两点之间的距离公式及中点坐标公式

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平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

求下列各点关于坐标原点的对称点： A(2，3)，B(－3，5)，C(－2，－4)，D(3，－5)．
求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标：
A(2，3)，B(－3，5),C(－2，－4)，D(3，－5)．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，
求顶点 D 的坐标．
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称距离公式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x1 x2 ． x= 2
求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值： x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
2 2 S3 计算 d＝ d x dy
；
S4 给出两点的距离d．
求两点之间的距离：
（1）A（6，2），B（－2，5）；（2）C（2，－4），D（7，2）．

计算两点坐标距离与中点坐标

计算两点坐标距离与中点坐标/*回顾⼀下数学公式：两点的坐标是(x1, y1)和(x2, y2)则两点之间的距离公式为 d=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]注意特例：当x1=x2时两点间距离为|y1-y2|当y1=y2时两点间距离为|x1-x2|中点坐标：midpoint(X,Y)X=(X1+X2)/2Y=(Y1+Y2)/2*///⾃定义坐标类public class Pointer {private double x;private double y;public Pointer(double x,double y){//构造⽅法初始化this.setX(x);this.setY(y);}public double getX() {return x;}public void setX(double x) {this.x = x;}public double getY() {return y;}public void setY(double y) {this.y = y;}//两点之间的距离public static double distance(Pointer a,Pointer b){//静态⽅法，通过类名.⽅法名调⽤double result= (Math.pow(a.getX()-b.getX(),2)+Math.pow(a.getY()-b.getY(),2));return Math.sqrt(result);}public void display(){System.out.println("("+this.getX()+","+this.getY()+")");}public String toString(){return "("+x+","+y+")";}public boolean equals(Pointer obj){if(this.getX()==obj.getX()&&this.getY()==obj.getY()){return true;}return false;}//两点坐标的中点public static String minpoint(Pointer a,Pointer b){double x=(a.getX()+b.getX())/2;double y=(a.getY()+b.getY())/2;return "("+x+","+y+")";}}//测试类public class Demotest {public static void main(String[] args) {Pointer [] test=new Pointer [2];//对象数组test[0]=new Pointer(2, 2);test[1]=new Pointer(3,3);test[0].display();test[1].display();System.out.println("**********************开始**********************");System.out.println(test[0].toString()+test[1].toString()+"两点之间的距离："+Pointer.distance(test[0], test[1])); System.out.println(test[0].toString()+test[1].toString()+"两点的中点坐标是："+Pointer.minpoint(test[0], test[1])); System.out.println(test[0].equals(test[1]));}}/*******************当然也可选择JDK⾥⾯的Pointer类****************/import java.awt.Point;import java.util.Scanner;public class Test {public static void main(String[] args){System.out.println("请输⼊有⼏组：");Scanner scanner = new Scanner(System.in);int groupCount = scanner.nextInt();double results[] = new double[groupCount];for (int i=0;i<groupCount;i++) {System.out.println("请输⼊第"+(i+1) + "组2点的坐标(以,分隔)：");String line = scanner.next();String[] values = line.split(",");if (values.length != 4) {System.out.println("输⼊的数据格式不对！");i = i--;}else {double p1 = Double.valueOf(values[0]);//返回保持⽤参数字符串 s 表⽰的 double 值的 Double 对象double p2 = Double.valueOf(values[1]);double p3 = Double.valueOf(values[2]);double p4 = Double.valueOf(values[3]);results[i] = getDistance(p1, p2, p3, p4);}}for (int i=0;i<results.length;i++)System.out.println(results[i]);}public static double getDistance(double p1,double p2,double p3,double p4) {double d = 0.0;d = Point.distance(p1, p2, p3, p4);return d;}}。

两点之间的距离公式及中点坐标公式

复习
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为两点的距离为: 所以两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式两点的距离公式
如图：有序实数对与点P对如图：有序实数对（ x,y）与点对与点这时（称为点P的坐标应，这时 x,y）称为点的坐标，这时称为点的坐标，并记为P（x,y），x叫做点的横坐叫做点P的横坐并记为叫做点叫做点P的纵坐标标，y叫做点的纵坐标。叫做点的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2

两点之间的距离公式及中点坐标公式

两点之间的距离公式及中点坐标公式在一个平面直角坐标系中，设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则点A和点B之间的距离d为：
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
中点坐标公式：
在一个平面直角坐标系中，设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则点A和点B的中点坐标为：
中点的x坐标(x)为：x=(x1+x2)/2
中点的y坐标(y)为：y=(y1+y2)/2
两点之间的距离，可以看作是两点所在直线的长度。

