---⋅=-k k ，即11)1(42---⋅=k k ，得4)2(1=--k ，解得3=k所以，存在满足条件的连续三项为2a ，3a ，4a 成等比数列。
【2014浦东新区三模】上海市浦东新区2014届高三三模冲刺数学(理)试题 Word版含答案
浦东新区2014年5月高考练习卷数学（理） 2014.05注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式211x -≤的解集是_________.2. 设集合U R =,{21,}x A y y x R ==-∈则U A ð=_______.3.三角形的三边之比为3:5:7,则此三角形的最大内角是_______.4. 若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b R ∈），则b =____.5.已知双曲线2221(0)y x b b-=>的两个焦点分别是1F 、2F ，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴，1230PF F ∠=，则此双曲线的渐近线方程是________.6.某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是______（精确到0.1%）.7. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=____.8.已知复数2lg(1)i lg(1)z x x =-+-（其中i 是虚数单位）,若z 在复平面上对应的点位于第三象限,则实数x 的取值范围是_______. 9.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为_______．10.已知i 是虚数单位，集合{|,*}nA z z i n N ==∈，1212{|,}B z z z z A ωω==⋅∈、，（1z 可以等于2z )，从集合B 中任取一元素，则该元素为实数的概率为________. 11. 如图1所示的正方体的棱长为1,沿对角面(图中阴影部分)将其分割成两块,重新拼接成如图2所示的斜四棱柱,则所得的斜四棱柱的表面积是_______.12.在极坐标系中，已知点(1,)2A π，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为______.13. 有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，四次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有_____粒. 14. 以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，A B M 、、是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角θ，使，则直线OA 、OB 的斜率乘积为______.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.下列命题中错误的是（ ） A ．正棱锥的所有侧棱长相等； B ．圆柱的母线垂直于底面； C ．直棱柱的侧面都是全等的矩形；D ．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．16．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则满足()(1)f m f <的实数m 的取值范围是( )A.10m -<<B. 01m <<C. 11m -<<D. 11m -≤≤ 17．曲线2sin()cos()44y x x ππ=+-与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 1P 、2P 、3P 、…，则24P P 等于 ( ) A ． π B ． 2π C ． 3π D ． 4π18. 若当(,)P m n 为圆22(1)1x y +-=上任意一点时，不等式0m n c ++≥恒成立，则c的取值范围是（ ）A ．11c --≤≤B 11c -≤≤C ．1c ≤-D ．1c ≥-三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知一个圆柱和一个圆锥等底等高,如图,点O 为底面的圆心，点P 为圆锥的顶点.若圆柱的高等于它的底面直径，（1）求证:圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等; （2）求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值.20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知函数22cos()sin 2()2cos()6x x f x x ππ-=+，()x R ∈（1）求()f x 的最小正周期及判断函数()f x 的奇偶性； （2）在ABC ∆中，()0f A =，.若对任意实数t 恒有,求ABC ∆面积的最大值.21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分. 已知1(1)2nx +展开式的各项依次记为． 设．（1）若123(),(),()a x a x a x 的系数依次成等差数列，求n 的值；（2）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，恒有112|()()|2(2)1n F x F x n --≤+-.22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点00(,)P x y (00x ≠)作斜率为1k 、2k 的两条直线分别交抛物线C 于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（P 、A 、B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k . (1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2) 当1λ=时，若点P 的坐标为(1,1)-，求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围；(3) 设直线AB 上一点M ，满足，证明线段PM 的中点在y 轴上.23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.已知{}n a 是由非负整数组成的数列，且{}n a 是存在的, 满足120,3a a ==，)2)(2(211++=--+n n n n a a a a ，n=3，4，5，…… .（1）求3a ；（2）证明：22n n a a -=+（n=3,4,5，…）; （3）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S .浦东新区2014年5月高考练习卷数学（理） 2014.0513. 有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，四次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有_____粒. 解：称一次可以分出三堆珠子中哪一堆里有一粒重量比其它的轻.方法是将任意二堆放到天平上，若那一堆轻，就在这一堆里，若二堆一样，则在这三堆里. 所以这堆珠子最多有81粒.第一次称，将81粒平均分成三堆，每堆27粒，按上述方法可 判断出在哪一堆里，再将27粒平均分成三堆，每堆9粒，重复4次就可找到这粒最轻的珠子.14. 以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，A B M 、、是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角 ，使，则直线OA 、OB 的斜率乘积为______.解：由题意可设椭圆方程为x 22b 2+y 2b2=1，又设A x 1,y 1(),B x 2,y 2()因为M 点在该椭圆上，所以cos q ×x 1+sin q ×x 2()22b 2+cos q ×y 1+sin q ×y 2()2b 2=1，则cos 2q ×x 12+sin 2q ×x 22+2sin q cos q ×x 1x 22b 2+cos 2q ×y 12+sin 2q ×y 22+2sin q cos q ×y 1y 2b 2=1Þcos 2q x 122b 2+y 12b 2æèçöø÷+sin 2q x 122b 2+y 12b 2æèçöø÷+2sin q cos q ×x 1x 22b 2+2sin q cos q ×y 1y 2b 2=1又因为A 、B 点在也该椭圆上，所以x 122b 2+y 12b 2=1，x 222b 2+y 22b2=1所以2sin q cos q ×x 1x 22b 2+2sin q cos q ×y 1y 2b 2=0Þy 1y 2x 1x 2=-12， 即直线OA 、OB 的斜率乘积为-12同理当椭圆方程为y 22b 2+x 2b2=1时直线OA 、OB 的斜率乘积为-2.本题的表述应说清楚O 是坐标原点，且要交待椭圆的位置是以x 轴、y 轴为对称轴浦东新区2014年5月高考练习卷数学（理）答案及评分细则 2014.05一、填空题----结果等价即可得分1. [0,1].2. (,1]-∞-.3. 120.4. 4-. 5. y =. 6. 13.0%. 7.3. 8.(. 9.32． 10. 21.11. 4+.13. 81. 14. 12-. 二、选择题15.C 16．C 17．A 18.D 三、解答题----其它解法相应得分19．【解答】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，h=2r.（1）因为圆柱的所有母线都平行于OP ，圆锥的任意一条母线与轴OP 组成全等的直角三角形，如图，APO ∠为圆柱的母线和圆锥的母线所成的角.………………………………2分在Rt AOP ∆中，1tan 2OA APO AP ∠==，则1arctan 2APO ∠=…………………4分 所以，圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等，为1arctan 2.……6分（2）2h r =，l ==………………………………………………………8分22=226S rh r r πππ+=柱,…………………………………………………………9分21=2(12S r l r r πππ+⋅=+锥………………………………………………10分故，31)2S S ==柱锥。
上海市浦东新区高一上学期期末考试数学试卷含答案
