(完整版)第四章金属自由电子理论
金属自由电子理论
多尺度模拟与计算
总结词
多尺度模拟与计算是金属自由电子理论的另一个重要 发展方向，能够综合考虑不同尺度的物理效应和相互 作用。
详细描述
金属自由电子理论涉及多个尺度和多个物理效应的相 互作用，因此多尺度模拟与计算在该领域具有重要意 义。通过结合微观尺度和宏观尺度的方法，可以更全 面地理解金属材料的性质和行为，为实际应用提供更 准确的预测和指导。例如，在材料性能模拟、器件设 计和优化等方面，多尺度模拟与计算具有广泛的应用 前景。
应用领域
01
02
03
物理学
金属自由电子理论在物理 学领域中广泛应用于描述 金属的物理性质，如热导 率和电导率等。
材料科学
在材料科学领域，金属自 由电子理论用于研究和理 解金属材料的各种性质， 如合金的组成和性质等。
工程应用
金属自由电子理论在工程 应用中也有广泛的应用， 如电子器件的设计和制造 等。
波函数与电子云
01
波函数是描述电子在空间中分布的函数，它可以用来计算电子 在某一点出现的概率。
02
在金属中，由于存在大量的自由电子，每个电子的波函数都与
其他电子的波函数相互重叠，形成了所谓的“电子云”。
电子云描述了电子在金属中的概率分布，对于理解金属的性质
03
如导电、导热等具有重要意义。
04
金属自由电子理论的计 算方法
无序性
自由电子在金属中的运动是无序的，不受单个原子或 分子的限制。
能量多样性
自由电子具有不同的能量状态，取决于其运动速度和 方向。
自由电子的分布与运动
分布
在金属中，自由电子的分布遵循 费米分布函数，取决于温度和费
米能级。
运动
自由电子在金属晶格中以波矢k描 述的运动状态，可以通过薛定谔方 程描述。
第四章金属自由电子论
4.1 经典自由电子论（Drude-Lorentz) 4.2 量子自由电子论（Sommerfeld ） 4.3 金属的热容和顺磁磁化率 4.4 金属的电导率和热导率 4.5 金属的热电子发射和接触电势 4.6 金属的交流电导率和光学性质 4.7 Hall效应和磁致电阻
参考：阎守胜书 第一章 黄昆 书 6.1,6.2 p275 Kittel 8版第6章
Wiedemann-Franz 定律 ： LT
=
κ
σ
或：=L
= κ σT
π2
3
kB e
2
4. 载流子浓度与温度无关； 5. 在可见光谱区有几乎不变的强的光学吸收；反射率大或
说有金属光泽。 6. 有良好的延展性，可以进行轧制和锻压。
关于金属的理论必须以全面和谐的解释上述性质为准。
高纯Cu的热导率和电导 率的温度依赖性：
一.金属中自由电子的运动状态： Sommerfeld认为，电子气应该服从量子力学规律，在保留
独立电子近似和自由电子近似基础上应通过求解薛定愕方程给 出电子本征态和本征能量，从而来解释金属性质。
我们把自由电子气等效为在温度 T＝0K，V ＝L3 的立方体 内运动的 N个自由电子。独立电子近似使我们可以把 N个电子 问题转换为单电子问题处理。
速度为：
u=
1
u1
=
1 aτ
=
−1
el
E
22
2 mv
假定： v >> u1
所以：
j
= −neu
= ne2
l
E
2m v
σ = ne2 l
2mv
平均自由程 l 与温度无关，而公式中的热运动速度， v ∝ T
自由电子论
ne2 1 0 ' i " m 1 i 1 i
0
ne2
m
其中 0 是直流电导率。以上推导见阎守胜书 p22
'
1
0 2
2
,
"
0 1 2
2
,
实数部分体现了与电压同位相的电流，也就是产生焦耳热
的那个电流，而虚部则体现的是与电压有 2 位相差的电流， 也就是感应电流。
—— Richardson－Dushman公式
其中
A
mekB2
2 2 3
W V0 EF0
在上面的推导中，用到两个积分公式：
exp
mv
2 y
2kBT
dvy
exp
mvz2 2kBT
dvz
2 kBT
i t
H
0
i
E t
故相对介电常数为：r
0
1
i
0
将上面求出的交流电导率代入该式，有：
r r ' ir " 1 0
0 1 2 2
i
0
0 1 2 2
示为： Ey E0 exp i qx t
运动方程的稳态解为：
e 1 v y m 1 it E y
电流密度 jy n e vy
ne2 1 0 ' i " m 1 i 1 i
固体物理学：第4章 金属自由电子论
1、费米分布的性质
FFD
1
FFD
1 e / kT
1
1T 0 f FFD 1
f
FFD 0
εf ε
T 0 时所有粒子排满费米能级以下的能级，
费米能级以上能级全空。
UESTC
FFD
1
（2）T 0
f
1 FFD 2
1/2
随着温度升高，有部分粒子
获得能量从 f以下能态跃迁到 f
0
1 p 1
p 1 f
n1
2
kT
2n
1
1 22n1
2n
d 2n
d
2n f
p 1 f
2 2
6
4
4
9
UESTC
应用积分公式
E
3 5
NE
f
0
1
5
12
2
kT Ef0
2
电子平均能量
E
E N
3 5
EF 0
2
4
kT
kT EF 0
UESTC
4、费米面
k空间中，能量为EF，即半径为 KF
以上能态。但无论温度多高，
T=0 T >0
εf ε
在
能态被粒子占据的几率始终为 1
f
2
。
UESTC
2、电子能量
dE FFD g d
T = 0 电子总能量
EF0
1
5
E0
c
2 d
22 5 cEF0
0
UESTC
T ≠0
积分公式
E
0
e
1 EF / kT 1
