(完整版)三角形内角和知识点和习题
专题19三角形的内角和综合题(原卷版)
专题19 三角形的内角和（综合题）知识点01：三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为细节剖析：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出②已知三角形三个内角的关系，可以求出③求一个三角形知识点02：三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.细节剖析：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是；③另一条边是三角形（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是．所以三角形共有，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有2．性质：（1）三角形的一个外角等于．（2）三角形的一个外角任意一个与它不相邻的内角．细节剖析：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于细节剖析：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是易错点拨易错题专训一．选择题1．（2022秋•海淀区校级期中）如图，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，则∠D的度数是（）A．55°B．35°C．25°D．20°2．（2022秋•荆州月考）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（）A．105°B．90°C．75°D．60°3．（2022秋•东丽区期中）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，则∠α的度数为（）A．80°B．60°C．90°D．45°4．（2022春•淇滨区期末）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°5．（2021秋•铜官区校级期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（）A．120°B．110°C．100°D．90°6．（2022秋•黄骅市校级期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（）A．60°B．10°C．45°D．10°或60°二．填空题7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC ＝50°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是，∠BOA的度数是．8．（2022春•东海县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝68°，点D．E分别在AB、AC上，将△ADE 沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝．9．（2021秋•肥西县期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为．10．（2020秋•江津区期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝．11．（2021秋•海淀区校级期中）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为．12．（2020春•阳城县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，点D、E分别在线段AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使B落在B′处，B′D、B′E分别交AC于F、G．若∠ADF＝70°，则∠CGE的度数为°．13．（2020秋•綦江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝．三．解答题14．（2022秋•荆州月考）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分线CD交AB于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，若∠A＝63°，求∠BPC的度数．15．（2021秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．16．（2022秋•渝北区月考）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．17．（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM 上运动，点A、B均不与点O重合．【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝°．②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．18．（2019秋•黄冈月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）若∠BAD＝60°，求∠CDE的度数；（2）猜想∠CDE与∠BAD的数量关系，并说明理由．19．（2020秋•海淀区校级期中）如图锐角∠EAF，B、C分别为AE、AF上一点．（1）如图1，∠EAF＝50°，连接BC，∠CBA＝α，∠BCA＝β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点P，则α+β＝°，∠P＝°；（2）Q为∠EAF内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为BM、CN．①如图2，若∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，BM与CN交于点P，则∠BPC的度数为；②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；③BM与CN可能垂直吗？若不能，说明理由；若能，写出此时∠CQB与∠EAF的数量关系．20．（2021秋•锦州期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA 三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC 的度数为；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）。
三角形内角和定理知识点总结
三角形内角和定理知识点总结三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，而三角形内角和定理则是三角形相关知识中的核心定理之一。
下面我们来详细总结一下三角形内角和定理的相关知识点。
一、三角形内角和定理的内容三角形内角和定理指的是：三角形的三个内角之和等于 180 度。
无论三角形的形状、大小如何变化，其内角和始终保持不变，都是180 度。
二、定理的证明方法1、剪拼法将三角形的三个角剪下来，然后拼在一起，可以拼成一个平角，从而证明三角形内角和为 180 度。
2、作平行线法过三角形的一个顶点作其对边的平行线，利用平行线的性质来证明。
例如，在三角形 ABC 中，过点 A 作直线 DE 平行于 BC。
因为 DE平行于 BC，所以∠DAB ＝∠B，∠EAC ＝∠C。
又因为∠DAB ＋∠BAC ＋∠EAC ＝ 180 度，所以∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝ 180 度，证明了三角形内角和为 180 度。
三、三角形内角和定理的应用1、求三角形中未知角的度数已知三角形中两个角的度数，可以通过三角形内角和定理求出第三个角的度数。
例如，在三角形 ABC 中，∠A ＝ 50 度，∠B ＝ 60 度，那么∠C＝ 180 50 60 ＝ 70 度。
2、判断三角形的类型根据三角形内角的度数，可以判断三角形的类型。
（1）如果三角形的三个角都小于 90 度，那么这个三角形是锐角三角形。
（2）如果三角形有一个角等于 90 度，那么这个三角形是直角三角形。
（3）如果三角形有一个角大于 90 度，那么这个三角形是钝角三角形。
3、解决实际问题在实际生活中，很多问题都可以转化为三角形内角和的问题来解决。
比如，测量建筑物的角度、计算道路拐弯的角度等。
四、与三角形内角和定理相关的拓展知识1、三角形的外角和定理三角形的外角和等于 360 度。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
2、多边形内角和公式（1）n 边形的内角和公式为：（n 2) × 180 度。
(完整版)三角形内角和外角练习题
规律方法指导1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件；在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小.2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角.3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系.4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便.经典例题透析类型一：三角形内角和定理的应用1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．120°举一反三：【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125°【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。
