3.2-金属中的自由电子模型
固体物理-第三章 金属自由电子论讲解
3.1.量子自由电子理论
I2=(1/2!)-(E-EF)2(-f/E) dE 不难算出, I0=1(d-函数积分), I1=0 (根据d-函数的性质） 为了计算I2, 而令h=(E-EF)/kBT,于是, I2=[(kBT)2/2]-{h2/[(eh+1)(e-h+1)] }dh=(pkBT)2/6
波长)，可见k为电子的波矢, 是3 维空间矢量. r:电 子的位置矢量。
由波函数的归一化性质:vy*(r) y(r)d(r)=1, v:金属体积, 假设为立方体,边长为L，把3.1.1.3式 代入归一化式子, 得: A=L-3/2=V-1/2, 所以
y(r)= V-1/2eik•r 3.1.1.4， 此即自由电子的本征态。 由周期性边界条件, y(x,y,z)= y(x+L,y,z) = y(x,y+L,z) = y(x,y,z+L)
一状态的电子具有确定的动量ħk和能量ħ2k2/(2m)，因而 具有确定的速度,v=ħk/m,故一个k全面反映了自由电子 的一个状态，简称态。
2. k-空间
以kx, ky , kz 为坐标轴建立的 波矢空间叫k-空间。电子的 本征态可以用该空间的一点
来代表。点的坐标由3.1.1.5 式确定。
3.1.量子自由电子理论
T>0K的费米能EF 把3.1.2.2和3.1.3.1代入3.1.3.2, 分步积分, 得:
N= (-2C/3) 0 E3/2(f/E) dE 3.1.3.3 令G(E)= 2C E3/2/3, 3.1.3.3.式化简为 N= 0G(E) (-f/E) dE 3.1.3.4 (-f/E)函数具有类似d函数的特性,仅仅在EF附近kBT范 围内才有显著的值，且为E-EF偶函数. 由于(-f/E)函数 具有这些性质,把G(E)在EF附近展开为泰勒级数, 且积分 下限写成 -,不会影响积分值. 3.1.3.4化为:
清华大学固体物理：第一章 自由电子论
1 金属中自由电子的量子态
金属中的传导电子好比理想气体，相互之间没有相互作用，各自独立地在平均势场中运动，通常取
平均势场为能量零点。要使自由电子逸出体外，必须克服电子的脱出功，因此金属中自由电子的能态，
可以从在一定深度的势阱中运动的粒子能态估算，通常设势阱深度是无限的，设金属中自由电子的平均
势能为零，金属外电子的平均势能为无穷大，则金属中自由电子的薛定谔方程为：
(1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。没有外加电磁场时，电子作匀速直 线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。忽略其它电子和离子产生的复杂 的附加场。在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间 的相互作用称为自由电子近似。
x21 x y22 y
0 0
d
2 3 z
dz 2
k z2 3
z
0
(1.2.4)
这样问题简化为三个一维无限深势阱中粒子的量子态。设金属体是边长为 L 的立方体，周期性边界条件
为：
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
i
0
0 1
2
2
(1.1.26)
介质的复数折射率定义为：
n~ ~r12 n i
(1.1.27)
这里 n 是通常的折射率， 是消光系数。在光学实验中，通常不直接测量 n 和 ，而是测量反射率 R 和
吸收系数。它们之间的关系为：
R
n n
12 12
2 2
(1.1.28)
低频时 1 ， ~r i r " ，因此：
H Ex
固体物理的特征和模型
定域电子：定域电子并不传导电流，例如金属Na的离子实电子， 即处于格点的各核周围的电子，对电流没有任何贡献。固体中这 些离子实电子的态与其在自由原子中的态差别很小。
– 当自由原子形成金属时，所有价电子变成了传导电子，并且它们的状态被大大 地改变了，而离子实电子仍是局域的，其特性基本上保持不变；
固体物理的特征和 模型
3.1 引言
金属的一般物理特征：强度高、密度大、电和热导性 能好以及由于光学反射性好而外表光洁等。
自由电子模型：假定金属中含有非常多的可在整个晶 体中运动而基本上自由的电子，就能解释上述特征。
本章基本内容：
– 自由电子模型的概念 – 在电场中电子怎样传导电流 – 电子比热 – 费米能级和费米面 – 金属电导和热导的精确描述 – 磁场对自由电子运动的影响（回旋共振、霍尔效应） – 金属的热电子发射
RL A
1
J E
（微观）
– 电流是传导电子在电场作用下运动的结果。离子均被系于格点并在其附近振动，对 电流没有贡献。
