2金属自由电子气的Drude模型
Drude模型简介
Drude模型简介•最简单的金属模型–只考虑到电子的运动学特性•最成功的金属模型之一–为什么这么简单的模型会获得巨大的成功？•在量子力学与原子物理学诞生之前–1897年，J.J. Thomson发现电子–1900年，Drude提出金属的电导和热导理论,Annalen de Physik1, 566 (1900), ibid. 3, 369 (1900).电导率电子气模型虽然金属中至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假定参与导电作的仅是其中的一种。
传导电子的来源：价电子与芯电子。
Drude模型的基本假设忽略电子与电子之间的相互作用（独立电子近似），忽略电子与离子之间的相互作用（自由电子近似），电子只受到均匀外电场的作用；（Kinetic theory） 电子受到的碰撞是瞬时的，来自电子与杂质原子之间的散射；电子在单位时间内散射的几率是1/τ，τ是电子驰豫时间（relaxation time / life time）；电子在各种散射下达到热力学平衡，即，电子在碰撞之后的状态是随机的，由热力学平衡决定其分布。
=frequency) (cyclotron 为回旋频率令mceHc ω1nec仅依赖于载流子密度和电荷电导的实部和虚部？Drude模型的推广•经典力学→量子力学：Sommerfeld模型•自由电子近似→考虑电子-离子的相互作用：能带理论•独立电子近似→电子-电子相互作用：金属的Fermi-Liquid理论•电子气的局域热平衡（local thermal equilibrium）→小尺度、非平衡特性：介观物理（mesoscopic physics）。
金属中电子动力学方程,推导金属的相对介电常数Drude模型
金属中电子动力学方程,推导金属的相对介电常数
Drude模型
很有意思的问题。
因为目前常见的电磁学和电动力学的书中，基本都是对绝缘体的介电常数予以介绍，而对金属的介电常数很少提到。
事实上，金属的介电常数与外界环境的电磁波频率有关，我们一般需要用到金属介电常数时也基本都和电磁波课题相关。
金属的介电常数在低频和高频状态下会有显著的区别。
就我目前为止读过的文献，有关金属介电常数的选取基本都是引用前人发过的实验数据，但是不同的文章，可能得到的数据也是不同的，当然大体上还是相似的。
金属的介电常数，应该叫复介电常数，实部表示对电磁波的色散，虚部表示对电磁波的吸收。
通常我们使用金属的自由电子气体模型(Drude模型) 推导出金属介电常数的表达式:
关于Drude模型题主可以去了解一下，包括为什么使用这个模
型进行金属介电常数的计算。
但是,这个模型在低频状态下可以很好
地吻合实验数据，在高频时误差极大。
在进行近可见光波段及以上波长的研究中，可以使用该模型简化计算,但是在进行紫外波段研究时，需要引入Lorentz-Drude模型进行修正，原因是金属在高频时，金属内部的自由电子会发生禁带跃迁，需要考虑该因素的影响。
简要的
模型修正是将上述公式中的1换成E∞o，进行针对某-特定狭窄波段
的修正，也只适用于相差+几nm的波段研究。
Drude模型
aB 的比值
（提示：aB =0.529×10-10m）。
rs 1.1198 2.117 a0 0.529
§1.0.2 Drude电子模型的成就与失效
尽管在Drude电子模型中对电子的运动作了最大胆的 简化，但却在解释金属材料的导电性和导热性以及光学特 性等问题上取得了相当可观的成就。
然而，对于金属中的另外一些问题，如金属中电子的 平均自由程、比热以及顺磁磁化率等等问题上，Drude电 子模型却遇到了根本性的困难。
第一章 金属自由电子气体模型
固体是由很多原子组成的复杂体系。作为近似, 可以把原子分为离子实和价电子两部分。
离子实由原子核和内层结合能高的芯电子组成。 形成固体时,离子实的变化可以忽略。
价电子是原子外层结合能低的电子，在固体中, 其状况可能和在孤立原子中十分不同。
即使这样简化,我们面对的依然是一个强相互作 用的、粒子(离子实、价电子)数为10²²~10²³/cm³ 的多体问题，难以处理。
1. Drude电子模型的成就
下面，就以金属材料的导电性为例，来说明Drude电
子模型所取得的成就。
首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
无外电场时E平e 衡作态用于下热电子
：平均速度为
外电场中获得的反向 运动速度的平均值
运动速度的平均值
v vT ve
经典近似假设：热运动遵循Maxwell速度分布律，故有
r 解：设金属中每个传导电子平均占据体积的等效球体半径为 s
则有
rs
(3
4
1 ne
)1/ 3
=1.413×10-10 m
rs 1.41 2.67 a0 0.529
若给出的是 m
[解]若金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，其
drude model 介电常数
Drude模型与介电常数引言在固体物理学中，介电常数是描述物质对电场响应的重要物理量之一。
它反映了物质中电荷的运动特性以及物质对电磁波的传播和吸收能力。
Drude模型是一种常用的理论模型，用于描述金属中自由电子的行为，可以解释介电常数的一些基本特性。