上海市浦东新区2021--2022学年度第一学期期末考试高一年级数学试卷试卷共 4 页考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚； 2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；一、填空题（每小题3分，共36分） 1、若43πα=，则α的终边在第________象限. 2、如果32a =，那么3log 8=______．（用a 表示）3、设集合{}1,A a =，{}21,B a =．若A B =，则实数a 的值为______．4、某扇形的圆心角为2弧度，半径为4cm ，则该扇形的面积为___________2cm .5、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为_________.6、若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______.7、已知()()sin cos πθπθ-++=1tan tan θθ+的值是___________.8、设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若0()1f x >，则0x 的取值范围是________. 9、设x R ∈，求方程|2||23||35|x x x -+-=- 的解集__________ 10、设,0a b >，若41a b +=，则22log log a b +的最大值为__________．11、已知函数223,[,0]y x x x m =++∈的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是____________.12、已知R λ∈，函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，则实数λ的取值范围是______________.二、选择题：（每题3分，共12分）13、下列四个命题中，为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B.若a b >，c d >，则a c b d ->- C ．若||a b >，则22a b > D ．若a b >，则11a b< 14、若不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则不等式20cx bx a +<+的解集是（ ）. A ．(3,2)- B.(2,3)- C. (,2)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(2,)-∞-+∞15、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”成立时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°16、若存在实数a ，使得当[0,]x m ∈（0m >）时，都有2|21|||4x x a -+-≤，则实数m 的最大值是（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ． 52【提示】由各选项知最大值m t ≤，由214x -≤，解得3522x -≤≤，这样必须有52m ≤，然后不等式变形为22421421x x a x x -+-≤≤+--，记()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，分类讨论去绝对值符号，可得()f x 的最小值是3，因此()g x 的最大值性质不大于3，才存在a 保证不等式恒成立，由最大值()3g m ≤可得m 的范围，得m 的最大值； 三、解答题：(共52分)17、（本题8分）已知集合{||2|3}A x x =-<，集合12{|0}7xB x x -=>-，求集合A B18、（本题8分） 已知sin 0αα=，求 （1）222sin3sin cos 5cos αααα-+的值；（2）若[0,2)απ∈，求角α的值19、（本题12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为a m 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点,A B 分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB ，且60OAC ∠=︒.（1）在方案乙、丙中，设m AC x =，分别用x 表示围成区域的面积()22S m ，()23S m ;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由.20、（本题10分） 设函数()y f x =的表达式为2()||f x x x a =+-，其中a 为实常数. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）设0a >,函数()()f x g x x=在区间(0,]a 上为严格减函数，求实数a 的最大值.21、（本题14分） 已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数a ，b ，对任意的x D ∈，有2-∈a x D ，且使得()(2)2f x f a x b +-=均成立，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称，反之亦然，我们把这样的函数()f x 叫做“ψ函数；（1）已知“ψ函数”的图像关于点(1,2)对称，且(0,1)x ∈时，1()f x x x=-；求(1,2)x ∈时，函数()f x 的解析式；（2）已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，问()f x 是否为“ψ函数”？请说明理由； （3）对于不同的“ψ函数”()f x 与()g x ，若()f x 、()g x 有且仅有一个对称中心，分别记为(,)m p 和(,)n q ， ①求证：当m n =时，()()f x g x +仍为“ψ函数”；②问：当m n ≠时，()()f x g x +是否仍一定为“ψ函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例；【提示】（1）根据函数图像的对称关系列关系式计算即可；（2）根据“ψ函数”的定义，结合题给的具体函数解析式，计算出a ,b 的值即可得出结果；（3）①根据定义验证即可；②根据定义，举出具体函数验证结论，所举函数不唯一；答案解析2021--2022学年度第一学期期末高一年级数学卷试卷共 4 页考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚； 2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；一、填空题（每小题3分，共36分） 1、若43πα=，则α的终边在第________象限. 【提示】注意：高中研究“角”的前提 【答案】三； 【解析】+3παπ=；【说明】本题考查了角是“旋转”的量；高中研究角，前提：在直角坐标系中，顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上；2、如果32a =，那么3log 8=______．（用a 表示） 【提示】注意：指数与对数的互化； 【答案】3a ；【解析】方法1、由332log 2aa =⇒=，而33log 83log 23a ==；方法2、333log 83log 23log 33aa ===；【说明】本题主要考查指数与对数的互化或对数的换底公式； 3、设集合{}1,A a =，{}21,B a =．若A B =，则实数a 的值为______．【提示】注意：集合相等的隐含条件； 【答案】0；【解析】由已知，得20a a a =⇒=或1a =（舍去）； 【说明】本题考查了集合相等与集合元素的互异性；4、某扇形的圆心角为2弧度，半径为4cm ，则该扇形的面积为___________2cm . 【提示】注意：扇形的面积公式的相关要素； 【答案】16； 【解析】由221112416222S lr r α===⨯⨯=； 【说明】本题考查了扇形的面积公式，注意：角的单位须：弧度；5、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为_________.【提示】注意：“指数函数”的图像特征；【答案】(13)，【解析】由指数函数xy a =的图像恒经过一个定点(01)，，所以，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点(13)，；【说明】本题考查了指数函数xy a =的图像特征；6、若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______. 【提示】注意：幂函数的定义并判断单调性； 【答案】(],2-∞；【解析】由题意，不妨设幂函数()af x x =，因为，若幂函数()f x 过点()2,8，则幂函数为3y x =；又，幂函数为3y x =为奇函数；则不等式()()310f a f a -+-≤，等价为()()()()3131f a f a a a -≤-⇔-≤-，解得2a ≤；【说明】本题既考查了利用待定系数法求幂函数；又综合考查了函数的奇偶性、单调性的交汇；7、已知()()sin cos πθπθ-++=1tan tan θθ+的值是___________.【提示】注意：转化为“同角”； 【答案】3；【解析】由已知()()sin cos 3πθπθ-++=sin cos 3θθ-=；又1tan tan θθ+=sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθ+=， 再据21(sin cos )12sin cos 3θθθθ=-=-，解得1sin cos 3θθ=，所以，1tan tan θθ+=sin cos 13cos sin sin cos θθθθθθ+==； 【说明】本题既考查了诱导公式，又综合考查了平方关系及其变式2(sin cos )12sin cos θθθθ±=±；8、设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若0()1f x >，则0x 的取值范围是________. 【提示】注意：分段函数；在给定区间上利用单调性进行转化； 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞；【解析】当00x ≤时，由已知，得0010211221x x x --->⇔>⇔<-，即01x <-；当00x >时，由已知，得111222000111x x x >⇔>⇔>，即01x > 综上，可得01x <-或01x >；【说明】本题考查了依据分段函数，结合指数函数与幂函数的单调性进行等价转化为不等式解之； 9、设x R ∈，求方程|2||23||35|x x x -+-=- 的解集__________ 【提示】注意：题设中“(2)(23)(35)x x x -+-=-”的特点；【答案】3(,][2,)2-∞+∞；【解析】由三角不等式|35||(2)(23)||2||23|x x x x x -=-+-≤-+-，等号成立条件是：(2)(23)|0x x -⋅-≥，解得32x ≤或2x ≥，即3(,][2,)2-∞+∞； 【说明】本题基本方法是：分段讨论或借助函数数形结合，计算量大；但是，若能理解与用好“新教材”中的三角不等式与等号成立条件，则简捷合理；10、设,0a b >，若41a b +=，则22log log a b +的最大值为__________．【提示】注意：限制条件，研究“最大值”的目标是：小于等于常数，并保证等号成立； 【答案】4-；【解析】由,0a b >，若41a b +=，结合基本不等式，得1142416a b ab ab =+≥⇔≤（等号，当且仅当“41a b +=且4a b =”时成立）； 而22221log log log log 416a b ab +=≤=- 【说明】本题既考查了基本不等式，又考查了对数的运算法则；有一定的综合性；11、已知函数223,[,0]y x x x m =++∈的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是____________. 