两点之间的距离公式及中点坐标公式

(0,y) M 2
M
A
A2
x x1 x2 x
y y1 y2 y
(0，y1)
A1 O M1
B1
x
(X1,0) (X,0) (X2,0)
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
y
A (x，y)
y
o x A1 x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？
y
A
A
o
x
A
显然，当A点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。
Ax1, y1, Bx2, y2
一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 B(x2，y2)，利用上y述方法求点A和B的距离
B2
B(x2，y2)
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
x2 35
则
2
2
M
C(5,2
y2 02
O
A(-3,0)
x
2
2
B(2,-2)
解得 x=0 ∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测〗 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5， 0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 312 4 22 8
d(A,C)= 5 -12 0 22 20
d(C,B)= 5 32 0 42 20
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
2、已知A（a，0）, B（0,10）两 点的距离等于17，求a的值。
3、已知 : AB的CD三个顶点坐标分别是 A(- 1,-2),B(3,1),C(0,2).求:第D点的坐 标。
1.两点间的距离公式；
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.中点坐标公式
x x1 x2 2
A(x1，y1) A2
o
A1
c
B1
x
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式 仍然成立。
• 给两点的坐标赋值：
x1 ?, y1 ?, x2 ?, y2 ?;
• 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量， 即
x x2 x1 y y2 y1
y D (b-a, c) C (b, c)
x
O A(0,0) B(a,0)
• 该题用的方法----坐标法。可以将几何 问题转化为代数问题。
2、中点公式
合作探究（二）：中点公式
已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， 设 M(x,y)是线段AB的中点
y
A1M1 M1B1
B (0，y2) 2
B
A2M2 M2B2
【例3】已知 ABCD ,求证
AC2 BD2 2 AB2 AD2 .
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建
立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A，B，C，D的坐标为
A0,0, Ba,0,Cb,c, Db a,c.
所以 AB2 a2 ,
y D (b-a, c) C (b, c)
y
p(x，y) x
y
o
x
合作探究（一）：两点间的距离公式
思考1
在平面直角坐标系中，已知 两点的坐标，怎样来计算这两点 之间的距离呢？
• 我们先寻求原点 O0,0 与任意一
点Ax, y 之间距离的计算方法
O, A 两点之间的距离通常用 dO, A
表示。
当A点不在坐标轴上时：
在平面直角坐标系中，已知点A(x， y) ，原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？
y y1 y2 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问
• P71练习A：1－4. 2－1A：1－4.
• 选做：B组题
P72：习题
• 计算 d x2 y2
• 给出两点的距离 d
题型分类举例与练习
【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）
解： x1 2, x2 2, y1 4, y2 3
x x2 x1 2 2 4,
y y2 y1 3 4 7
d(A, B) (4)2 72 65
复习
数轴上两点的距离
AB
o x1
x2
A
B
x1 o x2
所以A,B两点的距离为:
d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式 1.两点的距离公式
Байду номын сангаас图：有序实数对（ x,y）与点P对 应，这时（ x,y）称为点P的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点P的横坐 标，y叫做点P的纵坐标。
AD2 b a2 c2,
AC2 b2 c2,
x
O A(0,0) B(a,0)
BD 2 b 2a2 c2
AC2 BD2 4a2 2b2 2c2 4ab, 2(2a2 b2 c2 2ab),
AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以 AC2 BD2 2 AB2 AD2 .