复变函数7.1第7.1节 单叶解析函数的映射性质

|
f
(z) |z
f (z0) | , z0 |
由于 |
f
'(z0 ) | 是比值
|
f
(z) |z
f (z0) | z0 |
的极限，
它可以近似地表示这种比值。在w=f(z)所作映射
下，|z-z0|及|f(z) -f(z0)|分别表示z平面上向量
z-z0及w平面上向量 f (z) f (z0 )
那 数么f(，z)-存w0在在着z0一有个p阶正零数点，，并使且得对充分小的正
0 | w w0 | f (z) w0 在 0 | z z0 | 内有p个一阶零点。
引理1.1:
证明： f(z)-w0在z0有p阶零点是显然的。
由于f(z)不恒等于零，可以作出以z0为心的开圆
所以，在w0处曲线 到曲线 1 的夹角恰好等 于在z0处曲线C到曲线C1的夹角：
arg f '(z1(t0 )) z1'(t0 ) arg f '(z(t0 )) z'(t0 ) arg z1'(t0 ) arg z'(t0 ),
导数幅角的几何意义:
因此，用单叶解析函数作映射时，曲线间
由引理1.1，任给 0 ，选取这一引理结论中 的正数 及 ，使得 ,
那么当| w w0 | 时
| (w) (w0 ) | ,
因此 z (w)在D1内任一点连续。 下面证明导数公式成立。当w D1 ，并且 z (w)
时，我们有
z D, z z0
盘，
D :| z z0 |
其边界为C，使得f(z)在 D D C 上解析，
并且使得f(z)-w0及f’(z)除去在z0外在上无其它零 点。那么
min |
zC
fLeabharlann (z) w0|


0,
引理1.1的证明：
取w，使 0 | w w0 |
现在应用儒歇定理，比较f(z)-w及f(z)-w0在内D的 零点的个数。由于
但由光滑曲线的条件，极限 z0 z(t0 )
lim
t1 t0
z1 t1
z0 t0

z'(t0 )

0,
存在。因此下列极限也存在：
lim arg
t1 t0
z1 z0 t1 t0
arg z'(t0 ),
它就是曲线C在z0=z(t0)处切线与实轴的夹角， 在这里幅角是连续变动的，并且极限式两边幅
导数的几何意义:
因此这两个三角形近似地是相似形。此外 ，w=f(z)还把z平面上半径充分小的圆
| z z0 | 近似地映射成圆
| w w0 || f '(z0) | (0 ),
所以，我们把单叶解析函数所确定的映射 称为保形映射或映照，或称为共形映射或 保角映射。它在每一点保角，并且在每一 点具有一定的伸缩率。
的夹角的大小及方向保持不变，我们成这个性 质为单叶解析函数所作映射的保角性。
y
C'
v 1
C