Drude模型的基本原理Drude模型是由德国物理学家Paul Drude在1900年提出的，它基于以下几个假设：1. 金属中存在大量的自由电子，它们与原子核之间几乎没有相互作用。
2. 自由电子在金属中的运动类似于气体分子在容器中的运动，遵循统计力学的规律。
3. 自由电子在外加电场下受到电场力的作用，但受到原子核和其他自由电子的碰撞而受到散射。
根据这些假设，Drude模型可以用经典力学和统计力学的方法推导出金属中自由电子的行为。
在外加电场下，自由电子受到电场力的作用，加速度与电场强度成正比。
然而，由于碰撞散射的存在，自由电子在短时间内无法保持加速状态，因此它们在金属中呈现出一种平均速度。
介电常数的定义介电常数是描述物质对电场响应的物理量。
它定义了电场中的电荷与外加电场之间的关系。
在理想情况下，介电常数可以通过下式计算：ϵ=D E其中，ϵ是介电常数，D是电场中的电位移，E是外加电场强度。
介电常数的单位是法拉/米（F/m）。
Drude模型与介电常数的关系在Drude模型中，自由电子受到外加电场的作用，从而导致电子的加速度。
这些加速度会导致电子与原子核和其他自由电子之间发生碰撞散射，使电子无法保持加速状态。
因此，自由电子在金属中呈现出一种平均速度。
根据Maxwell方程组，电位移D与电场强度E之间的关系可以表示为：D=ϵ0E+P其中，ϵ0是真空中的介电常数，P是极化电荷的贡献。
在Drude模型中，极化电荷的贡献可以通过自由电子的平均速度来描述。
自由电子在外加电场下受到电场力的作用，导致电子呈现出一种平均速度v d。
根据电流密度的定义，电流密度J可以表示为：J=nev d其中，n是自由电子的密度，e是电子的电荷量。
2.金属自由电子气的Drude模型
• 金属中的价电子就象无相互作用的理想气体， 但模型与理想气体又有所不同：
* 电子气体的浓度比理想气体大三个量级 * 有两种粒子：电子，离子
不是很圆滑，所以再加些限制(基本假定)，完 成Drude模型的构造
10.107.0.68/~jgche/ 金属电子气的Drude模型
1、已知的金属性质
模型建立的依据
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
4
为什么研究固体从金属开始？
• 金属最基本物质状态之一，元素周期表中有2/3 是金属元素，应用很广泛，当时对金属的了解 比其他固体多
* 比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就 被广泛应用 * 区分非金属，实际上也是从理解金属开始
12
思考——假如你是Drude
• 根据已有线索，如何仿照理想气体建立模型？
* 与理想气体（电中性）还是有些不同！除了碰撞的 瞬间，可以不考虑其他。但现有两种带电粒子
• 不是电中性的，有库仑相互作用？那么
* 电子-电子如何相互作用？ * 电子-离子实如何相互作用？
• 还有——电传导（也包括热传导）是个输运过 程，非平衡过程，所以
上讲回顾
• 固体的微观定义
* 固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动
• 贯穿课程的主线
* 周期性波在周期性结构中的运动
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
1
本讲内容：建模推演比较修正
• 如何用在1900年左右可以理解和接受的假设、 前提和经典理论，在微观层次上建立研究金属 宏观性质的模型，解释实验观察到的金属的良 好导电和导热现象
金属电子气体理论
一,金属自由电子气体模型1.1 经典电子论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。
2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。
外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。
）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne Sj E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩r1.2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。
1.3 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。
Drude模型
D r u d e 模型一． Drude 模型的提出1897年在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时，Thomson 是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子而最先发现了电子的存在。
在发现电子后的最初一段时期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识到电子等微观粒子运动的独特本质。
因此，在当时还不具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运动这两个基本问题的理论基础。