c 1 / 2d
金属自由电子理论
金属自由电子理论文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]第四章金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。
根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。
2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。
费米能量与电子密度和温度有关。
3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。
4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。
驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。
5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。
试求：（1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。
解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dEdkdk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ (1)考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk Ldk dZ π=∆=k 2 (2)又由于 mk E 222 =所以mkdk dE 2 = …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：EmLE 22)(πρ= (4)（2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：11)(+=-TK E E B F eE f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=0)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=)(FE dE E N ρ＝⎰0022FE dE E m L π＝240FmE L π由此可得：222208mLN E Fπ= …………………………（7） （3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=0)()(1dEE E Ef N E ρ＝dE EmL E N FE 2210⎰⋅π＝230)(232F E m N L π＝022223124F E mLN = π 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E += 。
固体物理知识点总结 第四章
电子气的热容量 功函数和接触电势差
结
自由电子气的能量状态
自由电子气的能量状态
一、自由电子气的能量状态 1.自由电子气(自由电子费米气体)：是指自由的、无相互 ：是指自由的、 作用的、遵从泡利原理的电子气。 作用的、遵从泡利原理的电子气。 2.自由电子气的能量
2πnx kx = L ; 2πny ; ky = L k = 2πnz ; z L
−( E0 −EF )
4πem j＝ 3 (kBT)2 e h
3.接触电势
kBT
= AT e
2 −ϕ kBT
两块不同的金属A 两块不同的金属A和Ｂ相接触，或用导线连接起来，两块 相接触，或用导线连接起来， 金属就会彼此带电产生不同的电势V 称为接触电势。 金属就会彼此带电产生不同的电势 A和VB，称为接触电势。
1 VA − VB = ( ϕ B −43; C = γT + bT
e V a V
3
π2 k２ R 2 B ＝ π Z γ = N0 Z 0 2 EF 2T 0 F
12 Rπ4 b= 3 5 θD
功函数和接触电势差
1.功函数： 电子在深度为E 的势阱内，要使费米面上的电子逃离金属， 电子在深度为 0的势阱内，要使费米面上的电子逃离金属， 的能量， 称为脱出功又称功函数。 至少使之获得ϕ=E0－ＥＦ的能量，ϕ称为脱出功又称功函数。 2.里查逊—德西曼公式
h2k 2 h2 2 2 E= (kx + k 2 + kz ) = y 2m 2m
3.能态密度
∆Z dZ N(E) = lim = E dE ∆E→0 ∆
自由电子气的能态密度
dZ = cE1 2 N(E) = dE
金属自由电子经典理论
金属自由电子经典理论
• 金属中的正离子形成的电场是均匀的，价电子不被原子所 束缚，可以在整个金属中自由地运动，形成自由电子。这 些电子起着导电和导热的作用，他们的行为像理想气体一 样，故被称作自由电子气体，其运动规律遵循经典力学气 体分子的运动定律。 • 在没有外电场作用时，金属中的自由电子沿着各方向运动 的几率相同，故不产生电流。当施加外电场后，自由电子 获得附加速度，于是便沿外电场方向发生定向迁移，从而 形成电流。自由电子在定向迁移过程中，因不断与正离子 发生碰撞，使电子的迁移受阻，因而产生了电阻。
金属自由电子经典理论的产生背景
