2-1复变函数解析性
复变函数的可导与解析
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
1-2复变函数的极限解析
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
复变函数第一章 1-2
复变函数论的全面发展是在十九世纪， 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直 接扩展统治了十八世纪的数学那样， 接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的 分支统治了十九世纪的数学。 分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函 数论是最丰饶的数学分支， 数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达 朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分， 朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分， 他们都是创建这门学科的先驱。 他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是 柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、 了大量的研究工作， 了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领 为这门学科的发展做出了贡献。 域，为这门学科的发展做出了贡献。
共轭复数的运算性质：
z = x + iy, 称 x − iy 为复数 z 的共轭复数，记为 z
(1)
z=z
z1 ± z 2 = z1 ± z 2
z1 = z ( z 2 ≠ 0) 2
z+z z−z (5) Re z = , Im z = 2 2i
(6) zz = [Re z ] 2 + [Im z ] 2 (7)
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
复变函数的总结范文
复变函数的总结范文复变函数是复数域上的函数，它的定义域和值域都是复数域。
复变函数是在复数域上进行运算的函数，与实变函数不同，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以由一个实变量的函数通过对自变量进行复数化得到。
设f(x) 是定义在实数域上的一个函数，则定义在复数域上的函数 f(x+iy), 其中 x 和 y 是实数，称为复变函数。
1. 复变函数的加法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的和是 h(x+iy) = f(x+iy) + g(x+iy)。
2. 复变函数的乘法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的乘积是 h(x+iy) = f(x+iy) * g(x+iy)。
3. 复变函数的求导：与实变函数类似，复变函数也可以进行求导运算。
对于复变函数 f(x+iy)，它的导函数是 g(x+iy) = ∂f/∂x + i∂f/∂y。
4. 复变函数的除法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的商是 h(x+iy) = f(x+iy) / g(x+iy)。
1.复变函数的连续性：与实变函数类似，复变函数对于自变量的连续性要求也是一样的。
当复变函数在其中一点处连续时，它在该点的极限存在且等于该点的函数值。
2.复变函数的解析性：若复变函数在一个区域内处处可导，则称它在该区域内是解析的。
解析函数是复变函数中非常重要的一类函数，它在实数域上的导函数也是解析的。
3. 复变函数的奇偶性：与实变函数一样，复变函数也可以具有奇偶性。
若复变函数满足 f(x+iy) = -f(-x-iy)，则它是奇函数。
若满足f(x+iy) = f(-x-iy)，则它是偶函数。
4. 复变函数的周期性：与实变函数不同，复变函数可以具有任意周期。
若复变函数满足 f(x+iy) = f(x+iy+T)，其中 T 是一个复数，那么它就是周期函数。
1.科学与工程中的应用：复变函数在电力工程、电子工程、通信工程等领域中有广泛的应用。
复变函数2-1解析函数的概念
n1 ( 2) ( z ) nz , 其中n为正整数.
n
19
( 3) (4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
x 2yi lim z 0 x yi
z
o
y 0
x
设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于z，
x x 2yi lim 1, lim x 0 x z 0 x yi
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z，
x 2yi 2yi lim lim 2, z 0 x yi y 0 yi
u v u v , . x y y x
23
证明：必要性
设f ( z )在z x iy处可导，记作 f ( z ) a ib，
'
则由定义有f ( z 源自 ) f ( z ) (a ib)z ( z )
(a ib)(x iy) ( z )
所以f ( z ) x 2 yi的导数 不存在.
