直线与直线的位置关系——对称
空间中直线与直线之间的位置关系
； 电竞
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多了.有人在前方铺路,呐路自然就容易走得多.不过,鞠言の蓝槐果实却是不多了.当年,鞠言在界碑世界得到了大量の蓝槐果实,还将蓝槐树都移植到了自身の空间宝物中.蓝槐树上,足足有数万颗蓝槐果实.但蓝槐果实再多,也经不起鞠言呐样の消耗.呐数万颗蓝槐果实,大部分都被鞠言自 身使用了,少部分则是送给了亲眷使用.虽然有蓝槐树,但呐蓝槐果实,可不是随随便便就结出来の.即便结出新の果实,要成熟起来,也得等上极为漫长の事间.“蓝槐果实,越来越少,得省着点用了.”“没有蓝槐果实呐样の好东西,融合本源道则,可就要慢多了.”鞠言轻叹一声,摇了摇头.呐 也没办法,整个混元空间之中,蓝槐果实本就非常の稀有.而鞠言虽然也掌控了呐座混元,但也不能将全部の蓝槐果实都据为己有.他有能历做到呐一点,却不能呐么做,自身都过不起心中の那一关.如果能从其他混元空间获得蓝槐果实呐样の资源,那就容易接受多了.在雷霆善王の洞府居住了 一段事间后,鞠言便再度离开了,他回到了天庭.呐次,他要使用天庭秘境,进行较长事间の闭关.岁月悠悠！鞠言混元之外,呐一天,又一道人影接近了呐里.呐个人,正是从焦源混元而来の联盟军师,托连大王.“呐里,就是思烺大王所说の死月空间了.”托连大王,眯起眼睛,看着前方の一片朦 胧.托连大王也知道,呐座混元空间,在诞生の初期,最早是被联盟中の玄冥大王发现の.为了锻造那件武器,为了整个联盟着想,玄冥大王将呐座混元,送给了思烺大王.当然了,呐其中也有来自焦源盟主の压历,如果不是焦源盟主出面说话,那玄冥大王,恐怕是不会轻易将呐座混元空间送给思 烺大王.一座混元空间の价值,是无法估量の.哪怕是对于思烺大王、玄冥大王呐个层次の善王来说,也是无价之宝.“呐座混元空间之中,到底出了怎样の人物,竟是能让思烺大王麾下の易风大王,身陨此地?”“真是,有些迫不及待の,想要看看呐个人了.”托连大王,微微の点头.他闪身,身 体表面元祖道则显现,散发出无穷の威能.不久后,他进入了鞠言混元.正在天庭秘境之中闭关修行の鞠言,骤然睁开了眼睛.托连大王进入鞠言混元の第一事间,鞠言就感知到了,由于他虽然是处于闭关修行之中,但也留了个小小の手段,让自身能够在天庭秘境闭关之中,也能够立刻发现从混 元空间之外进来の异混元生灵.“来了！”“只有一个人从混元之外进来.”“不知道,是不是那位强大无比の思烺大王.”鞠言心中,也难免の有些紧罔心绪波动.如果真是思烺大王进入混元空间怎么办?自身现在,连第二条元祖道则都没有掌握！第三二一八章联盟军师第三二一八章联盟军 师(第一/一页)鞠言出天庭秘境.即便异混元来人是思烺大王,鞠言也决定要出面.在混元の虚空之中,鞠言与联盟军师托连大王相遇.“阁下如何称呼?”鞠言望着托连大王,直接开口询问.而听到鞠言の询问,托连大王琛琛の看了鞠言一眼.“俺名托连.”托连大王回答了鞠言の问题.“托连 大王?”鞠言心中微微一松.在看到托连大王の事候,鞠言其实就觉得自身所看到の呐个异混元生灵,应该不是思烺混元の主人思烺大王.由于,在呐个人の身上,并没有哪个杀气.如果是思烺大王亲自降临の话,恐怕眼申不会呐么平静.而听到对方报出名字,验证了鞠言の猜测.至于思烺大王会 不会故意报出一个假名字,呐显然不太可能,思烺大王那个层次の人物,降临一个土著混元空间,怎会将任何人放在眼里?也就不可能以假名字欺骗.“原来是托连大王！不知道托连大王来俺鞠言混元,是有哪个事吗?”鞠言对托连大王拱了拱手问道.“哦?鞠言混元?”“你知道俺是从其他混 元过来の?呐么说,你是专门来呐里等着俺の?”“不对,俺刚进入呐座混元空间不久,你就知道俺の进入.呐么说,你已经掌控了呐座混元空间?”托连大王连续の说出几句话.刚遇到鞠言の事候,托连大王并没有认为鞠言是在专门等他,还以为是碰巧遇到了呐个混元空间の一名修行者.“正是, 俺名鞠言,呐里是鞠言混元.托连大王你进入鞠言混元の同事,俺便已经察觉到了.”鞠言点头说道.托连大王目光微微闪了闪,盯着鞠言道：“易风大王,是死在你の手中?”鞠言沉默,没有立刻开口说话.而鞠言沉默の态度,让托连大王基本上确定,易风大王应该就是被呐个鞠言杀死了.“鞠 言大王,你不要误会.”“俺来到你の混元空间,并不是要对你或者你の混元空间不利.”托连大王笑了笑说道.虽然托连大王如此说,但鞠言心中可不敢有丝毫の大意.“托连大王来得很巧.从那易风死后到现在,过了不到三万年の事间,你就也到俺鞠言混元了.算事间,托连大王应该是刚刚知 道易风身死,便向鞠言混元出发了吧?”鞠言笑着说道.“呐一点,倒是没错.”托连大王点头.“呐么说,托连大王也是思烺大王の人了.”鞠言眼申一凝道.“呵呵,呐倒不是.”托连大王摆了摆手,也没理会鞠言の敌意,继续说道：“思烺大王在知道麾下易风大王身陨之后,倒是想亲自来呐个 混元空间看看.不过,被俺劝阻了.俺知道易风大王身陨鞠言大王你の混元空间,便想亲自来看看.毕竟,呐一混元空间比较特殊.”“鞠言大王,你の呐个混元空间,在之前の事间里,应该是本源道则分隔の吧?”托连大王缓缓说道.“没错,以前本源道则确实分隔,整个混元一分为二.一面只有 白色本源道则,一面则只有黑色本源道则.不过,现在混元空间已经合二为一了.”鞠言点头说道.“托连大王竟然能劝阻思烺大王?”鞠言抬目.“还是能说上话の,毕竟同属联盟.哦,你可能对联盟还比较陌生.呐样,俺先与你介绍一下联盟.”“俺们の联盟,盟主为焦源混元の焦源大王,联盟 之中一共有拾三个混元空间.以前是拾四个,不过有一个混元空间已经不存在了,只剩下拾三个混元空间.思烺大王の思烺混元,便是拾三个混元空间之一.而俺,则是联盟の军师,属于焦源盟主の下属.”托连大王比较简短の说了一下联盟の主要构成.“鞠言大王.”“联盟想要锻造一件特殊 の武器,呐件武器,需要以炼化の混元空间为支点.而此事の主导者,就是思烺大王.你の混元,属于武器支点之一.也正由于如此,思烺大王一直控制着你の混元空间.只是思烺大王也没有想到,你の混元竟是出了变数.”“按道理,呐一混元空间是无法诞生出大王层次善王の.你の出现,确实令 人感到不可思议.”托连大王冲着鞠言笑了笑.“托连大王の意思,俺大致上是明白了.那么现在,联盟是哪个意思呢?”鞠言出声问道.“嗯……”托连大王沉吟,似乎是在思考.过了片刻,他才说道：“鞠言大王の实历,达到了哪个样の层次?你杀死易风大王,是否凭借自身の实历?”“呐样关 系吗?”鞠言脸色微微一沉.“当然,关系很大.”托连大王眼申眯了眯,继续说道：“先不说呐一混元,本是武器中の一个支点,便是没有呐件事,鞠言大王你杀死了易风大王,思烺大王也不会善罢甘休.若不是思烺大王目前实在是无法抽身,那现在你见到の人,必定是思烺大王.”“而俺在知 道呐一混元,诞生出大王,尤其是在见到你之后,俺有了一个新の想法.若能实现,倒是能够保住你の混元空间不被毁掉.”托连大王笑道.“哪个?有哪个办法?”鞠言眼申一亮.如果能够化解呐次危机,鞠言当然是拾万个愿意の.“呐个办法の成功率,与你の个人实历有关.俺想向盟主提出申请, 将你の混元,纳入联盟之中.你の实历越强,焦源盟主同意の希望就越大.”托连大王继续道：“易风大王,是你全部凭借自身实历杀死の吗?”“呐……当事の俺,实历与易风大王相比,并无优势.杀死易风大王,是由于俺有一件强大の武器.”鞠言也考虑过欺骗托连大王,不过最终还是实话实 说.呐位托连大王,是联盟の军师,其影响历肯定不低.而且从目前来看,托连大王有意保住鞠言混元,所以鞠言觉得,还是不要在托连大王面前撒谎为好.第三二一九章联盟一员第三二一九章
空间中直线与直线之间的位置关系-公开课课件
讲授新知
D1 A1
C1 B1
1、异面直线定义
D
C
A
B
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.
定义辨析：在两个平面内的两条直线是否一定是 异面直线？
合作探究
分别在两个平面内的两条直线的位置关系？
b a
M
ab
a与b是异面直线
a与b是相交直线
BACK
NEXT
a
b
a与b是平行直线
2.异面直线的画法
由 b′∥b, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b
b′
a″
a ∠2
a′
O ∠1
BACK
NEXT
求异面直线所成的角
例1、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，试求异面直线AA1
与 BC1所成的角.
D1 A1
B1 C1 解： AA1 // BB1
B1BC1为异面直线 AA1与BC1所成的角
D
C B1BC1 45
A
B
异面直线 AA1与BC1所成的角为45
变式：如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，试求异面直线BC1
与AC所成的角. D1
C1
解：连结 A1C1
AA1 //BB1 //CC1
A1
B1
四边形A CC1 A1为平行四边形
D
A1CC1B或 其AAC补1C/角1/BA为为1C异异1 面面直直线线BBCC1与1与AAC所C所成成的的角角
C'
D' C
D
B'
C'
A'
D'
B
C
A
D
B' A'
直线方程与两条直线的位置关系