根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两直角边平方和的平方根。

因此，可以利用勾股定理来求两点之间的距离。

假设直角边分别为(x2-x1)和(y2-y1)，则根据勾股定理有：
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
中点坐标公式解析：
中点是指连接线段的两个端点的中心点。

假设需要求解的两点的横坐标分别为x1和x2，纵坐标分别为y1和y2、则中点的横坐标为两点横坐标之和的一半，即(x1+x2)/2；中点的纵坐标为两点纵坐标之和的一半，即(y1+y2)/2、因此，中点的坐标为(x,y)=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。

总结：
两点之间的距离公式是通过勾股定理来计算两个点之间的直线距离，利用两点的横纵坐标的差值进行计算。

中点坐标公式是通过将两个点的横纵坐标相加后除以2来求两点连线的中点坐标。

这两个公式在几何学和计算机图形学中非常常用，可以用来计算任意两点之间的距离和得到两点连线的中点坐标。

直角坐标系的8大公式

直角坐标系的8大公式直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，广泛应用于几何、物理和工程等领域。

在直角坐标系中，我们通过坐标对点进行唯一标识和定位。

本文将介绍直角坐标系中的8大公式，这些公式在解决几何和代数问题时非常有用。

一、坐标距离公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们之间的距离。

假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么点A和点B之间的距离可以由以下公式求得：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)这个公式被称为坐标距离公式，可以通过计算两点之间的直线距离来确定它们之间的距离。

二、中点公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们的中点坐标。

假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么这两点的中点坐标可以由以下公式求得：M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)这个公式被称为中点公式，可以通过计算两点坐标的平均值来确定它们的中点坐标。

三、斜率公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们之间的斜率。

假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么这两点之间的斜率可以由以下公式求得：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)这个公式被称为斜率公式，可以用于计算两点之间直线的斜率。

斜率表示直线的倾斜程度。

四、线性方程公式在直角坐标系中，我们可以通过直线的斜率和一点的坐标来确定直线的方程。

假设直线的斜率为m，一点的坐标为(x₁, y₁)，那么直线的方程可以由以下公式给出：y - y₁ = m(x - x₁)这个公式被称为线性方程公式，可以用于描述直线在直角坐标系中的方程。

五、平行线公式在直角坐标系中，我们可以通过两条平行线的斜率来确定它们之间的关系。

假设平行线L₁的斜率为m₁，平行线L₂的斜率为m₂，那么这两条平行线之间的关系可以由以下公式给出：m₁ = m₂这个公式表示两条平行线的斜率相等。

两点间距离公式和线段的中点坐标公式

２.已知△ABC的三个顶点坐标A（－3，1），B（0，－2），C（5，3），求
△ABC三边的长，并判断△ABC是否是直角三角形.
解：｜AB｜＝ (0 + 3)2 +(−2 − 1)2 ＝ 18＝3 2
(5 + 3)2 +(3 − 1)2 ＝ 68
｜BC｜＝ (5 − 0)2 +(3 + 2)2 ＝ 50＝5 2
（1，2）
（1，－2）
三、解答题
1.点A（2，3），B（3，m）之间的距离为 26，求m值.
解：由题意得 (3 − 2)2 +( − 3)2 ＝ 26，解得m＝8或m＝－2
2.若点A（1，－2）与点B关于点P（2，－3）对称，求点B的坐标.
1+
−2+
解：设点B（x，y），则＝2，
＝－3，解得x＝3，
B.（4，－2）
C.（－7，1）
D.（1，2）
二、填空题
根据条件将表中数据填充完整.
题号
点A的坐标
点B的坐标
（1）
（0，0）
（2，4）
（2）
（4，－3）
（3）
（－2，2）
（2，0）
（0，1）
（4）
（3，－4）
（3，4）
（3，0）
（5）
（1，－1）
（－3，－5）
（－1，－3）
（－2，－1）
线段AB的中点坐标
∵ ｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2
∴△ABC是直角三角形
｜AC｜＝
亲爱的同学们，下节课见！
,
2
2
.
一、选择题
1.已知O（0，0），A（3，4），则O、A两点间的距离｜OA｜＝（