o
x 0
y
z
y 0
x
9
二、解析函数的概念与求导法则
1. 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导,那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
1-2复变函数
点集：
复变函数
平面点集的基本概念：
复数的集合，对应复平面上的若干点，记作E
为了更好的理解复变函数的定义，我们需要了解 以下概念： 区域、邻域、内点、外点、境界线、闭区域、开 区域等。
域：连续的、不间断的点的集合。
邻域
以复数z0为中心，以任意小正实数ε 为半径作一 圆，则圆内所有点组成的集合，称为z0的邻域。 |z-z0|< ε 邻域内，
例3：解方程
sinz=2
1 iz iz sin z (e e ) 2 2i eiz e iz 4i (eiz ) 2 4i(eiz ) 1 0
令
w=eiz
则
w2-4iw-1=0
w e iz 2i (2i ) 2 1 (2 3 )i
注意：当我们讨论的范围是复变函数范畴内时， |sinz|和|cosz|完全可以大于1。
双曲函数
1 z sinh z (e e z ) 2
1 z cosh z (e e z ) 2
e z e z tanhz z e e z
性质：
以2πi为周期
6. 对数函数
境界线 内点
z0
境界点 外点
E
区域：具有下列性质的非空点集D称为区域
1.开集性：D中的每一点z0，其邻域的所有点都 属于D，即D全由内点组成； 2. 连通性：D中任意两点 都可用一条由D内的点构 成的折线连接。 区域D与其境界线所组成 的点集称为闭区域，用 D 表示。
D
z2
z1
p
单连通域与复连通域：
z0
数学复变函数的基本概念
数学复变函数的基本概念一、引言数学复变函数是复数域上的函数，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学复变函数的基本概念、性质和应用。
二、复数与复平面复数是实数的扩充，可以写成形式为a+bi的形式，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复平面是由实轴和虚轴组成的平面，通过将复数表示为复平面上的点，实现了运算与几何之间的联系。
三、复变函数的定义复变函数是指定义在复数域上的函数，形如f(z) = u(z) + iv(z)，其中u(z)和v(z)均为实数函数。
复变函数既可以描述平面上的点，也可以描述平面上的区域。
四、复变函数的解析性复变函数的解析性是指函数在某个区域内可导，并且在该区域内的导数处处存在。
解析函数具有许多重要的性质，例如：解析函数的导数也是解析函数。
五、复变函数的调和性复平面上的实部与虚部分别满足拉普拉斯方程，即u_xx+u_yy=0和v_xx+v_yy=0，则复变函数为调和函数。
具有调和性的函数在物理学的电势和流体力学等领域有着广泛的应用。
六、复变函数的整函数如果一个函数在整个复平面上都解析，则该函数称为整函数。
整函数不仅在有限区域内解析，而且在无穷远点也解析。
七、复变函数的级数展开利用级数展开可以将复变函数展开为无穷项的和。
泰勒级数和洛朗级数是常用的级数展开形式，在分析和计算上有着重要的应用。
八、复变函数的留数定理复变函数的留数定理是计算复变函数的积分的重要工具。
根据留数定理，函数在有限奇点上的留数等于该函数在该奇点处的展开式中-1次幂的系数。
九、复变函数的应用复变函数在科学和工程问题中有着广泛的应用。
例如：在电工中可以利用复变函数来计算交流电路中的各种参数；在流体力学中可以利用复变函数描述流体的速度场等。
结论数学复变函数作为一门基础学科，在各个领域都有着重要的地位和应用价值。
通过对其基本概念、性质和应用的学习，可以更好地理解和应用复变函数。
2-1复变函数的导数
5. { f [ g( z )]} f ( w) g( z ) 其中w g( z )
1 6. f ( z ) w f ( z ), z ( w )是两个 ( w ) 互为反函数的单值函数 .
若 w f ( z z 0 ) f ( z 0 ) Az o(| z |) (z 0)
称df ( z0 ) Az为函数f ( z )在z0处的微分， 或说函数在z0处可微。 若函数在点z0可微，则A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z f ( z0 )dz
u i v lim . x 0 x i y y 0
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数 与 积 分 变 换
当z沿平行于实轴的直线趋于0时， u i v u v f ( z0 ) lim i x 0 x x x
当z沿平行于虚轴的直线趋于0时， u i v v u f ( z0 ) lim i . y 0 i y y y
x 0 y k x
lim
k x x x (1 ki )
x 0
k 1 ki
随着k值不同，极限值也不同，故极限不存在 所以f ( z )在z 0处不可微.