类型二：利用三角形外角性质证明角不等2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。
求证：∠BAC ＞∠B。
举一反三：【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。
类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.举一反三：【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
类型四：与角平分线相关的综合问题4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________；（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________；（3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________；（4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；（5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________．举一反三：【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF 交于G，若∠BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.80【变式2】如图11, △ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，求∠D.【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____.【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。
四年级三角形内角和经典例题
四年级三角形内角和经典例题【文档内容】三角形是我们数学学习中常见的几何图形之一，了解和掌握三角形的基本性质对于解决许多与图形相关的问题至关重要。
本文将通过介绍内角和的概念以及一些经典例题，帮助大家更好地理解三角形的内角和。
一、内角和的概念在三角形中，每个内角的度数之和被称为内角和。
对于任意一个三角形ABC，它的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，它们的度数之和等于180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这个性质对于任意三角形都成立。
二、内角和的计算方法当已知两个内角的度数，我们可以通过计算得到第三个内角的度数。
例如，如果在三角形ABC中已知∠A = 60°，∠B = 40°，那么我们可以通过内角和的性质求解∠C的度数。
根据∠A + ∠B + ∠C = 180°，将已知值代入方程，得到60° + 40° + ∠C = 180°。
进一步计算，可得∠C = 80°。
通过这样的计算方法，我们可以灵活确定三角形内角的度数。
三、经典例题例题1：已知三角形ABC中∠A = 60°，∠B = 40°，求解∠C的度数。
解析：根据内角和的性质，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
将已知值代入方程，得60° + 40° + ∠C = 180°。
解方程可得∠C = 80°。
因此，∠C的度数为80°。
例题2：在三角形DEF中，已知∠D = 70°，∠E = 50°，求解∠F的度数。
解析：根据内角和的性质，∠D + ∠E + ∠F = 180°。
将已知值代入方程，得70° + 50° + ∠F = 180°。
解方程可得∠F = 60°。
因此，∠F的度数为60°。
例题3：在三角形GHI中，已知∠G = 80°，∠H = 70°，求解∠I的度数。
人教版小学五年级上册第六章 三角形的内角和知识点及习题
人教版小学五年级上册第六章三角形的
内角和知识点及习题
人教版小学五年级上册第六章三角形的内角和知识
点及题
知识点
- 了解三角形的内角是180度的特点
- 掌握计算三角形内角和的方法
- 理解三角形内角和与三角形形状之间的关系
题
1. 用已知角度计算三角形内角和：
- 已知一个角为60度，另一个角为40度，求第三个角的度数。
- 已知一个角为90度，另一个角为30度，求第三个角的度数。
- 已知两个角分别为80度和60度，求第三个角的度数。
2. 判断下列三角形的内角和是否等于180度：
- 一个角为120度，另外两个角分别为20度和40度。
- 一个角为60度，另外两个角分别为60度和60度。
- 一个角为45度，另外两个角分别为45度和90度。
3. 运用三角形内角和的知识，解决下列问题：
- 一个三角形的两个角度分别为30度和75度，求第三个角度的度数。
- 一个三角形的两个角度分别为60度和70度，求第三个角度的度数。
4. 根据三角形内角和的性质，选择填空：
- 一个三角形的一个角为45度，另一个角为35度，那么第三个角一定是（ 100 / 110 / 120 / 130 ）度。
- 一个三角形的两个角度分别为50度和70度，那么第三个角一定是（ 50 / 60 / 70 / 80 ）度。
注意事项
- 计算三角形内角和时，只需将已知的角度相加即可。
- 三角形的内角和一定等于180度，如果计算的结果不等于180度，那么可能存在错误。
- 通过观察三角形的形状，可以对三个角的度数进行估算和推断。
三角形的内角和相关知识点
三角形的内角和相关知识点一、三角形内角和定理。
1. 定理内容。
- 三角形的内角和等于180°。
无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，其三个内角的和都是180°。
例如，一个锐角三角形的三个角分别为60°、70°、50°，60°+70° + 50°=180°；直角三角形的一个角是90°，另外两个锐角之和为90°（如30°和60°，30°+60°+90° = 180°）；钝角三角形如120°、30°、30°，120°+30°+30° = 180°。
2. 证明方法。
- 剪拼法。
- 把三角形的三个角剪下来，然后将它们的顶点拼在一起，可以发现这三个角刚好组成一个平角，从而直观地证明三角形内角和为180°。
例如，对于一个纸质的三角形，沿角的边剪下三个角，然后把它们的顶点重合在一起，角的边会形成一条直线，即180°。
- 测量法。
- 使用量角器分别测量三角形的三个内角，然后将测量得到的度数相加，多次测量不同的三角形会发现结果接近180°。
由于测量存在误差，所以这种方法只能作为一种初步的验证。
- 推理证明（以平行线的性质证明为例）- 已知三角形ABC，过点A作直线EF平行于BC。
- 因为EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠B = ∠FAB，∠C=∠EAC。
- 而∠FAB+∠BAC + ∠EAC = 180°（平角的定义），所以∠B+∠BAC+∠C = 180°，从而证明了三角形内角和为180°。
二、三角形内角和定理的应用。
1. 求三角形中未知角的度数。
- 已知三角形的两个内角的度数，根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数，就可以求出第三个角的度数。
(完整版)苏教版七年级下册三角形内角和外角和
一、三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。
要会利用平行线性质、邻补角、平角等相关知识推出三角形内角和定理。
注：①、已知三角形的两个内角度数，可求出第三个角的度数；②、等边三角形的每一个内角都等于60度；③、如果已知等腰三角形的一个内角等于60度，那么这个等腰三角形就是等边三角形。
④、三角形中，有“大角对大边，大边对大角”性质，即度数较大的角，所对的边就较长，或较长的边，所对的角的度数较大。
例：已知等腰三角形的一个内角等于70度，则另外两个内角的度数分别是多少度?二、三角形的外角及其性质三角形的每一个内角都有相邻的两个外角，且这两个外角相等（对顶角相等）。
一共有六个外角。
其中，从与三角形的每一个内角相邻的两个外角中各取一个外角相加（一共三个外角相加），叫三角形的外角和。
根据邻补角、三角形的内角和等相关知识，可知：三角形的外角和= 360 度。
性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
性质2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
（常用于解决角的不等关系问题）例：等腰三角形的一个外角等于100度，则这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？注：（1）、△ABC内有一点O，连接BO、CO，则有∠BOC = ∠A + ∠ABO +∠ACO（2）、△ABC内有一点M，连接BM、CM，BO、CO分别是∠ABM 和∠ACM的平分线，则有∠BOC =(∠A +∠BMC)/2（3）、一个五角星，五个顶角的和等于180度。