1900年D.Drude 受气体分子运动论的启发提出了金属中经典的自由电子理论即Drude 模型，即认为金属中存在有自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、导热等宏观性能。
二． Drude 模型的四个基本假设1.独立电子近似近似认为电子的运动是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电子近似。
2.自由电子近似用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相互作用近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子3.弛豫时间近似在dt 时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为dt/τ。
电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
4.经典近似在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律碰撞前后电子遵循Boltzmann 统计分布。
三．Drude 模型的成就自由电子气体+波尔兹曼统计?欧姆定律○虽然金属至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假设参与导电作用的仅是其中一种。
○传导电子的来源：价电子与芯电子。
◎首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
电子：平均速度为经典近似假设：热运动遵循Maxwell 速度分布律，故有 ◎若与离子实相继两次碰撞之间的时间间隔为t ，则有 因此有 表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场方向相反的宏观定向运动，于是就形成了电流◎由此可得到金属材料电导率的微观表达式四．Drude 模型的不足以电子的平均自由程为例，来说明Drude 电子模型所遇到的根本性困难。
Drude模型
D r u d e 模型一． Drude 模型的提出1897年在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时，Thomson 是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子而最先发现了电子的存在。
在发现电子后的最初一段时期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识到电子等微观粒子运动的独特本质。
因此，在当时还不具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运动这两个基本问题的理论基础。
1900年受气体分子运动论的启发提出了金属中经典的自由电子理论即Drude 模型，即认为金属中存在有自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、导热等宏观性能。
二． Drude 模型的四个基本假设1.独立电子近似近似认为电子的运动是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电子近似。
2.自由电子近似用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相互作用近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子3.弛豫时间近似在dt 时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为dt/τ。
电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
4.经典近似在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律碰撞前后电子遵循Boltzmann 统计分布。
三．Drude 模型的成就自由电子气体+波尔兹曼统计欧姆定律○虽然金属至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假设参与导电作用的仅是其中一种。
○传导电子的来源：价电子与芯电子。
◎首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
电子：平均速度为经典近似假设：热运动遵循Maxwell 速度分布律，故有 ◎若与离子实相继两次碰撞之间的时间间隔为t ，则有 因此有 表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场方向相反的宏观定向运动，于是就形成了电流◎由此可得到金属材料电导率的微观表达式四．Drude 模型的不足以电子的平均自由程为例，来说明Drude 电子模型所遇到的根本性困难。
金属自由电子气理论
金属自由电子气理论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。
2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。