为什么满足C-R方程，函数还 不可微（导）？ 因为C-R方程只是必要条件 常用u( x , y ), v ( x , y )是否有连续的偏导数 来代替是否可微
2
所以在复平面内是解析的；
f ( z ) x 2 yi在复平面内不可导， 所以复平面内是处处 不解析的；
复变函数(2.1.1)--函数解析性的概念及其判定
=
lim
Dx0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 ) = lim x x0
f ( x) - f ( x0 ) x - x0
f ( x0 + Dx) Dx
f(
x0 )
=
f ﾮ( x0 ) + r ( Dx )
f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) = f ﾮ( x0 ) Dx + r ( Dx ) Dx
（ 3 ）如果函数 f(z) 在曲线 C 上可导，是否在该曲线上
结论：设函数 f(z),g(z) 在区域 D 内解析 , 则
f ( z) ﾮ g( z),
f ( z)g(z),
f ( z) g( z)
（除去分母为
0
的点）
在区域 D 内解析 .
特别地 ,
（ 1 ）多项式 P(z) 在全平面内解析 . （ 2 ）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解 析.
2 ．可导与连续的关系：
可导 连续
3 ．微分定义：
若 则 称 f ( x0 + Dx ) - f ( x0 ) = aDx + o(Dx ),
f (x)
在 x0点可微，aDx 称为 f ( x) 在 x0 点的
记为 dy = aDx
微分 .
a
= lim Dxﾮ 0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 )
当 z=0 时，上述极限存在且为 0.
zﾮ0
lim
Dzﾮ 0
Dz Dz
=
lim
Dxﾮ 0 Dyﾮ 0
Dx Dx
+
i i
Dy Dy
=
2-1复变函数的导数
设f (z) u( x, y) iv( x, y)定义在区域D内，
工 程
则f (z)在D内一点可导的充要条件是：
大
学
1o u( x, y),v( x, y)在点( x, y)处可微；
复
变
函 数 与
2o 在该点满足柯西—黎曼方程：
积 分 变
u v , u v
换
x y y x
函 数 与 积 分
f (z0 )
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
变
换
u i v
lim
.
x0 x i y
y0
当z沿平行于实轴的直线趋于0时，
哈 尔 滨 工
f
(z0 )
lim
x0
u i v x
u x
i
v x
程
大 学
换 有f (z) u iv (a ib)z z
(a ib)(x iy) o(| z |)
u ax by o(| z |)；
哈 尔
v bx ay o(| z |)；
滨
工 程
于是可得u(x, y),v(x, y)在z点可微,且
分
变 换
6. f (z)
1
w f (z), z (w)是两个
( w )
互为反函数的单值函数.
二、 Cauchy-Riemann方程
哈 复变函数的可导性不等价于它的实部和虚
尔
滨 工
部的可微性。
程
大 学
那么什么条件下复变函数才能可导呢？
复 变
若 w f (z)在z0处可导，故由导数定义，
复变函数总结
复变函数总结复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。
它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。
在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数的运算规则相似。
二、复平面与复函数复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。
复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。
复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。
三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。
2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。
3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部相同，虚部取相反数。
4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。
5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。
四、复变函数的应用1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。
2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。
3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。
4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。
5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。
复变函数第二章(第三讲)
∂u ∂v 1 ∂u ∂v iii) 求导数： f '(z) = ∂x + i ∂x = i ∂y + ∂y 求导数：
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函 数分别关于x, 求导简单拼凑成的 求导简单拼凑成的. 数分别关于 ,y求导简单拼凑成的.实可微与复可微 是完全不同的概念。 是完全不同的概念。
§2.2 解析函数的充要条件
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理 2. 举例
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理
定理 设f (z)= u + i v, z= x +i y, z0=x0+i y0, 则f (z)在 在
(1) u( x, y), v( x, y)在( x0 , y0 )可微, ∂u ∂v ∂u ∂v z0处可导⇔ . (2) = , = − 在( x0 , y0 )成立 ∂x ∂y ∂y ∂x 定义 方程
∂u ∂v = ∂x ∂y
∂v ∂u =− ∂x ∂y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系. 的联系.