电导率与传导电子的微观特性之间的关系
考虑一个典型的电子
– 场给电子一个作用力： e E – 电子与介质其余部分发生碰撞所产生的阻力： m *
– 应用牛顿第二定律，得到：
m deEm*
– 由于离子为其它电子所屏蔽，所以当电子 相离较远时，其作用力是很弱的，这意味 着相互作用形式为短程屏蔽势，而不是长 程纯库仑势。
速度
x
离子 势能
电子在离子附近的速度变化
问题2：为什么传导电子之间的相互作用很微弱？
回答： （I）根据泡利不相容原理，自旋平行的电子往往会彼此远离； （II）即使自旋相反，彼此也倾向于远离，以便使系统能量最低。
自由电子能否完全吸收一个光子？
自由电子能否完全吸收一个光子？有这样一道习题：1924年法国物理学家德布罗意提出物质波的概念，任何一个运动着的物体，小到电子，大到行星、恒星都有一种波与之对应，波长为λ＝h/p，p为物体运动的动量，h为普朗克常数，同样，光也具有粒子性，光子的动量为：p＝h/λ，根据上述观点可以证明一个静止的自由电子如果完全吸收一个γ光子，会发生下列情况：设光子的频率为υ，则E=hυ，p＝hυ/c，电子吸收光子后，hυ=m e v2/2，得v＝2c电子的速度为光速的两倍，显然这是不可能的，关于上述过程，下列说法正确的是（）A．因为微观世界动量守恒定律不适用，上述论证错误，所以电子有可能完全吸收一个γ光子B．因为微观世界能量守恒定律不适用，上述论证错误，所以电子有可能完全吸收一个γ光子C．动量守恒定律、能量守恒定律是自然界中普遍适用的规律，所以唯一的结论是电子不可能完全吸收一个γ光子D．若γ光子与一个静止的自由电子发生作用，则γ光子被电子散射后频率增大对这个问题，学生可以根据常识“动量守恒定律、能量守恒定律是自然界中普遍适用的规律”从而可判断选项A、B错误，同时学生头脑中有康普顿效应的印象，所以能判断γ光子被电子散射后因能量变小从而频率降低，所以选项D错误，因此选择C。
但同时，学生对“电子不可能完全吸收一个光子”存在疑虑，因为他们头脑中有光电效应中金属内部电子在吸收一定能量的光子后克服逸出功从而成为自由电子、以及玻尔能级跃迁中基态的电子吸收一定频率的光子后能跃迁到较高能级的印象，在这两个例子中，都是电子吸收光子的。
所以爱思考的同学就在考虑是否题目有误，本题没有一个选项正确。
当然，对自由电子不能完全吸收一个γ光子，可以很简单地用动量守恒定律和能量守恒定律加以推断。
显然，v＝0应舍弃，但是如果v＝c，由于电子的静止质量不为零，当v＝c时，电子的运动质量为无穷，这是不可以的。
因此，电子的速度不可能为c（最多是接近光速c，如构成β射线的电子流速度约为0．99c），从而证明自由电子不能完全吸收一个γ光子。
第三章_某些定态体系薛定谔方程的解
则自由粒子的能量为:
21
量子化学 第三章 2. 二维、三维势箱中的自由质点
边长为a,b的二维势箱中的自由质点的解为：
22
量子化学 第三章
边长为a,b,c的三维势箱中的自由质点的解为：
零点能 节面 最可几位置 简并态
? 二维或三维势箱
23
量子化学
以二维势箱（边长a, b)为例：
①零点能
第三章
②粒子最可几位置: 以12为例:
12
量子化学 第三章
能量量子化，相邻两个能级差为：
显然，m, l 越小，能 级差越大。当m,l 大到宏
观数量级时，能级差就很 小，可以看成是连续的， 量子效应消失。
13
量子化学 第三章
例如:将一个电子9.1*10-31Kg束缚于长度为
10-10m的一维势箱中，能级差为:
E (2n 1)*37.7eV
16
量子化学 第三章
(2)应用：
一维势箱是一个抽象的并不存在的理想模型， 但它有实际应用意义。
金属中正离子有规律地排布，产生的势场是 周期性的，逸出功使处于金属表面的电子不能脱 离金属表面，如同势墙一样，略去势能的周期性 变化，金属中自由电子的运动可抽象为一个一维 势箱中运动的粒子。
17
量子化学 第三章
③ 121，粒子的最可几位置为
28
目录
量子化学 第三章 3.2 粒子在中心力场中的运动
中心力场是指粒子的位能只与其到某中心的距
离相关，即 : V V (r)
粒子在中心力场中的运动理论是原子结构理论的基 础。氢原子和类氢离子即为其典型的例子。
中心力场中粒子的Schrödinger方程为:
29
中心力场问题大多 采用球极坐标系:
阴极电子学 重点归纳总结
F-D分布
1）T=0K时， E<EF，则f(E)=1 E=EF，则f(E)=0.5 E>EF，则f(E)=0
表面势垒高度Wa
理想形状
2）T>0K时， E<EF，则f(E)>0.5 E=EF，则f(E)=0.5 E>EF，则f(E)<0.5 真实形状
硼原子
• 蒸发率低 • 具有金属导电性 • 机械强度高
金属原子