同步训练——直线方程与两条直线的位置关系一、基础知识 （一）、两条直线的位置关系1、当直线方程为111:b x k y l +=、222:b x k y l +=时， 若1l ∥2l ，则2121b b k k ≠=且；若1l 、2l 重合，则2121b b k k ==且； 若1l ⊥2l ，则121-=⋅k k .2、当两直线方程为0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 、时， 若1l ∥2l ，则12211221≠=C A C A B A B A 且；1221≠C B C B 或, 若1l 、2l 重合，则122112211221C B C B C A C A B A B A ===且且； 若1l ⊥2l ，则02121=+B B A A . （二）、点到直线的距离、直线到直线的距离 1、点P ()00,y x 到直线0=++C By Ax 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=.2、当1l ∥2l ，且直线方程分别为0:0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 、时，两直线间的距离为：2221BA C C d +-=.（三）、两直线的交点两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数. （四）、对称问题 1、中心对称：设平面上两点()()111,,y x P y x P 和关于点()b a A ,对称，则点的坐标满足：b y y a x x =+=+2,211；若一个图形与另一个图形上任一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于点A 对称. 2、轴对称：（1）设平面上有直线0:=++C By Ax l 和两点()()111,,y x P y x P 、，若满足下列两个条件： ①PP 1⊥直线l ；②PP 1的中点在直线l 上，则点1P P 、关于直线l 对称；若一个图形与另一个图形上任意一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于直线l 对称. （2）对称轴是特殊直线的对称问题：对称轴是特殊直线的对称问题可直接通过代换求解： ①关于x 轴对称，以y -代y ； ②关于y 轴对称，以x -代x ； ③关于直线x y =对称，x 、y 互换；④关于直线0=+y x 对称，以x -代y ，同时以y -代x ； ⑤关于直线a x =对称，以x a -2代x ； ⑥关于直线b y =对称，以y b -2代y ；（3）对称轴是一般直线的对称问题，可根据对称的意义，由垂直平分列方程找到坐标之间的关系：设点()()2211,,y x Q y x P 、关于直线()00:≠=++AB C By Ax l 对称则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅++⋅=--022********C y y B x x A ABx x y y二、基本题型 （一）平行与垂直【例1—1】直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 （ ）A. 3x ＋2y －1＝0B. 3x ＋2y ＋7＝0C. 2x －3y ＋5＝0D. 2x －3y ＋8＝0【解析】由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0。
高中 平面解析几何 两条直线的位置关系 知识点+例题
辅导讲义――两条直线的位置关系[巩固]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．题型二：两直线相交[例]求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[巩固]如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确． 3．若A (－3，－4)，B (6,3)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a =_____________.解析 依题意，|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1， 解得a ＝－79或a ＝－13.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是_________.解析 ∵63＝m 4≠－143，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0.可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是_____________.解析 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.6．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是______________．答案 12x ＋8y －15＝0解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.7．已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围 是______________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞) 所以直线恒过定点P (0，－1)．∵点A (－1,1)，B (2，－2)，∴k P A ＝－2，k PB ＝－12，∵直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)， ∴－1m ≤－2或－1m ≥－12，∴m ≤12或m ≥2(经验证m ＝0也符合题意)．∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞)． 8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解析 圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴k OP ＝2－02－1＝2， 又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k OP ＝2，选C.12.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6.13．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝(2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.14．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,。
直线与直线的位置关系
直线与直线的位置关系自主梳理1．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2⇔________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.(3)两平行线间的距离已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝探究点一两直线的平行与垂直例1已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求满足以下条件的a、b的值：(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且原点到这两条直线的距离相等．例1 解题导引 运用直线的斜截式y ＝kx ＋b 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax ＋By ＋C ＝0时，要特别注意A 、B 为0时的情况，求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系，联立方程组求解，对斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．解 (1)由已知可得l 2的斜率必存在，且k 2＝1－a.若k 2＝0，则a ＝1.由l 1⊥l 2，l 1的斜率不存在，∴b ＝0.又l 1过(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0，∴b ＝3a －4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k 2≠0.若k 2≠0，即k 1＝a b ，k 2＝1－a 由l 1⊥l 2，得k 1k 2＝a b(1－a)＝－1. 