（可利用性质1和三角形的内角和来加以证明）（4）、BO、CO分别是△ABC的内角平分线，BO、CO相交于点O，则∠BOC = 90°+ ∠A/2（5）、BO、CO分别是△ABC的外角平分线，BO、CO相交于点O，则∠BOC = 90°- ∠A/2（6）、BO是△ABC的内角平分线，CO是△ABC的外角平分线，BO、CO相交于点O，则∠BOC = ∠A/2（7）、①锐角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角互补；②直角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角相等；③钝角三角形一条钝角边上的高与钝角所对最大边上的高相交所成的夹角与另一钝角边所对的角相等，但若是两条钝角边上的高相交所成的夹角，则与第三边所对的角互补。
三角形的内角和知识点
三角形的内角和知识点三角形是几何学中最基础且重要的图形之一。
对于三角形来说，一个关键的概念就是内角和。
本文将从定义、性质以及相关定理等方面详细介绍三角形的内角和知识点。
一、内角和的定义及性质1. 定义：三角形的内角和是指三个内角的度数之和。
根据平面几何学的基本定理，三角形的内角和总是等于180度。
2. 性质：三角形的内角和有以下几个性质：- 对于任意三角形ABC，内角A、内角B和内角C的度数之和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
- 如果一个角的度数大于180度，那么它不是一个三角形的内角。
- 对于等边三角形，三个内角的度数相等，每个角的度数都是60度。
- 对于等腰三角形，拥有相等底边的两个内角的度数相等。
- 三角形的最大内角一定是两个较小内角之和的度数范围内。
二、三角形内角和的计算方法1. 已知两个内角求第三个内角：如果已知一个三角形的两个内角的度数，可以通过用180度减去已知的两个内角的度数，来求得第三个内角的度数。
2. 已知一个内角和两边的边长求另外两个内角的度数：如果已知一个三角形的一个内角的度数以及与该角相对的两边的边长，可以使用三角函数（正弦、余弦、正切）来计算另外两个内角的度数。
三、三角形内角和的定理1. 角平分线定理：三角形中，如果一条线段同时是一个内角的角平分线和对边上的边中线，那么这个线段把该三角形分成两个内角和相等的三角形。
2. 角的外角等于其余两个内角和：三角形中，任意一个内角的外角等于其余两个内角的和。
3. 角和的辅助角：三角形的三个内角的和等于一个全角（即360度）。
因此，可以通过找到三个内角之外的辅助角求解三角形的内角。
四、实际应用三角形的内角和知识点在几何学和实际生活中有广泛的应用，例如：1. 地理测量：在地理测量中，测量角度是很常见的，而角度的测量与三角形的内角和密切相关。
通过测量三角形的各个内角，可以计算出地球上不同地区的经度和纬度。
(完整word)三角形内角和定理练习题
三角形内角和定理练习题1.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是三角形。
2.如图,在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，它们相交于点I,已知∠A＝56°，则∠BIC ＝。
3。
如图，在△ABC中，∠B＝25°，延长BC至E，过点E作AC的垂线ED，垂足为O,且∠E＝40°，则∠A＝。
4.如图，若AB＝AC，BG＝BH，AK＝KG,则∠BAC的度数为.5.若等腰三角形一腰上的高和另一腰上的高的夹角为58°,则这个等腰三角形顶角的度数是。
6.如图，将三角形纸片ABC的一角折叠，折痕为EF，若∠A＝80°，∠B＝68°，∠CFB＝22°，则∠CEA ＝。
7.在一个三角形中，三个内角中至少有个锐角，最多有个直角或钝角.8.如图,AB∥CD，若∠ABE＝135°，∠CDE＝110°，则∠DEF＝。
9。
如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD＝158°，则∠EDF等于( )A.64°B.65°C.67°D。
68°10。
如图,已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC,则∠E是( )A.锐角B.直角C。
钝角 D.无法确定11。
如图,已知在△ABC中，AD平分外角∠EAC，AD∥BC,则△ABC的形状是（) A。
等边三角形 B.直角三角形C。
等腰三角形 D.任意三角形12.如图,在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D，设∠BAC＝∠α，则∠D等于（)A。
180°—2∠α B。
180°—∠αC。
90°—∠α D.90°-2∠α13.如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形的形状是( ）A.锐角三角形B。
直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形14。
如图，∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°,则∠BDC的度数等于（）A。
2024版三角形内角和完整版
三角形定义及分类三角形定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类按边可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
0102任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形内角和等于180度，外角和等于360度。
三角形边长关系三角形角度关系三角形边长与角度关系特殊三角形性质等腰三角形性质两腰相等，两底角相等；顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
等边三角形性质三边相等，三个内角都等于60度；任意一边上的中线、高线和这边所对角的平分线互相重合（三线合一）。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
三角形内角和定理的推论三角形内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
直角三角形的两个锐角互余。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形内角和定理内容010302040501几何证明法通过添加辅助线，将三角形划分为两个直角三角形，利用直角三角形的性质证明三角形内角和定理。
02代数证明法通过三角形的面积公式和三角函数公式，推导出三角形内角和定理。
03向量证明法利用向量的夹角公式和向量数量积的性质，证明三角形内角和定理。
多种证明方法介绍应用举例与拓展应用举例在解决三角形相关问题时，经常需要用到三角形内角和定理及其推论，例如求角度、判断三角形形状等。
拓展除了三角形内角和定理外，还有许多与三角形相关的定理和性质，如三角形的外角和定理、三角形的中位线定理等，这些定理和性质在解决三角形问题时也有重要作用。
外角定义及性质阐述外角的定义三角形的一个外角是相邻两个内角的补角，即一个顶点与其不相邻的两个顶点所构成的角。
外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
外角与相邻内角关系推导推导过程设三角形ABC中，角A的外角为∠1，则根据外角的定义有∠1 =180°-∠A。
又因为∠1 = ∠B + ∠C（三角形内角和为180°），所以可以得到∠A + ∠B + ∠C = 180°。
(完整版)三角形内角和练习题
三角形的内角和练习【例题分析】例1. 在△ABC 中，已知∠A ＝21∠B ＝31∠C ，请你判断三角形的形状。
分析：三角形的形状按边分和按角分两类，本题由于不可能按边分，因此只有计算各角的度数，按角来确定形状，由于在该题中∠C 是最大的角，因此只需求出∠C 的度数即可判断三角形的形状。
例2. 如图，已知DF ⊥AB 于点F ，且∠A ＝45°，∠D ＝30°，求∠ACB 的度数。
例3. 如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝54°，求∠DAC 的度数。
例4. 已知在△ABC 中，∠A ＝62°，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于O ，求∠BOC 的度数。
〖拓展与延伸〗（1）已知△AB 中C ，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。
B C D B D C 2 4 31AB C AB C A（2）已知BO 、CO 分别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的外角角平分线，BO 、CO 相交于O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。
（3）已知：BD 为△ABC 的角平分线，CO 为△ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 的数量关系。
由前面的探索同学们可以发现三角形三个角（或外角）的平分线所夹的角与第三个内角之间存在着一定的数量关系。
例5. 已知多边形的每一个内角都等于135°，求这个多边形的边数。
例6. 一个零件的形状如图，按规定∠A ＝90°，∠B 和∠C 应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC ＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。
分析：验证的关键是求出∠A 的度数，即把∠A 用已知的角∠B 、∠C 、∠BDC 联系起来，利用三角形关于角的性质就可以发现它们之间的关系EB C EA B DE C【随堂检测】A 组1、在△ABC 中， ∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝ 。
三角形 知识点+考点+典型例题(含答案)
第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。
