直线与直线的位置关系——对称

直线与直线的位置关系（3）——对称问题

教学目标

1、利用直线相关知识解决直线的有关对称问题。

2、初步学会解决三角形中的直线问题

1、两直线平行和垂直的判定

2、点到直线的距离公式

(1) 点到直线的距离d ＝|Ax

0＋By 0＋C|A 2＋B 2

. (2) 两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝

|C 1－C 2|A 2＋B 2

例1 已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：

(1) 点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；

(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；

(3) 直线l 关于点(1,1)对称的直线方程．

解：(1) 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，

则线段PP ′的中点M 在对称轴l 上，且PP ′⊥l.

∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋1x 0＋2·⎝⎛⎭

⎫－12＝－1x 0－22＋2·y 0－12－2＝0 ，解得⎩⎨⎧ x 0＝25y 0＝195，即P ′坐标为⎝⎛⎭⎫25，195.

(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P(x ，y)关于l 的对称

点P ′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y －y ′x －x ′·⎝⎛⎭⎫－12＝－1x ＋x ′2＋2·y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x －4y ＋45y ′＝－4x －3y ＋85.

把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0.

即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.

(3) 设直线l 关于点A(1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P(x 1，y 1)关于点A 的

对称点P ′(x ，y)一定在直线l ′上，反之也成立．

由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 12＝1

y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＝2－x y 1＝2－y ， 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0.∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.

例2 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为A(－

4,2)，B(3,1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状．

解：由题意画出草图(如图所示)．

设点A(－4,2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b)，则A ′必在直线BC 上．以下

先求A ′(a ，b)．

由对称性可得⎩⎪⎨⎪⎧ b －2a ＋4＝－12b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝4

b ＝－2，∴A ′(4，－2)． ∴直线BC 的方程为y －1－2－1＝x －34－3

，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝2x 3x ＋y －10＝0

)，得C(2,4)．∴k AC ＝13，k BC ＝－3，∴AC ⊥BC. ∴△ABC 是直角三角形．

方法提炼

巩固练习： 1、已知直线l ：2x －y －2＝0，试求：

(1) 点P(2，－1)关于直线l 的对称点坐标；

(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；

2、已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．

解：设B(4y 1－10，y 1)，由AB 的中点在6x ＋10y －59＝0上，可得6·4y 1－72＋10·y 1－12

－59＝0，解得y 1 ＝ 5，

所以B 为(10,5)．

设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，

则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0y ′＋1x ′－3·14＝－1 A ′(1,7)．

故BC 边所在的直线方程为2x ＋9y －65＝0.

课堂总结：