外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。
）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。
4.2 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理 1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。
金属电子气的Drude模型
Drude模型在半导体物理中的应用
半导体载流子运动
Drude模型在半导体物理中用于描述半导体中载流子的运动行为。通过该模型， 可以研究半导体中电子和空穴的迁移率、扩散系数等性质，从而深入了解半导 体的光电、热电等效应。
半导体器件性能
Drude模型在半导体器件性能分析中也有重要应用，如晶体管、太阳能电池等。 通过该模型，可以研究器件中载流子的传输、注入、收集等过程，为优化器件 性能提供理论支持。ຫໍສະໝຸດ HANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04
Drude模型的局限性
Drude模型的近似性
Drude模型假设电子在金属中以无相 互作用的粒子形式运动，忽略了电子 间的相互作用。
在实际金属中，电子间存在相互作用， 这会导致电子的运动受到散射，使得 电子的运动不满足Drude模型的假设。
Drude模型在高场下的不适用性
Drude模型在高电场下不适用，因为 高电场下电子的运动速度接近光速， 需要考虑相对论效应。
02
当电子气受到外部扰动时，阻尼系数决定了电子气 的响应速度和振幅衰减。
03
阻尼系数的大小与金属的微观结构和温度有关，是 金属导电性能的重要参数。
电子气的弛豫时间
01 弛豫时间表示电子气达到热平衡状态所需的时间。 02 在Drude模型中，弛豫时间反映了电子气内部相
互作用的过程。
03 弛豫时间的长短决定了金属的电导和热导等物理 性质随时间的变化规律。
述这些效应。
发展Drude模型的量子版本
引入量子力学效应
在量子版本的Drude模型中，考 虑量子力学效应对金属电子气行 为的影响，如能级量子化、波函 数等。
考虑量子相干性
在低温下，金属电子气可能表现 出量子相干性，需要发展量子版 本的Drude模型来描述这种行为。
固体物理学 自由电子论
§1. 金属自由电子论的物理模型 1.Drude的金属自由电子论
Drude的经典理论将自由电子看 作是经典离子气体，服从波尔兹曼分 布(速度分布)，与中性稀薄气体一样 去处理，认为电子之间无相互作用， 同时也不考虑原子实势场的作用，这 样一个简单的物理模型处理金属的许 多动力学问题是很成功的。
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与处理点阵振动的热能相仿，由
电子气的轨道密度D(ε)可求出电子气
的内能，轨道密度定义为：
在能量ε附近，单位能量间隔中
的轨道数定义为轨道密度度，在dε能
量间隔中的轨道数为D(ε)dε，色散
关系为：
2 k 2
k2
2 2m
(k2x
k
2 y
kz2 )
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物
线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数
ms
1 2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上
自旋相反的一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
εk
2 2m
此时 k(r) eikr （省去了归一化常数）， 波矢 Kx.K y.KZ 取一系列分立值：
kx
2π L
nx
ky
2π L
ny
0. 1. 2......
kz
2π L
nz
将 (r) eikr ei(k xxk y yk zz) k 代回薛定锷方程可求出能级：
固体物理第二章金属自由电子论
17
§2.2 Sommerfeld的自由电子论
核心问题
怎么求dN！
dN=dE内电子密度× dE
dN=dE内能量密度× dE
dN=f(E) × dE内能量密度× dE
先解解薛定谔方程，
E k 2k2 2m
看看k的密度再说吧！
❖ 假设一：电子的填充满足Pauli不相容原理； 有一个能态，就有一个电子
4
1. Drude 等人所做的简化近似可归纳为如下四个基本假设： （1）独立电子近似
忽略电子与电子之间的相互作用 ——近似认为电子的运动 是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电 子近似。
（2）自由电子近似
用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相
返 回
互作用 ——近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞
固体物理第二章金属自由电子论
金属自由电子论
§ 2.1 经典电子论； § 2.2 Sommerfeld的自由电子论； § 2.3 Sommerfeld展开式及其应用； § 2.4 电子发射
2
§2.1 经典电子论——Drude模型
经典电子论诞生的背景