俩坐标中点距离公式

俩坐标中点距离公式在几何学中，我们经常需要计算不同点之间的距离。

当给出两个点的坐标时，我们可以通过使用中点公式来求解这两个点的中点坐标。

进一步地，我们可以使用中点公式来计算这两个点之间的距离。

这种计算距离的方法被称为“俩坐标中点距离公式”。

中点公式中点公式允许我们计算由两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)定义的线段的中点坐标。

中点是线段的中心点，即将线段均分为两部分的点。

中点的坐标可以使用以下公式计算：x = (x₁ + x₂) / 2y = (y₁ + y₂) / 2其中，x是中点的x坐标，y是中点的y坐标。

通过这个公式，我们可以计算出两点之间的中点坐标。

计算距离有了中点公式，我们可以进一步计算出两点之间的距离。

两点之间的距离可以使用以下公式计算：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)其中，d是距离，x₁和y₁是第一个点的坐标，x₂和y₂是第二个点的坐标。

通过将坐标代入公式，我们可以得到两点之间的距离。

示例现在，让我们通过一个示例来说明俩坐标中点距离公式的使用。

设点A的坐标为A(2, 3)，点B的坐标为B(6, 8)。

要计算出AB之间的距离，我们首先需要计算出AB的中点坐标。

使用中点公式，我们可以计算出中点坐标为:x = (2 + 6) / 2 = 4y = (3 + 8) / 2 = 5.5所以，AB的中点坐标为(4, 5.5)。

接下来，我们可以使用距离公式计算出AB之间的距离。

代入坐标值后，我们有：d = √((6 - 2)² + (8 - 3)²)= √(4² + 5²)= √(16 + 25)= √41≈ 6.403因此，AB之间的距离约为6.403。

结论通过使用俩坐标中点距离公式，我们可以轻松计算出由两个点定义的线段的中点坐标和两点之间的距离。

这种计算方法在几何学中非常常见，对于深入理解点、线段和距离的概念非常有帮助。

§8.1两点间的距离公式和中点公式

设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，分别过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，
两线交于点C，点C坐标为(x2, y1)，则|AC|=|x2–x1|, |BC|=|y2–y1|, y B(x2, y2)
还能怎样说明？
从而，AB两点间的距离为 A(x1 , y1) C ( x2 , y1 ) O x
两点间的中点公式
问 AP PB ？
y
AP ( x x1 , y y1 ), PB ( x2 x, y2 y), x1 x2 x x x1 x2 x 2 y y1 y2 y y y1 y2 B(x2, y2) 2
AB 5 , BC 5 2 , AC 29
平面上两点间的距离公式设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
x1 x2 y y2 ,y 1 2 2 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，点 P(x，y)是AB的中点， x
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
已知点A(1, 2)，B(3,5)，求线段AB的长度. 解：根据平面内两点间的距离公式，有
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
(3 1) 2 [5 (2)]2
53
若P(3,4), Q(2, 1)，求 PQ .
1 已知△ABC三个顶点分别为A( , 2)，B(3, 4)，C (2, 6)， 2 求BC 边上的中线AD的长.
解：设点BC边上的中点D坐标为( x, y)，根据中点坐标公式
3 2 1 46 x , y 5, 2 2 2 1 所以线段AB的中点D的坐标为( ,5). 2 1 1 2 AD ( ) (5 2)2 10. 2 2

两点间距离公式中点公式

两点间距离公式中点公式点公式是指在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，求解两点之间的距离。

点公式的推导基于勾股定理。

假设平面直角坐标系中有两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们要求解两点之间的距离。

首先，我们可以通过斜边的坐标差值计算两条直角边的长度。

设直角边AC的长度为d₁，直角边BC的长度为d₂。

则有以下推导：d₁=，x₂-x₁d₂=，y₂-y₁接下来，我们可以运用勾股定理计算斜边的长度。

根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。

d=√(d₁²+d₂²)因此，两点之间的距离d等于直角边的长度的平方和的平方根。

综上所述，两点间距离的点公式可以表示为：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)其中，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别是两点的坐标，d表示两点之间的距离。

下面我们来举一个具体例子来演示点公式的应用。

例题：已知点A(3,4)和点B(7,8)，求解两点之间的距离。

解：根据点公式，我们可以直接套入坐标值进行计算。

d=√((7-3)²+(8-4)²)=√(4²+4²)=√(16+16)=√32=4√2因此，点A和点B之间的距离为4√2在实际应用中，点公式常被用于计算两点之间的距离。