• 化学性质十分稳定，不与水、氧甚至也不与盐酸反应 • 不易中毒，室温下可反复暴露大气，可长期在大气中存储
4
LaB6阴极的制备
1、单晶LaB6阴极 冷压或热压LaB6粉 多晶LaB6棒 区域熔炼成单晶棒
各类热阴极特性的应用
1、钨阴极（发射率小，但发射性能很稳定） 大功率发送管 电压高、真空度差的电子束加工和电子显微镜 发射要求非常稳定的电子器件如电离真空计 2、Th-W阴极（经碳化改进） 中、大功率管 电子束加工和电子显微镜 3、氧化物阴极 中小功率电子管
§2.2 发射机理的探讨 • 解释以下两个问题： 1.为什么W表面形成Th原子薄膜后会使 2.为什么出现图2-1的现象？ 在激活T范围内，j差异不大；在去激活T下，j ，j
T3>T2>T1
激活T 激活T
激活 t ，j 稳 激活 t ，j 稳
思考：为什么？
T3 T3
T3
图2-1 钍钨阴极激活温度、时间对发射的影响 阴极电子学 UESTC2013 阴极电子学 UESTC2013
i0 i∞
T=715K T=700K T=625K
1）慢衰减 2）电流下降速率与Tk有关， T越大，下降越快
《材料化学》课程教学大纲
《材料化学》课程教学大纲一、课程的基本信息适应对象：本科层次，应用化学、化学课程代码：18E00615学时分配：36赋予学分：2先修课程：无机化学、有机化学、分析化学、物理化学后续课程：二、课程性质与任务《材料化学》是应用化学的专业选修课程。
应用化学是一门以化学为基础的专门学科，因此对于该学科的本科学生来讲开设化学基础课尤显重要。
本课程的作用和任务在于指导学生切实地了解和掌握材料（主要是无机材料）化学所涉及的基本原理和一些基本概念，初步了解材料化学基本概念和原理，有利于学生今后从事相关工作。
三、教学目的与要求通过材料化学课程的学习，使学生了解当代材料科学的新概念、新理论、新技术、新工艺，掌握金属材料、无机非金属材料、高分子材料的基本知识，以及物理化学、电化学、光化学等化学基础知识在材料科学研究中的应用。
注重培养学生综合运用化学知识解决问题的能力；树立“多学科知识交叉与渗透”的观念。
四、教学内容与安排第一章晶体学基础1.1 晶体结构的周期性1.1.1 晶体结构的周期性与点阵1.1.2 晶体结构参数1.1.3 晶体缺陷1.2 晶体结构的对称性1.2.1 对称性基本概念1.2.2 晶体的宏观对称性1.2.3 晶体的微观对称性1.3 晶体的X射线衍射1.3.1 晶体X射线衍射基本原理1.3.2 衍射方向1.3.3 衍射强度1.3.4 常用晶体X射线衍射实验方法1.4 晶体结构的描述第二章晶态和非晶态材料的特性2.1 晶体特征的结构基础2.2晶体学点群和晶体的性质2.2.1 晶体学点群的分类2.2.2 晶体的点群和晶体的物理性质2.3 非正比化合物材料2.4液晶材料2.4.1 液晶和塑晶2.4.2 液晶的特性2.4.3 液晶材料2.4.4 液晶显示技术2.5 玻璃和陶瓷2.5.1 晶态材料与非晶态材料的异同2.5.2 玻璃2.5.3 陶瓷第三章金属材料3.1 金属特性与金属键3.1.1 自由电子理论3.1.2 能带理论3.2 金属单质结构3.2.1 金属单质结构的近似模型——等径圆球密堆积3.2.2 三维密堆积的三种典型型式3.2.3 金属单质结构概况3.2.4 金属原子半径3.3 合金结构3.3.1 金属固溶体3.3.2 金属化合物3.3.3 合金结构与性能3.4 金属材料3.4.1 轻质金属材料3.4.2 钢铁的结构与性能3.4.3 非晶态金属材料3.4.4 形状记忆合金第四章无机非金属材料4.1 离子晶体4.1.1 几种二元离子晶体的典型结构形式4.1.2 离子键与晶格能4.1.3 离子半径4.1.4 Goldschmidt结晶化学定律4.1.5 关于多元复杂离子晶体结构的规则——Pauling规则4.2 分子间做用力与超分子化学4.2.1 分子间作用力4.2.2 超分子化学4.2.3 晶体工程4.3 无机非金属材料4.3.1 无机非金属材料分类4.3.2 碳素材料4.3.3 单质硅4.3.4 无机化合物材料4.3.5 硅酸盐材料第五章高分子材料5.1 高分子材料的发展5.2 高分子材料的结构特点和性能5.2.1 高分子链的结构5.2.2 高聚物分子间的作用力5.2.3 晶态高分子的结构特点5.2.4 高聚物的物理状态转变5.2.5 高分子材料的性能5.3 高分子的聚合方法5.3.1 聚合机理5.3.2 加聚5.3.3 缩聚5.4 塑料5.4.1 塑料的分类5.4.2 塑料的应用5.4.3 塑料的加工5.5 橡胶5.5.1 天然橡胶5.5.2 合成橡胶5.5.3 橡胶的加工5.6 纤维5.6.1 纤维的分类5.6.2 合成纤维5.6.3 纤维加工成型5.7 复合材料5.7.1 