欧姆定律：20世纪以前，有关金属导电的一些经验规律 分子运动论：成功地处理了理想气体问题 电子的发现：1897年J. J汤姆生发现电子
子浓度(定义为单位体积中的平均电子数)。
由于在各种热力学过程中金属材料体积的变化通常很
微小，因此电子浓度这一状态参量的变化是甚微的。
若某一金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，
其所形成的晶体的质量密度为 m ，则该金属中的电子浓
度为
ne
ZNa
m
A
ห้องสมุดไป่ตู้
Drude模型
Drude模型一．D rude模型的提出1897年在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时，Thomson是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子而最先发现了电子的存在。
在发现电子后的最初一段时期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识到电子等微观粒子运动的独特本质。
因此，在当时还不具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运动这两个基本问题的理论基础。
1900年D.Drude 受气体分子运动论的启发提出了金属中经典的自由电子理论即Drude模型，即认为金属中存在有自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、导热等宏观性能。
二．D rude模型的四个基本假设1.独立电子近似近似认为电子的运动是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电子近似。
2.自由电子近似用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相互作用近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子3.弛豫时间近似在dt时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为dt/τ。
电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
4.经典近似在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律碰撞前后电子遵循B oltzmann 统计分布。
三．Drude 模型的成就自由电子气体+波尔兹曼统计欧姆定律○虽然金属至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假设参与导电作用的仅是其中一种。
○传导电子的来源：价电子与芯电子。
◎首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
电子：平均速度为 经典近似假设：热运动遵循Maxwell 速度分布律，故有 ◎若与离子实相继两次碰撞之间的时间间隔为t ，则有因此有 表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场方向相反的宏观定向运动，于是就形成了电流e E r −−→− e T v v v r r r+=0=T v r m E e v e e e r r -=D e e e e e V E m e t m E e v r r r r =-=⋅-=τe e D E m e V v v r r τ-==e e e D e e E m e n V n e J r r v ⋅=-=τ2)(◎由此可得到金属材料电导率的微观表达式四．Drude 模型的不足以电子的平均自由程为例，来说明Drude 电子模型所遇到的根本性困难。
Drude模型
Drude模型Drude模型是一种用于描述电子在固体材料中运动的经典模型，由德国物理学家Paul Drude于1900年提出。
虽然这个模型是近一个世纪前的理论，但它仍然在固体物理和电子工程领域有着广泛的应用。
Drude模型的基本假设是，电子在固体材料中被视为经典粒子，其运动受到经典的牛顿第二定律的支配。
电子在受到外部扰动（例如电场）的作用下会偏离其平衡位置并开始振动，这种振动被视为简谐振动。
根据这个假设，电子的响应可以表示为电阻和电导率的形式。
在具体的应用中，Drude模型可以用来描述电子在固体材料中的电导率和电阻率。
在低频情况下（即外部扰动的频率远小于电子振动的频率），电子的响应是即时响应的，即电子的运动与外部扰动同步。
在这种情况下，电子的电阻率可以表示为：σ=ne^2τ/m其中，n是电子密度（即单位体积内的电子数），e是电子的电荷量，m是电子的质量，τ是电子的平均自由时间（即电子在受到外部扰动作用下的平均运动时间）。
在高频率情况下（即外部扰动的频率远大于电子振动的频率），电子的响应是过时的，即电子的运动与外部扰动不同步。
在这种情况下，电子的电导率可以表示为：σ=ne^2/m因此，Drude模型可以用来描述电子在固体材料中的电导率和电阻率的频率依赖性。
除了描述电子在固体材料中的电导率和电阻率，Drude模型还可以用来解释许多实验现象，例如金属的欧姆定律和电阻温度系数等。
此外，Drude模型还可以扩展到其他领域，例如光学和声学等。