【提示】画出函数的图像，对称轴为1x =-，函数在对称轴的位置取得最小值2，令2()233f x x x =++=，可求得0x =，或2x =-，进而得到参数范围； 【答案】[2,1]--；【解析】函数2()23f x x x =++的图象是开口朝上，且以直线1x =-为对称的抛物线， 当1x =-时，函数取最小值2，令2()233f x x x =++=，则0x =，或2x =-，若函数2()23f x x x =++在[],0m 上的最大值为3，最小值为2，则[]2,1m ∈--，故答案为：[]2,1--；【说明】本题主要考查一元二次函数给定，区间变化；数形结合解答这类填充、选择题最有效；12、已知R λ∈，函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，则实数λ的取值范围是______________.【提示】注意：关键词“函数()y f x =图像”、“x 轴恰有两个交点” 【答案】 (]()1,34,+∞；【解析】方法1、由题意，函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，就是方程()0f x =有两个根； 分别解出方程40x -=有一个根：14x =，方程2430x x -+=有两个根21x =或33x =；所以，当1λ≤时，方程()0f x =有1个根；当13λ<≤时，方程()0f x =有2个根； 当34λ<≤时，方程()0f x =有3个根；当4λ>时，方程()0f x =有2个根； 综上，(]()1,34,λ∈+∞；方法2、画出函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩的图像，如图据图，得（同方法1）【说明】本题主要考查了分段函数、初等函数的图像；以及新教材中“零点”的定义与“三种等价”形式，渗透了函数与方程思想与数形结合的数学思想方法的考查； 二、选择题：（每题3分，共12分）13、下列四个命题中，为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B.若a b >，c d >，则a c b d ->- C ．若||a b >，则22a b > D ．若a b >，则11a b< 【提示】注意：不等式性质； 【答案】C ；【解析】由不等式性质22||0a b a b >>⇒> 【说明】本题考查了不等式性质； 14、若不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则不等式20cx bx a +<+的解集是（ ）. A ．(3,2)- B.(2,3)- C. (,2)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(2,)-∞-+∞【提示】注意：一元二次不等式与一元二次方程的沟通； 【答案】B ；【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则 得0a <且方程20ax bx c ++=的两个根为：112x =-或213x =，由11()()023c a =-⨯<，则0c >，所以，方程2 0cx bx a +=+的两个根为： 32x =-或43x =，则不等式2 0cx bx a +<+的解集是(2,3)-；【说明】本题综合考查了一元二次不等式与一元二次方程的沟通与一元二次方程根的定义；15、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”成立时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°【提示】注意审题，关键词“至少有一个不大于”； 【答案】B【说明】本题考查了新教材中新增必修的知识点“反证法”；16、若存在实数a ，使得当[0,]x m ∈（0m >）时，都有2|21|||4x x a -+-≤，则实数m 的最大值是（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ． 52【提示】由各选项知最大值m t ≤，由214x -≤，解得3522x -≤≤，这样必须有52m ≤，然后不等式变形为22421421x x a x x -+-≤≤+--，记()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，分类讨论去绝对值符号，可得()f x 的最小值是3，因此()g x 的最大值性质不大于3，才存在a 保证不等式恒成立，由最大值()3g m ≤可得m 的范围，得m 的最大值； 【答案】C ；【解析】由各选项知最大值m t ≤，因为214x -≤，解得3522x -≤≤，所以52m ≤；不等式2214x x a -+-≤可化为22421421x x a x x -+-≤≤+--.设()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，因为()22123021252x x x f x x x x m ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的最小值为3，所以当[]()0,0x m m ∈>时，都有()3g x ≤.若10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2233g x x x =--≤-；若1,2x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2253g x x x =+-≤，所以2280m m +-≤，解得2m ≤.综上，所求实数m 的最大值为2； 故选：C ；【说明】本题综合考查了分段函数、函数的最值、绝对值不等式、一元二次函数在给定区间上求最值；解题的切入点是：通过绝对值的性质挖掘自变量x 的隐含条件，由此得出52m ≤的隐含条件；从而，等价为一元二次函数在给定区间上求最值与恒成立问题； 三、解答题：(共52分)17、（本题8分）已知集合{||2|3}A x x =-<，集合12{|0}7xB x x -=>-，求集合A B 【提示】先利用“解不等式”知识，化简集合； 【解析】由条件可知，(1,5)A =-，1(,7)2B =，所以，(1,7)AB =-；【说明】本题考查了简单的绝对值不等式、分式不等式的解法与集合的并集运算；18、（本题8分） 已知sin 0αα=，求 （1）222sin3sin cos 5cos αααα-+的值；（2）若[0,2)απ∈，求角α的值【提示】注意：关于sin ,cos αα的“齐次式”的运算技巧，已知三角比求角，注意角的范围；【解析】由条件可知sin αα=，所以tan α=222222222sin 3sin cos 5cos 2tan 3tan 52sin 3sin cos 5cos =sin cos tan 1ααααααααααααα-+-+-+=++，所以，原式（2）由tan α=[0,2)απ∈，所以，25,33ππα=； 【说明】本题考查了同角三角比之间关系与已知三角比求角；而本题若注意“关于sin ,cos αα的“齐次式””，采用先化简后计算，则解答更简捷；19、（本题12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为a m 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点,A B 分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB ，且60OAC ∠=︒.（1）在方案乙、丙中，设m AC x =，分别用x 表示围成区域的面积()22S m ，()23S m ;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由. 【提示】（1）根据矩形面积与梯形的面积公式表示即可得答案；（2）先根据基本不等式研究方案甲得面积的最大值为24a ，再根据二次函数的性质结合（1）研究2S ，3S 的最大值即可得答案；【答案】（1）22S x ax =-+，0x a <<；23333S x =，0x a <<；（2）农户应该选择方案三； 【解析】（1）对于方案乙，当AC x =时，()m BC a x =-，所以矩形OACB 的面积()22S x a x x ax =-=-+，0x a <<；对于方案丙，当AC x =时，()m BC a x =-，由于60OAC ∠=︒ 所以113,22OA a x x a x OB =-+=-=， 所以梯形OACB 的面积为311313322222S a x a x a x ⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2333=，0x a <<.（2）对于方案甲，设,AO x BO y ==，则222x y a +=，所以三角形AOB 的面积为2221112224x y a S xy +=≤⋅=，当且仅当2x y ==时等号成立，故方案甲的鸡圈面积最大值为24a ；对于方案乙，由（1）得22222244a a a S x ax x ⎛⎫=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，0x a <<，当且仅当2a x =时取得最大值24a ，故方案乙的鸡圈面积最大值为24a ；对于方案丙，22343S x ax ⎫==-⎪⎝⎭2222242393a a x a x ⎤⎛⎫⎫=--=-⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，0x a <<. 当且仅当23a x =22； 由于()()()123max max max S S S =<所以农户应该选择方案丙，此时鸡圈面积最大；【说明】本题综合考查了利用函数模型建立函数关系式；然后通过求相应函数的“最值”，确定选择方案； 20、（本题10分） 设函数()y f x =的表达式为2()||f x x x a =+-，其中a 为实常数. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）设0a >,函数()()f x g x x=在区间(0,]a 上为严格减函数，求实数a 的最大值. 【提示】（1）利用奇偶性的定义，讨论0a =和0a ≠即可；（2）利用单调性的定义得出120x x a -<，进而得出20a a a ⎧≥⎨>⎩即可求出；【答案】（1）当0a =时，()y f x =为偶函数，当0a ≠时，()y f x =为非奇非偶函数；（2）1； 【解析】（1）可得()f x 的定义域为R ，关于原点对称，()22()||||f x x x a x x a -=-+--=++， 当0a =时，()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，当0a ≠时，()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，则()f x 为非奇非偶函数；（2）当(]0,x a ∈，2()()1x x a f x ag x x x x x+-===+-，任取120x x a <<≤， 则()()()()121212121212x x x x a a a g x g x x x x x x x ---=+--=，因为，120x x a <<≤，所以，120x x -<且2120x x a <<，因为，()g x 在区间(0，a ]上为严格减函数，所以，120x x a -<，即12a x x >恒成立，所以，2a a a ⎧≥⎨>⎩，解得01a <≤，所以， a 的最大值为1；【说明】本题综合考查了函数奇偶性的判断依据与方法，与分类讨论进行了简单的交汇；以及利用定义证明单调性的基本方法与步骤；【注意】利用定义判断函数单调性的步骤：（1）在定义域内任取12x x <；（2）计算()()12f x f x -并化简整理；（3）判断()()12f x f x -的正负； （4）得出结论，若()()120f x f x -<，则()f x 单调递增；若()()120f x f x ->，则()f x 单调递减； 21、（本题14分） 已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数a ，b ，对任意的x D ∈，有2-∈a x D ，且使得()(2)2f x f a x b +-=均成立，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称，反之亦然，我们把这样的函数()f x 叫做“ψ函数；（1）已知“ψ函数”的图像关于点(1,2)对称，且(0,1)x ∈时，1()f x x x=-；求(1,2)x ∈时，函数()f x 的解析式；（2）已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，问()f x 是否为“ψ函数”？