复合材料的特性5.7.2 木质材料5.8 医用高分子材料5.8.1 概况5.8.2 生物医用高分子材料5.8.3 人造硬组织材料5.8.4 人工器官及其关键材料5.8.5 高分子药物5.9 导电高分子材料5.9.1 导电高分子材料的分类5.9.2 高分子导电机理5.9.3 共轭导电高分子材料5.9.4 新型导电聚合物体系5.9.5 导电高分子材料的应用5.10 高吸水性高分子材料5.10.1 发展概况5.10.2 超强吸水高分子材料的种类和特征5.10.3 超强吸水高分子材料的制备方法5.10.4 吸水高分子材料的应用第六章纳米材料6.1 纳米技术及纳米材料应用进展6.1.1 纳米科技进展6.1.2 纳米材料的种类6.1.3 纳米材料的特异性能6.2 纳米材料的制备6.2.1 纳米粉体的合成6.2.2 纳米复合材料的制备6.2.3 碳纳米管的制备6.3 纳米结构测试技术6.3.1 基本原理6.3.2 常用仪器6.3.3 检测技术的应用研究6.4 纳米材料的应用6.4.1 纳米材料在高科技中的地位6.4.2 磁学应用6.4.3 纳米催化6.4.4 陶瓷增韧6.4.5 光学应用6.4.6 医学应用6.4.7 环保应用第七章新型功能材料7.1 光学功能材料7.1.1 激光材料7.1.2 红外材料7.1.3 发光材料7.2 半导体材料7.2.1 半导体的导电机理7.2.2 半导体的分类7.2.3 半导体材料7.3 超导材料7.3.1 超导体的基本物理性质7.3.2 超导体的临界参数7.3.3 超导机理7.3.4 超导材料的种类7.3.5 超导材料的性能7.3.6 超导材料的应用7.4 热电压电和铁电材料7.4.1 热电材料7.4.2 压电材料7.4.3 铁电材料7.5 功能转换材料7.5.1 光电转化材料7.5.2 磁光材料7.5.3 声光材料教学安排及方式材料化学是一门理论性较强的基础理论课，其教学主要为课内讲授。
金属导电的微观解释
金属导电的微观解释涉及到金属的电子结构和电子运动。
金属的导电性质主要归因于其特殊的电子排布和电子运动方式。
1. 自由电子模型：金属的电子结构可以通过自由电子模型来描述。
在金属晶格中，金属原子的外层电子几乎是自由移动的，形成了被称为“电子海”的电子云。
这些自由电子不受特定原子核束缚，可以在整个金属结构中自由移动。
2. 电子的漂移：当外部电场施加在金属上时，自由电子将受到电场的作用力。
根据牛顿的第二定律，受力的电子将产生加速度。
然而，由于金属中电子的质量非常小，所以在实际情况下，电子受到的阻尼较小，加速度较大。
3. 电子的碰撞：自由电子在金属晶格中会与金属离子和其他自由电子发生碰撞。
这些碰撞会导致电子的散射，但由于电子海中有大量自由电子，导致整体上电流的流动方向保持不变。
4. 导电性的来源：由于自由电子的高度流动性，它们可以在电场作用下形成电流。
这就是金属的导电性质的基本来源。
而金属晶格中的离子网络对电子的碰撞提供了一些阻力，但这种阻力相对较小，不会阻止电流的形成。
综合来看，金属导电的微观解释可以概括为：在金属中，存在大量自由移动的电子，它们受到外部电场的作用，形成电流，而金属晶格中的离子提供了一些散射阻力，但整体上电子仍能在金属中自由传导，从而表现出良好的导电性。
第3章-电介质中的电荷转移
nf (NNi )1/2 exp(Wf / 2kT).
(3.41)
液体或非晶固体中分子的离解
设中性分子浓度为N0,其按AB→A++B-离解时,单位体积离子数ni增加速度为
dni dt
N0
kT exp(Ea
/ kT) K0N0,
(3.43)
其中K0为反应速度常数.另一方面,离子A+和B-复合时使离子浓度减少速度为
(3.45)
离子迁移率
在气态物质中,离子的热运动平均速度,平均自由程及平均自由时间之关系为
v .
(3.46)
在外电场中,离子沿电场E方向的加速度为 a qE / m
(3.47)
其中,q-离子电荷, m-离子质量.当离子沿E方向平均迁移速度远小于平均热运动
速度时, 故迁移率
vd 1 a qE / 2m,
T0 3 / kn(E f ) .
小极化子的迁移
m pol
ea2 kT
Ph
ea 2 kT
Whk
T
J 2
exp(Wh
/ kT).
(3.70) (3.78)
(3.84) (3.85) (3.93)
交流电导
关于材料导电的机理可以从交流电导率得到.通过s(w)特性的不同可以预示载流 子在扩展态内运动,亦或在定域态内跳跃.
变化DS将由两部分组成: nf个空位出现于N个格点上的排列方式数为Pf, nf个离子 出现于Ni个空隙位置的排列数Pi. 故DS=klnPf+klnPi.即
DS k ln
N!
k ln Ni! .
(N n f )!n f !