然而，Drude模型也存在一些局限性。
首先，这个模型忽略了电子之间的相互作用，这可能导致它在某些情况下的预测结果出现偏差。
其次，这个模型假设电子的运动是简谐振动，但实际上电子的运动是复杂的，可能涉及到更高阶的振动模式。
此外，Drude模型还忽略了热力学效应，这可能导致它在高温情况下的预测结果不准确。
尽管存在这些局限性，但Drude模型仍然是一种有用的理论工具，可以帮助我们理解电子在固体材料中的运动行为。
金属自由电子气模型
求（1）电子态密度（考虑自旋）； （2）该系统的费米能（只考虑温度为绝对 零度
北京工业大学 固体物理学
第二节 自由电子气的热性质
费米-狄拉克分布函数 T≠0K时，电子在本征态上的分布服从费 米-狄拉克分布
fi
1 e
( i )/ k BT
vF/108cm/s TF/104K
1.29 1.07 0.86 0.81 0.75 1.57 1.39 1.40 2.25 1.58 1.28 1.83 2.03 1.74 1.90 1.83 1.87 5.51 3.77 2.46 2.15 1.84 8.16 6.38 6.42 16.6 8.23 5.44 11.0 13.6 10.0 11.8 11.0 11.5
T=0 T1
北京工业大学 固体物理学
1、化学势随温度的变化 ① T≠0K，自由电子气单位体积的内能
2 u ( k ) f g( ) f ( )d k 0 V k
② T≠0K，分布函数中的化学势可由电子数 密度算出
2 n V
k
fk g( ) f ( )d 0
北京工业大学 固体物理学
代入
f f I Q( ) ( )d Q( ) ( )( )d 1 f 2 Q( ) ( ) ( )d 2
(**)
(**)第一项积分项等于1 (**)第二项
1 ik (r ) e r V
电子的本征能量：
将波函数代入薛定谔方程，得
k (k ) 2m
2
2
drude模型 焦耳定律
drude模型焦耳定律焦耳定律是物理学中的一个基本定律，描述了电流通过导体时所产生的热量与电流、电阻和时间的关系。
而Drude模型是描述金属导体中电子行为的一种模型。
本文将结合Drude模型，详细解释焦耳定律的原理与应用。
我们来介绍一下Drude模型。
根据这个模型，金属中的自由电子可以看作是类似于气体分子的粒子，它们在金属中自由运动，碰撞和受到外界电场的作用。
这个模型假设自由电子与金属离子之间的相互作用可以忽略不计，而自由电子之间的碰撞则是导致电阻的主要原因。
接下来，我们来解释一下焦耳定律。
根据焦耳定律，通过导体的电流会产生热量，而热量的大小与电流的大小、电阻的大小以及电流通过导体所花费的时间有关。
具体来说，焦耳定律可以用以下公式表示:Q = I^2 * R * t其中，Q表示通过导体产生的热量，单位是焦耳(J)；I表示电流的大小，单位是安培(A)；R表示导体的电阻，单位是欧姆(Ω)；t表示电流通过导体所花费的时间，单位是秒(s)。
从这个公式可以看出，当电流或电阻增大时，通过导体产生的热量也会增大。
同时，当电流通过导体的时间增长时，通过导体产生的热量也会增加。
这就是焦耳定律的基本原理。
焦耳定律在实际生活中有着广泛的应用。
首先，我们可以利用焦耳定律来计算电器的功率损耗。
例如，我们可以通过测量电器的电流和电阻，然后根据焦耳定律来计算电器产生的热量，从而评估电器的功率损耗情况。
焦耳定律还可以用于热敏电阻的测量。
热敏电阻是一种电阻值会随温度变化的元件，我们可以通过测量电流通过热敏电阻时产生的热量来间接测量温度的变化。
焦耳定律也为我们解释了一些现象提供了理论基础。
例如，当我们使用电炉加热食物时，电炉通过导体产生的热量会传导到食物上，从而使食物升温。
这就是焦耳定律的应用之一。
总结一下，焦耳定律是描述电流通过导体产生热量的定律，它与Drude模型结合起来可以更好地理解电流在金属导体中的行为。
焦耳定律在实际生活中有着广泛的应用，帮助我们评估电器的功率损耗、测量温度变化等。
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上讲回顾•固体的微观定义*固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动•贯穿课程的主线→*周期性→波在周期性结构中的运动10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型1本讲内容：建模→推演→比较→修正•如何用在1900年左右可以理解和接受的假设、前提和经典理论，在微观层次上建立研究金属宏观性质的模型，解释实验观察到的金属的良好导电和导热现象*对已知现象，用已有知识，抓住要点*困难之处施展腾挪手段#一时搞不清楚的相互作用，用近似和假定绕过去†自由电子近似、独立电子近似、弛豫时间近似*用该模型研究金属的电导、热导→#成功地解释Wiedemann-Franz定律*对比实验，分析该模型的局限，提出模型改进之道10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型2第2讲、金属电子气的Drude模型1.已知的金属性质2.模型的建立——基本假定及其合理性分析3.金属电导率4.