2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。
）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
三角形内角和外角练习题及作业
11.2 与三角形有关的角习题课一、知识要点1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于______，即：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=_____理解与延伸：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角②一个三角形中最少有一个角不小于60°③等边三角形每个角都是60°2、直角三角形的性质与判定性质：直角三角形的两个锐角__________；判定：有两个角互余的三角形是_______________3、三角形的外角：三角形的一边与另一边的______________组成的角特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为_______________②三角形有____个外角，每个顶点处有____个外角，但算三角形外角和时，每个顶点处只算____个外角，外角和是指三个外角的和，三角形的外角和为________性质：三角形的外角等于与它______________的两个内角的和二、知识应用1、三角形内角和定理应用(1)已知两角求第三角 (2)已知三角的比例关系求各角 (3)已知三角之间相互关系求未知角2、三角形外角性质的应用(1)已知外角和它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”(2)可证一个角等于另两个角的_______(3)经常利用它作为中间关系式证明两个角相等．三、例题分析1、如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B = ∠D = 40°则∠C=_______2、如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2=_______3、△ABC中，∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°.求△ABC的各内角的度数4. 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，求∠β的度数5、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数变式：（1）如图①，五角形的顶点分别为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____ （2）如图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_____（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____6、（1）如图1，BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（2）如图2，BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（3）如图3，BO、CO分别是△ABC一个内角和一个外角的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（4）请就图2与图2中的结论进行证明四、课外作业：A组题1、如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG=CD，DF=DE，则∠E=______2、如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______3、把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度．4、如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（）A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠35、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A、30°B、60°C、90°D、120°6、如图，已知∠1=60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A、360°B、540°C、240°D、280°7、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE ∥BC，∠A=46°，∠1=52°，求∠2的度数．8、一个零件的形状如图，按规定∠A= 90°，∠B和∠C，应分别是32°，和21°，检验工人量得∠BDC = 148°，就断定这两个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。
初中三角形有关知识点总结及习题大全,带答案
11.（2010·兰州中考）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为．
【解析】过点E作EF⊥AF交AD的延长线于点F，过点D作DM⊥BC交BC于点M，因此四边形ABMD是矩形，则BM=AD=2,且∠EFD=∠DMC=90°,根据题意可知DE=DC,∠EDC=90°,因此∠EDF+∠CDF=90°,又因为∠CDM+∠CDF=90°,所以∠EDF=∠CDM，从而△EDF≌△MCD,CM=EF,因为△ADE的面积为3，AD = 2，所以EF=3,所以BC=BM+CM=5.
【解析】 ,由 得 =
答案：
9、（2009·怀化中考）如图，已知 ， ，要使 ≌ ，可补充的条件是（写出一个即可）．
【解析】如AE=AC或∠B＝∠D．
答案：AE=AC（答案不唯一）；
10、（2009·龙岩中考）如图，点B、E、F、C在同一直线上．已知∠A=∠D，∠B=∠C，要使
△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是（写出一个即可）．
A.20° B. 35° C. 45° D.55°
【解析】选D因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55º，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55º；
7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形
【解析】由EP平分∠AEF,∠PEF=30 得∠AEF=60 ，由A B//CD得∠EFC=120 ，由FP⊥EP得∠P=90 ，
四年级数学下册《三角形的内角和》知识点及基础习题
方法4：转化法：
转化成两个直角三角形。
把三角形沿着高剪开,变成两个直角三角形,直角三角形中,第一个直角三角形的两个锐角的和是90°,第二个直角三角形的两个锐角的和也是90°,合起来就是180°,刚好是原来三角形的内角和。
所以三角形的内角和是180°。
三、求出下面∠1的度数。
①180°-105°-40°②∠2=180°-60°-50°=70°
=75°-40°因为对顶角相等
=35°所以∠1=70°
180°-35°=145°
③180°-（120°+25°）④180°-90°-30°
=180°-145°=90°-30°
=35°=60°
四、解答题
张叔叔不小心把家里的一块玻璃摔成3块（如下图），可他
只拿其中一块玻璃去玻璃店划了一块与原来一样大的玻璃，
你知道他拿的是哪一块玻璃吗？动脑想一想吧！
3号；这三块玻璃中，只有3号玻璃中有原来三角形的两个角，可以用这块玻璃得到与原来一样大的玻璃。
以下是4组小棒的长度，都能分别围成三角形吗？你从中发
现了什么？（单位：cm）
①1、2、3
②2、3、4
③7、8、9
④19、20、21
除第一组外，其它的三组都能围成三角形，我发现，三角形
的任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小
于第三边。
第七章《三角形》知识点归纳与练习
第七章 三角形知识点一： 三角形1、定义：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形。
2、分类：（1）按角分：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形；（2）按边分：不等边三角形；等腰三角形；等边三角形；3、角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
4、中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
注意：三角形的角平分线、中线和高都有三条。
6、三角形的三边关系：三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
7、三角形的内角：三角形的内角和等于180。
如图：180321=∠+∠+∠ 8、三角形的外角（1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。
18041=∠+∠（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
324∠+∠=∠ （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
4∠＞2∠或4∠＞3∠6、三角形的周长、面积求法和三角形稳定性。