18世纪末： 1、人们已熟悉金属导电和导热特性，但是还不具备解释这 些传导电子是如何形成和运动的理论基础。 2、1897年汤姆逊发现金属中存在电子(e/m测定)。
3、分子运动论处理理想气体十分成功。
金属自由电子经典理论的提出
•1900年,特鲁德首先将金属中的价电子与理想气体类比,提 出了金属电子气理论,即认为金属中存在有自由电子气体。 •1904年,洛伦兹将麦克斯韦-玻尔兹曼统计分布规律引入电 子气,据此就可用经典力学定律对金属自由电子气体模型作 出定量计算. •这样就构成了特鲁德-洛伦兹自由电子气理论,称为经典自 由电子理论.
金属中自由电子在电场中的运动
当金属中有电流时，每个自由电子都因受到电场力的作用而 加速，即在无规则的热运动上叠加一个定向运动。
自由电子在运动过程中频繁的与晶格碰撞，碰后电子向各个 方向运动的几率相等，因此可认为每个电子在相邻两次碰撞 间做初速度为零的匀加速直线运动。 大量自由电子的统计平均，就是以平均定向漂移速度逆着电 场线方向漂移。
电导率σ的推导
设导体内的恒定电场为 ,则电子的加速度为
v0 电子两次碰撞的时间间隔为t,上次碰撞后的初速度为
第4章 金属自由电子论
Z
Ae
L
K为波矢，A由归一化条件决定。 3 1 2 A L V 决定这一状态的能量为：
L L
Y
X
2K 2 2 2 2 2 E kx k y kz 2m 2m
11
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
4.2 量子自由电子论
Z
由周期性边界条件：
L
(0, y, z ) ( L, y, z ) ( x, o, z ) ( x, L, z ) ( x, y , o ) ( x, y , L)
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
28
4.2 量子自由电子论
电子平均能量为:
K BT 3 0 2 E EF K BT 0 E 5 4 F
第一项为绝对零度时的电子平均能 量;第二项为热激发能.每个电子获 得的热能为KBT 。
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
2
2 (r ) [ E V (r )] (r ) 0 2m
《固体物理学》 微电子与固体电子学院 9
4.2 量子自由电子论
用近自由电子近似来处理金属电子，作为零级近似，可以
把金属看成是一个边长为L的立方体，根据金属自由电子理
论的基本观点。由于电子被限定在金属中，所以，可以认 为金属中的电子是在一个无限深方势井中运动,势能函数为：
29
4.2 量子自由电子论
4.2.4 费米面
k空间中，能量为EF ，即半径为
面，kF就是费米半径。 T = 0 时，费米面内，都被电子填满。面外为空态；T ＞ 0 时， 有部分电子从 EF内 kT范围激发到EF外 kT 范围内。
3/ 2
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
4金属自由电子理论
E dE
ky
ds
dk
E
VC 2 2 π 3
能态密度:
E
ds k E
kx
VC dZ 2 N (E) 2π3 dE
E
ds k E
例1：求金属自由电子气的能态密度
法1. 金属中自由电子的能量
2k 2 2 2 2 2 E (k x k y k z ) 2 m 2m 2k 2k dE dk k E m m
2
23
2 3 nπ 2 2m
23
金属中一般 n~1028m-3，电子质量 m=9×10-31kg，
E ~
0 F
几个电子伏。
自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算
EdN E＝
０
N
C N
0 EF
0
E
3 2
dE
3 0 EF 5
由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平 均能量，这与经典的结果是截然不同的。
1.模型(索末菲) (1)金属中的价电子彼此之间无相互作用； (2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平
均势能的势场中运动)；
(3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。
2.薛定谔方程及其解
为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深度 是无限的。粒子势能为
V ( x , y, z ) 0;
3 2
E
法2. 金属中自由电子的能量
2k 2 E 2m
dZ 2
2mE k 2
2
VC 4π k 2 d k 2π3
V dZ 2 C 3 4π k 2 d k 2π
第四章金属自由电子理论
dE
之间时，
k
空间中，在半径为
k
和
k
dk的两球
面之间所含的状态数为：
dZ '
4k 2dk k
Vc 8 3
4k 2dk
1 2
(
2m 2
)
3
2
E
1 2
dE
考虑自旋的二重简并dZ 2dZ '
(E)
所以： ( E )
Vc 2 2
(
2m
)
3
2
E
1 2
1
CE 2
其中
C
及其缺陷。
1)由Drude模型导出了欧姆定律，并得到电导的定量表达式，在 解释碱金属的导电性上取得了完全的成功
但是，按Drude模型，碱土金属（二价）的自由电子密度n为碱金属 （一价）的两倍，由式（1-6），电导率σ也应高一倍。但实际上， 碱土金属的导电性不及碱金属，说明Drede模型的局限性。