z0
1 0
0
1
x
w0
1 0
0
1
u
导数模的几何意义:
上面是对单叶解析函数的导数的幅角所作
的几何解释，下面再说明它的模的几何意义。
根据假设，我们有
|
f
'(z0 ) |
lim
zz0
我们有 z1, z2 D，使得 f (z1) w1, f (z2 ) w2。
由于D是一个区域，在D内有折线
z z(t) (a t b)
定理1.3的证明:
连接z1及z2，在这里 z1 z(a), z2 z(b) 。
函数w=f(z)把这条折线上每一条线段映射成D1 内一条光滑曲线，从而把这折线映射成D1内连 接w1及w2的一条光滑曲线：
导数模的几何意义:
的长度，这里向量z-z0及f(z) -f(z0)的起点分别取 在z0及f(z0) 。 当|z-z0|较小时，|f(z) -f(z0)|近似地表示通过映 射后， |f(z) -f(z0)|对|z-z0|的伸缩倍数， 而且这一倍数与向量z-z0的方向无关。 因此，我们把|f’(z0)| 称为在点z0的伸缩率。
f (z) w ( f (z) w0 ) (w0 w),
而当 z C 时
| f (z) w0 | | w0 w | 0,
可见f(z)-w及f(z)-w0在D内的零点个数同为p（每 个n阶零点作n个零点）。 这是因为 w w0 ，所以 z z0 ，而
[ f (z) w]' 0 z z0
角的数值是相应地适当选取的。
导数幅角的几何意义:
函数w=f(z)把简单光滑曲线C映射成过w0 f (z0 )
的一条简单曲线： : w f (z(t)) (a t b),
dw
由于 dt f '(z(t0))z'(t0) ，可见 也是一条光滑曲
线；它在w0的切线与实轴z0 的夹角是
: w f (z(t)) (a t b)
另一方面，由于 是D1内的一个紧集，根据有 限覆盖定理，它可以被D1内有限个开圆盘所覆 盖，
从而在D1内可以作出w1及w2连接的折线 1。
定理1.4:
注解：如果w=f(z)在区域D内单叶解析，那么根
据定理1.3，它把区域D双射成区域 D1 f (D)
由引理1.1，可以找到一个正数 ，使得对于
任何满足
| w1 w0 |
定理1.3的证明:
的复数w1，我们有 z1 D ，使得 f (z1) w1 。
因此开圆盘 | w w0 |
包含在D1内，即w0是D1的内点。 其次我们证明的连通性，即证明在D1内任意不
同两点w1及w2可以用在D1的一条折线连接起来
线，由于割线的方向与向量
z1 z0
t1 t0
的方向一致，可以看出：只要当z1趋近于z0时
向量 z1 z0 与实轴的夹角 arg z1 z0 连续变动趋
t1 t0
t1 t0
近于极限，
那么当t1趋近于t0时，割线确有极限位置，即为 曲线C在z=z0的切线的位置。
导数幅角的几何意义:
定理1.4的证明:
于是 (w) (w0 ) z z0 1 w w0 ,
w w0
w w0
z z0
因为当 w w0 时，z (w) z0 (z0 )
所以 lim
(w) (w0 )
1
ww0 w w0

lim
zz0
w z
w0 z0
定理1.2、3:
定理1.2、设函数w=f(z)在z=z0解析，并且f '(z0 ) 0 那么f(z)在z0的一个邻域内单叶解析。
定理1.3、设函数w=f(z)在区域D内解析，并且不
恒等于常数，那么D1 =f(z)是一个区域，即f确定 从D到D1的一个满射。
证明：先证明D1是开集，即证明任一点 w0 D1 是它的内点。设 z0 D ，并且 f (z0) w0 。
单叶解析函数的映射性质
我们主要研究单叶解析函数的映射性质。 设函数w=f(z)在区域内解析，并且在任意不同点 ，函数所取的值不同。那么我们就称它为区域 的单叶解析函数，简称即为单叶函数。
注解1、单叶函数是确定一个单射的解析函数。
例子：
例1、函数w=z+a及w=az是z平面上的单叶解析 函数它们把z平面映射成w平面，
导数幅角的几何意义:
设在D内过z0还有一条简单光滑曲线
C1 : z z1(t)
函数w=f(z)把它映射成一条简单光滑曲线 1 : w f (z1(t))
和上面一样， C1 与 1在z0及w0处切线与实轴的 夹角分别是 arg z1'(t0 ) 及
arg f '(z1(t0 )) z1'(t0 ) arg f '(z1(t0 )) arg z1'(t0 ),
于是f(z)有一个在D1内确定的反函数。
定理1.4设函数f(z)在区域D内单叶解析，并且
D1=f(D)那么w=f(z)有一个在D1内单叶解析的反
函数，
z (w)
并且如果 w0 D1, z0 (w0 ) ，那么
'(w0 )
1. f '(z0)
定理1.4的证明:
证明：先证明 z (w) 在D1内任一点连续。
导数的几何意义:
现在用几何直观来说明单叶解析函数 所作映射的意义。设w=f(z)是在区域D内解 析的函数，
z0 D, w0 f (z0 ), z0 D, f '(z0 ) 0
那么w=f(z)把z0的一个邻域内任一小三角形 映射成w平面上含z0的一个区域内的曲边三 角形。 这两个三角形的对应角相等，对应边近似成 比例。
其中x(t)及y(t)是z(t)的实部和虚部。设
由于
dz

z(t0 ) z0 (t0 [a,b])
z'(t) x'(t) iy'(t),
dt
曲线C在z=z0的切线与实轴的夹角是z’(t0)的幅角 Arg z'(t0 )
导数幅角的几何意义:
作通过曲线C上之点z0=z(t0)及z1=z(t1)的割

1


lim
zz0
f
(
z) z

f( z0
z0
)


1, f '(z0)
即定理的结论成立。
导数幅角的几何意义: