金属中的电子气的理论
第十六讲金属中自由电子气模型
- - -（ 7）
3(z L) = 3(z)
用 通 解 的 前 一 种 表 示 ， 分 别 假 定 波 沿 x,y,z 负 方 向 传 播 ， 可 得
波矢：
kx =
2n x L
ky
=
2n y L
kz
=
2n z L
（ 8）
单
电
子
波
函
数
（n ：ψ
x, (x
ny, ,y,z
n )
z
为正 = 1(
负整
x ) 2 (
此时费密-狄喇克统计分布为 （见图 p112 图 6.3）
1
lim T 0
f ( E ,T ) 0
E (0) E (0)
其 中 μ (0)为 绝 对 零 度 时 的 化 学 势 。
- - (17)
电 子 气 基 态 ：能 量 在 μ (0)以 下 的 状 态 全 被 电 子 占 满 ，能 量超 过 μ (0)
第十六讲 金属中自由电子气模型
第六章 金属电子论 问题：对金属中相互作用、运动着的大量电子，怎样进行理论处理？
如何从理论上说明电子对金属优良的电导、热导和比热的贡献？ 如何从电子的运动状态解释电子热发射、光电效应和场电子发 射等重要现象？ 本章用 量子的电子气体模型： 金属中的价电子组成电子气体（就象气体分
见 p112 图 6.3 f(E,T) ～ E 曲线
T > 0,
在
kBT
f
(,T
)
1 2
范围内，f (E,T )从 1下降到 0
由能态密度公式（13）
g(E) CE1/ 2
和公式（14）
C 4 ( 2m)3/ 2
h2
第五章：金属的电子理论
dN ( E ) 3 2me 2 dE 2
3/ 2
3/ 2
E1/ 2
V 3 2
V 2me 2 2 2 3N ( E ) 2E
E1/ 2
DOS: number of electrons/unit energy in a range E ~ E + dE
自由电子模型总结
• 即使在金属中，传导电子的电荷分布（ charge distribution）收到 离子芯强烈静电势的影响。因此，自由电子模型描述传导电子的运 动特性（kinetic properties）最为合适。传导电子与离子之间的相 互作用将在能带理论中讨论。 • 最简单的金属是碱金属：Li, Na, K, Rb, Cs。在这些单价金属中，N 原子构成的晶体有N 个电子和N 个正离子。 • 自由电子模型产生于在量子理论建立之前。经典Drude模型成功导 出欧姆定律（Ohm’s law），以及电导和热导的关系。但是，由于 使用了Maxwell经典统计分布，它不能解释比热容（heat capacity） 和磁化率（magnetic susceptibility ）。后来Sommerfeld在量子理 论基础上重建了该模型。
~ 10eV
1/ 3 2 pF kF 3 N ~ 108 cm / sec vF V me me me
2/3 2 2 2 EF 2 3 N ~ 105 K TF kF kB 2me kB 2me kB V
态密度（Density of states, DOS）
L N (E) 2 2
dN ( E ) L 2me 1 N ( E ) 2me E , D( E ) dE E 2
金属中的电子气的理论
金属中的电子气的理论金属中的自由电子并非真正自由，而是要受到金属离子的周期势场的作用，因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。
由F。
布洛赫和L。
—N。
布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别（见能带理论，半导体），并能定量计算金属的结合能,在考虑了金属离子的热运动的影响后，在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。
金属中自由电子之间有很强的相互作用,在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。
近年来，研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。
一、托马斯-费米近似方法在相互作用强度很大的情况下，相互作用能在系统能量中占主导地位，相比之下,处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用，其运动范围受到了限制,因此，动能就会远小于相互作用能。
这时候，哈密顿量中的动能就可以忽略掉,被称为托马斯—费米(Thomas—Fermi）近似。