1
3 维德曼一夫兰兹定律 Wiedemann-Franz Law
k
0 F
3n 2
3
由电子动量
k
0 F
mvF0
得绝对零度时的费米速度矢为: vF0
k
0 F
m
与费米能量对应的热运动温度称为费米温度,记为
所以绝对零度时的费米温度为:
TF0
EF0 kB
TF
.有: kBTF0
EF0
例如铜:铜是面心立方晶体,晶格常数 a 3.611010 m .
每个铜原子电离时放出一个自由电子,所以铜的电子浓度为:
第四章 金属自由电子理论
1 E << EF 1 f (E) = E = EF 2 0 E >> EF
目录
绝对零度下
N = ∫ f (E)ρ(E)dE = ∫ ρ(E)dE = ∫
0 0
2 3
∞
0 EF
0 EF
0
3 2 0 2 CE dE = C(EF ) 3
1 2
3 N 23 ℏ2 3Nπ 2 ℏ2 2 2 3 E =( ) = (3nπ ) V = 2m c 2m 2C
∫
∂f (E) I( dE 先求积分I： 先求积分 ： EF ) = − g(E) ∂E 0
∫
= I0 g(EF ) + I1g′(EF ) + I2 g′′(EF ) +⋯
= g(EF ) +
π2
6
(kBT)2 g′′(EF )
∞ ∂f (E) ∂f (E) I0 = − dE =1 I1 = −∫ (E − EF )dE ∂E ∂E 0 0 E − EF 令 = η kBT 1 − eη 1 ∂f (E) 1 − e−η ∂f (E) = = 则 η 2= kBT (e +1 ) kBT ∂η ∂E kBT (1+ e−η )2
f (E) = e
1
E−EF kBT
——费米分布 费米分布
增加一个电在所需的自由能.它是温度和电子数的函数 增加一个电在所需的自由能 它是温度和电子数的函数. 它是温度和电子数的函数 系统中电子总数： 系统中电子总数： = N
费米能量或化学势，物理意义：体积不变时， EF 费米能量或化学势，物理意义：体积不变时，系统
(2π )3 8π 3 ∆k = ∆kx∆ky∆kz = = Lx Ly Lz Vc
固体物理学 自由电子论
§1. 金属自由电子论的物理模型 1.Drude的金属自由电子论
Drude的经典理论将自由电子看 作是经典离子气体，服从波尔兹曼分 布(速度分布)，与中性稀薄气体一样 去处理，认为电子之间无相互作用， 同时也不考虑原子实势场的作用，这 样一个简单的物理模型处理金属的许 多动力学问题是很成功的。
f ( T )D( )d N
0
当T《 TF时:
u
F
[1
2
12
(
kBT
F
)2
]
0(kB
T
F
)4
与处理点阵振动的热能相仿，由
电子气的轨道密度D(ε)可求出电子气
的内能，轨道密度定义为：
在能量ε附近，单位能量间隔中
的轨道数定义为轨道密度度，在dε能
量间隔中的轨道数为D(ε)dε，色散
关系为：
2 k 2
k2
2 2m
(k2x
k
2 y
kz2 )
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物
线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数
ms
1 2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上
自旋相反的一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
εk
2 2m
此时 k(r) eikr （省去了归一化常数）， 波矢 Kx.K y.KZ 取一系列分立值：
kx
2π L
nx
ky
2π L
ny
0. 1. 2......
kz
2π L
nz
将 (r) eikr ei(k xxk y yk zz) k 代回薛定锷方程可求出能级：
金属自由电子理论
金属自由电子理论Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】第四章金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。
根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。
2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。
费米能量与电子密度和温度有关。
3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。
4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。
驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。
5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。
试求：（1）电子的状态密度；（2）电子的费米能级；（3）晶体电子的平均能量。