֠ 利用该定理可以判断那些函数是不可导的. 利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
基本步骤: 偏导数的连续性， 基本步骤 i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ， ii) 验证 验证C-R条件 条件. 条件
由以上讨论得 函数； P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 是整个复平面上的解析 函数； P(z) R( z ) = 是复平面上 ( 除分母为 0点外 )的解析函数 . Q( z)
数学的复变函数
数学的复变函数复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是复数域上的函数。
与实变函数不同，复变函数具有复数域上更加丰富的性质和特点。
在本文中，我将介绍复变函数的定义、性质和应用。
一、复变函数的定义和表示复变函数是定义在复数域上的函数，即输入和输出均为复数。
一般来说，复变函数可以表示为$f(z)$，其中$z$是复数，$f$是变换规则。
复数$z$可以表示为$z=x+iy$的形式，其中$x$和$y$分别是实数部分和虚数部分。
复变函数的表示形式有多种，最常见的是使用级数展开的形式。
例如，魏尔斯特拉斯级数是一种常见的复变函数表示方法。
它可以表示为$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$，其中$a_n$是复数系数，$z_0$是复数常数。
二、复变函数的性质复变函数具有许多有趣且独特的性质，以下是其中的几个重要性质：1. 解析性：复变函数的一个重要性质是解析性（或称全纯性）。
一个函数在其定义域上是解析的，意味着它在该区域内可以进行无限次的复数微分。
解析函数满足柯西-黎曼方程，即其实部和虚部满足柯西-黎曼条件。
2. 否定性：与实变函数不同，复变函数的性质有时可以由其在定义域内的性质否定。
例如，某些函数可能在无限远处有奇点，或者在某些点上是不连续的。
3. 互补性：复数域上的函数可以分解成实部和虚部的和或差。
这种分解方式可用于简化复变函数的问题，并帮助我们理解函数性质。
三、复变函数的应用复变函数在数学和工程领域中有广泛的应用。
以下是其中一些主要应用领域：1. 数学物理学：复变函数在数学物理学中扮演着重要的角色。
例如，它们用于解决波动方程、电动力学和量子力学中的问题。
复变函数的工具和技术为解这些方程提供了很大的帮助。
2. 等势流理论：在流体力学领域，复变函数的概念广泛应用于等势流理论。
这个理论用于描述在理想流体中以连续形式流动的流线。
3. 统计和概率：复变函数也在统计学和概率论中有应用。
2-1复变函数
(1) lim f ( z ) ± g ( z ) = A+ Β = lim f ( z ) ± lim g ( z ) . z→z z→ z z→z
0 0 0
z → z0
z → z0
( 2 ) lim f ( z ) g ( z ) = AΒ = lim f ( z ) × lim g ( z ) . z→ z z→ z z→z
注 意 : 此 处 的 极 限 要 求 z 在 z0 的 δ 去 心 邻 域 中 沿 任 何 路 径
趋 向于 z0 时 的极限 存在 且相 等.
定义 2.1.4 设函数 w = f ( z ) 在区域 D 中有定义 , z0 ∈ D. 若
lim f ( z ) = f ( z0 )
z → z0
( 2.1.3 )
是W 平面上半径为 r02、中心在原点的圆内部区域
w w < r02 } . {
y
| z |= r0
（Z）
（ ） W v arg w = 2α
arg z = α
| w|= r02
2α
w0 = r02 e i 2α
o
α
z0 = r0 e iα
r0
x
o
u
π π ( 2 )因为ϕ = 2θ = 2α − < α ≤ , 所以 Z 平面上过原点 2 2 z = 0的射线 arg z = α 的象曲线是 W 平面上过原点 w = 0的
}
映射成 w 平面上的什麽点集?