一维定态GP 方程变为则玻色子的密度分布为同时玻色子密度分布的边界满足，在外势为简谐势的情况我们得到凝聚体的半径为则系统的粒子数为将上式变换一下，得到化学势μ 满足其中单粒子基态的特征半径为边界R 满足化学势u 和边界R 都是随着粒子个数N 和相互作用强度U 1的增加而增加的.在处理多电子原子问题中，、通常采用Hartree-Fook 近似方法比较好，但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后，可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点，就是计算机只能进行数值计算，而不能解出一般形式，我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。
费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a 的立方体盒子中运动。
盒子内部势能为0。
盒外势能为无限大，这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质，如电子能级，电子的最高能量，电子的平均能量，电子气的压强，电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处，可以推出原子核的质量公式，跟实验结果比较符合得很好.对于多电子原子应用如下的近似方法,即托马斯——费米方法，这是一个统计方法。
电子行业金属自由电子气模型
电子行业金属自由电子气模型引言自由电子气模型是描述金属中电子行为的重要理论模型之一。
在电子行业中，金属材料具有良好的导电性和热导性，这一特性正是由于金属中存在着大量的自由电子。
本文将详细介绍电子行业金属中自由电子气模型的基本原理。
自由电子气模型的基本原理自由电子气模型的基本原理是假设金属中的自由电子在晶体中自由运动，并且彼此之间无相互作用。
这个假设是基于金属中的电子大量和密度较大，使得它们之间的相互作用可以忽略不计。
而晶体的周期性结构对电子运动所产生的影响可以用晶格周期势能来描述。
在自由电子气模型中，每个电子都可以被看作是一个自由粒子，其能量由动能和势能共同决定。
由于假设电子之间无相互作用，并且忽略自旋和磁场的影响，可以将自由电子气模型简化为一维、二维或三维的能带结构。
能带结构能带结构描述了金属中电子的能量分布情况。
根据自由电子气模型，电子能量随动量的变化形成能带。
在一维情况下，能带是连续的，电子在能带中可以具有任意动量。
而在二维和三维情况下，能带则呈现出带状结构，电子在能带中只能具有特定的动量。
根据泡利不相容原理, 每个能级只能容纳两个电子（自旋相反）。
因此，在一维情况下，每个能级只能容纳一个电子，而在二维和三维情况下，每个能级可以容纳多个电子。
能带结构可以分为导带和价带。
导带是指位于较高能量的带，其中的电子具有较高的能量，可以随意运动。
价带是指位于较低能量的带，其中的电子具有较低的能量，并且在金属中形成近满带，起到稳定晶体结构的作用。
费米能级费米能级是能带结构中的一个重要参数，它代表了电子在金属中填充的最高能级。
根据赛曼效应，当温度趋近于绝对零度时，费米能级上方的能级将几乎全部被填充，而费米能级以下的能级将几乎为空。
费米能级决定了电子在金属中的运动性质，对导电性和热导性有很大影响。
在金属中，费米能级附近的能级比较稠密，形成了电子态密度的峰值，使得金属能够有效地传导电流和热量。
自由电子气模型的应用自由电子气模型是研究金属导电性和热导性的基础理论之一。
金属自由电子经典理论
金属自由电子经典理论
• 金属中的正离子形成的电场是均匀的，价电子不被原子所 束缚，可以在整个金属中自由地运动，形成自由电子。这 些电子起着导电和导热的作用，他们的行为像理想气体一 样，故被称作自由电子气体，其运动规律遵循经典力学气 体分子的运动定律。 • 在没有外电场作用时，金属中的自由电子沿着各方向运动 的几率相同，故不产生电流。当施加外电场后，自由电子 获得附加速度，于是便沿外电场方向发生定向迁移，从而 形成电流。自由电子在定向迁移过程中，因不断与正离子 发生碰撞，使电子的迁移受阻，因而产生了电阻。
金属自由电子经典理论的产生背景
18世纪末： 1、人们已熟悉金属导电和导热特性，但是还不具备解释这 些传导电子是如何形成和运动的理论基础。 2、1897年汤姆逊发现金属中存在电子(e/m测定)。
3、分子运动论处理理想气体十分成功。
金属自由电子经典理论的提出
•1900年,特鲁德首先将金属中的价电子与理想气体类比,提 出了金属电子气理论,即认为金属中存在有自由电子气体。 •1904年,洛伦兹将麦克斯韦-玻尔兹曼统计分布规律引入电 子气,据此就可用经典力学定律对金属自由电子气体模型作 出定量计算. •这样就构成了特鲁德-洛伦兹自由电子气理论,称为经典自 由电子理论.