金属热传导5.Wiedemann-Franz定律6.Hall效应和磁阻7.Drude模型的局限10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型31、已知的金属性质模型建立的依据10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型4为什么研究固体从金属开始？•金属最基本物质状态之一，元素周期表中有2/3是金属元素，应用很广泛，当时对金属的了解比其他固体多*比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就被广泛应用*区分非金属，实际上也是从理解金属开始•当时已经知道很多其他固体所没有的金属性质*这些性质很多已经有应用，亟需知道其之所以有这些性质的原因10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型5从这些现象得到的对金属的基本认识•→良好导电体、导热体？*化学：组成金属的原子大多位于周期表左边→#金属原子容易失去价电子→传导电子？#金属电导和热传导可能是价电子起作用？•→延展性、可塑性？*与组成金属的原子之间的相互结合的方式有关→#结合没有方向性，区别于共价键，金属键(?)†金属键——形象地说，价电子形成负电背景，正电荷镶嵌其中，库仑作用的结合#金属的结构几乎都有相对较高的配位数(?)†配位数——形象地说，就是原子周围最靠近该原子的原子的个数（晶体结构中将涉及）*这些性质都说明，价电子活动空间很大10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型72、模型的基本假定及其合理性10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型8当时的物理？•1897年Thomsom的电子论*电子的发现是固体物理学发展的一个转折点*Drude（1863——1906）意识到金属的导电（热）性质可能与电子有关，当然也可以质疑这种猜测#电子对导热有贡献有何根据？仅仅因为好的导体也是良好的导热体？•1900年物理学的状况？*量子力学还处于萌芽状态*只有经典物理，连原子结构的正确理论尚未建立#但是，当时理想气体的运动学理论已经非常成功10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型9金属中价电子行为的推测•金属特点*价电子可以活动的区域较大→比如，Li原子间距3A，而原子半径0.5A（？）→原子核小，因此，价电子活动空间大†价电子：束缚？自由？•分析→推测→图象（能够自圆其说？）*芯电子行为：束缚在原子核周围形成离子实，不参与导电*价电子行为：离子实对它们的吸引力弱，可以离开离子实的束缚，自由地在整个金属中移动，这部分电子参与导电→传导电子10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型10如何建立模型？•Drude的经典金属自由电子气模型（1900）*在微观层次上解释实验测量宏观物理量的第一个理论模型*首先用于解释电导、热传导问题•那么如何根据已知的金属性质，构造模型？•在这个层次上，根据上一讲有三点需考虑：1.经典还是量子？*无从选择！当时只有经典可供使用2.如何描写体系粒子间相互作用？*价电子之间？价电子与离子实之间作用？3.如何处理1029/m3个粒子？10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型12思考——假如你是Drude•根据已有线索，如何仿照理想气体建立模型？*与理想气体（电中性）还是有些不同！除了碰撞的瞬间，可以不考虑其他。
但现有两种带电粒子•不是电中性的，有库仑相互作用？那么*电子-电子如何相互作用？*电子-离子实如何相互作用？•还有——电传导（也包括热传导）是个输运过程，非平衡过程，所以*还需规定体系将通过什么方式建立热平衡？#即，在没有电场（温度梯度）时、在有电场（温度梯度）时，电子如何达到热平衡？#按理想气体做？10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型13看这样的图象能不能自圆其说•芯电子被原子核紧紧束缚，形成离子实，本身固定，不参与导电•价电子脱离原子核的束缚而在固体中自由运动•离子实对价电子的作用可忽略不计*离子实的作用仅维持固体结合，维持电中性•金属中的价电子就象无相互作用的理想气体，但模型与理想气体又有所不同：*电子气体的浓度比理想气体大三个量级*有两种粒子：电子，离子不是很圆滑，所以再加些限制(基本假定)，完成Drude模型的构造10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型15Drude(自由电子气)模型的基本假定1.独立电子近似：电子与电子无相互作用*既没有库仑作用，也不碰撞，与理想气体不同！2.自由电子近似：除碰撞的瞬间外，电子与离子无相互作用*离子实完全摸平，均匀分布在整个空间，只起维持系统的电中性。