ρ = r 2 , ϕ = 2θ. 1) 对于 z = r < r0 , 有ρ = w = z 2 = r 2 < r02 , 即其 (
象区域是
大学复变函数的解析函数
大学复变函数的解析函数复变函数是数学中的一门重要课程，它研究了在复平面上定义的函数。
其中，解析函数是复变函数中的一类特殊函数，具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍关于大学复变函数中解析函数的定义、性质以及实际应用等方面的内容。
1. 解析函数的定义解析函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
具体地，如果函数f(z)在区域D内对复平面上的任意一点z定义了导数，则称f(z)是D上的解析函数。
2. 解析函数的性质解析函数具有以下几个重要的性质：2.1. 可微性：解析函数在其定义域内处处可导，并且导数在定义域内也是解析函数。
2.2. 全纯性：解析函数无奇点，即在其定义域内处处解析。
2.3. 可积性：解析函数可以在其定义域上进行积分，并且积分与路径无关。
2.4. 唯一性：由于解析函数的可微性，其导数也是唯一确定的。
2.5. 极值点：解析函数没有极值点，即在其定义域内不存在局部极大值或极小值点。
3. 常见的解析函数复变函数中有许多常见的解析函数，包括：3.1. 幂函数：f(z) = z^n，其中n为整数。
3.2. 指数函数：f(z) = e^z。
3.3. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.4. 对数函数：f(z) = ln(z)。
4. 解析函数的实际应用解析函数在科学、工程和数学领域中有广泛的应用，例如：4.1. 工程设计中的电路分析和控制系统设计需要用到解析函数，如电容、电感和电阻等元件的阻抗计算。
4.2. 物理学中的波动现象研究需要用到解析函数，如光学中的折射和衍射等现象。
4.3. 金融学中的统计模型和风险管理需要用到解析函数，如利率模型和期权定价等。
4.4. 数学领域中的傅里叶分析和调和函数研究需要用到解析函数，如信号处理和信号重构等。
综上所述，解析函数是复变函数中非常重要的一类函数，具有许多重要的性质和应用。
了解和掌握解析函数的定义、性质以及实际应用对于深入理解和应用复变函数具有重要意义。
2-1,2-2复变函数的导数与解析函数
1
§2.1 解析函数的概念
1、复变函数的导数与微分 2、解析函数及其简单性质 3、柯西—黎曼条件 4、小结与思考
高数里，我们学习了实函数y f ( x)的导数定义，
f x0
y lim x0 x
lim
x 0
f
x0
x
x
f
x0
f x lim y lim f x x f x
x x 0
x0
x
3
1、 复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f (z) 定义于区域 D, z0为D中的一
点, z0 z D
如果极限 lim f = lim f (z0 z) f (z0 ) 存在,
z z0
z0
z
那末就称 f (z) 在z0可导.这个极限值称为 f (z) 在 z0 的导数,
y
lim
z0 x yi
o
设z沿着平行于 x 轴的直线趋向于0，
y 0
x
lim x 2yi lim x 1, z0 x yi x0 x
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于0，
lim x 2yi lim 2yi 2,
z0 x yi y0 yi
y
所以f (z) x 2 yi的导数
(2) 设函数 h g(z) 在 z 平面上的区域 D内解析, 函数 w f (h) 在 h 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D内的每一个点z ,函数 g(z)的对应值h 都属 于 G , 那末复合函数w f [g(z)]在 D内解析.
dw df (h) dh(z) dz dh dz
以上定理的证明, 可利用求导法则.