金属中自由电子在电场中的运动
当金属中有电流时，每个自由电子都因受到电场力的作用而 加速，即在无规则的热运动上叠加一个定向运动。
自由电子在运动过程中频繁的与晶格碰撞，碰后电子向各个 方向运动的几率相等，因此可认为每个电子在相邻两次碰撞 间做初速度为零的匀加速直线运动。 大量自由电子的统计平均，就是以平均定向漂移速度逆着电 场线方向漂移。
电导率σ的推导
设导体内的恒定电场为 ,则电子的加速度为
v0 电子两次碰撞的时间间隔为t,上次碰撞后的初速度为
金属自由电子气理论
金属自由电子气理论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。
2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。
外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。
）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。
4.2 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理 1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。
金属电子论
k
的取值范围？ 的取值范围？
（ ）的解， 波函数 ψ (r ) 虽然是方程 2）的解，它还应满足边界条件
v
为方便，在处理晶体的问题时，通常取周期性边界条件 为方便，在处理晶体的问题时，通常取周期性边界条件 v ψ (r ) 满足： 即要求 满足：
ψ ( x + L, y , z ) = ψ ( x , y , z ) ψ ( x , y + L, z ) = ψ ( x , y , z ) ψ ( x , y , z + L ) = ψ ( x, y , z )
这样（ ） 这样（3）和（4）就可以具体写为： ）就可以具体写为：
v v v v k = k x ex + k y e y + k z ez
1 i ( k x x x + k y y y + k z z ) （5） v ψ (r ) = 1 / 2 e V 2 2 2 2 2 2 h (k x + k y + k z ) h k E= = （6） 2m 2m
§5.1金属自由电子模型 金属自由电子模型
由于不考虑带正电的离子对电子的库仑吸引作用， 由于不考虑带正电的离子对电子的库仑吸引作用，但 整块金属是点中性的，即正负电荷总量相等， 整块金属是点中性的，即正负电荷总量相等，虽然相 互间又没有作用，但正电荷毕竟存在， 互间又没有作用，但正电荷毕竟存在， 可以把正电荷看成是一种均匀的连续电荷分布， 可以把正电荷看成是一种均匀的连续电荷分布，以保持总 体的电中性， 体的电中性，相互独立的电子是在均匀分布的正电荷背景 中运动。因为正电荷均匀分布的， 中运动。因为正电荷均匀分布的，对电子产生的静电场是 常数， 常数，即电子无论在晶体中的哪个位置所感受到的正电荷 产生的势场作用都相同，不会受到力的作用。 产生的势场作用都相同，不会受到力的作用。 这样，自由电子气模型可以进一步表述为： 这样，自由电子气模型可以进一步表述为：是一种均匀 分布的正电荷背景中自由运动的电子气。可以形象地称 分布的正电荷背景中自由运动的电子气。 凝胶模型，正电荷背景相当于一种凝胶， 为凝胶模型，正电荷背景相当于一种凝胶，电子是在凝 胶介质中自由运动。 胶介质中自由运动。
金属电子气的Drude模型
Drude模型在半导体物理中的应用
半导体载流子运动
Drude模型在半导体物理中用于描述半导体中载流子的运动行为。通过该模型， 可以研究半导体中电子和空穴的迁移率、扩散系数等性质，从而深入了解半导 体的光电、热电等效应。
半导体器件性能
Drude模型在半导体器件性能分析中也有重要应用，如晶体管、太阳能电池等。 通过该模型，可以研究器件中载流子的传输、注入、收集等过程，为优化器件 性能提供理论支持。ຫໍສະໝຸດ HANKS FOR WATCHING
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04
Drude模型的局限性
Drude模型的近似性
Drude模型假设电子在金属中以无相 互作用的粒子形式运动，忽略了电子 间的相互作用。
在实际金属中，电子间存在相互作用， 这会导致电子的运动受到散射，使得 电子的运动不满足Drude模型的假设。
Drude模型在高场下的不适用性
Drude模型在高电场下不适用，因为 高电场下电子的运动速度接近光速， 需要考虑相对论效应。
02
当电子气受到外部扰动时，阻尼系数决定了电子气 的响应速度和振幅衰减。
03
阻尼系数的大小与金属的微观结构和温度有关，是 金属导电性能的重要参数。
电子气的弛豫时间
01 弛豫时间表示电子气达到热平衡状态所需的时间。 02 在Drude模型中，弛豫时间反映了电子气内部相
互作用的过程。
03 弛豫时间的长短决定了金属的电导和热导等物理 性质随时间的变化规律。
述这些效应。
发展Drude模型的量子版本
引入量子力学效应
在量子版本的Drude模型中，考 虑量子力学效应对金属电子气行 为的影响，如能级量子化、波函 数等。
考虑量子相干性
在低温下，金属电子气可能表现 出量子相干性，需要发展量子版 本的Drude模型来描述这种行为。
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金属中的电子气的理论
金属中的自由电子并非真正自由，而是要受到金属离子的周期势场的作用，因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。
由F.布洛赫和 .布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别（见能带理论，半导体），并能定量计算金属的结合能，在考虑了金属离子的热运动的影响后，在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。