由l 1过(－3，－1)，得－3a ＋b ＋4＝0，解之得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴l 1的斜率存在，∴k 1＝k 2，即a b＝1－a.又原点到两直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a 、b 的值为2和－2或23和2. 变式迁移1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值．变式迁移1 解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不平行；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不平行；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3， l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1， 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a(a －1)－1×2＝0.由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a(a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－1×2＝0a (a 2－1)－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6. ∴a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不垂直；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3， l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， 由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0， 得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.探究点二 直线的交点坐标变式迁移2 △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．变式迁移2 解 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为y －2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0，得B(7，－7)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0，得C(－2，－1)， 所以BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0. 转化与化归思想的应用 例 (12分)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程解 (1)设A ′(x ，y )，再由已知∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413.[4分] (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.[6分]设直线m 与直线l 的交点为N ，则由得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.[8分](3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，[10分]再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.[12分]方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0 (C ≠1)，∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得 |－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，[10分] ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.[12分]方法三 设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，[10分]∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.[12分]2．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( B )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)4．(2009·上海)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( C )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或21．直线3x ＋2y ＋4＝0与2x －3y ＋4＝0( B )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．关于直线y ＝－x 对称 C2．(2011·六安月考)若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0互相垂直，则a 的值是( C )A ．2B ．－3或1C ．2或0D ．1或03．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( B )A ．－4B ．－2C ．0D ．211．(14分)(2011·杭州调研)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．11．解 设点A(x ，y)在l 1上，由题意知⎩⎨⎧x ＋x B 2＝3，y ＋y B 2＝0，∴点B(6－x ，－y)，(6分)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎨⎧ x ＝113，y ＝163， ∴k ＝163－0113－3＝8.(12分) ∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. (14分)。
人教版高中数学必修二 空间中直线与直线之间的位置关系公开课优质教案
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1, BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ⇒a ∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5（三）应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH. 所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE ∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求.由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG . ∴612sin ∠EHG=312.∴sin ∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°. （四）知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三 （五）拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D（六）课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.（七）作业课本习题2.1 A组3、4.。
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
高三数学直线与直线的位置关系
g3.1075 直线与直线的位置关系一、知识要点（一）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。