称 f (z) 在 z0 解析.Analysis
2-1复变函数课件 西安交通大学
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证
判断复变函数解析的方法
判断复变函数解析的方法
复变函数是指定义在复数域上的函数，它包括一个实部和一个虚部。
与实变函数相比，复变函数的解析性质更加复杂，因此判断复变函数是否解析需要采用特定的方法。
一般来说，判断复变函数解析的方法主要包括以下几个方面：
1. 应用柯西-黎曼方程：柯西-黎曼方程是判定复变函数解析的最基本的方法，它是指对于一个复变函数，如果它在某点处解析，那么它的实部和虚部的偏导数必须满足柯西-黎曼方程，即：
u/x=v/y 和 u/y=-v/x
其中，u(x,y) 和 v(x,y) 分别表示复变函数 f(z)= u(x,y)+iv(x,y) 的实部和虚部，z=x+iy。
2. 应用柯西定理：柯西定理是指对于一个解析函数 f(z)，它在一个简单的封闭曲线内的积分值等于该曲线所围成的区域内 f(z) 的所
有奇点的残量之和。
因此，如果一个复变函数在一定的区域内满足柯西定理，那么它就是解析的。
3. 应用势函数理论：对于一些特定的复变函数，可以利用势函数理
论来判断它是否解析。
这种方法主要基于势函数与其对应的共轭函数的关系，通过求解势函数的调和函数来判断复变函数是否解析。
总体而言，判断复变函数解析的方法是多种多样的，需要根据具体的函数形式和问题情况进行选择。
在实际中，我们可以通过多种方法相互印证，最终得出一个正确的结论。
判断复变函数解析的方法
判断复变函数解析的方法
复变函数是指定义在复平面上的函数。
与实变函数不同，复变函数的解析性质对于其在复平面的每一个点都是有意义的。
下面将介绍判断复变函数解析的方法。
1. 判断连续性
复变函数在复平面上的每一点都必须是连续的。
这意味着，如果我们近似一个函数在某一点处的值，我们可以通过将这个点周围的值带入函数来得到一个接近的值。
如果函数在某一点处不连续，则该点不是解析点。
2. 判断导数存在性
在复变函数中，导数的存在性与函数的解析性有密切关系。
如果函数在某一点处可导，则该点是解析点。
此外，复变函数必须满足柯西-黎曼方程式，它描述了一个复变函数在复平面上的解析性质。
具体来说，柯西-黎曼方程式要求函数的实部和虚部在解析点处都是连续可微的，并且它们的一阶偏导数相等。
3. 判断解析半径
解析半径是指函数所定义的解析区域在复平面上的最大半径。
如果函数在某一点处连续但不可导，则该点不是解析点。
在这种情况下，我们可以使用拉叶和定理来计算解析半径。
在计算解析半径时，我们需要找到函数的奇点，这些奇点可能会对函数的解析性产生影响。
总之，判断复变函数解析的方法主要包括判断连续性、导数存在性和解析半径。
这些方法将帮助我们确定函数在复平面上的解析性质，并有助于我们更好地研究和应用复变函数。
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1.1 复变函数的导数与微分 定义2.1（复变函数的导数） 设函数 w f ( z ) 定义于区域 D C , 点 z0 , z0 z D. 若极限
z 0
lim
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z ) f ( z0 ) = lim z z0 z z z0
存在，则称 f ( z ) 在 z z0点可导, 并把这个极 限值称为 f ( z ) 在 z z0点的导数，记做
dw f z0 dz
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
若 f ( z )在区域 D内每一点都可导, 则称 f ( z ) 在区域 D内可导.
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复变函数的微分 设函数w=f(z)在 z0 D 可导，令
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f z0 令 z z 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f z0 z + z z
若 z f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) a1x a2 y o( )
则称 z f x, y 在 x0 , y0 处可微.
z z a1 , a2 x0 , y0 x y x0 , y0 z z dz dx dy x y
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第二章
解析函数
第一节函数解析性的概念及其判定
作业：P63 1(2,4);2(2,4);3(2,4); 4;8;10
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1．导数与微分：
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x 0 x x
f ( x0 x) f x0 f x0 x x x
2x yi lim , 2 g z z 0 x i y
1 3 z , 在除z=0点外,处处可导,解析. z
处处不可导,处处不解析.
4 h z
z x 2 y 2 , 在(0,0)点可导,处处不解析.
2
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课堂练习
Ex1. 设 f ( z ) u( x , y ) i (2 xy y ), 求 f ( z )
Ex2. 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 是 z 的解析函数,试证
2 2 2 ( | f ( z ) |) ( | f ( z )) | f ( z ) | x y
例2
证明
f ( z ) z 在复平面内处处
连续，但处处不可微.