请说明理由； （3）对于不同的“ψ函数”()f x 与()g x ，若()f x 、()g x 有且仅有一个对称中心，分别记为(,)m p 和(,)n q ， ①求证：当m n =时，()()f x g x +仍为“ψ函数”；②问：当m n ≠时，()()f x g x +是否仍一定为“ψ函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例；【提示】（1）根据函数图像的对称关系列关系式计算即可；（2）根据“ψ函数”的定义，结合题给的具体函数解析式，计算出a ,b 的值即可得出结果；（3）①根据定义验证即可；②根据定义，举出具体函数验证结论，所举函数不唯一； 【答案】（1）()12(12)2f x x x x=++<<-；（2）()f x 是“ψ函数”；（3）()()f x g x +①仍为“ψ函数”；m n ≠②时，()()f x g x +不一定是“ψ函数”；【解析】（1）根据“ψ函数”的概念，()()24f x f x +-=，所以， ()()42f x f x =--，()1,2x ∈时，()()20,1x -∈，又 ()0,1x ∈时，()1f x x x=-， ()1,2x ∈时，()()()114242222f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=++⎢⎥--⎣⎦， 即()1,2x ∈时，()f x 的解析式为 ()12(12)2f x x x x=++<<-； （2）方法1、根据题意，取52a =-，上式计算得()()58f x f x +--=，此时 4b =；所以函数()f x 是“ψ函数”； 方法2、()1234123412111134x x x x f x x x x x x x x x +++=+++=----++++++++， 所以，()5441121113f x x x x x --=------------；所以，()(5)8f x f x +--=；所以，()f x 关于点5(,4)2-对称，故函数()f x 是ψ函数； （3）根据题意，()()()()22,22f x f m x p g x g n x q +-=+-=，m n =①时，()()()()()22222f x f n x g x g n x p q p q +-++-=+=+，所以此时()()f x g x +仍为“ψ函数”；m n ≠时，()()f x g x +不一定是“ ψ函数”；设()1f x x=，易知函数()f x 图像关于 ()0,0对称，得0,0m p ==； 设()1xg x x =+，知函数()g x 图像关于()1,1-对称，得1,1n q =-=， ()()2123221222312342122232412311114123421222324f x f a x x x x x a x a x a x a x x x x x a x a x a x a x x x x x x x x x x a x a x a x a +-+++--+-+-+=+++++++++++-+-+-+-++++=++++++++++++--------此时，()()11x f x g x x x +=++，其图像不关于某一点对称，即不是“ ψ函数”；结论得证； 【说明】本题借助“新定义”，考查了新教材依据奇函数的定义，研究奇函数的图像关于原点对称的过程、方法与拓展；体现了考试试题“源于教材，又高于教材”的特点；。
上海市浦东新区2015届高三上学期期末考试(一模)数学试题 Word版含答案
浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试高三数学 2015.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．不等式21x>的解为 .2．已知复数z 满足2)1(=+i z （i 为虚数单位），则z = .3．关于,x y 的方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是 . 4．函数sin 3cos y x x =-的最大值为 . 5．若0lim =∞→nn x ，则实数x 的取值范围是 .6．已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210211，则y x += .7．双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角为 . 8．已知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=，则实数a = .9．二项式4)2(x x +的展开式中，含3x 项系数为 . 10．定义在R 上的偶函数()y f x =，在),0[+∞上单调递增，则不等式)3()12(f x f <-的解是 .11．如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .12．若直线l 的方程为0=++c by ax （b a ,不同时为零），则下列命题正确的是 .（1）以方程0=++c by ax 的解为坐标的点都在直线l 上； （2）方程0=++c by ax 可以表示平面坐标系中的任意一条直线； （3）直线l 的一个法向量为),(b a ； （4）直线l 的倾斜角为arctan()ab-.二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．设椭圆的一个焦点为)0,3(，且b a 2=，则椭圆的标准方程为 （ ）()A 1422=+y x ()B 1222=+y x ()C 1422=+x y ()D 1222=+x y PABCDE14．用1，2，3，4、5组成没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为 （ ）()A15 ()B 25 ()C 35 ()D 4515．下列四个命题中，为真命题的是 （ ）()A 若a b >，则22ac bc > ()B 若a b >，c d >则a c b d ->-()C 若a b >，则22a b >()D 若a b >，则11a b<16．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 （ ）()A 84 ()B 78 ()C 81 ()D 96 17．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若17017=S ，1197a a a ++则的值为 （ ）()A 10 ()B 20 ()C 25 ()D 3018．“直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC △的边BC ”的 （ ） ()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件19．函数1, 0()=2ln , >0x x f x xx x ⎧-<⎪⎨⎪-+⎩的零点个数为 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 320．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前五个交易日，平均每天上涨5%，后五个交易日内，平均每天下跌4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本，精确到元)（ ）()A 赚723元 ()B 赚145元 ()C 亏145元 ()D 亏723元 21．已知数列{}n a 的通项公式2,n a n n N *=∈，则5231234201220134345620142015a a a a a a a a a a a a a a a a ++++= （ ） ()A 16096-()B 16104- ()C 16112-()D 16120- 22．如果函数)(x f y =在区间I 上是增函数，而函数xx f y )(=在区间I 上是减函数，那么称函数)(x f y =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”. 若函数2321)(2+-=x x x f 是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为 （ ）()A ),1[∞+ ()B ]3,0[ ()C ]1,0[ ()D ]3,1[23．设θ为两个非零向量,a b r r 的夹角，已知对任意实数t ，||b ta -r r的最小值为2，则 （ ）()A 若θ确定，则||a r 唯一确定 ()B 若θ确定，则||b r唯一确定()C 若||a r 确定，则θ唯一确定 ()D 若||b r 确定，则θ唯一确定24．已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个实数根，则经过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与椭圆221164x y +=公共点的个数是 （ ） ()A 2 ()B 1()C 0()D 不确定三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）已知函数xxy -+=11lg的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 26．（本题满分8分）如图所示，圆锥SO 的底面圆半径1||=OA ，其侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，求此圆锥的体积． 27．（本题满分8分）已知直线12y x =与抛物线22(0)y px p =>交于O 、A 两点（F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点），若17AF =，求OA 的垂直平分线的方程.28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c b =，A ∠的平分线为AD ，若.AB AD mAB AC ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uu u r（1）当2m =时，求cos A 的值；(2) 当23(1,)3a b ∈时，求实数m 的取值范围.29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）在数列{}n a ，{}n b 中，13a =,15b =,142n n b a ++=,142n n a b ++=（*n N ∈）. （1）求数列{}n n b a -、{}n n a b +的通项公式；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，若对任意*n N ∈，都有(4)[1,3]n p S n -∈，求实数p 的取值范围.OASB30．