解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dE dk dk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk L dk dZ π=∆=k 2 (2)又由于 mk E 222 = 所以 mk dk dE 2 = (3)将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：Em LE 22)( πρ= …………………………（4） （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为： 11)(+=-T K E E B Fe E f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=0)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=00)(FE dE E N ρ ＝⎰0022FE dE E m L π＝240F mE L π 由此可得： 222208mL N E Fπ= …………………………（7） （3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=00)()(1dE E E Ef N E ρ＝dE Em L E N FE 22100⎰⋅ π＝230)(232F E m N L π＝022223124F E mL N = π 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E += 。
第四章 金属自由电子论
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
—— 热激发电子的数目
总的激发能
—— 每个电子获得的能量
电子热容
CV
2
[ 3
g
(
E
0 F
)(
k
BT
)]k
B
2
2
(
kBT
E
0 F
)nkB
g(
E
0 F
)
3 2
n EF0
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
热容
它与经典理论值(
3 2 nkB
2 nz
L
其中nx, ny, nz 是正整数
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
边界条件的引入，只允许波矢 k 是具有确定的分立
值，由一组数（nx,ny,nz）给定，可以被解释为量子数，
用来确定电子的状态。
在 k 空间，以kx,ky,kz为坐标轴，所允许的波矢 k 可
以用点代表，这些点在 k 空间均匀分布，它在三个轴上
第四章 金属电子论
自由电子模型
不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用
特鲁特 — 洛伦兹金属电子论
平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程 电子气体服从麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计分布规律， 对电子进行统计计算, 得到金属的直流电导、金属电子 的弛豫时间、平均自由程和热容
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
用运动学理论进行处理——理想气体
电子浓度n可计算
n N 6.0221023 Z m
V
A
第四章 金属自由电子论
0 1 E E F f (E) 0 0 E E F
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
另一方面，T→0时，费米分布函数
1 E E F lim f ( E ) T 0 0 E EF
0
g( E ) lim
两等能面间的体积内允许的状态代表点数
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
自由电子能态密度
dZ g( E )dE dN g( k )4 k2 dk
2k 2 E (k ) , 2m 2mE 2 k 2 , m 2 1 dk 2 ( ) 2 dE 2mE
费米分布函数
f (E) e
1
E EF k BT
1
f (E ) 1 f (E ) 0
3) 在较低温度时，分布函数在 处发生很大变化
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
费米分布函数
f (E) e
1
E EF k BT
1
能量变化范围
f ( E E F ) 1 f (E E F ) 0
边界条件：周期性边界条件
( x, y , z L ) ( x, y , z ) ( x, y L, z ) ( x, y, z ) ( x L, y, z ) ( x, y, z )
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
薛定谔方程的解
1 ikr 1 i ( kx x k y y kz z ) k (r ) e e k (r ) 已归一化 V V
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第四章 金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。
根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。
2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。