(Ni nf )
(3.40)
若设nf«N,nf«Ni, 则由自由能极小条件可得
绝缘体半导体导体超导体电导率
材料
碱金属Na 碱土金属 Mg
电子结构
1s22s22p63s1 1s22s22p63s2
电导率 （Ω-1·cm-1）
2.13×105
2.25×105
盐城师范学院化工学院
电子比热问题
按照经典自由电子论，金属中价电子如同气 体分子一样，在温度T下每1个电子的平均能量为 3kBT/2(kB为玻耳兹曼常数)。对于一价金属来说， 每1mol电子气的能量Ee=NA3kBT/2=3RT/2，NA为
电导率
（Ω-1·cm-1）
2.13×105 2.25×105 3.77×105 1.00×105 5×10-6 10-15
10-14
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3 材料的电学
3.1 金属的自由电子论 3.2 能带理论 3.3 材料的电导 3.4 材料的介电性 3.5 材料的超导电性
盐城师范学院化工学院
经典自由电子论 金属是由原子点阵组成的，价电子是完全 自由的，可以在整个金属中自由运动。自 由电子的运动遵守经典力学的运动规律， 遵守气体分子运动论。 这些电子在一般情况下可沿所有方向运动。 在电场作用下自由电子将沿电场的反方向运 动，从而在金属中产生电流。电子与原子的 碰撞妨碍电子的继续加速，形成电阻。
I NqvS
电流密度 J Nqv
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❖ 载流子迁移速度通常与E成正比：v=μE
J NqE
对照欧姆定律， J E 可得：
Nq
当材料中存在n种载流子时，电导率可表示为：
n
Niqii i 1
可见载流子浓度和迁移率是表征材料导电性的微观
物理量。
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❖控制材料的导电性能实际上就是控制材料中的载 流子的数量和这些载流子的移动速率。
能带和态密度
能带和态密度引言能带和态密度是固体物理学中的重要概念，它们对于理解物质的电子结构和导电性质具有重要意义。
能带理论是固体物理学中最基本的理论之一，它描述了电子在晶体中的运动方式和能量分布。
态密度则是描述在一定能量范围内，单位体积内存在的电子态数目。
本文将深入探讨能带和态密度的概念、性质以及在固体物理学研究中的应用。
一、能带1.1 能带结构在晶体中，原子之间存在相互作用力，导致了电子在晶格中运动时受到周期性势场的束缚。
根据量子力学原理，电子具有波粒二象性，在晶格势场下形成了波动性质。
根据布洛赫定理，在周期势场下，波函数可以表示为平面波与周期函数之积。
通过对波函数解析形式进行数学推导，可以得到离散化的能量分布。
根据离散化得到的能量分布图谱，在一维情况下可以将其表示为离散化点之间相连的线段，称为能带。
能带的形状和特征取决于晶体的结构和原子之间的相互作用。
晶体中存在多个能带，其中价带和导带是最为重要的两个能带。
价带是电子在晶体中受束缚状态下的能量分布，而导带则是电子在晶体中具有较高能量状态下的分布。
两者之间存在禁闭区域，称为禁闭区。
1.2 能带理论为了更好地理解电子在固体中运动和分布规律，科学家提出了多种模型和理论。
其中最著名且广泛应用于固体物理学研究中的是紧束缚模型和自由电子模型。
紧束缚模型假设原子之间存在较强相互作用力，电子主要局域在原子附近运动。
该模型通过考虑原子轨道之间的重叠以及相互作用力来描述电子在晶格中运动。
该模型更适用于描述局域化电子行为以及强关联效应。
自由电子模型则假设固体中的电子可以自由地运动，并且不受到其他粒子或者势场限制。
该模型通过简化数学形式，将电子视为自由粒子，从而得到了一维、二维和三维情况下的能带结构。
自由电子模型适用于描述弱关联电子行为以及导体、半导体等材料的电子结构。
二、态密度2.1 态密度的概念态密度是描述在一定能量范围内，单位体积内存在的电子态数目。
在固体物理学中，态密度是研究材料中电子行为和导电性质的重要物理量。
第六章金属磁性的能带模型理论
如Fe,Co,Ni分别是2.2 B ，1.7 B ，0.6 B 以及Cr的复杂情况等。
②铁磁金属(Fe,Co,Ni)以及其他金属组成的合金磁 矩与成分的变化有些可用Slater-Pauling曲线表 示.
③对于金属磁性材料,用居里定律中常数C计算原子 磁矩时,得不到半整数S值.
④在居里点以上,Fe服从海森伯模型.对于Cr而言, 显示出不服从海森伯模型.