(二)点到直线的距离、直线与直线的距离1、点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为：d=)0(222200≠++++B A B A CBy Ax2、直线l 1∥l 2，且其方程分别为l 1：Ax+By+C 1=0,l 2：Ax+By+C 2=0,则l 1与l 2的距离为：d=)0(222221≠++-B A B A C C（三）两条直线的交角公式若直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则（1）直线l 1到l 2的角满足：tan )1(1212112-≠+-=k k k k k k θ. （2） 直线l 1与直线l 2所成的角（简称夹角）θ满足：tan )1(1212112-≠+-=k k k k k k θ 说明：（1）当l 1和l 2的斜率都不存在时，所成的角为00；（2）当l 1与l 2的斜率有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；（3）l 1到l 2的角1θ不同于l 2到l 1的角2θ，它们满足：πθθ=+21.（四）两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。
二、考试要求掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两直线的位置关系；会求两条相交直线的夹角和交点；掌握点到直线的距离公式。
三、基本训练1、点（4，a ）到直线4x －3y =1的距离不大于3，则实数a 的取值范围是………………………（ ）(A )[2，12] (B )[1，12] (C )[0，10] (D )[－1，9]2、两直线的斜率相等是两直线平行的： （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3设方程f(x, y)=0表示定直线，M(x 0, y 0)是直线L 外的定点，则方程f(x, y)－f(x 0, y 0)=0表示直线：（ ）A 、过M 与l 相交，但与l 不垂直B 、过M 且与l 垂直C 、过M 与l 平行D 、以上都不对4、已知直线l 和直线m 的方程分别为2x －y+1=0，3x －y=0，则直线m 关于直线l 的对称直线m ′的方程为 。
2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系
求证：直线AB和a是异面直线。
证明:(反证法)
A
假设直线AB和a不是异面直线。
则直线AB和a一定共面，设为
B, a 又 B a,
a
B
a与B确定一平面（公理2的推论1）
与重合， A，这与已知A∉α矛盾，
所以直线AB和a是异面直线。
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
D1
C1
（1）如图，观察长方体
A1
ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱
D
所在 的直线是相互垂直的异面直线？ A
B1 C
B
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
例3
直线有 （C）
（A）2对 （B）3对
（C）6对 （D）12对
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
直线与直线对称解法
直线与直线对称解法直线与直线对称解法是解决几何问题中常用的一种方法，通过对称性质，可以简化问题的分析和求解过程。
本文将从直线的对称性质、对称解法的基本原理以及实际应用等方面进行介绍和探讨。
一、直线的对称性质直线具有对称性质，即对于任意一点P，存在直线l，使得P关于直线l对称。
这里的对称是指点P关于直线l对称的点P'，具有以下性质：1. 直线l是点P和点P'的垂直平分线，即直线l同时垂直于线段PP'且将线段PP'平分成两等分；2. 点P和点P'关于直线l的距离相等，即线段PP'的长度等于直线l到点P或点P'的距离。
二、直线与直线对称解法的基本原理直线与直线对称解法的基本原理是利用直线的对称性质，通过构造对称的点和线，将原来的几何问题转化为对称的几何问题，从而简化问题的分析和求解过程。
具体来说，直线与直线对称解法通常包括以下几个步骤：1. 根据问题的要求，找到需要求解的几何关系或性质；2. 根据直线的对称性质，构造对称的点和线，建立对称关系；3. 利用对称关系，分析和推导出原问题的几何关系或性质；4. 根据分析和推导结果，得到问题的解答。
三、直线与直线对称解法的实际应用直线与直线对称解法在实际应用中具有广泛的用途，特别是在几何问题的证明和构造中常常使用。
1. 几何证明：直线与直线对称解法可以用于证明几何定理和性质。
通过构造对称的点和线，可以将原来的几何问题转化为对称的几何问题，从而简化证明过程。
2. 几何构造：直线与直线对称解法可以用于几何图形的构造。
通过构造对称的点和线，可以确定几何图形的位置和形状，从而满足给定的条件。
3. 几何分析：直线与直线对称解法可以用于几何问题的分析。
通过对称性质的分析，可以得到几何图形的特征和性质，从而帮助我们理解和解决实际问题。
总结：直线与直线对称解法是解决几何问题中常用的一种方法，通过对称性质，可以简化问题的分析和求解过程。
高考数学一轮总复习 9.63 两条直线的位置关系与对称问题课件 理
②关于 y 轴对称(以___-x____代___x____)； ③关于 y＝x 对称(__x_，__y__互换)；
④关于 x＋y＝0 对称(以___-_x___代__y___，以__-_y__代___x___)；
⑤关于 x＝a 对称(以_2_a_-_x__代___x___)；
⑥关于 y＝b 对称(以__2_b_-y____代____y____)．
(2)由2xx－＋2yy－ ＝50＝ ，0，解得交点 P(2，1)，如图，过 P 作任一直线，设 d 为点 A 到该直线的距离，则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝ 10.
第十八页，共37页。
四、直线位置关系的综合应用 例4(1)光线过点 A(－2，4)，经过 2x－y－7＝0 反 射，若反射线通过点 B(5，8)，求入射光线与反射光线 所在直线的方程； (2)已知点 A(4，－1)和点 B(8，2)均在直线 l：x－y －1＝0 的同侧，动点 P(x，y)在直线 l 上，求|PA|＋|PB| 的最小值．
【基础检测】
1．“λ＝3”是“直线 λx＋2y＋3λ＝0 与直线 3x＋
(λ－1)y＝λ－7 平行”的( C )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】当 λ＝3 时，两直线平行．若直线 λx＋2y ＋3λ＝0 与直线 3x＋(λ－1)y＝λ－7 平行，则 λ(λ－1)＝6， 且－λ(λ－7)≠3×3λ，解得 λ＝3.因此选 C.
①____P_P__垂_直__直__线__l____；②___P_P__的__中__点__在__直__线__l_上____，
则点 P，P′关于直线 l 对称．
第九页，共37页。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
的取值范围。
1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
重合。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
空间中直线与直线之间的位置关系
与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.
√ （与2直）线那直线垂B么A直′和. 这CC′的两夹角是组多少直？ 线所成的锐角（或直角）相等.（
）
同理，FG∥BD，且FG= BD.
理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的
2.填空： (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、
=
5+5-4 2× 5×
5
=
3 5
.
F E
5.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB=2 3 ,AD=2 3 , AE=2. (1)求BC和EG所成的角是多少度? (2)求AE和BG所成的角是多少度?
H
G
E
2 2 3D
A
23
F C
B
解答：
(1)因为GF∥BC， 所以∠EGF（或其补角）为所求. H
(4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
相交 异面
问题探究
例2在如图同，已一知正方平体A面BCD内－A′B，′C′D′.如果两条直线都与第三条直线平行，那
有且仅有一个公共点——相交直线
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直.
么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？ 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
证明：连接BD. 因为 EH是△ABD的中位线， 所以EH∥BD,且EH=1 BD.
21 同理，FG∥BD，且FG= BD.
2 因为EH∥FG，且EH =FG，
A
H
E
D G
B
F
C
所以四边形EFGH是平行四边形.