（1）如图1：C △A BC =AB ＋BC ＋AC 或C △A BC = a ＋b ＋c 。
四个量中已知其中三个能求第四个。
（2）如图2：AD 为高，S △ABC =·BC ·AD三个量中已知其中两个能求第三个。
（3）如图3：△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，则有：4321S △ABC =·AB ·CD=·AC ·BC 即：AB ·CD=AC ·BC四条线段中已知其中三条能求第四条。
知识点二：多边形及其内角和1、n 边形的内角和=()2180-⨯n ；2、n 边形的外角和=360。
3、一个n 边形的对角线有()23-n n 条，过n 边形一个顶点能作出()3-n 条对角线，把n 边形分成了()2-n 个三角形。
三角形内角和定理基础训练题(有详解)
三角形内角和定理基础训练题(有详解)题目一已知三角形ABC，角A=40°，角C=70°，求角B的度数。
解析：根据三角形内角和定理，三角形的三个内角和等于180°。
所以，角B的度数可以通过计算得出。
角B的度数 = 180° - 角A的度数 - 角C的度数 = 180° - 40° - 70°= 70°因此，角B的度数为70°。
题目二在等边三角形ABC中，角A = 60°，求角B和角C的度数。
解析：由于等边三角形的三个内角相等，所以可以通过已知角A的度数求得角B和角C的度数。
角B和角C的度数 = (180° - 角A的度数) / 2 = (180° - 60°) / 2 = 120° / 2 = 60°因此，角B和角C的度数均为60°。
题目三在直角三角形ABC中，角A = 90°，角C = 30°，求角B的度数。
解析：根据直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角之和等于90°。
所以，可以通过已知角A和角C的度数求得角B的度数。
角B的度数 = 180° - 角A的度数 - 角C的度数 = 180° - 90° - 30°= 60°因此，角B的度数为60°。
题目四在锐角三角形ABC中，角A的度数是角B的1/3，角C的度数是角A和角B度数之和的2倍，求角A、角B和角C的度数。
解析：设角A的度数为x，则可得到以下等式：角A的度数 = 1/3 * 角B的度数角C的度数 = 2 * (角A的度数 + 角B的度数)将角A的度数替换成x，代入上述等式，可以得到：x = 1/3 * (3x)2 * (x + 3x) = 3x解方程可以得到：6x = 3x6x - 3x = 03x = 0x = 0因此，角A的度数为0°，角B的度数为3 * 0° = 0°，角C的度数为2 * (0° + 0°) = 0°。
三角形的内角(7种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
三角形的内角（7种题型）【知识梳理】三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．【考点剖析】题型一、三角形的内角和定理证明例1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．因为DF ∥AC （已作），所以∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．因为DE ∥AB （已作）．所以∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，因为1l ∥3l （已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又1l ∥2l （已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∠2+∠3=∠ACB ，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在图5－2中过A作MN ∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.例2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．【变式1】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°例3.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴ ∠ABC+∠C ＝120°，又∵ ∠ABC ＝∠C ，∴ ∠C ＝60°．(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD 中，∵ ∠ABD ＝30°(已知)，所以∠BAD ＝60°．∴ ∠BAC ＝120°．又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C ＝180°(三角形内角和定理)，∴ ∠ABC+∠C ＝60°．∴ ∠C ＝30°．综上，∠C 的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60题型三：直角三角形两个锐角互余 例3．（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．30︒C ．50︒D ．40︒【答案】B【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，则可求解．【详解】解：90C ∠=︒，60B ∠=︒， 9030A B ∴∠=︒−∠=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，解答的关键是明确直角三角形的两个锐角互余．【变式1】（2023春·湖南怀化·八年级统考期中）直角三角形的一锐角是30︒，那么另一锐角是（）A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒【答案】C【分析】由直角三角形的两锐角互余可得答案．【详解】解：直角三角形的一锐角是30︒，那么另一锐角是903060︒−︒=︒，故选：C．【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，熟记知识点是解本题的关键．【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．题型四、利用三角形内角和判定三角形的形状例4．在△ABC中，若∠A＝12∠B＝13∠C，试判断该三角形的形状．【思路点拨】由∠A＝12∠B＝13∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．题型五：与平行线有关的三角形内角和问题例5．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）已知直线MN EF∥，一个含30︒角的直角三角尺()ABC AB BC>如图叠放在直线MN上，斜边AC交EF于点D，则1∠的度数为（）A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】D 【分析】首先根据直角三角形的性质判定∠A=30°，∠ACB=60°，然后根据平行的性质得出∠1=∠ACB.【详解】∵含30︒角的直角三角尺()ABC AB BC >∴∠A=30°，∠ACB=60°∵MN EF ∥∴∠1=∠ACB=60°故选：D.【点睛】此题主要考查直角三角形以及平行的性质，熟练掌握，即可解题.八年级单元测试）如图，在ABC 中，【答案】39°．【分析】利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求出DCB ∠即可解决问题．【详解】解：54A ∠=︒，48B ∠=︒，180544878ACB ∴∠=︒−︒−︒=︒，CD 平分ACB ∠，1392DCB ACB ∴∠=∠=︒，//DE BC ，39CDE DCB ∴∠=∠=︒，故答案为：39°．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题型六：三角形折叠中的角度问题 例6．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，将ABC 沿着平行于BC 的直线折叠，得到A DE '，若25115E DA A E D '∠=︒∠=︒'，，则ABC ∠的度数是（ ）A ．45︒B ．40︒C ．55︒D ．50︒【答案】B 【分析】根据题意可得A DE ADE DE BC '∠=∠∥，，结合三角形内角和定理可得40ADE ∠=︒，最后根据平行线的性质求解即可．【详解】解：由题意得，A DE ADE DE BC '∠=∠∥，，又∵25115E DA A E D '∠=︒∠=︒'，，∴1802511540018ADE A DE DA E DEA '∠∠=︒−︒−︒=︒''∠=∠=︒−−，∵DE BC ∥，∴40ADE B ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和折叠的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【变式】．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，把ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则A ∠与12∠+∠之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）A ．212A ∠=∠+∠B ．3212A ∠=∠+∠C ．12A ∠=∠+∠D ．32122A ∠=∠+∠【答案】A 【分析】根据折叠的性质和平角的定义先得到2236012AED ADE ∠+∠=︒−∠−∠，再由三角形内角和定理得到223602AED ADE A ∠+∠=︒−∠，由此即可得到结论．