费米能量与电子密度和温度有关。
3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。
4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。
驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。
5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。
试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。
解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dEdkdk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk Ldk dZ π=∆=k 2 …………………………（2） 又由于 mk E 222η=所以 mkdk dE 2η= …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：EmL E 22)(ηπρ= (4)（2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：11)(+=-TK E E B F eE f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=)(FE dE E N ρ＝⎰0022FE dE E m L ηπ＝240FmE L ηπ由此可得： 222208mL N E Fηπ= (7)（3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=0)()(1dEE E Ef N E ρ＝dE EmL E N FE 2210⎰⋅ηπ＝230)(232F E m N L ηπ＝022223124F E mL N =ηπ 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E +=η。
试求：（1）能量E ～dE E +之间的状态数； （2）此二维系统在绝对零度的费米能量； （3）电子的平均能量。
解：（1）K 空间中，在半径为k 和k k d +的两圆面之间所含的状态数为k k k k d L d L dZ πππ224222== (1)这也就是能量在E ～dE E +之间的状态数，由电子的能量表达式可得 dE mdE E m mE d 2222122ηηη=⋅=k k ………………（2） 将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能量在E ～dE E +之间的状态数为dE mL dE mL dZ 222222ηηππ=⋅= （2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为22)(ηπρmL dE dZ E == 在绝对零度下，由下式22022000)(F E E E mL dE mL dE E N FF⋅===⎰⎰ηηππρ 由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为220mLN E Fηπ= （3）电子的平均能量为⎰⎰==002201)(1FFE E EdE mL N dE E E NE ηπρ 02222222212)(211F E mLN mL N mL N ===ηηηπππ 8.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为m a 10105.3-⨯=。
试计算绝对零度时电子气的费米能量0F E （以eV 表示）解：由题意可求得金属锂的电子浓度为 2831031066.4)105.3(22⨯=⨯==-a n /m 3 故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为32220)3(2πn mE Fη= 3222831234)14.31066.43(1011.92)10055.1(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-- 191057.7-⨯=J 72.4=eV9.在低温下金属钾的摩尔比热容的实验结果可写成)57.208.2(3T T c v += K)mJ/(mol ⋅若1mol 的钾有23106⨯=N 个电子，试求钾的费米温度F T 和德拜温度D Θ。
解：根据金属自由电子气模型，低温下金属的总比摩尔热容为： 3bT T c c c c e V V v +=+=γ上式中，02202FBE k N πγ=，304512D B k N b Θ=π，所以有： 302201008.22-⨯=F B E k N π 33041057.2512-⨯=ΘDB k N π 故：1932232233220010708.21016.4)1038.1(14.31061008.22----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=B Fk N E πJ 又由 00F F B E T k = 得42319010962.11038.110708.2⨯=⨯⨯=--FT K 而 9.901057.251038.110614.3123323234=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=Θ--D K 10.试比较1mol 金属钠在30K 和0.3K 时的德拜比热容，并与电子比热容比较。