（本题满分8分）某风景区有空中景点A 及平坦的地面上景点B ．已知AB 与地面所成角的大小为60，点A 在地面上的射影为H ，如图.请在地面上选定点M ，使得AB BMAM+达到最大值.31．(本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)设函数x x x f sin )(=（20π≤<x ）. （1）设0,0>>y x 且2π<+y x ，试比较)(y x f +与)(x f 的大小；（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.①对任意]2,0(π∈x 都有1)(cos <<x f x 成立；②对任意0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有<)(x f !11!9!7!5!31108642x x x x x -+-+-成立； ③若关于x 的不等式k x f <)(在]2,0(π有解，则k 的取值范围是),2(+∞π.32．(本题满分12分，第1小题5分、第2小题7分)已知三角形ABC △的三个顶点分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，(0,1)C .（1）动点P 在三角形ABC △的内部或边界上，且点P 到三边,,AC AB BC 的距离依次成等差数列，求点P 的轨迹方程；（2）若0a b <≤，直线l :y ax b =+将ABC △分割为面积相等的两部分，求实数b 的取值范围.MHBAO浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试高三数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1．0x >； 2．i -1； 3．(,5)-∞； 4．2； 5．)1,1(-； 6．6； 7．3π； 8．1； 9．24； 10．(1,2)-； 11．42arccos （7arctan ）； 12．（1）、（2）、（3）.二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分. 13．()A ； 14．()C ； 15．()C ； 16．()B ； 17．()D ； 18．()A ； 19．()C ； 20．()D ； 21．()A ； 22．()D ； 23．()B ； 24．()A .三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）解：集合)1,1(-=A ，……………………………………………………………………3分因为B A ⊆，所以 ⎩⎨⎧≤+-≥111a a ，01≤≤-⇒a .…………………………………6分即[]0,1-∈a . ………………………………………………………………………7分 26．（本题满分8分）解：因为1||=OA ，所以弧AB 长为π2，……………………………………………2分又因为32π=∠BSA ，则有ππ232=⋅SA ，所以3=SA ．……………………4分 在SOA Rt ∆中，1||=OA .22h SO SA OA ==-22=， …………………6分 所以圆锥的体积ππ322312==h r V ． ………………………………………8分27．（本题满分8分）解：OA 的方程为：12y x =. 由2212y px y x⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得280x px -=， 所以(8,4)A p p ，……………………………………………………………………3分由17AF =，可求得2p =.………………………………………………………5分 所以(16,8)A ，AO 中点(8,4)M .…………………………………………………6分 所以OA 的垂直平分线的方程为：2200x y +-=.………………………………8分28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)解：（1）由.b c = 又2.AB AD AB AC ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uu u r 得A bc A A b b cos 22cos )2cos (⋅=⋅………2分2cos 2cos 2AA ∴=…………………………………………………………………4分1cos 2cos .2A A += 1cos .3A ∴= ……………………………………………6分 （2）由.AB AD mAB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得1cos 21A m =-；…………………………………8分又222cos 2b c a A bc +-==222221122b a a b b -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭11(,)32，…………………10分 所以111(,)2132m ∈-，3(,2)2m ∴∈.……………………………………………12分 29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）解：（1）因为122n n b a +=+，122n n a b +=+，111()2n n n n b a b a ++-=--，即数列{}n n b a -是首项为2，公比为12-的等比数列，所以112()2n n n b a --=⋅-.…………………………………………………………3分111()42n n n n a b a b +++=++，1118(8)2n n n n a b a b +++-=+-，1180a b +-=，所以，当*n N ∈时，80n n a b +-=，即8n n a b +=.…………………………6分（2）由1812()2n n n n n a b b a -+=⎧⎪⎨-=⋅-⎪⎩ 得114()2n n b -=+-，214[1()]32n n S n =+--，21(4)[1()]32n n p p S n -=--，211[1()]332n p ≤--≤， 因为11()02n -->，所以1231131()1()22nnp ≤≤----.………………………8分 当n 为奇数时，11111()1()22n n=--+随n 的增大而增大， 且nnp )21(1332)21(11+≤≤+，2321≤≤p ，323≤≤p ；………………………10分 当n 为偶数时，11111()1()22n n=---随n 的增大而减小， 且n n p )21(1332)21(11-≤≤-，33234≤≤p ，292≤≤p . 综上，32≤≤p .…………………………………………………………………13分30．（本题满分8分）解：因为AB 与地面所成的角的大小为60，AH 垂直于地面，BM 是地面上的直线，所以 60,60≥∠=∠ABM ABH .∵,sin sin sin BAMA BM M AB ==…………………………………………………………2分∴()BM B M B A M AM BM AB sin sin sin sin sin sin ++=+=+ sin sin cos cos sin 1cos sin cos sin sin M B M B M B M M B B+++==+22cos 2sin cos cot sin cos sin 2B B M M M M B =+=+……………………………4分 cot30sin cos 3sin cos 2sin(30).M M M M M ≤+=+=+……………6分当60=∠=∠B M 时，AB BMAM+达到最大值，此时点M 在BH 延长线上，HM BH =处.……………………………………8分31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分) 解：（1）方法一（作商比较）：显然0)(>x f ，0)(>+y x f ，于是x y x x yx x y x x x x y x y x x f y x f sin sin sin cos cos sin sin )sin()()(++=⋅++=+. ………1分 因为x x y x x x x y sin cos sin 00sin 1cos 0<<⇒⎭⎬⎫><<.……………………………2分又x y y x x x x x x x y y sin sin cos 0sin cos 0tan 0sin 0<<⇒⎭⎬⎫<<⇒<<<<.……3分 所以x y x x y x x y x x sin sin sin cos cos sin 0+<+<. 即)()(1)()(x f y x f x f y x f <+⇒<+.…………………………………………4分 方法二（作差比较）：因为0)1(cos sin 0sin 1cos 0<-⇒⎭⎬⎫><<y x x x x y .…………………………………1分又0sin sin cos sin cos 0tan 0sin 0<-⇒⎭⎬⎫<<⇒<<<<x y y x x x x x x x y y .……2分 xy x xy x y x x x f y x f )(sin )()sin()()(++-+=-+0)()sin sin cos ()1(cos sin <+-+-=xy x x y y x x y x x .即)()(x f y x f <+.………………………………………………………………4分（2）结论①正确，因20π<<x .xx x x x x cos 1sin 1tan sin 0<<⇒<<<⇒.1)(cos <<⇒x f x .………………………………6分结论②错误，举反例: 设=)(x g !11!9!7!5!31108642x x x x x -+-+-.（利用计算器）010*********.3)5.0()5.0(14>⨯=--g f 等………………………………8分（010*********.3)6.0()6.0(13>⨯=--g f ， 010*********.1)1()1(10>⨯=--g f ，0)9.0()9.0(,0)8.0()8.0(,0)7.0()7.0(>->->-g f f f g f 均可）.结论③正确，由)()(x f y x f <+知x x x f sin )(=在区间]2,0(π上是减函数.所以ππ2)()2()(≥⇒≥x f f x f ，又1)(<x f ，所以x x x f sin )(=的值域为)1,2[π.要使不等式k x f <)(在]2,0(π有解，只要π2>k 即可.………………………10分32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分) 解：（1）法1：设点P 的坐标为(),x y ，则由题意可知：11222x y x y y -++-+=，由于10x y -+≥，10x y +-≤，0y ≥，…2分所以11222x y x y y -++--=，…………………………………………………4分化简可得：21y =-（2222x -≤≤-）……………………………………5分 法2：设点P 到三边,,AC AB BC 的距离分别为123,,d d d ，其中2d y =，||2||2||2AB AC BC ===.所以 131322122122d d yy d y d +=⎧⎪⇒=-⎨++=⎪⎩………4分 于是点P 的轨迹方程为12-=y （2222-≤≤-x ）……………………5分 （2）由题意知道01a b <≤<，情况（1）b a =.