mU BH
kBT
1
[其中N(ε)态密度，自由电子
N
3 4
N E3/ 2
1 2
]
f
E' / kT
f
Ef、Ef′分别为T＝0和T≠0时的费米能。
令
mU ' m ' B H
k BT
kBT T
kBT
则
N
3 4
N
kBT Ef
3/ 2
0
x1/ 2dx ex ' 1
H Ek nk k ,
其中 nk Ck Ck
k带中自旋为σ的电子数
Ek
k
U N
k'
n k
'
,
......(6)
状态为k和σ的电子能量
令
1
n n N k' nk' ,
∴每个原子的平均电子数为
n n n......(7)
相对磁矩 m n n......(8)
Ek k Un ......(9)
。实验上大部分物质
1 3
少数为
1 2
④Fe和Co金属电阻率 在 Tc 附近有转变，d dT
有极大值。可以用局域电子自旋无序散射来解释。
⑤基于局域电子交换模型的自旋波理论成功说明了
晶体结构
2、晶胞的种类： 习惯选用的晶胞是三维的平行六面体， 称为布拉维晶胞。
晶胞
3-2-2 布拉维系
1、晶胞参数：布拉维晶胞的边长与夹
角叫晶胞参数。
晶角：α、β、γ。
晶柱：a、b、c。
2、布拉维系的种类： 按晶胞参数的差异将晶体分成七种晶系。
立方cubic(c) 四方tetragonal(t) 正交orthorhomic(o) 单斜monoclinic(m) 三斜anorthic(a) a=b=cα =β =γ =900 a=b≠ c α=β=γ=900 a≠ b≠ c α=β=γ=900 a≠ b≠ c α=γ=900 β ≠ 900 a≠ b≠ c α≠ β≠ γ 1个晶胞参数a 2个晶胞参数a c 3个晶胞参数a b c 4个晶胞参数a b c β 6个晶胞参数a b c α βγ 2个晶胞参数a c 2个晶胞参数a α
这是由于d电子在核外空间的概率分布比 较松散，对核内正电荷的屏蔽作用较小，所以 d电子越多，离子的有效正电荷越大。
3、离子半径 离子半径有不确定的含义。
当阴、阳离子间的静电作用力达到平衡 时，离子间的核间距：
d = r+ + r实验证明：阴、阳离子或者彼此保持一 定距离，或者相互有一定的重叠。
离子的有效半径：阴、阳离子在相互作 用时所表现的半径。 核间距通过x射线衍射实验测得。
1、晶体的自范性：晶体能够自发地呈现封 闭的规则凸多面体的外形。
2、晶体的对称性：晶体具有宏观对称性。 3、晶体的均一性：晶体的质地均匀，具有 确定的熔点。
4、晶体的各向异性：晶体的某些物理性质 随晶体的取向不同而异。
因生长条件不同，同一晶体可能有不同的 几何外形。 但不同外形的同一 种晶体的晶面夹角 不变.
2023年大学_固体物理基础第三版(阎守胜著)课后题答案下载
2023年固体物理基础第三版（阎守胜著）课后题答案下载固体物理基础第三版（阎守胜著）课后答案下载第一章金属自由电子气体模型1.1 模型及基态性质1.1.1 单电子本征态和本征能量1.1.2 基态和基态的能量1.2 自由电子气体的热性质1.2.1 化学势随温度的变化1.2.2 电子比热1.3 泡利顺磁性1.4 电场中的`自由电子1.4.1 准经典模型1.4.2 电子的动力学方程1.4.3 金属的电导率1.5 光学性质1.6 霍尔效应和磁阻1.7 金属的热导率1.8 自由电子气体模型的局限性第二章晶体的结构2.1 晶格2.1.1 布拉维格子2.1.2 原胞2.1.3 配位数2.1.4 几个常见的布拉维格子2.1.5 晶向、晶面和基元的坐标2.2 对称性和布拉维格子的分类2.2.1 点群2.2.2 7个晶系2.2.3 空间群和14个布拉维格子2.2.4 单胞或惯用单胞2.2.5 二维情形2.2.6 点群对称性和晶体的物理性质 2.3 几种常见的晶体结构2.3.1 CsCl结构和立方钙钛矿结构 2.3.2 NaCl和CaF、2结构2.3.3 金刚石和闪锌矿结构2.3.4 六角密堆积结构2.3.5 实例，正交相YBa2Cu307-82.3.6 简单晶格和复式晶格2.4 倒格子2.4.1 概念的引入2.4.2 倒格子是倒易空间中的布拉维格子 2.4.3 倒格矢与晶面2.4.4 倒格子的点群对称性2.5 晶体结构的实验确定2.5.1 X射线衍射2.5.2 电子衍射和中子衍射2.5.3 扫描隧穿显微镜第三章能带论I3.1 布洛赫定理及能带3.1.1 布洛赫定理及证明3.1.2 波矢七的取值与物理意义3.1.3 能带及其图示3.2 弱周期势近似3.2.1 一维情形3.2.2 能隙和布拉格反射3.2.3 复式晶格3.3 紧束缚近似3.3.1 模型及计算3.3.2 万尼尔函数3.4 能带结构的计算3.4.1 近似方法3.4.2 n(K)的对称性3.4.3 n(K)和n的图示3.5 费米面和态密度3.5.1 高布里渊区3.5.2 费米面的构造3.5.3 态密度第四章能带论Ⅱ4.1 电子运动的半经典模型 4.1.1 模型的表述4.1.2 模型合理性的说明4.1.3 有效质量4.1.4 半经典模型的适用范围4.2 恒定电场、磁场作用下电子的运动4.2.1 恒定电场作用下的电子4.2.2 