[拓展1] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH为 菱形 . [拓展2] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH为 矩形 . [拓展3] 若E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH 为 正方形 . (以上三个问题你会证明吗？不妨一试)
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2、空间中直线和直线之间的位置关系【主要知识】（一）空间两条直线的位置关系（1）相交直线——在同一平面内，有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
若从有无公共点的角度看，可分两类： ①有且仅有一个公共点——相交直线②没有公共点——⎩⎨⎧异面直线平行直线若从是否共面的角度看，也可分两类：①在同一平面内——⎩⎨⎧平行直线相交直线②不在同一平面内——异面直线（三）异面直线1、异面直线的画法：aba bαα2、异面直线所成角（1）异面直线所成角的范围：____________（2）两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算【习题讲解】1、异面直线是（ ）A 、同在某一个平面内的两条直线B 、某平面内一条直线和这个平面外的一条直线C 、分别位于两个不同平面内的两条直线D 、无交点且不共面的两条直线2、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A 、异面 B 、平行 C 、相交 D 、以上都有可能3、下列说法中，正确的有（ ）①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
②垂直于同一条直线的两条直线平行。
③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。
④若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）. A 、12 B 、24 C 、36 D 、48【变式】若把两异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在12条直线中，异面直线共有（ ） A 、12对 B 、24对 C 、36对 D 、48对5、如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.【变式】5-1、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为______度。
第02讲 两条直线的位置关系 (精讲)(学生版)
第02讲 两条直线的位置关系 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析题型一：两条直线的位置关系 角度1：判断两直线的位置关系 角度2：由两直线的位置关系求参数 角度3：由两直线的位置关系求直线方程题型二：与距离有关的问题题型三：对称问题 角度1：点关于直线对称 角度2：直线关于直线对称 题型四：直线系方程的应用 角度1：平行、垂直直线系方程 角度2：过两直线交点的直线系方程第四部分：高考真题感悟知识点一：两条直线平行与垂直的判断1、两条直线平行对于两条不重合的直线1l ，2l ，其斜率分别为1k ，2k ，有1212l l k k ⇔=.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)1212l l k k ⇔=成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在； ②1l 与2l 不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90，则12l l . (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：1212l l k k ⇔=或1l ，2l 斜率都不存在.2、两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1-；反之，如果它们的斜率之积等于1-，那么它们互相垂直，即12121l l k k ⊥⇔⋅=-.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)12121l l k k ⊥⇔⋅=-成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②10k ≠且20k ≠. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为：12121l l k k ⊥⇔⋅=-或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．知识点二：直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和2l ：2220A x B y C ++=（22220A B +≠）的公共点的坐标与方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解一一对应.1l 与2l 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 1l 与2l 平行⇔方程组无解； 1l 与2l 重合⇔方程组有无数个解.知识点三：距离公式1、两点之间的距离公式：平面上任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y间的距离公式为12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =2、点到直线的距离公式平面上任意一点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离d =.3、两条平行线间的距离一般地，两条平行直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和2l ：2220A x B y C ++=（22220A B +≠）间的距离1222d A B=+.知识点四：对称问题1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点11(,)P x y 关于点00(,)A x y 的对称点(,)Q a b由：100022x a x y b y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩⇒010122a x x b y y =-⎧⎨=-⎩ 2、点关于直线对称问题（联立两个方程）求点11(,)P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=的对称点(,)Q a b ①设PQ 中点为A 利用中点坐标公式得11(,)22x a y b A ++，将11(,)22x a y bA ++代入直线l ：0Ax By C ++=中；②1PQ l k k ⋅=- 整理得：1111022()1x ay b A B C y b A x a B ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪⎩ 3、直线关于点对称问题(求1l 关于点()b a P ,的对称直线2l ，则12l l ）方法一：在直线1l 上找一点A ，求点A 关于点P 对称的点B ，根据1212//l l k k ⇒=，再由点斜式求解； 方法二：由21//l l 21//l l ，设出2l 的直线方程，由点P 到两直线的距离相等12d d =求参数.方法三：在直线2l 任意一点()y x ,，求该点关于点P 对称的点()y b x a --2,2，则该点()y b x a --2,2在直线1l 上.4、直线关于直线对称问题4.1直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和l ：0Ax By C ++=（22220A B +≠）相交,求1l 关于直线l 的对称直线2l ①求出1l 与l 的交点P②在1l 上任意取一点M (非P 点），求出M 关于直线l 的对称点N ③根据P ，N 两点求出直线2l4.2直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和l ：0Ax By C ++=（22220A B +≠）平行,求1l 关于直线l 的对称直线2l ①21k k =②在直线1l 上任取一点M ，求点M 关于直线l 的对称点N ，利用点斜式求直线2l .1．（2022·广东汕头·高二期末）2a =-是直线230ax y++=和()5370x a y a +-+-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·河北保定·高一阶段练习）“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知直线20x y m -+=（0m >）与直线30x ny +-=互相平行，且它们之m n +=______.4．（2022·10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是（ ） A ．1B ．54C ．3D ．45．（2022·全国·高三专题练习）若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，则l 的方程为（ ） A ．10x y -+= B ．10x y +-= C ．2210x y -+=D ．220x y +-=题型一：两条直线的位置关系 角度1：判断两直线的位置关系典型例题例题1．（2022·湖南湘潭·高二期末）已知直线12:10,:10++=--=l x y l x y ，则1l 与2l （ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直例题2．（2022·全国·高二课时练习）直线210ax y --=和直线230y x b -+=平行，则直线y ax b =+和直线31y x 的位置关系是（ ）A ．重合B ．平行C ．平行或重合D ．相交同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）设a 、b 、c 分别为ABC 中A ∠、B 、C ∠所对边的边长，则sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直 B ．垂直 C ．平行D ．重合2．（2022·全国·高二课时练习）ABC 中，a 、b 、c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsin A 、lgsin B 、lgsin C成等差数列，则直线21:(sin )(sin )0l A x A y a +-=与22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系是（ ）．A ．重合B ．相交不垂直C ．垂直D ．平行角度2：由两直线的位置关系求参数典型例题例题1．（2022·四川自贡·高一期末（文））若直线20x ay +-=与直线210a x y ++=平行，则=a （ ） A ．1-或0B ．1-C ．1或0D ．1例题2．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线220ax y +-= 与直线2(3)20x a y --+=互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．3C ．－1D ．－3例题3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知0a >、0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．25D ．45例题4．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）设直线()1:1320l a x y +++=，直线2:210l x y ++=，若12l l //，则=a _______.同类题型归类练1．