直线l ：(1)y a x =+，过定点()1,0A -，此时图像如右下： 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而13b a ==.………………………………………………7分情况（2）b a >.此时图像如右下：令0y =得1bx a=-<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，设其交点分别为,D E ，则直线l 与三角形两边的两个交点坐标()11,D x y 、()22,E x y 应该满足方程组：()()110y ax by x x y =+⎧⎪⎨--+-=⎪⎩. 因此，1x 、2x 是一元二次方程：()()()()()()11110a x b a x b -+-++-=的两个根.即()22212(1)(1)0a x a b x b -+-+-=, 由韦达定理得：()212211b x x a -=-而小三角形与原三角形面积比为12x x -，即1212x x =-.所以()221112b a -=--，()22112a b =--，亦即2112a b -=-. 再代入条件b a >，解得103a <<， 从而得到211,23b ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.……………………………………………………………11分综合上述（1）（2）得：211,23b ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦.……………………………………………12分解法2：由题意知道01a b <≤< 情况（1）b a =.直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -，由平面几何知识可知，直线l 应该过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而13b a ==.……………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.设直线l ：y ax b =+分别与边[]:1,0,1BC y x x =-+∈， 边[]:1,1,0AC y x x =+∈-的交点分别为点,D E ， 通过解方程组可得：1(,)11b a b D a a -+++，1(,)11b a bE a a ----，又点(0,1)C ， ∴0111112111111CDEba b S a a b a ba a ∆-+=++----=12，同样可以推出()22112a b --=.亦即2112a b -=-，再代入条件b a >，解得103a <<，从而得到211,23b ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.………………………………………………………11分综合上述（1）（2）得：211,23b ⎛⎤∈-⎥⎝⎦.………………………………………12分解法3：情况（1）b a =.直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -， 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而13b a ==.………………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.令0y =，得1bx a=-<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，设其交点分别为,D E ，当a 不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b也不断减小.当//DE AB 时，CDE ∆与CBA ∆相似，由面积之比等于相似比的平方.可知2211=-b ，所以212b >-， 综上可知211,23b ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦.…………………………………………………………12分- 11 -。
上海市浦东新区建平中学2014-2015学年高二数学第一学期期末测试卷带答案
上海市浦东新区建平中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试题C 卷 2015.1.23注意：1.答卷前，将姓名、班级、层次、学号填写清楚.答题时，书写规范、表达准确2.本试卷共有21道试题，满分100分.考试时间90分钟. 一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线30x +=的倾斜角为____________.2、椭圆22149x y +=的焦距是____________.3、双曲线2213y x -=的渐近线方程是________________.4、若矩阵100010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，100110B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则AB =______________. 5、经过点()3,1-和点()2,2-的直线的点方．．向式方程．．．．是____________________. 6、在复平面内，复数i 、1、42i +所对应的点分别为A 、B 、C ，则平行四边形ABCD的对角线BD 的中点所对应的复数为____________. 7、已知12,z z ∈，11z =且122z z i +=，则12z z -的最大值为____________.8、已知P 是双曲线22219x y a -=（0a >）上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=.设1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点，若26PF =，则1PF =____________.9、已知,,A B C 是圆O 上的三点，若()12AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角的大小为 ____________ .10、已知圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为____________. 11x b =+无实数解，则b 的取值范围是____________.12、过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作一条斜率大于0的直线l ，l 与抛物线交于A 、B 两点.若在准线上存在点P 使PAB ∆为等边三角形，则直线l 的斜率为____________. 二、选择题（每小题3分，共12分） 13、1041k ≥是方程20x x k -+=有实根的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件14、直线cos sin 0x y a θθ++=和直线sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是 （ ） （A ）平行 （B ）垂直相交 （C ）相交但不垂直 （D ）无法确定15、记{}()(),max ,,x x y x y y x y ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，{}()(),min ,,x x y x y y x y <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，设a 、b 为平面向量，则 下列命题正确的是（ ）（A ）{}{}min ,min ,a b a b a b +-≤ （B ）{}{}min ,min ,a b a b a b +-≥ （C ）{}2222max ,a b a bab +-≤+（D ）{}2222max ,a b a bab +-≥+16、已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 为双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦点(),0c ，经过这两条曲线的交点的直线恰好过点F ，则ca的值为（ ）（A ）（B ）1（C （D ）1三、解答题（8分+10分+10分+12分+12分） 17、已知点P 在直线6014x y -=-上，且点P 到()2,5A 、()4,3B 两点的距离相等，求点P 的坐标.18、已知a ，b ，c 为同一个平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若25c =，c //a ，求c 的坐标； （2）若52b =，()()2a b a b +⊥-，求a 、b 的夹角θ.19、已知命题p ：复数133z i =-，()222410252m m z m m i m --=++-+（m ∈），12z z +是虚数.命题q ：关于x 的方程：()2224170x m x m --++=（m ∈）的两个虚根．．的模的和不大于．．．若p 、q 均为真命题，求实数m 的取值范围.20、已知抛物线22y px =（0p >）上一点()1,M m 到其焦点的距离为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）设动直线l ：y kx b =+（0k ≠）与该抛物线有且只有一个公共点P ，且与抛物线的准线相交于点Q ，试证明：以PQ 为直径的圆恒过坐标平面内x 轴上定点N ，并求出定点N 的坐标.21、设动点P 到直线2x =的距离与它到定点()1,0，并记点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设()2,0M -，过点M 的直线l 与曲线C 相交于E 、F 两点.当线段EF 的中点T 落在由()10,1B -，()20,1B 为直径的圆内时，求直线l 斜率的取值范围；（3）设B是点1,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭关于原点的对称点，点P 是曲线C 上的一点，直线AP 和BP 分别与直线2x =相交于M ，N .问：是否存在这样的点P ，使得PAB ∆与PMN ∆面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.建平中学2014学年度第一学期期末考试高二数学C 卷评分标准一、填空题（每小题3分，共36分）1、6π 2、30y ±= 4、1001⎛⎫ ⎪⎝⎭5、3153x y +-=- 6、322i + 7、4 8、8或49、2π 10、4311、()[),10,1-∞-⋃12二、选择题（每小题3分，共12分） 13、C 14、B 15、D 16、B三、解答题（8+10+10+12+12=52分） 17、解：直线方程为：460x y +-=……（1）……………………2分设(,)P x y 由2222(2)(1)(4)(3)64x y x y y x⎧-+-=-+-⎨=-⎩………4分解得12x y =⎧⎨=⎩，()1,2P ∴。
2014-2015年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷及答案