已知钠的德拜温度150=ΘD K ，钠的费米能级23.30=F E eV 。
解：在30K 时，1mol 金属钠的德拜比热容为34)(512DB V TNk c c Θ=π323232)15030(1038.11002.6514.312⨯⨯⨯⨯⨯⨯=- 57.1=J/K而其电子比热容为)(202FB B V E Tk Nk c e π=)106.123.3301038.1(1038.11002.6214.3192323232---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 0328.0= J/K所以德拜比热容与电子比热容之比为9.470328.057.1==ec V V c c在0.3K 时1mol 金属钠的德拜比热容为34)(512DB V TNk c c Θ=π323232)1503.0(1038.11002.6514.312⨯⨯⨯⨯⨯⨯=- 61057.1-⨯=J/K 而其电子比热容为)(202FB B V E Tk Nk c e π=)106.123.33.01038.1(1038.11002.6214.3192323232---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 41028.3-⨯=J/K 所以德拜比热容与电子比热容之比为3461079.41028.31057.1---⨯=⨯⨯=ec V V c c 11.有一钨丝，长0.05m ，横截面积的直径为1×10-4m 。
试求2000K 时钨丝的热电子发射电流。
已知钨的电子逸出功为4.5eV 。
解：由里查孙－杜师曼定律可知钨丝的热电子发射电流密度为)/(2T k W B eAT j -=05.1420001075)20001038.1/(106.15.4242319=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯---eA/m 2故热电子发射电流为72410103.1210114.305.14--⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯==jS I A 12.室温下利用光电效应已测得银及铯的光电效应阀值分别为4.8eV 和1.8eV 。
求： （1）采用里查孙－杜师曼公式分别估算银及铯在室温下的热电子发射电流密度； （2）若温度上升至800K 时，其热电子发射电流密度为多少？（3）若把银与铯两种金属接触在一起，求出室温下它们的接触电势差。
解：（1）在室温下银的热电子发射电流密度为)/(2T k W Ag B Ag eT A j -=)2981038.1/(106.18.4262319298102.1⨯⨯⨯⨯---⨯⨯=e711036.8-⨯= A/m 2在室温下铯的热电子发射电流密度为)/(2T k W Cs B Cs eT A j -=)2981038.1/(106.18.1262319298106.1⨯⨯⨯⨯---⨯⨯=e201047.5-⨯= A/m 2（2）在800K 时银的热电子发射电流密度为 )/(2T k W Ag B Ag eT A j -=)8001038.1/(106.18.4262319800102.1⨯⨯⨯⨯---⨯⨯=e191072.4-⨯= A/m 2在800K 时铯的热电子发射电流密度为)/(2T k W Cs B Cs eT A j -=)8001038.1/(106.18.1262319800106.1⨯⨯⨯⨯---⨯⨯=e80.4= A/m 2（3）若把银与铯两种金属接触在一起，它们的接触电势差为 3)(1=-=Cs Ag D W W eV V 13.利用电子漂移速度v 的方程E -=+e vdt dv m )(τ证明在频率ω下的电导率为])(11)[0()(2ωτωτσωσ++=i 。
其中02/)0(m ne τσ=。
解：设电场为ti e ω-E =E 0，则有t i e e vdt dv m ωτ-E -=+0)(或t i e me vdt dv ωτ-E -=+0 齐次方程0=+τvdt dv 的通解为 τtce v -=设非齐次方程的特解为ti Aev ω-=，则有ti t i ti e me Ae Aei ωωωτω---E -=+-01从上式可求出特解的待定系数A 为 )1(0ωττi m e A -⋅E -= 故非齐次方程的通解为 )1(0ωττωτi e m e cev ti t-E -=-- 上式中的第一项随时间的增大迅速衰减，表示电子在电场作用下的驰豫过程，对电流没有贡献，对电流有贡献是第二项，如果在电场的作用下，单位体积内含有n 个电荷为e -的电子，则其电流密度E =-E =-=-)()1()()(02ωσωττωωi e m ne v e n j ti 故 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=-=22)(11)0()1(1)(ωτωτσωττωσi i m ne 其中 mne τσ2)0(=。