【详解】解：由折叠的性质可知2118022180AED ADE ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴2236012AED ADE ∠+∠=︒−∠−∠，由三角形内角和定理可知180A ADE AED ∠+∠+∠=︒，∴223602AED ADE A ∠+∠=︒−∠，∴360123602A ︒−−=︒−∠∠∠， ∴122A ∠+∠=∠故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．题型七：与角平分线有关的三角形内角和问题 八年级统考期末）如图，在ABC 中， 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理可求解BAC ∠的大小，再利用角平分线的定义可求解BAD ∠的度数，由三角形的高线可得90AEB ∠=︒，利用三角形的内角和定理可求解BAE ∠的度数，进而可求得EAD ∠的度数．【详解】解：∵45B ∠=︒，55C ∠=︒，∴180455580BAC ∠=︒−︒−︒=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴40BAD ∠=︒，∵AE BC ⊥，∴90AEB ∠=︒，∴180904545BAE ∠=︒−︒−︒=︒，∴45405EAD BAE BAD ∠=∠−∠=︒−︒=︒，故选：D ．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理的应用，三角形的高线的含义，求解BAD ∠，BAE ∠的度数是解题的关键． 【变式】．（2023秋·八年级课时练习）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，若30BAE ∠=︒，20CAD ∠=︒，则B ∠的度数为_____________．【答案】50︒/50度【分析】先利用角平分线的定义求得260BAC BAE ∠=∠=︒，在Rt ACD 利用直角三角形的两锐角互余求得C ∠，最后在ABC 中利用三角形的内角和即可求解．【详解】解：∵AE 平分BAC ∠，，30BAE ∠=︒，∴260BAC BAE ∠=∠=︒，∵20CAD ∠=︒，AD ⊥BC ，∴9070C CAD ∠=︒−∠=︒，∴在ABC 中，18050B BAC C ∠=︒−∠−∠=︒，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于35︒，则另一个锐角的度数是（ ）A ．145︒B ．125︒C ．65︒D ．55︒【答案】D【分析】根据直角三角形中两锐角互余可直接求得．【详解】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于35︒，则另一个锐角的度数是 903555︒−︒=︒， 故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解本题的关键． 2．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）在ABC 中，90A ∠=︒，36B ∠=︒，则C ∠的度数为（ ）A ．34︒B ．44︒C ．54︒D ．64︒【答案】C【分析】由三角形内角和180︒可得结果．【详解】解：936180180045C A ︒︒︒︒︒∠=−∠−∠=−−=．故选：C ．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和为180︒是解题的关键． 3．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分ABC ∠交AC 边于E ，60BAC ∠=︒，26ABE ∠=︒，则DAC ∠的大小是（ ）A ．20︒B ．22︒C ．24︒D ．26︒【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得2ABC ABE ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAC BAC BAD ∠=∠−∠计算即可得解．【详解】解：BE 平分ABC ∠，222652ABC ABE ∴∠=∠=⨯︒=︒， AD 是BC 边上的高，90905238BAD ABC ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒，603822DAC BAC BAD ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 八年级统考期末）如图，在ABC 中， 【答案】B 【分析】根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：∵AD BC ⊥，48C ∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∵48C ∠=︒，∴904842DAC ∠=︒−︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，求得90ADC ∠=︒是解题的关键．5．（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，若50A ∠=︒，则B ∠等于（ ）A ．55︒B ．50︒C ．45︒D ．40︒【答案】D【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果．【详解】解：在Rt ABC 中，=90C ∠︒，=50A ∠︒， =90A B ∴∠+∠︒，=9050=40B ∴∠︒−︒︒， 故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．6．（2023春·广西贵港·八年级统考期中）将一副直角三角板如图放置，使含30︒角的三角板的短直角边和含45︒角的三角板的一条直角边重合，则1∠的度数为（ ）度．A ．60B ．75C ．45D ．30【答案】B 【分析】利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】解：由题意得60A ∠=︒，45B ∠=︒，∴118075ACB A B ∠=∠=︒−∠−∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握相关性质是解题的关键．7．（2023秋·重庆忠县·八年级统考期末）如图所示，将A ∠沿着BC 折叠到A ∠所在平面内，点A 的对应点是A '，若54A ∠=︒，则12∠+∠= （ ）A ．144︒B ．108︒C ．72︒D ．54︒【答案】B 【分析】先根据折叠求出1∠和2∠的补角，再求12∠+∠即可．【详解】∵将A ∠沿着BC 折叠到A ∠所在平面内，点A 的对应点是A '，∴1∠的补角为2ACB ∠，2∠的补角为2ABC ∠，∵54A ∠=︒，∴180********ABC ACB A ∠+∠=︒−∠=︒−︒=︒，∴22252ABC ACB ∠+∠=︒，∴12∠+∠18021802360252108ABC ACB =︒−∠+︒−∠=︒−︒=︒，故选B ．【点睛】本题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，根据折叠的性质得到12∠+∠和A ∠的关系是解题的关键．8．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∵//BC EF ，∴45FDB F ∠=∠=︒，∴180180456075BMD FDB B ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．二、填空题 9．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，40,60B C ∠=︒∠=︒．若//DE AB ，则AED =∠________︒．【答案】100【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出AED ∠，即可．【详解】解：∵40,60B C ∠=︒∠=︒，∴∠A=180°-40°-60°=80°，∵//DE AB ，∴AED =∠180°-80°=100°．故答案是100．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．10．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，ABC 中，80B ∠=︒，70C ∠=︒，将ABC 沿EF 折叠，A 点落在形内的A '，则12∠+∠的度数为___________．【答案】60︒【分析】先根据三角形内角和定理求出A ∠的度数，进而得出AEF AFE +∠∠的度数，再根据图形翻折变换的性质得出A EF A FE ''∠+∠的度数，最后由四边形的内角和为360︒即可得到结论．【详解】解：80B ∠=︒，70C ∠=︒，180180807030A B C ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，180********AEF AFE A ∴∠+∠=︒−∠=︒−︒=︒，A EF '由AEF △折叠而成，150A EF A FE AEF AFE ''∴∠+∠=∠+∠=︒，()12360360807015060B C A EF A FE ''∴∠+∠=︒−∠−∠−∠+∠=︒−︒−︒−︒=︒，故答案为：60︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和折叠问题，熟知三角形内角和是180︒，折叠前后对应的角相等是解答此题的关键．11．（2023秋·甘肃定西·八年级校考期末）如图，ABC 中，60A ∠=︒，点E 、F 在AB 、AC 上，沿EF 向内折叠AEF △，得DEF ，则图中12∠+∠等于 _____．