2014-2015学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）数1与9的等差中项是．2．（3分）方程组对应的增广矩阵为．3．（3分）行列式的元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=．4．（3分）如果，则实数a的取值范围是．5．（3分）已知等差数列{a n}的前n项和S n=48，S2n=60，则S3n=．6．（3分）已知P1（6，﹣3），P2（﹣3，8），且，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为．7．（3分）已知向量，满足，则，的夹角为．8．（3分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…），则q=．9．（3分）执行如图的程序框图，若p=3，则输出的S=．10．（3分）给出下列命题：①若，则；②若k∈R，则；③若，则；④若两个非零向量满足，则；⑤已知、、是三个非零向量，若，则．其中真命题的序号是．11．（3分）已知、是两个不平行的向量，实数x、y满足，则x+y=．12．（3分）若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2014+a2015＞0，a2014．a2015＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．（3分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），向量同向的单位向量坐标是（）A．B．C．D．15．（3分）用数学归纳法证明1+2+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1），在验证n=1成立时，左边所得的代数式是（）A．1B．1+2C．1+2+3D．1+2+3+4 16．（3分）由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，给出下列判断：①第2列a12，a22，a32必成等比数列；②第1列a11，a21，a31一定成等比数列；③a12+a32≥a21+a23；④若9个数之和等于9，则a22≥1．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）已知关于x的不等式（x+a）x﹣2＜0的解集为（﹣1，b）．求实数a、b的值．18．（8分）设{a n}为等差数列，{b n}为等比数列．已知a1=b1=1，a2+a6=b4，b2b6=a4．分别求出a10和b10．19．（10分）一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度．（1）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？（2）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由．20．（12分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且，求的坐标；（2）若||=，且与垂直，求与的夹角θ；（3）若=（1，1），且与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．21．（14分）设x轴、y轴正方向的单位向量分别为，坐标平面上的点A n 满足条件：（n∈N*）．（1）若数列{a n}的前n项和为s n，且s n=，求数列{a n}的通项公式．（2）求向量的坐标，若△OA 1A n+1（n∈N*）的面积构成数列{b n}，写出数列{b n}的通项公式．（3）若c n=﹣2，指出n为何值时，c n取得最大值，并说明理由．2014-2015学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）数1与9的等差中项是5．【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：5．2．（3分）方程组对应的增广矩阵为．【解答】解：根据题意，方程组可把对应的增广矩阵直接写出故答案应该是．3．（3分）行列式的元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=3．【解答】解：由题意得M12=﹣=﹣（﹣4﹣k）=7，解得：k=3．故答案为：3．4．（3分）如果，则实数a的取值范围是﹣4＜a＜2．【解答】解：∵==∴∴∴﹣3＜a+1＜3∴﹣4＜a＜2故答案为：﹣4＜a＜25．（3分）已知等差数列{a n}的前n项和S n=48，S2n=60，则S3n=36．．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n…为等差数列．即48，12，S3n﹣60成等差数列，∴2×12=48+S3n﹣60，解得S3n=36，故答案为：366．（3分）已知P1（6，﹣3），P2（﹣3，8），且，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为（﹣12，19）．【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示；设点P（x，y），∵P在线段P1P2的延长线上，∴=﹣2，即（x﹣6，y+3）=﹣2（﹣3﹣x，8﹣y），∴（x﹣6，y+3）=（6+2x，﹣16+2y），∴，解得；∴点P的坐标为（﹣12，19）．故答案为：（﹣12，19）．7．（3分）已知向量，满足，则，的夹角为．【解答】解：由题意可得：||=1，所以，又因为所以=﹣，所以根据数量积的公式可得：cos ==﹣，因为∈[0，π]所以，故答案为：．}的公比为q，若a1=（a3+a4+…），则q=8．（3分）设无穷等比数列{a．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a1=（a3+a4+…），∴a1==，∴q2+q﹣1=0，∵|q|＜1，∴q=．故答案为：．9．（3分）执行如图的程序框图，若p=3，则输出的S=．【解答】解：由程序框图知：若p=3，第一次循环n=1，s=；第二次循环n=2，s=+=；第三次循环n=3，s=+=．不满足条件n＜3，跳出循环，输出s=．故答案为：．10．（3分）给出下列命题：①若，则；②若k∈R，则；③若，则；④若两个非零向量满足，则；⑤已知、、是三个非零向量，若，则．其中真命题的序号是①、④、⑤．【解答】解：若，则，则，则，故正确；②若k∈R，则，故错误；③，表示两个向量方向相同或相反或存在零向量，但不一定成立，故错误；④若两个非零向量满足，则两个向量同向，则，故正确；⑤已知、、是三个非零向量，若，则两个向量互为相反向量，大小相等，反向相反，则，即，故正确．故真命题的序号是：①、④、⑤．故答案为：①、④、⑤．11．（3分）已知、是两个不平行的向量，实数x、y满足，则x+y=5．【解答】解：∵、是两个不平行的向量，实数x、y满足，∴，解得x=3，y=2．∴x+y=5．故答案为：5．12．（3分）若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2014+a2015＞0，a2014．a2015＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是4028．【解答】解：∵等差数列a{a n}中1＞0，a2014+a2015＞0，a2014．a2015＜0，∴a2014＞0，a2015＜0，∴S4027===4027a2014＞0，同理可得S4028=2014（a2014+a2015）＞0，S4029===4029a2015＜0，∴使前n项和S n＞0成立的最大自然数n为：4028．故答案为：4028二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．（3分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由⇔a1 b2≠a2 b1，⇔直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，⇔方程组有唯一解，故选：C．14．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），向量同向的单位向量坐标是（）A．B．C．D．【解答】解：=（﹣5，4），=（7，9），向量=（12，5）．||==13．向量同向的单位向量坐标是：=．故选：B．15．（3分）用数学归纳法证明1+2+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1），在验证n=1成立时，左边所得的代数式是（）A．1B．1+2C．1+2+3D．1+2+3+4【解答】解：在等式1+2+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）中，当n=1时，2n+1=3，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3，故选：C．16．（3分）由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，给出下列判断：①第2列a12，a22，a32必成等比数列；②第1列a11，a21，a31一定成等比数列；③a12+a32≥a21+a23；④若9个数之和等于9，则a22≥1．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），故①正确；（a+d）+（c+n）≥2 =2（b+m），故③正确；再题意设由9个正数组成的矩阵是：，故②错；再题意设由若9个数之和等于9，a12+a22+a32=3，而a12，a22，a32必成等比数列，a 12+a22+a32=≥2+a32=3a22，即3≥3a22；所以a22≤1．则故④错；其中正确的序号有①③．故选：B．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）已知关于x的不等式（x+a）x﹣2＜0的解集为（﹣1，b）．求实数a、b的值．【解答】解：原不等式（x+a）x﹣2＜0，即x2+ax﹣2＜0，由题意得，﹣1，b是方程x2+ax﹣2=0的两根，则，解得a=﹣1，b=2．18．（8分）设{a n}为等差数列，{b n}为等比数列．已知a1=b1=1，a2+a6=b4，b2b6=a4．分别求出a10和b10．【解答】解：∵{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，∴a2+a6=2a4，b2b6=b42，由已知a2+a6=b4，b2b6=a4，∴b4=2a4，a4=b42．即b4=2b42．又b4≠0，∴b4=，a4=，由a1=1，a4=知{a n}的公差为d=，∴；由b1=1，b4=知{b n}的公比为，∴19．（10分）一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度．（1）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？（2）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由．【解答】解：（1）由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成a1=15，d=﹣2的等差数列，则当n=8时，（S n）max=S8=64即，飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米．（2）不能超过．由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b1=15，q=0.8的等比数列，则飞机模型上升的最大高度是这个等比数列的各项和．即，所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米．20．（12分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且，求的坐标；（2）若||=，且与垂直，求与的夹角θ；（3）若=（1，1），且与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）设，由和可得：解得，或，∴，或；（2）由得，，即，，，即有，所以；得，由θ∈[0，π]，得，θ=π；（3），由与的夹角为锐角，得，，若∥，得λ=0，所以，．21．（14分）设x轴、y轴正方向的单位向量分别为，坐标平面上的点A n 满足条件：（n∈N*）．（1）若数列{a n}的前n项和为s n，且s n=，求数列{a n}的通项公式．（2）求向量的坐标，若△OA 1A n+1（n∈N*）的面积构成数列{b n}，写出数列{b n}的通项公式．（3）若c n=﹣2，指出n为何值时，c n取得最大值，并说明理由．【解答】解：（1）由题意①，当n=1时，，当n≥2时，②由①﹣②得：，又当n=1时，a1=1符合题意，所以（n∈N*）（2）解：=++...+=（1+2+22+...+2n）+（1﹣1﹣1﹣ (1)=（2n+1﹣1）+（1﹣n），所以，，由当n∈N*时，△OA1A n+1的顶点坐标分别为：得，，即（n∈N*）（3），当n≥2时，=，∴1≤n≤3时，{c n}是递增数列，n≥5时，{c n}是递减数列，c1＜c2＜c3=c4＞c5＞c6＞…＞c n＞…，∴当n=3或n=4时，c n取得最大值，．。
