金属自由电子气模型

…… 理论值与实验值相差100倍！ 偶然 or 必然？
传导电子 conduction electron
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
1. Drude模型和凝胶模型 1）传导电子和芯电子 ） 凝胶模型 （Jellium model） ）
金属就是正离子浸没于传导电子气中的集合 体。正离子和传导电子气之间的相互作用就是金 属中原子的结合力。 属中原子的结合力。金属表面存在着一种把传导 电子限制在金属范围内的势垒，而在金属内部， 电子限制在金属范围内的势垒，而在金属内部， 势能是均匀的， 势能是均匀的，好像传导电子在一个均匀的势场 中运动，相对势能为零。 中运动，相对势能为零。
上式中F(t)是电子所受的外力。
(1.2.2)
对于受到碰撞的电子对平均动量的贡献： 这部分电子的比率为dt/τ，它们受到碰撞后无规取向（动量 无规取向对平均动量无贡献）。这部分电子对平均动量的贡 献在于受到碰撞前从外场获得的动量，由于碰撞发生在t+dt 时刻或之前，因此对平均动量的总贡献小于
v ( dt / τ ) ⋅ F (t ) ⋅ dt
v v J =σ ⋅E
(1.2.1)
这是最早从实验上确定的，但是为什么会如此？ 按照Drude模型分析： 假定t时刻电子的平均动量为p(t)，经过dt时间，电子没有受 到碰撞的几率为 1-dt/τ，那么这部分电子对平均动量的贡献 为
v v dt v p(t + dt ) = 1 − [ p(t ) + F (t )dt ] τ
（3）电子在dt时间所受碰撞的几率正比于 dt/τ τ通常被成为弛豫时间（Relaxation time），相应的近似被 成为弛豫时间近似 弛豫时间近似（Relaxation time approximation）。 弛豫时间近似 这个图像所描述的碰撞过程为：电子在某时刻受到碰撞， 电子的速度瞬时被改变，然后电子的运动为自由运动， （如果存在外场，会受到外场力的作用），电子平均自 由运动τ时间后再一次受到碰撞。
(1.5.4) (1.5.5)
我们有：
κ 3 kB = T σ 2 e
2
(1.5.6)
3k κ = B = 1.11 × 10 −8W ⋅ Ω / Κ 2 σT 2 e
2
(1.5.7)
这就是Wiedemann-Franz关系，该常数被称为Lorenz数 （Lorenz number）。实际上，Lorenz数比上述值大一倍。
v v dν d (t ) ν d (t ) m = F (t ) − m dt τ
v
(1.2.5)
碰撞的作用，相当于一个阻尼项
v v v dν d (t ) 对于恒定外电场的稳态情况， = 0, F = −eE dt (1.2.5)式为： v eτE νd = − (1.2.6) m
相应地：
v ne 2τ v v J = − ne ν d = E m v v J =σ ⋅E ne 2τ σ= m
(1.2.7)
(1.2.8)
2）金属中电子的弛豫时间 ）
mσ m τ = = 2 ne ρ ne 2
(1.2.9)
在室温下，金属典型的电阻值为10-6Ohm-cm， 如果电阻 值用Ohm-cm为单位，弛豫时间的大小为：
0.22 rs τ = ⋅ × 10 −14 sec . ρ a 0
κ = 2.22 × 10 −8W ⋅ Ω / Κ 2 (1.5.8) σT 这是Drude模型所无法解释的。其实，Drude模型能够给出 数量级正确的结果也是因为巧合，对CV估计大了两个数量 级，对v2估计小了两个数量级。
4. Drude模型的不足
1）Lorenz 数：数量差2倍，且与温度有关 2）电子比热：量差100倍，高温(RT以上)与温度无关 3）电导率：与温度有关
1 1 κ = CVυl = CVυ 2τ 3 3
(1.5.2)
其中CV是电子气热容，v是电子运动的平均速度，l是电子 平均自由程，τ是电子弛豫时间。
计算比值：
1 cV mυ 2 κ 3 = ne 2 σ
(1.5.3)
应用经典统计的结果：
3 cV = nk B 2 1 3 2 mυ = k B T 2 2
这里涉及dt的二次项，是个二阶小量，可以略去。
(1.2.2)式在一级近似下为
v v dt v v p(t + dt ) − p(t ) = F (t )dt − P(t )
τ
(1.2.3)来自百度文库
更简练的形式为
v v dp ( t ) v P (t ) = F (t ) − (t dt τ
(1.2.4)
引入外场作用下电子的漂移速度（Drift velocity）νd
（4）电子通过碰撞处于热平衡状态。电子热平衡的获得被假 定通过一个简单的途径达到，即碰撞前后的速度没有关联 （电子对自己的速度历史没有记忆）。 电子热平衡分布满足Bolzmann统计 （经典统计）
Drude模型所描述的受到离子散射的电子运动轨迹。
2. 金属的直流电导
1) 电导率 欧姆定律（Ohm’s law）： V = I ⋅ R 欧姆定律更一般的形式（微分形式）：
则 l =1 nm Drude 模型是自洽的。
3. 金属热导率
当温度梯度存在时，在金属中就会有热流产生：
J Q = −κ∇T
(1.5.1)
此即Fourier’s Law。其中JQ是热流，κ是热导率，∇T是温度梯 度。金属的热导率一般大于绝缘体的，因此金属的热导率可 以归结为自由电子的贡献。按照Drude模型，我们可以套用 理想气体热导率公式得：
3) Drude模型的假设 模型的假设
（1）自由电子近似 自由电子近似（Free electron approximation）： 自由电子近似 忽略电子——离子的相互作用 独立电子近似（Independent electron approximation）： 独立电子近似 忽略电子——电子之间的相互作用 （2）电子之间的碰撞是瞬时的，经过碰撞，电子速度的改 变也是突然的。
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子 ）
Na: K L M 1s 2s2p 3s 2 8 1
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子 ）
Na: K L M 1s 2s2p 3s 2 8 1
芯电子(core electrons) 芯电子
第四章 金属自由电子气模型
§1 金属的Drude模型
• 金属在固体特性的研究中占据重要位置：元素单质材 料中最为常见的是金属；金属具有良好的电导率、热 导率等。尝试对金属特性的理解也是现代固体理论的 发端。 • 在J.J.Thomson于1897年发现电子3年之后，Drude根据 气体运动论建立了金属自由电子气模型，把金属中的 电子看到由电子组成的理想气体。 • 作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出，现在仍 然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个 模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。
3
(1.2.10)
其中，ρ为金属电阻率，rs为一个所占据体积的等效球半径， a0为玻尔半径。 金属Cu的室温电阻率ρ=1.56·10-6Ohm-cm, τ=2.7 ·10-14 sec
3）金属中电子的平均自由程 ）
l = v0τ ; 而 mv02/2 =3kBT/2
在室温下，电子平均速度 v0 的典型值为107 cm/s，
Z是每个原子贡献的价电子（传导电子）数目
对于金属，n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想 气体的密度高上千倍 将每个电子平均占据的体积等效成球体，则：
1 V 4π 3 = = rs n N 3
定义电子占据体积的等效球半径：
3 rs = 4πn
1/ 3
rs的典型值∼Å。
电子密度） 2) 传导电子密度 （电子密度） 传导电子密度 n：单位体积的传导电子数 原子数/mole: N0 = 6.022 · 1023，Avogadro常数 mole数/cm3: ρm/A, 其中 ρm是金属的质量密度（g/cm3），A 是元素的原子量
Zρ m Zρ m 23 n = N0 × = 6.022 × 10 × A A