（2022·湖北孝感·高二期末）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·全国·高三专题练习）已知1:3250l x ay +-=，()2:3120l a x ay ---=，则满足12l l ∥的a 的值是（ ）A ．16-B ．0C ．16-或0D ．16或03．（2022·江苏·高二）已知直线():120l x a y +-+=，20l y +=，且12l l ⊥，则22a b +的最小值为（ ）A ．14B ．12C D ．13164．（2022·山东德州·高二期末）函数22()34e x f x x x =-+在点（0，f （0））处的切线与直线22x ay =-平行，则a =______．5．（2022·全国·高二课时练习）“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的______条件． 6．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知直线()1:2350l a x y --+=和()2:3170l x b y -+-=互相垂直，且,a b +∈R ，则21a b+的最小值为____________.角度3：由两直线的位置关系求直线方程典型例题例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）已知直线:(21)(1)1170l x y λλλ-+-+-=，R λ∈. (1)若直线l 与直线1:(1)10l x y λ+++=垂直，求实数λ的值(2)若直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，求直线l 的方程.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:20l mx y m ++=，()2:3170l mx m y +-+=，分别求实数m 的值，使得： (1)12//l l ；(2)12l l ⊥．例题3．（2022·全国·高二课时练习）求过1:2320l x y -+=与2:3420l x y --=的交点且与直线440x y +-=平行的直线方程．例题4．（2022·全国·高二课时练习）求经过两条直线2310x y -+=和20x y +-=的交点，且与直线230x y ++=垂直的直线的方程．同类题型归类练1．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）已知直线l 经过点(23)P ，． (1)若点(11)A ，在直线l 上，求直线l 的方程； (2)若直线l 与直线2310x y -+=平行，求直线l 的方程．2．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知直线1l ：()410m x y --+=和2l ：()()4110m x m y +++-=． (1)若12l l ∥，求实数m 的值； (2)若12l l ⊥，求实数m 的值．3．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线()21:(2)340l m x m m y ++-+=和直线2:22(3)20()l mx m y m m +-++=∈R .(1)当m 为何值时，直线1l 和2l 平行？ (2)当m 为何值时，直线1l 和2l 重合？题型二：与距离有关的问题典型例题例题1．（2022·重庆长寿·高二期末）在第一象限的点()1,A a 到直线4310x y +-=的距离为3，则a 的值为__________．例题2．（2022·江苏·高二专题练习）点P 为直线3420x y+=-上任意一个动点，则P 到点(3,1)-的距离的最小值为___________.例题3．（2022·全国·高二专题练习）两条平行线12l l ，分别过点()()1223P Q --，，，，它们分别绕 P Q ，旋转，但始终保持平行，则12l l ，之间距离的取值范围是____．例题4．（2022·江苏·高二专题练习）（1）已知实数对(,)x y 满足10x y ++=值；（2）求y例题6．（2022·山东聊城·二模）实数1x ，2x ，1y ，2y 满足：2111ln 0x x y --=，2240x y --=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A ．0B ．C ．D ．8同类题型归类练1．（2022·全国·高二专题练习）到直线3410x y +=－的距离为3且与此直线平行的直线方程是____． 2．（2022·江苏·高二）两条平行线4310x y +-=与8630x y ++=之间的距离是___________.3．（2022·全国·高二课时练习）直线l 过点(1,2)P -且到点(2,3)A 和点(4,5)B -的距离相等，求直线l 的方程． 4．（2022·陕西渭南·高一期末）已知直线l 经过点()2,5P -，()2,2Q . (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且它们间的距离为4，求直线m 的方程.5．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）若实数a b c d ,,,满足22ln ,32b a a d c =-=-，则()()22a cb d -+-的最小值为___________.6．（2022·全国·高二专题练习）设R a b ∈，_______.题型三：对称问题 角度1：点关于直线对称典型例题例题1．（2022·江苏·高二）点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是______．例题2．（2022·广东·高二阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点(1,2)A 出发，被直线y x =反射后到达点(3,6)B ，则这束光线从A 到B 所经过的距离为（ ）A ．BC ．4D ．5例题3．（2022·全国·高二课时练习）将一张坐标纸折叠一次，使点()3,2与点()1,4重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________.同类题型归类练1．（2022·全国·高二专题练习）原点关于210x y -+=的对称点的坐标为_____．2．（2022·全国·高二单元测试）点(2,2)A 关于直线2y x =+的对称点的坐标为______．角度2：直线关于直线对称典型例题例题1．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））直线21y x =+关于直线y x =对称的直线方程为（ ） A ．310x y -+= B ．310--=x y C ．210x y --= D ．210x y -+=例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线1l ：30ax y -+=与直线2l 关于直线l ：10x y +-=对称，直线2l 与直线3l ：310x y +-=垂直，则a 的值为（ ）A ．13-B ．13 C ．3 D ．3-例题3：（2022·江苏·高二）已知点()0,2A ，直线1:10l x y --=，直线2:220l x y -+=.(1)求点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标；(2)求直线2l 关于直线1l 的对称直线方程.同类题型归类练1．（2022·陕西·长安一中高一期末）直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线方程为__________．2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线:33l y x =+，求：(1)直线l 关于点(3,2)M 对称的直线的方程；(2)直线20x y --=关于直线l 对称的直线的方程．3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线l ：220x y +-=和直线1l ：2y x =-.(1)求直线l 关于点()1,1A 对称的直线2l 的方程；(2)求直线l 关于直线1l 对称的直线3l 的方程.题型四：直线系方程的应用角度1：平行、垂直直线系方程典型例题例题1求过直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点P ，且与直线3l ：3450x y -+=垂直的直线l 方程．例题2：求过点(1,4)A -且与直线2350x y ++=平行的直线方程．同类题型归类练1、求与直线3410x y ++=平行且过点(1,2)的直线l 的方程。
高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系
第二讲 两条直线的位置关系知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1∥l 2⇔k 1＝k 2,且b 1≠b 2． 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0, l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0,且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__． 知识点二 两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 知识点三 三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22．特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2＋y 2． (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2． (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2． 重要结论1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P(a,b)关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m,－a －m),点P(a,b)关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m,a ＋m)．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等,则两直线平行,反之,亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P(x 0,y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b|1＋k2．( × ) (5)若点A,B 关于直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0)对称,则直线AB 的斜率等于－1k ,且线段AB 的中点在直线l上．( √ )题组二 走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0,∴a ＝－1＋2． 题组三 走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k(x ＋1)可知直线过定点P(－1,0),设A(0,－1),当直线y ＝k(x ＋1)与AP 垂直时,点A 到直线y ＝k(x ＋1)距离最大,即为|AP|＝2,故选B ．解法二：因为点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离d ＝|1＋k|k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2kk 2＋1；∵要求距离的最大值,故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2,当且仅当k ＝1时取等号,故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6,－6)__． [解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧b a ×1＝－1a 2－b2－6＝0,解得a ＝6,b ＝－6,∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6,－6)．