【答案】120︒/120度【分析】根据三角形的内角和等于180︒求出AEF AFE +∠∠的度数，再根据折叠的性质求出AED AFD ∠+∠的度数，然后根据平角等于180︒解答．【详解】解：60A ∠=︒，18060120AEF AFE ∴∠+∠=︒−︒=︒，沿EF 向内折叠AEF △，得DEF ，2()2120240AED AFD AEF AFE ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，121802240360240120∴∠+∠=︒⨯−︒=︒−︒=︒．故答案为：120︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键． 12．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在ABC 中，沿DE 折叠，点A 落在三角形所在的平面内的1A 处， 若30A ∠=︒，180BDA ∠=︒，则1CEA ∠=_________．【答案】20︒/20度【分析】根据折叠的性质得出1ADE A DE ∠=∠，1AED A ED ∠=∠，根据180BDA ∠=︒，得出100AED ∠=︒，根据11180CEA AED A ED ∠=∠+∠−︒，即可求解．【详解】解：∵沿DE 折叠，点A 落在三角形所在的平面内的1A 处， ∴1ADE A DE ∠=∠，1AED A ED ∠=∠， ∵180BDA ∠=︒， ∴11100ADA ADE A DE ∠=∠+∠=︒， ∴1=50ADE A DE ∠=∠︒∴180100AED A ADE ∠=︒−∠−∠=︒∴1=100AED A ED ∠=∠︒ ∴1118020CEA AED A ED ∠=∠+∠−︒=︒，故答案为：20．【点睛】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理的应用，掌握折叠的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 13．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图所示，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，点A 落在点P 处，已知12128∠+∠=︒，则A ∠是_________度．【答案】64【分析】根据折叠的性质可知ADE EDP ∠=∠，AED DEP ∠=∠，利用平角是180︒，求出ADE ∠与AED ∠的和，然后利用三角形内角和定理求出A ∠的度数．【详解】解：将纸片ABC 沿DE 折叠，点A 落在点P 处，ADE EDP ∴∠=∠，AED DEP ∠=∠，1222180180ADE AED ∴∠+∠+∠+∠=︒+︒，122()360ADE AED ∴∠+∠+∠+∠=︒又12128∠+∠=︒，116ADE AED ∴∠+∠=︒，180()64A ADE AED ∴∠=︒−∠+∠=︒．故答案是：64．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解题的关键是挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是180︒、平角的度数也是180︒．14．（2023秋·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）如图，D ，E 分别为ABC 的边AB ，AC 上的点，DE BC ∥，将ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处．若55B ∠=︒，则BDF ∠的度数为________°．【答案】70【分析】首先根据平行线的性质，可得55ADE B ∠=∠=︒，再根据折叠的性质，可得55ADE EDF ∠=∠=︒，再根据平角的性质，即可求得答案．【详解】解：DE BC ∥，55ADE B ∴∠=∠=︒，根据折叠的性质，可得55ADE EDF ∠=∠=︒，180180555570BDF ADE EDF ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，故答案为：70．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决此题的关键．三、解答题为ABC 的内角平分线【答案】见解析【分析】由角平分线的定义求得2ABC PBC ∠=∠，2ACB BCP ∠=∠，再利用三角形的内角和定理即可证明．【详解】证明：BP 、CP 是角平分线，2ABC PBC ∴∠=∠，2ACB BCP ∠=∠，180ABC ACB A ∠+∠+∠=︒，22180PBC BCP A ∠∠∠∴++=︒，又180PBC BCP BPC ∠+∠+∠=︒，1902BPC A ∠∠︒∴=+．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 16．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期中）AD BE 、为ABC 的高，AD BE 、相交于H 点，50C ∠=︒，求BHD ∠．【答案】50︒【分析】根据同角的余角相等求出BHD C ∠=∠，从而得解．【详解】解：∵AD 是ABC 的高，∴90BHD HBD ∠+∠=︒，∵BE 是ABC 的高，∴90HBD C ∠+∠︒=，∴BHD C ∠∠=，∵=50C ∠︒，∴50BHD ∠︒=．.【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．17．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在ABC 中，CD 是ACB ∠的平分线，高AE 与CD 相交于点O ．若70BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒．求：(1)B ∠的度数；(2)AOD ∠的度数．【答案】(1)50︒(2)60︒【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出答案．（2）利用角平分线求出COE ∠度数，在根据三角形内角和定理即可求出EOC ∠的度数，利用对顶角相等可求出AOD ∠的度数．【详解】（1）解：70BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，∴180180706050B BAC ACB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒；（2）解：60ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的平分线，1302DCB ACB ∴∠=∠=︒，高AE 与CD 相交于点O ，AE BC ∴⊥，90AEC ∴∠=︒，180903060COE ∴∠=︒−︒−︒=︒，AOD EOC ∠=∠（对顶角相等），60AOD EOC ∴∠=∠=︒.【点睛】本题主要考查的知识点有三角形内角和定理、角平分线的定义和对顶角相等，解题过程中是否能熟练运用定理和性质是解题的关键．18．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60︒．”已知：A ∠，B ∠，C ∠是ABC 的内角．求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个内角小于或等于60︒．【答案】见解析【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【详解】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60︒，180A B C ∴∠+∠+∠>︒，这与三角形的三内角和为180︒相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【点睛】本题考查了三角形内角和定理考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 八年级统考期末）如图，在ABC 中， 【答案】125︒【分析】先根据三角形内角和定理求出110ABC ACB ∠+∠=︒，再由角平分线的定义推出55DBC DCB +=︒∠∠，进而利用三角形内角和定理求出D ∠的度数．【详解】解：∵70A ∠=︒，∴180110ABC ACB A ∠+∠=︒−∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠， ∴1122DBC ABC DCB ACB ∠∠∠∠==，， ∴115522DBC DCB ABC ACB +=+=︒∠∠∠∠，∴180125D DBC DCB =︒−−=︒∠∠∠．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和为180︒是解题的关键． 20．（2023春·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期末）学习了证明的必要性，张明尝试证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程．已知：如图，ABC ，求证：180A B C ∠+∠+∠=o ．证明：过点A 作直线DE BC ∥…【答案】见解析【分析】过点A 作直线DE BC ∥，根据平行线的性质可证得DAB B ∠=∠，EAC C ∠=∠，再根据平角的性质，即可证得．【详解】证明：如图：过点A 作直线DE BC ∥，DAB B ∴∠=∠，EAC C ∠=∠，180DAB BAC EAC ∠+∠+∠=o Q ，180B BAC C ∴∠+∠+∠=o ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，熟练掌握和运用三角形内角和定理的证明方法是解决本题的关键．