金属中自由电子之间有很强的相互作用，在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。
近年来，研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。
一、托马斯-费米近似方法
在相互作用强度很大的情况下，相互作用能在系统能量中占主导地位，相比之下，处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用，其运动范围受到了限制，因此，动能就会远小于相互作用能。
这时候，哈密顿量中的动能就可以忽略掉，被称为托马斯-费米(Thomas-Fermi)近似。
一维定态GP 方程变为
则玻色子的密度分布为
同时玻色子密度分布的边界满足，在外势为简谐势的情况
我们得到凝聚体的半径为
则系统的粒子数为
将上式变换一下，得到化学势μ 满足
其中单粒子基态的特征半径为
边界R满足
化学势u和边界R都是随着粒子个数N和相互作用强度U1的增加而增加的。
在处理多电子原子问题中,、通常采用Hartree-Fook近似方法比较好,但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后,可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点,就是计算机只能进行数值计算,而不能解出一般形式,我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。
费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a的立方体盒子中运动.盒子内部势能为0.盒外势能为无限大,这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质,如电子能级,电子的最高能量,电子的平均能量,电子气的压强,电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处,可以推出原子核的质量公式,跟实验结果比较符合得很好。
对于多电子原子应用如下的近似方法,即托马斯——费米方法,这是一个统计方法.它不是直接解薛定愕方程,可得出一些有用结论,其基本思想是在重原子中把正电荷看作连续分布(背景),电子在背景中运动n,这样处理中性原子运动比较成功。
二、哈特利-福克近似方法
通过绝热近似，把电子运动与离子实的运动分开，但系统的薛定谔方程仍然是一个多体方程。
由于电子间存在的库伦相互作用，严格求解这种多电子问题是不可能的。
通过哈特利-福克（Hartree-Fock）近似,可以将多电子的薛定谔方程简化为单电子有效势方程。
哈特利波函数将多电子波函数表述为每个独立电子波函数的连
乘积形式：
()()()()12n n φφφφ=12r r r r
哈特利-福克单电子近似方程可以表示为：
()()()()()''2''
,-HF i i i V dr E ρρφφ⎡⎤-⎢⎥∇+-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
⎰r r r r r r r r 哈特利-福克近似虽然包含了电子与电子的交换相互作用，得到了更进一步的结果，却没有考虑电子之间排斥相互作用，因此仍然具有一定的局限性，不能认为是一个严格的单电子理论。
“单电子近似”的近代理论是在密度泛函理论的基础上发展起来的。
三、动态介电函数方法
在此之前，人们主要讨论的是电子系统在静态电场下的性质，而对于其在交流电场下介电性质有理论研究但并不多见，因此研究它在交流电场下的动态介电性质更具有十分重要的意义。
我们在得出电子的有效相互作用后，通过动态介电函数计入了多体效应对库伦势的影响。
在研究多电子系统对外场的响应时，可假定在系统原点处附加了一个以一定频率振荡的“试探电荷”探针，由此可得出外场的附加哈密顿量，这其中引入一个指数因子，使得一定的极限条件得到满足，并且保证振荡外场与电子体系间的互作用是无限缓慢地加上的，使得整个系统随之振荡。
由于系统的这种振荡，带动系统电子密度起伏而
产生一个新的屏蔽势能，将其做傅里叶变换，可得到其所满足的RPA 响应的方程。
由此可以引入一个随时间变化的动态介电函数。
用这种无规相近似介电函数表示的响应方程，这个方程可决定互作用电子系统的个别激发与集体激发特征。
以后我们将看到，利用有效交互作用讨论屏蔽效应，计算相关能和准电子寿命等实际问题将是十分简便的。
但是有关的资料有限，所以我对这种近似方法还不是很清楚，这里只是稍加叙述，还需要在以后的学习中加深理解。
四、结论
固体理论是以二次量子化（量子场论、量子多体理论）方法为基础、进一步理论化、系统化固体物理的研究内容所形成的将固体物理特性阐释为环境扰动下相互作用系统元激发问题的学科，其研究范围包括晶格振动、固体磁性、金属和等离子体特性、超导电性、强关联体系和无序系统。
在固体理论中使用了和固体物理不同的描述方式，固体理论通过引入量子场论，用二次量子化的方法实现了对固体中不同现象的统一描述：元激发的概念被推广，固体理论中采用玻色型和费米型激发的模型分别成功的描述了声子、磁振子、等离体子等集体激发行为和准电子、空穴以及极化子等准粒子体系。
通过二次量子化，采用库柏对模型可以成功解释第一类超导体的超导机制，并能较好描述电声相互作用、磁振子运动等现象，另外，作为第一性原理计算基础的重要理论——能带论也属于固体理论的研究范畴。
固体理论的建立和发展，是为了阐明固体物理这门实验性科学所揭示出来的现象之
间的内在本质。
固体作为一个很复杂的客体，存在大量的原子和电子，而且他们之间的相互作用相当强。
固体的宏观性质就是如此大量的粒子之间的相互作用和集体运动的总表现。
在研究某些客观规律时，必须针对某一特殊过程，抓住主要矛盾，突出主要因素来进行分析研究。