满带不导电4.2.3 近满带中的空穴4.2.4 导体、半导体和绝缘体的能带论解释 4.2.5 恒定磁场作用下电子的准经典运动 4.3 费米面的测量4.3.1 均匀磁场中的自由电子4.3.2 布洛赫电子的轨道量子化4.3.3 德哈斯一范阿尔芬效应4.3.4 回旋共振方法4.4 用光电子谱研究能带结构4.4.1 态密度分布曲线4.4.2 角分辨光电子谱测定n(K)4.5 一些金属元素的能带结构4.5.1 简单金属4.5.2 一价贵金属4.5.3 四价金属和半金属4.5.4 过渡族金属和稀土金属第五章晶格振动5.1 简谐晶体的经典运动5.1.1 简谐近似5.1.2 一维单原子链，声学支 5.1.3 一维双原子链，光学支 5.1.4 三维情形5.2 简谐晶体的量子理论5.2.1 简正坐标5.2.2 声子5.2.3 晶格比热5.2.4 声子态密度5.3 晶格振动谱的实验测定 5.3.1 中子的非弹性散射5.3.2 可见光的非弹性散射 5.4 非简谐效应5.4.1 热膨胀5.4.2 晶格热导率第六章输运现象6.1 玻尔兹曼方程6.2 电导率6.2.1 金属的直流电导率6.2.2 电子和声子的相互作用 6.2.3 电阻率随温度的变化 6.2.4 剩余电阻率6.2.5 近藤效应06.2.6 半导体的电导率6.3 热导率和热电势6.3.1 热导率6.3.2 热电势6.4 霍尔系数和磁阻第七章固体中的原子键合7.1 概述7.1.1 化学键7.1.2 晶体的分类7.1.3 晶体的结合能7.2 共价晶体7.3 离子晶体7.3.1 结合能7.3.2 离子半径7.3.3 部分离子部分共价的晶体7.4 分子晶体、金属及氢键晶体7.4.1 分子晶体7.4.2 量子晶体7.4.3 金属……第八章缺陷第九章无序第十章尺寸第十一章维度第十二章关联固体物理基础第三版（阎守胜著）：基本信息阎守胜，1938生出生，1962年毕业于北京大学物理系，现任北京大学物理学院教授，博士生导师，兼任中国物理学会《物理》杂志主编，他长期从事低温物理，低温物理实验技术，高温超导电性物理和介观物理方面的实验研究，并讲授大学生的固体物理学，低温物理学和现代固体物理学等课程。
二次量子化下的紧束缚哈密顿量
二次量子化下的紧束缚哈密顿量二次量子化下的紧束缚哈密顿量引言：二次量子化是描述多粒子量子系统的一种数学形式，它通过引入产生算符和湮灭算符的概念，将多粒子系统的态矢量表示为粒子数的线性组合。
在二次量子化理论下，紧束缚模型是一个非常重要的模型，它描述了电子在晶体中的行为，并在凝聚态物理和固体物理领域具有广泛的应用。
在本文中，我将从简到繁地介绍二次量子化下的紧束缚哈密顿量，深入探讨其物理意义以及在凝聚态物理中的应用。
1. 哈密顿量的定义在二次量子化理论中，哈密顿量描述了系统的能量和演化规律。
对于紧束缚哈密顿量，它由两部分组成：单粒子哈密顿量和相互作用项。
1.1 单粒子哈密顿量单粒子哈密顿量描述了一个粒子在晶格中自由运动的行为。
针对紧束缚模型而言，晶格中的每个格点上有一个能级，我们可以用一个量子数来表示该能级的状态。
单粒子哈密顿量可以写成：```mathH_0 = \sum_{ij} t_{ij} c_i^\dagger c_j```其中 `c_i^\dagger` 和 `c_j` 分别表示产生算符和湮灭算符，`t_{ij}` 表示从格点 `j` 到格点 `i` 的跃迁能级。
1.2 相互作用项相互作用项描述了不同粒子之间的相互作用。
在紧束缚模型中，由于晶格的周期性，我们可以将相互作用项写成：```mathH_{int} = U \sum_i n_i n_{i+1}```其中 `U` 是相互作用常数，`n_i` 表示第 `i` 个格点上的粒子数。
这一项描述了粒子在相邻格点之间的相互作用。
2. 物理意义紧束缚哈密顿量在凝聚态物理中的应用非常广泛。
通过求解该哈密顿量，我们可以研究晶体中的电子行为，并了解其导电性、磁性等性质。
2.1 能带结构通过对紧束缚哈密顿量进行对角化，我们可以得到能带结构。
能带结构描述了电子在能级上的分布情况，通过研究能带结构，我们可以了解晶体的导电性质。
对于紧束缚模型而言，能带结构通常呈现出一些特殊的形式，比如导带和禁带等。
第三章 金属电子论
3.1 概述—经典自由电子理论 3.2 量子自由电子理论 3.3 周期势场和布洛赫定律
3.3.1 周期性势场 3.3.2 布洛赫定律
3.3.3 克龙尼克-潘纳(Kronig-Penney)近似
3.4 准自由电子近似
3.1 概述—经典自由电子理论
3.1.1实际固体材料电子特征总结：
ห้องสมุดไป่ตู้
自由电子的量子状态和能量
3.2.4 三维自由电子：
1. 费米能（εF）和费米半径：
0K时电子所占据的最大能级能量，称为费米能（ε F）。 对于孤立原子，费米能就是0K时填充了电子的最外层能级， 在物理化学中，费米能是化学势。在波矢空间，自由电子的 等能面是一球面。在波矢空间中能量为费米能的等能球面，
称为费米球，球半径称为费米半径（kF）。
2k 2 2 2 2 k (k x ky k z2 ) 2m 2m 2 2 k 2 kx ky k z2