例如在平面几何中，我们可以利用点公式计算线段的长度。

在地理学中，点公式可以用于测量地球上任意两点的距离。

此外，点公式还可以应用于图像处理、机器学习等领域。

总结起来，点公式是一种简便而常用的计算两点之间距离的方法。

通过套入已知点的坐标，我们可以精确地求解出两点之间的距离。

这使得点公式具有广泛的应用价值。

两点之间的距离公式及中点坐标公式.ppt

A 0 , 0 , B a , 0 , C b , c , D b a , c .
所以
AB a ,
2 2
2 2 2
y D (b-a, c)
C (b, c) x
AD b a c ,
AC b c,
2 2 2
O
A(0,0)
B(a,0)
2 BD b 2 a c 2 2
d(A,C)=
2 2
即|AC|=|BC|且三点不共线
所以，三角形ABC为等腰三角形。
【例3】已知 ABCD ,求证 2 2 2 2 AC BD 2 AB AD .
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为
A
[题组冲关] 3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信
息，可采用的最快捷的方式是
(
)
A．乘坐飞机赴各地了解 B．通过无线电报输送讯息 C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加万国邮联大会。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变化。 3．交通通讯变化的影响

两点之间的距离公式及中点坐标公式-两点和终点坐标公式。

证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2
2 2
y (bD (b-a, c) C (b, c) x
2 2
d(A,C)= d(C,B)=
(5 -1) + (0 − 2) = 2 2 (5 − 3) + (0 − 4) =
2 2
20
20
即|AC|=|BC|且三点不共线 |AC|=|BC|且三点不共线所以，三角形ABC为等腰三角形。所以，三角形ABC为等腰三角形。 ABC为等腰三角形
【例3】已知 ABCD ,求证已知 2 2 2 2 AC + BD = 2 AB + AD .
o
x A 1
x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式也成立吗？也成立吗？
y
A
o
A
x
A
显然，显然，当A点在坐标轴上时点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。这一公式也成立。
A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )
一般地，已知平面上两点A(x 一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和利用上述方法求点A B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离
O, A 两点之间的距离通常用 d(O, A)
表示。表示。
当A点不在坐标轴上时：点不在坐标轴上时：
在平面直角坐标系中，已知点A(x，在平面直角坐标系中，已知点A(x， A(x 原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？ d(O,A)是多少呢 y) ，原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？

两点间距离公式及中点坐标公式

y y2 y1 3 4 7
d(A, B) (4)2 72 65
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5， 0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 312 4 22 8
d(A,C)= 5 -12 0 22 20
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
则
x2 35
2
2
y2 02
M O
A(-3,0)
24
2
24
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例4 已知ABC 的三个顶点为A(1,0)、B(2,1)、C(0,3) ，试
巩固
求BC边上的中线AD的长度．
知
解设BC的中点D坐标为D(xD , yD )，则由 B(2,1)、C(0,3) 得
识
典
xD

(2) 2
0

1，yD

1 3 2
d(C,B)= 5 32 0 42 20
即|AC|=|BC|且三点不共线所以，三角形ABC为等腰三角形。
该题用的方法----坐标法。可以将几何问题转化为代数问题。
2、中点公式
合作探究（二）：中点公式
已知A（x1，y1）, B（x2，y2），设 M(x,y)是线段AB的中点
显然当a点在坐标轴上时doa一般地已知平面上两点ax11y11和bx和bx22y22利用上述方法求点a和b的距离222121dababxxyy??a1yyxoxobx2y2ax1y1b1b2a2显然当ab平行于坐标轴或在坐标轴上时公式仍然成立

两点间距离公式及中点坐标公式

y
A (x，y)
y
o x A1 x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式也成立吗？
y
A
A
o
x
A
显然，当A点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。
Ax1, y1, Bx2, y2
一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 B(x2，y2)，利用上y述方法求点A和B的距离
B2
B(x2，y2)

2．
型
例
故 | AD | (11)2 (2 0)2 2 2,
题即BC边上的中线AD的长度为2 2．
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
课堂练习 1、求两点的距离：（1) A（6，2） , B（-2,5）（2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
2、已知A（a，0）, B（0,10）两点的距离等于17，求a的值。
P48练习8.1.2.
x x2 x1 y y2 y1
计算 d x2 y2
给出两点的距离 d
题型分类举例与练习
【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）
解： x1 2, x2 2, y1 4, y2 3
x x2 x1 2 2 4,
A(x1，y1) A2
o
A1
c
B1
x
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式仍然成立。
给两点的坐标赋值：
x1 ?, y1 ?, x2 ?, y2 ?;
计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量，即