结论：
对于一个复变函数，即使实部和虚部都可微，但也
可能处处不可微。
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求导公式与法则: (1) (c ) 0, 其中c为复常数. (2) ( z n ) nz n1 , 其中n为正整数. (3) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ). (4) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ). f (z) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) (5) , ( g( z ) 0). 2 g (z) g( z ) (6) f [ g( z )] f ( w ) g( z ), 其中 w g ( z ). 1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z ) 与 z ( w ) ( w )
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1.2 解析函数的概念 定义2.2 设 z0 D , 若存在 z 0 的一个邻域，使得
f ( z ) 在此邻域内处处可导, 则称 f ( z )在 z 0 处解析.
也称 z 0 是 f ( z ) 的解析点. 定理2.1 若f ( z ) 在区域D内可导，则
f ( z ) 在区域D内解析 若f(z)在 z 0 不解析，则称为f(z) 的奇点.
lim z 0 其中， z 0
记作 dw f z0 z
若函数w=f(z)在z0的微分存在，则称函数在z0可微.
可微
可导 连续
函数可微的充要条件是 可导;可微必连续.
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2 f ( z ) z , 则 f ( z ) 在复平面内 例1 设 处处可导，且 f ( z ) 2 z .
u y e x sin y ,
v x e sin y .
x
x x e cos y ie sin y f ( z ). f ( z ) ux iv x
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定理2.2
复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
在区域D内解析的充分必要条件是u( x , y ), v ( x , y )
2 2 2 2 f ( z ) x axy by i ( cx dxy y ), Ex3. 设 其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时, 函数 f (z)
在复平面上解析.
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u v v u f ( z ) i i x x y y
定理：设f(z)= u(x,y)+iv(x,y)在D内解析，并满足下列条件之一，
x f ( z ) e (cos y i sin y ) 例2 证明函数
是复平面C上的解析函数，且 f ( z ) f ( z ). 证明
u e x cos y,
v e x sin y.
v y e x cos y .
ux e cos y ,
x
ux v y , uy v x ,
注意： 函数在一点解析与在一点可导不等价.
函数在区域内解析与在区域内可导等价.
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结论：设函数 f ( z ), g ( z )在区域D内解析, 则
f z f ( z ) g( z ), f ( z ) g( z ), （除去分母为0的点） g z 在区域D内解析。
特别地,
（1）多项式P(z)在全平面内解析.
在区域 D 内可微, 且在D内满足C-R方程. 推论2.2 如果 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶
偏导数连续 (从而可微), 并且满足C-R方 程, 则函数f (z)在区域D解析. 说明：但在讨论可导与解析性时，即要考虑u和v的可微性，
还需要考虑C-R方程.
解析函数的判定方法: (1) 如果能够用定义、求导公式或求导法则验证 复变函f (z)的导数在区域D内处处存在, 则可直接 断定f (z) 在区域D内解析.
dy f ( x0 )dx
2．可导与连续的关系： 可导 连续 3．导数与微分的关系：
可导 可微
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4．二元函数微分的定义：
设 z f x, y 在 U x0 , y0 内有定义，且 x , y
x0 x, y0 y U x0 , y0
u( x , y ) i v ( x , y ) lim 证明 f ( z ) z 0 x i y u v 1 u v f ( z ) i ; x x i y y
求导公式
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推论2.1：
u v f ( z ) i x x
（2）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析.
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例 1 研究下列函数的解析性.
1 f z z 2 ;
2 g z 2 x yi;
1 2 3 z ; 4 h z z . z 解 1 f z z 2 处处可导,处处解析.
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(2) 验证u和v是否满足C-R方程，以及u和v是否可微.
例3 判断下列函数的可导性与解析性.
1 f z z Re(z);
解
(2) g z z z 2 .
1 f z x2 ixy; (2) g z ( x2 y2 )( x iy).
1.3 判定函数解析的方法 定理2.1 复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在点 z x iy 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要
条件是二元函数 u( x , y ), v ( x , y ) 在 ( x , y ) 处都
可微，并且满足Cauchy-Riemann方程 u v u v , . x y y x
则 f(z)在区域D内恒为常数.
(1) f(z)在区域D内恒取实值；
(2) f z 在D内解析； (3) f z 在D内是一个常数； (4)argf(z)在D内是中a，b与c为不全为0的实常数.
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同学们辛苦了