只有为防止电子被外电场无限加速而设的碰撞作用3.弛豫时间近似：一给定电子在单位时间内受一次碰撞的几率为1/τ*这是个非常重要的招数，避免电子被无限加速，碰撞后失去原来速度记忆——引入散射机制*如何将碰撞结合进电子的运动方程成为关键10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型163、金属电导率10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型17讨论：模型的三个基本假定•独立电子近似*很糟糕的近似，但多体问题现在也还无解决之道*与其他相比，多数情况下最不重要，除非强关联•自由电子近似*即使以现代量子的观点来看也是很好的近似1916年的Tolman实验支持这个假定•弛豫时间近似*不可能完全自由 电导率无穷大，无法取得热平衡10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型22讨论：达到热平衡方式•与(固定的)离子实的碰撞，碰撞前后速度无关*即对以前的速度没有记忆•碰撞后获得速度的方向随机；*合理的假定•速率与碰撞处的温度相当*很含糊？*对电导不起作用，因为方向随机，平均没有贡献*对热导有用，规定携带前一次碰撞的温度（动能）10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型234、金属的热传导10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型25研究方法特点？抓住要点，简化问题10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型3110.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude 模型39•这是Al 的实验测量，说明与磁场强度有关。
R. Lueck, Phys. Stat. Sol. 18, 49 (1966)评价：Hall效应•成功：*导出了Hall系数，预言预言了Hall系数与磁感应强度和弛豫时间无关*Hall系数的量级基本正确*碱金属的Hall系数与实验符合得较好•不能解释*Hall系数实际应与温度、磁场强度有关*有些材料Hall系数前符号错误存在不同载流子10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型407、Drude模型的局限性•电子对比热的贡献与温度无关，过大（102）•电子速度，v2，太小（102）•什么决定传导电子的数目？价电子？•即使在最成功的Wiedemann-Franz定律上，实际上在室温以下，L也是随温度变化的。
•磁化率与温度成反比？实际无关•导体？绝缘体？半导体？•？10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型42实验鉴定，逐步修正10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型43如何修正？•放弃经典理论，改经典统计为量子统计（1）•放弃自由电子近似：考虑电子与离子实的相互作用。
这时离子实固定→晶体的结构（2）•考虑电子与周期性排列的离子实的相互作用→能带理论（3+4）•放弃离子实固定→晶格振动（5）•放弃弛豫时间近似→输运理论（6）•放弃独立电子近似（电子的关联问题，非常复杂——专题）10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型44本讲小结•Drude用类似于理想气体的方法处理金属中电子的运动 自由电子气体，包含一些近似和假定*自由电子近似、独立电子近似、弛豫时间近似，经典统计•Drude模型得到的一些与实验符合较好的结果*Wiedemann-Franz定律•Drude模型碰到的困难、原因及在此框架下的解决之道*电导由于有弛豫时间，困难并不知道*而比热显然被严重高估，#现在知道，其原因是只有少量电子有贡献#解决方法：不用经典统计，用量子（费米）统计10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型45概念要点•自由电子近似*电子—离子间除碰撞瞬间，无相互作用•独立电子近似*电子间无相互作用•弛豫时间近似*一给定电子前后两次与离子碰撞的平均时间•漂移速度*漂移速度即在弛豫时间内电场对电子加速的结果 电流即源于这个电子的漂移10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型46本讲存疑（以后讲解中还会涉及）•金属键→•配位数→•独立电子近似（电子与电子无相互作用）多数情况下可以作为整体来处理→*与其他相比，最不重要→单电子近似（作为整体效应）——对大部分材料都是较好的近似•自由电子近似（电子与离子无相互作用）还算比较好的近似→*物理原因就是电子在周期结构中运动没有被散射的机制，因此，极低温时电子的平均自由程非常大•结构的平移周期性的数学表示→10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型47下讲预告•讨论Drude模型对比热估计失败的根本原因*只有费米能级附近的电子才在电导和热导中起作用•Sommerfeld仍然从Drude的三个基本近似出发，但是*用Fermi分布代替Boltzmann分布，得到了合理的结果10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型48习题1.尝试用Drude模型推导焦耳定律2RIW10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型49。