复变函数中解析函数的理论分析及应用

复变函数中解析函数的理论分析及应用

【摘要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际应用都进行了分析。

【关键词】解析函数；解析；复变函数

0 前言

复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。而解析函数是复变函数特有的内容，在复变函数理论中起着重要的作用，解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用，所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性。

1 解析函数的概念

如果函数f（z）不仅在z0处可导，而且在z0的某个邻域内的任意一点可导，则称f（z）在z0解析。

如果f（z）在区域D内的任一点解析，则称f（z）在区域D内解析。

注：1）如果f（z）在区域D内解析，那么D内每一点都是它的内点，从而D是开区域。

2）如果说函数f（z）在闭圆盘z≤1上解析，指的是在包含该圆盘的某个区域内解析。

3）f（z）在z0解析，则f（z）在z0可导；f（z）在z0可导，则f（z）在z0不一定解析。但是f（z）在区域D内解析和可导是等价的。

4）一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。

2 函数解析的判定

2.1 根据解析函数的定义判定

要考察函数在某一点的解析性，首先看函数在该点是否有定义，然后看函数在该点及其邻域内是否可导。

例：因为f（z）=z2在整个复平面上处处可导，且f’（z）=2z则由解析的定义知f（z）在整个复平面上解析。

2.2 根据初等函数的解析性判定

若复变数函数为初等函数，则可根据初等函数的解析性进行判定

1）指数函数ez在整个复平面上解析；

2）对数函数Lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析；

3）幂函数zα，α为正整数时，幂函数在整个复平面上解析；α为负整数时，幂函数在除原点外的复平面上解析；α为既约分数、无理数、虚数时，在除去原点和负实轴的复平面上解析。

4）sinz，cosz在整个复平面上解析；tanz，cotz，secz，cscz在各自的定义域内解析

5）shz，chz在整个复平面上解析。

2.3 根据定理判定

定理：函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充分必要条件是：u（x，y），v（x，y）在D内可微，并且在区域D上满足柯西—黎曼方程：

■=■，■=-■

定理：函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充分条件是：ux，uy，vx，vy在D内连续，并且u（x，y），v（x，y）在区域D上满足柯西—黎曼方程：

■=■，■=-■

例：讨论函数f（z）=2x（1-y）+i（x■-y■+2y）的解析性。

解：因为u=2x（1-y），v=i（x■-y■+2y）

所以■=2（1-y）=■，■=-2x=-■并且四个偏导数均处处连续，从而u，v在复平面上可微，根据定理f（z）在复平面上处处解析。

3 解析函数的应用

3.1 解析函数在复变函数中的应用

解析函数是复变函数中的一类重要的函数，函数的解析性对于复变函数定积分的计算、调和函数、留数定义及留数理论、保形映照的一般理论等方面都要用

到解析函数的概念。而求满足一定边界条件的解析函数的一类问题，这是解析函数论在许多理论和实际问题中应用极为广泛的一个重要分支，而黎曼边值问题和希尔伯特边值问题是其中两个最典型的例子。

例黎曼边值问题

设L为复平面上一组有向的光滑曲线，把平面分割为若干个连通区域，要求一分区全纯函数（即在上述每一个连通区域内全纯）φ（z），使Φ■（t）=G（t）Φ■（t）+g（t）（t∈L）中G（t）、g（t）都是已知函数，而Φ+（t）和Φ-（t）分别表示当z从L的正侧（即沿L正向前进时的左侧）和负侧（右侧）趋于L 上一点时φ（z）的极限值也就是边值。此外还要求φ（z）在无穷远处至多有一极点。如果L中含有开口弧段，则也应说明要求φ（z）在L的端点附近的性态：具有不到一阶的奇异性。在G（t），g（t）满足一定的条件时，这一问题已完全解决。

例：求■■dz其中，C为z-1=■

对于这个定积分的计算，若不考虑被积函数的可积性，直接利用柯西积分公式则可得出错误的结果。由于函数■在C所围的闭区域内解析，从而，根据柯西定理，■■dz=0

3.2 解析函数在实际中的应用

复变函数是数学分支中应用性很强的一门学科，人们利用复变函数理论可以解决了很多实际问题，而解析函数在复变函数的应用中又起着重要的作用。

在航空工业中，要根据升力的大小来设计翼型，不仅要使飞机能在空中飞行，而且对是否符合起飞和降落快慢也有要求。根据解析函数在流体力学理论中的应用，可以应用解析函数可以计算飞机在飞行时空气对机翼的升力。

解析函数在电学中也有应用，例如可以根据保形映照来求静电场。

例：假设有两同心金属圆柱与z平面的截线分别为z=r■及z=r■（0

分析：假设圆柱较长，我们只需要求z平面上电场的复势，也就是求一解析函数，使该函数的虚部在z=r■上取值-V0，在z=r■上取值V0。我们知道，多值解析函数Φ（z）=iaLnz+ib的虚部在z=r■上的值不变，这里a和b是任何实数，r是任何正数，根据已知条件据定a和b，即可得所求的复势：

Φ（Z）=■2Lnz-（lnr■-lnr■）。

【参考文献】

[1]苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2002.