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浦东新区2014-2015学年度第一学期期末质量抽测高一数学试卷（答题时间：90分钟 试卷满分：100分）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则B A =2．“若11x y >⎧⎨>⎩，则21x y xy +>⎧⎨>”是 （真或假）命题.3．函数1y x =-_____________． 4. 命题“若x ≠3且x ≠4，则x 2–7x +12≠0”的逆否命题是 ．5．已知()2-=x x x f ，()2-=x x g ，则()()=⋅x g x f.6．若幂函数)(x f 的图像经过点)33,3(，则()f x = . 7．若函数m x f x+⎪⎭⎫⎝⎛=21)(的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围是 .8. ()[]()()==-=a f f a f 则上是奇函数，若在区间设函数,112,2-x y __________．9. 设0>x ，则13++x x 的最小值为 10.已知()x f y =是R 上的偶函数，且()x f 在(]0,∞-上是增函数，若()()2f a f ≥，则a 的取值范围是.11、已知关于x 不等式02>++c bx ax 的解集为{x |1＜x ＜2}，则不等式2(21)(21)0c x b x a ++++>的解集为12．近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮在大片的水葫芦，严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容景观。
为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关。
下图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关系图像。
假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过302m ； ③水葫芦从42m 蔓延到122m 只需1.5个月；④设水葫芦蔓延至22m 、32m 、62m 所需的时间分别为1t 、2t 、3t ，则有123t t t +=；其中正确的说法有 . (请把正确的说法的序号都填在横线上).二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分，不选、错选或者选出的代号超过一个（不论代号是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．若下列命题中正确的是： ( ) （A ）若bc ac >，则b a >(B) 若a 2>b 2，则b a >（C ）若ba 11>，则b a < (D) 若b a <，则b a <14.设命题甲为“0<x<5”，命题乙为“|x-2|<3”，那么甲是乙的： （ ）（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件 15．若集合}{xy y M 2==，}{1-==x y y P ，则P M = （ ）（A ）}{1>y y（B ）}{1≥y y （C ）}{0>y y （D ）}{0≥y y16. 函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像是 （）三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分8分）解不等式组2321680x x x x +⎧≤⎪+⎨⎪-+<⎩【解】18．(本题满分8分)已知函数()1313+-=x x x f ，判断函数()x f 的奇偶性，并说明理由.【解】19．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）设集合},04|{2R x x x x A ∈=+=，},01)1(2|{22R x a x a x x B ∈=-+++=， （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值； （2）若A ∩B= B ，求实数a 的取值范围。
20．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，设水箱的高h ，底面边长x ，水箱的表面积（各个面的面积之和）为S 。
（1）将S 表示成x 的函数。
（2）根据实际需要，底面边长不小于0.25，不大于1.25，当底面边长为多少时，这个水箱表面积最小值，并求出最小面积。
【解】21．（本题满分14分，第1小题3分，第2小题6分，第3小题5分）已知函数()af x x b x=++，其中a b 、为实常数。
（1）若方程()31f x x =+有且只有一个实数解2x =，求实数a b 、的值；（2）设0a >，(0,)x ∈+∞，写出()f x 的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意1[,2]2a ∈，不等式()10f x ≤在1[,1]4x ∈上恒成立，求实数b 的取值范围。
【解】答案及评分细则一、填空题(本大题共有12题，满分36分。
每个空格填对得3分，等价即得分．) 1．}4,2,1,0,1{-; 2．真； 3．[)(]2,11,2-； 4.若x 2–7x +12=0，则 x=3或x=4 ；5．x x 22- ()2≥x ; 6．21； 7．1-≤m ； 8．-11 ； 9．132-； 10． []2,2- ； 11．1(,0)4-； 12． ①②④二、选择题 (本大题共有4题，每小题3分，本大题满分12分) 13． D ； 14． A ； 15．C ； 16．B三、解答题(其他解法相应得分) 17．(本题8分)解： 由213≤++x x 得：011≥+-x x ，∴1x 1≥-<或x …………………3分 由2680x x -+<得：24x << …………………………… 6分 ∴不等式组得解集为()2,4……………………………………… 8分18．(本题8分)解：奇函数 ……………………………………………………………………2分R x ∈任意 ，()()()()()()()11313113331133113133xx x x x x x x x xf x f x -------=====-++++3分4分5分6分7分 ⇒ ()x f 为奇函数. (8分）19．(本题10分，4+6)解：(1) A={x|x 2+4x =0，x ∈R}={0，-4}…………………………………………1分 若A ∩B ＝A ∪B ，则B A = …………………………………………2分()22101116811017a a a a a a a ⎧-===-⎧⎪⇒⎨⎨-++-===⎪⎩⎩或或 ……………………………3分 ∴1=a ……………………………………………………………………………4分 （2）若A ∩B= B ，则 B ⊆A∴ B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}；…………………………………………………5分 ①当B=∅时，⊿=[2(a+1)]2-4•(a 2-1)<0⇒ a< -1……………………………6分②当B={0}时，202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩ ⇒ a=-1 … …………………………7分 ③当B={-4}时，2442(1)161a a --=-+⎧⎨=-⎩ ⇒ a 不存在… …………………………8分④当B={0，-4}时，2402(1)01a a -+=-+⎧⎨=-⎩⇒ a=1 …………………………9分 ∴ a 的取值范围为}1{]1,( --∞。
…………………………10分20．(本题12分，6+6)解：（1）由题得1248=+h x ……………………………………………………2分水箱的表面积224x xh S +=……………………………………………4分∴()22812x x x S +-=＝x x 1262+-（5分）30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………6分(2) S ＝()6162+--x （8分） []0.25,1.25x ∈……………………9分∴当 210.25=8x S =小时，………………………………………………11分 ∴当水箱的高与底面边长都为0.25米时，这个水箱的表面积最小，为218平方米…12分21．(本题14分，3+6+5)解：（1）由()31f x x =+得31ax b x x++=+，即22(1)0x b x a +--=， ………1分 21020(1)80a b b a --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 89a b =-⎧⎨=⎩。
…………………………………………3分（2）()f x 在(0,上是单调递减函数，在)+∞上是单调递增函数。
证明：设12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，()()1212121212()(1)a a af x f x x x x x x x x x -=+--=--，120x x -<，………………5分当12,(0x x ∈时，1210ax x -<，()()12f x f x >，()f x 在(0,上递减；……7分当12,)x x ∈+∞时，1210ax x ->，()()12f x f x <，()f x 在)+∞上递增；…9分 （3）∵()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4f 与(1)f 中的较大者，…………………11分1[,2]2a ∈，不等式()10f x ≤在1[,1]4x ∈上恒成立，∴1()104(1)10f f ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，……………13分 39449b a b a⎧≤-⎪⎨⎪≤-⎩，74b ≤，即7(,]4b ∈-∞。
……………………………………………14分。