考点突破·互动探究考点一 两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行,则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2),一条直角边所在直线的方程为y ＝2x,则另外两边所在直线的方程为( CD )A ．3x ＋y －14＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋2y －14＝0[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,化为一般式,得6x －4y －3＝0．(2)由l 1⊥l 2,得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0,∴m ＝3或m ＝－2,∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋1＝6，4m≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k,由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1,∴k ＝13,∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4),即x －3y ＋2＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45,∴A 关于M 的对称点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫385，165,∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －385,即x ＋2y －14＝0,故选C 、D ．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直,则a ＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f′(x)＝2cos x,∴k ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1．所以1×(－a)＝－1,∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2,∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ． 考点二 两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P(2,－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在,求出方程；若不存在,请说明理由． (3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1,若l 1∥l 2,则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2,kl 2＝－a 4,由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1,∴a ＝－2,∴l 2：x －2y ＋3＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A(－1,1),∴|AO|＝2．(2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,－1),显然,过点P(2,－1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x ＝2． 若斜率存在,设l 的方程为y ＋1＝k(x －2), 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2,解得k ＝34． 此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上,可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图． 由l ⊥OP,得k l k OP ＝－1, 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式,得y ＋1＝2(x －2),即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|－5|5＝5．③由②可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1, 当l 1∥l 2时,a 2－1＝0,解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合,不满足题意； 当a ＝－1时l 1∥l 2,此时l 1：x －y －1＝0,l 2：x －y ＋1＝0； 则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋－12＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x 、y 的系数分别相等． 〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A,则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等,则m 的值可以为( AC ) A ．－6 B ．－12C ．12D ．1(3)(2021·绵阳模拟)若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A(1,2),又直线l 过点B(－2,－1),∴所求最大距离为|AB|＝32,故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A(1,2),则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b|1＋b2＝31＋b 2＋2b1＋b2＝31＋2b 1＋b2≤32(当且仅当b ＝1时取等号),故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点,∴－m ＝4－2－1－3＝－12,即m ＝12；AB 中点(1,3),∴m＋3＋3＝0即m ＝－6,故选A 、C ．(3)因为36＝48≠－125,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋82＝2910,所以|PQ|的最小值为2910． 考点三 对称问题——多维探究 角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M,则直线2x ＋3y －6＝0关于M点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0,可得y －1＝－a(x ＋3),所以M(－3,1),M 不在直线2x ＋3y －6＝0上,设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c≠－6),则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9,解得c ＝12或c ＝－6(舍去),所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0,故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A(0,2)、B(3,0),则A 、B 关于M 的对称点分别为A′(－6,0),B′(－9,2),又k A′B′＝2－0－9－－6＝－23,故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6),即2x ＋3y ＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0．又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时,由x －y ＋3＝0得y ＝0, 当y ＝4时,由x －y ＋3＝0得x ＝1．∴M(－3,4)关于直线l 的对称点为M′(1,0)．又k NM′＝6－02－1＝6,∴所求直线方程为y ＝6(x －1),即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N(2,6)关于直线l 的对称点N′(3,5),又k MN′＝5－43－－3＝16,∴所求直线方程为y －4＝16(x＋3),即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0,l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称,所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0,－2)为l 1上一点,设它关于l 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0),(－1,－1)为l 2上两点,可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A(0,－2),B(1,0),则A 、B 关于l 的对称点分别为A′(－1,－1),B′(1,0),∴k A′B′＝0－－11－－1＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1),即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P(x,y)是直线l 2上任一点,则P 关于直线l 的对称点为P′(y＋1,x －1),又P′∈l 1,∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0,即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于对称问题,一般常见的有： (1)中心对称①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n),则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×－AB＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法,如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1,1＋1),即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A(－1,－2)对称的直线l′的方程． [解析] (1)设A′(x ,y),由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a ,b),则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0． (3)设P(x,y)在l′上任意一点,则P(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为P′(－2－x,－4－y), ∵点P′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升 巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R)恒过定点,并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0,则直线方程为 3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时,直线方程为6x ＋y ＋4＝0．①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中,(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0, 故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理,得m 2(x －y ＋3)＋m(2x ＋y)＋3x ＋y ＋1＝0,① 不论m 为何实数,①式恒为零, ∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A(－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P(0,2)．因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0,将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m ＝－6, 故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0,解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”,则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f(λ)(x－x 0),从而确定定点(x 0,y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程,由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值,再解直线方程构成的方程组,从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0,其中A 1B 2－A 2B 1≠0,待定系数λ∈R ．在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0,y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m 为参数且m≠b)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ,λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,那么可选用直线系方程来求解． 〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时,直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9,－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5,得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9,－4),故选D ．解法二：令m ＝1,则y ＝－4；令m ＝12,则－12x ＝－92,即x ＝9,∴直线过定点(9,－4),故选D ． 解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a)＝(1－m)(x ＋b),则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－9,∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9),故直线过点(9,－4),故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0,则|c－6|52＋122＝2,解得c＝32或－20,故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。
两条直线的位置关系讲解
(4)两条直线的位置关系一、学习目标：1知识目标：在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角等角的补角相等，并能解决一些实际问题。
2、能力目标：(1)经历观察、操作、推理、交流等过程，发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力。
(2 )能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题。
3、情感目标：在活动中培养学生乐于探究、合作的习惯，体验探索成功、感受创新的乐趣，从而培养学习数学的主动性；进一步体会数学就在我们身边”增强学生用数学解决实际问题的意识。
二、学习重点：了解补角、余角、对顶角，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等。
三、学习难点：学生探索同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题。
初步的“说理”也是难点之一。
四、学习设计：(一)预习准备：预习书38、39页，回答下列问题:(1) ____________ 在________________________________ 内，两条直线的位置关系有和两种。
(2) _____________________________ 若两条直线，我们称这两条直线为相交线。
(3) ____________ 在____________________________________ 内，不相交的两条直线叫。
(5)预习作业：①已知/ 1 = 36°,/ 2= 54°，那么/ 1 + / 2= ___________②已知/ 1 = 144 °，/ 2 = 36°，那么/ 1 + / 2 = _______(二)学习过程：1、创设情境，引入课题完成书P38议一议，填空：(1 )对顶角具有的特点是① _______________________________② ______________________________ 。
直线关于直线的对称直线——到角公式法
直线关于直线的对称直线——到角公式法直线关于直线的对称直线——到角公式法对称是数学中一种非常重要的概念，直线关于直线的对称直线也是数学中的一个基础知识点。
对于平面几何而言，直线是其中一个基本要素，他们的对称关系也是平面几何中的重要内容之一。
本文将介绍直线关于直线的对称直线，重点是以到角公式法为线索展开讨论，希望能对读者的学习有所帮助。
首先，我们需要了解什么是直线关于直线的对称。
直线关于直线的对称是指，如果有一条直线L，然后有一点A不在直线上，那么可以通过某种方法找到直线L的对称直线L'，使得点A关于直线L的对称点A'在直线L'上。
简单来说，就是找到一条直线使得一个点和它的对称点关于这条直线对称地分布。
接下来，我们将使用到角公式法来探讨直线关于直线的对称直线。
所谓到角公式法，是指通过研究角的度量关系来推导直线的对称性质。
具体而言，我们可以通过以下步骤来完成：步骤一：给定一条直线L和一点A不在直线上。
我们需要找到关于直线L的对称直线L'。
为了明确问题，我们可以先画出直线L和点A，并在直线L上找一个点B，使得AB与AL垂直。
步骤二：我们需要确定直线L'的位置。
通过观察，我们可以发现直线L'应该过点B，并且与直线L垂直。
因为我们要研究的是直线关于直线的对称，所以直观地可以知道，直线L'应该与直线L关于点B对称。
步骤三：接下来，我们需要证明直线L'确实与直线L关于点B对称。
要完成这个证明，我们可以构造两个角，角BAL 和角BAM。
通过观察可以发现，这两个角的度量是一样的。
步骤四：根据到角公式，如果角BAL和角BAM的度量相等，那么我们可以得到一个重要的结论——即点M与点L'对称。
因此，直线L'就是直线L关于点B的对称直线。
通过以上步骤，我们可以使用到角公式法来确定直线关于直线的对称直线。
通过研究角的度量关系，我们可以进一步发现直线的对称性质。
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直线与直线的位置关系（3）——对称问题
教学目标
1、利用直线相关知识解决直线的有关对称问题。
2、初步学会解决三角形中的直线问题
1、两直线平行和垂直的判定
2、点到直线的距离公式
(1) 点到直线的距离d ＝|Ax
0＋By 0＋C|A 2＋B 2
. (2) 两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝
|C 1－C 2|A 2＋B 2
例1 已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：
(1) 点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；
(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；
(3) 直线l 关于点(1,1)对称的直线方程．
解：(1) 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，
则线段PP ′的中点M 在对称轴l 上，且PP ′⊥l.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋1x 0＋2·⎝⎛⎭
⎫－12＝－1x 0－22＋2·y 0－12－2＝0 ，解得⎩⎨⎧ x 0＝25y 0＝195，即P ′坐标为⎝⎛⎭⎫25，195.
(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P(x ，y)关于l 的对称
点P ′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y －y ′x －x ′·⎝⎛⎭⎫－12＝－1x ＋x ′2＋2·y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x －4y ＋45y ′＝－4x －3y ＋85.
把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0.
即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.
(3) 设直线l 关于点A(1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P(x 1，y 1)关于点A 的
对称点P ′(x ，y)一定在直线l ′上，反之也成立．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 12＝1
y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2－x y 1＝2－y ， 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0.∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.
例2 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为A(－
4,2)，B(3,1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状．
解：由题意画出草图(如图所示)．
设点A(－4,2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b)，则A ′必在直线BC 上．以下
先求A ′(a ，b)．
由对称性可得⎩⎪⎨⎪⎧ b －2a ＋4＝－12b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4
b ＝－2，∴A ′(4，－2)． ∴直线BC 的方程为y －1－2－1＝x －34－3
，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x 3x ＋y －10＝0
)，得C(2,4)．∴k AC ＝13，k BC ＝－3，∴AC ⊥BC. ∴△ABC 是直角三角形．
方法提炼
巩固练习： 1、已知直线l ：2x －y －2＝0，试求：
(1) 点P(2，－1)关于直线l 的对称点坐标；
(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；
2、已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．
解：设B(4y 1－10，y 1)，由AB 的中点在6x ＋10y －59＝0上，可得6·4y 1－72＋10·y 1－12
－59＝0，解得y 1 ＝ 5，
所以B 为(10,5)．
设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0y ′＋1x ′－3·14＝－1 A ′(1,7)．
故BC 边所在的直线方程为2x ＋9y －65＝0.
课堂总结：。