21．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2．（1）试说明DG∥BC的理由；（2）如果∠B=34°，且∠ACD=47°，求∠3的度数．【答案】（1）DG∥BC，详见解析；（2）∠3 =103°.【分析】（1）先根据垂直定义得出∠CDF=∠EFB=90°，根据平行线判定可得出CD∥EF，故可得出∠2=∠BCD，推出∠1=∠BCD，根据平行线的判定即可得出结论；（2）先根据CD⊥AB得出∠BDC=90°，由直角三角形的性质得出∠BCD的度数，故可得出∠ACB的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．【详解】解：（1）DG∥BC．理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDF=∠EFB=90°，∴CD∥EF．∴∠2=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC；（2）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．∵∠B=34°，∴∠BCD=90°-34°=56°．∵∠ACD=47°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=47°+56°=103°．∵由（1）知DG∥BC，∴∠3=∠ACB=103°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的判定与性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 22．（2023秋·八年级单元测试）如图，在ABC 中，CD AB ⊥于点D ，EF CD ⊥于点G ，ADE EFC ∠=∠．(1)求证：B EFC ∠=∠；(2)若60A ∠=︒，76ACB ∠=︒，求ADE ∠的度数．【答案】(1)证明见解析(2)44︒【分析】（1）由垂直于同一直线的两条直线平行，可得AB EF ∥，再由平行线的性质可得B EFC ∠=∠；（2）结合已知条件与（1）的结论，可得DE BC ∥，由三角形的内角和定理可求得B ∠的度数，从而可得ADE ∠的度数．【详解】（1）∵CD AB ⊥，EF CD ⊥，∴90BDC FGC ∠=∠=︒∴AB EF ∥，∴B EFC ∠=∠．（2）∵B EFC ∠=∠，ADE EFC ∠=∠，∴B ADE ∠=∠．∴DE BC ∥．∵60A ∠=︒，76ACB ∠=︒，∴180607644B ∠=︒−︒−︒=︒．∴44ADE B ∠=∠=︒．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 23．（2023秋·八年级单元测试）如图，AD 是ABC 的高，AE 平分BAC ∠．(1)若76B ∠=︒，48C ∠=︒，求DAE ∠的度数；(2)若42B C ∠−∠=︒，求DAE ∠的度数．【答案】(1)14︒(2)21︒【分析】（1）利用三角形的内角和定理和三角形高的定义先求出BAC ∠、BAD ∠，再利用角平分线的定义求出BAE ∠，最后利用角的和差关系求出DAE ∠；（2）利用三角形的内角和定理和三角形高的定义用含C ∠的式子先表示出BAC ∠、BAD ∠，再利用角平分线的定义用含C ∠的式子表示出BAE ∠，最后利用角的和差关系求出DAE ∠；【详解】（1）解：AD 是ABC 的高，76B ∠=︒，48C ∠=︒，∴180180764856BAC B C ∠=−∠−∠=︒−︒−︒=︒︒，90907614BAD B ∠=︒−∠=︒−︒=︒，AE 平分BAC ∠，∴11562822BAE BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∴281414DAE BAE BAD ∠=∠−∠=︒−︒=︒；（2）解：42B C ∠−∠=︒，42B C ∴∠=∠+︒，AD 是ABC 的高，∴()180180421382BAC B C C C C ︒∠=︒−∠−∠=︒−∠+︒−∠=−∠，()90904248BAD B C C︒∠=︒−∠=︒−∠+︒=−∠， AE 平分BAC ∠， ∴()1113826922BAE BAC C C ∠=∠=⨯︒−∠=︒−∠，∴()694821DAE BAE BAD C C ∠=∠−∠=︒−∠−︒−∠=︒．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形高的定义，掌握“三角形的内角和等于180︒”、角平分线的定义及角的和差关系是解决本题的关键．。
三角形的内角和知识点
三角形的内角和知识点三角形是几何学中研究最广泛的一个概念，它由三条边和三个内角组成。
在研究三角形时，内角和是一项非常基本且重要的知识点。
本文将介绍三角形的内角和的计算公式、性质以及应用。
一、内角和的计算公式在任意三角形ABC中，内角A、内角B和内角C的和等于180度。
这是因为三角形的所有内角的和总是等于一个平面的直角，即180度。
根据这个原理，我们可以得出如下计算公式：内角A + 内角B + 内角C = 180度这个公式适用于任意三角形。
二、内角和的性质1. 三角形两个内角的和在一般的三角形中，两个内角的和不等于90度，也不等于180度。
只有在特殊的情况下，即等腰三角形和直角三角形中，两个内角的和会有特殊的取值。
2. 等腰三角形的内角和等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个相等的内角的和等于180度，而第三个内角等于180度减去这两个相等内角的和。
这是等腰三角形的一个重要性质。
例如，在一个等腰三角形ABC中，假设两个相等的内角A和B的度数分别为x度，则根据等腰三角形的内角和性质，内角C的度数为180度 - (x度 + x度) = 180度 - 2x度。
3. 直角三角形的内角和直角三角形是指具有一个内角为90度的三角形。
在直角三角形中，另外两个内角的和一定等于90度。
例如，在一个直角三角形ABC中，假设一个内角为90度，另一个内角的度数为x度，则根据直角三角形的内角和性质，第三个内角的度数为90度 - x度。
三、内角和的应用1. 判定三角形的类型通过计算三角形的内角和，我们可以判定三角形的类型。
根据内角和的计算公式，如果一个三角形的内角和等于180度，则该三角形是一个普通三角形；如果一个三角形的内角和小于180度，则该三角形是一个锐角三角形；如果一个三角形的内角和大于180度，则该三角形是一个钝角三角形。
2. 解决三角形的问题在解决三角形相关的问题时，了解内角和的知识是非常重要的。
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我的学案
学员姓名：年级：四年级学校：南联课程名称：四年级数学春季班第13-14 课时教材版本：北师大版
课题名称：“三角形的内角和”复习教师姓名：
授课时间：2012 年 3 月10 日主管签名：
教学目标1、经历测量、撕拼、折叠的过程，探索并发现三角形的内角和等于180°，渗透归纳思想。
2、应用三角形内角和性质解决一些简单的实际问题，并培养应用意识，
重点难点重点：三角形的内角和等于180°。
难点：撕拼、折叠时三个内角顶点重合。
学员
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家长签名：
归纳重点知识
1、三角形内角的认识。
每个三角形都有三个内角。
2、三角形的内角和等于180°。
三角形的内角和与三角形的大小、形状无关，三角形的内角和永远都是180°。
误区警示：
误区：把一个三角形缩小到原来的21，它的内角和也缩小到原来的21。
错解分析：此题错在没有完全理解三角形内角和的特点。
正确解答：把一个三角形缩小到原来的21
，它的内角和不变。
温馨提示：
三角形的内角和不会随着三角形的大小发生变化，三角形的内角和永远都是180°。
练一练
一、填空题
1、在△ABC 中， ∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝ ．
2、在一个直角三角形中，已知一个锐角是30°，另一个锐角是（ ）。
3、等边三角形的一个内角是（ ）。
4、等腰直角三角形的一个锐角是（ ）。
5、如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是（ ）。
6、在一个三角形ABC 中，∠A ＝∠B ＝45°，则△ABC 是（ ）三角形。
7、△ABC 中，若∠A ＝350,∠B ＝650,则∠C ＝（ ）；若∠A ＝1200,∠B ＝2∠C ，则∠C ＝（ ）。
8、三角形三个内角中, 最多有（ ）个直角,最多有（ ）个钝角,最多有（ ）个锐角,至少有（ ）个锐角。
9、三角形按角的不同分类，可分为（ ）三角形，（ ）三角形和（ ）三角形。
10、∠2+55°的和是一个平角，∠2=（ ）。
二、判断题。
1、有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形。
（）
2、一个等腰三角形的顶角是80°，它的两个底角都是60°。
（）
3、两个内角和是90°的三角形是直角三角形。
（）
4、一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角。
（）
5、在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于90°。
（）
6、一个三角形，已知两个内角分别是85°和25°，这个三角形一定是钝角三角形。
（）
三、解答题。
1、在三角形ABC中，∠A=60°，∠B比∠A小15°，∠C是多少度？
2、一个等腰三角形的顶角是46°，它的一个底角是多少度？
数学小博士
1、已知一个角是15°，用2倍的放大镜看这个角是（）°.。