因费米球内每(2π/L)3空间内就有一个能级，考虑到电子 的自旋，一个能级能有2个电子，费米球内的电子数N为。可
求得费米能ε F,费米半径kF,费米速度vF
2/3
k 3 N m m V
1/ 3
三维自由电子的能量状态和费米球
三维自由电子的能量状态和费米球
2. 状态密度：
单位体积在单位能级中的量子数目，称为状态密度。用 ρ(ε)表示，状态密度很容易三维自由电子等能面求得：
4k dk L 2m ( )d 2 2 2 3 ( 2 / L ) 2
对布洛赫函数Ψ k(x)的理解： Ψ k(x)是具有与晶格周期性
对于kx，ky，kz, 每隔2π/L，也即(2π/L)3就有一个 能量状态（能级）。能量是量子化的。
化学键的合并性质质
化学键的合并性质质化学键的合并性质化学键是在化学反应中形成的化学结合力。
在化学键的形成和断裂过程中，不仅有原子之间的电子重新排布，还涉及到能量的转化和释放。
化学键的合并性质是指参与键的原子或分子在合并过程中所表现出的特性和行为。
本文将深入探讨化学键的合并性质。
1. 共价键的合并性质共价键是两个或多个原子共享电子对而形成的化学键。
合并共价键的性质主要表现在以下几个方面：1.1 构成共价键的原子的电负性差异共价键的合并性质取决于构成键的原子之间的电负性差异。
电负性差异越大，共享电子对的分配就越不均匀，形成极性共价键。
极性共价键会导致分子呈现偏正电性，从而影响分子的性质和行为。
1.2 共享电子对的重叠程度共享电子对的重叠程度直接影响到共价键的强度和稳定性。
重叠程度越大，共价键越强，化合物越稳定。
当共享电子对的轨道重叠较好时，形成的共价键更容易被断裂，反应活性较高。
1.3 电子云的共振结构在某些情况下，共价键中的电子云无法用一个简单的结构来描述，而是存在多个共振结构。
这种现象被称为共振。
共振可提高分子的稳定性和抗氧化性，增加化学反应的速率以及影响反应物的吸光性等。
2. 离子键的合并性质离子键是由正负电荷之间的静电作用力形成的化学键。
合并性质主要表现在以下几个方面：2.1 离子键的极性离子键的极性取决于阳离子和阴离子的电荷差异。
电荷差异越大，离子键越极性。
极性离子键导致物质具有良好的溶解性和导电性。
2.2 离子大小和电荷密度阳离子和阴离子的大小和电荷密度影响着离子键的合并性质。
离子大小越小，离子键越强，溶解度越低。
同时，离子的电荷密度越大，离子键也越强，物质越稳定。
3. 金属键的合并性质金属键是由金属原子之间的金属键形成的。
合并性质主要体现在以下几个方面：3.1 金属键的自由电子金属键是通过金属原子的自由电子形成的。
金属键的合并性质取决于金属原子的自由电子数目和电子的运动情况。
自由电子使得金属具有良好的导电性和热导性。
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[ 2 2 V (r)] (r) E (r)
2m
2
2
(
2
2 ) (x, y, z) E (x, y, z)
2m x 2 y 2 z 2
2 2
(
2
2 ) ( x, y, z) E ( x, y, z)
2m x 2 y 2 z 2
§3.2 金属中的自由电子模型
一般情况下金属内部的自由电 子为什么不会逸出体外 ？
金属内部电子的能量比在金属 外部电子的能量要低一些，要 使金属内部的自由电子逸出体
外，必须对它作一定的功
三维无限深势阱 模型
0 V (x, y, z)
当 0 x, y, z L 当 x, y, z 0, 或 x, y, z L
E
2 2
2mL2
(n
2 x
n
2 y
n
2 z
)
能级密度
金属自由电子的能级密度为
dz 4V ( 2m )3/ 2 E
dE
h2
2 y 2
2 z 2
)
(x,
y, z)
E ( x方, y程, z的) 解
(x, y, z) Asin kx x sin k y y sin kz z
E
2 2
2mL2
(n
2 x
n
2 y
n
2 z
)
结论
• 上面的结果说明，晶体中自由电子 的本征态波函数和能量都由一组量 子和可n数 值z都(是n是x分,n取立y,n正的z)整，来数形确，成定因能。此级由能。于量当nx的、晶许n体y 的线度L很大时，能级成为准连续 的。
(
y)
0
u2 ( y) A2 sin k y y
d
2u3 (z) dz 2
k
2 z
u3
(z)
0
u3 (z) A3 sin kz z
其中A1、A2、A3是归一化常数
波失分量的解
kx
nx
L
ky
ny
L
式中nx、ny、nz是任意的正整数。
kz
nz
L
2 2 2m ( x 2
• 上式可用分离变量法求解，令
(x, y, z) u1 (x)u2 ( y)u3 (z)
再令
E 2k 2 2m
2 2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
d
2u1 ( x) dx 2
k
2 x
u1
(
x)
0
u1 (x) A1 sin k x x
d
2 u2 dy
(
2
y)Leabharlann k2 yu2