2-1复变函数解析性
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复变函数的可导与解析
复数的方根：
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
1-2复变函数的极限解析
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
复变函数第一章 1-2
复变函数论的全面发展是在十九世纪， 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直 接扩展统治了十八世纪的数学那样， 接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的 分支统治了十九世纪的数学。 分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函 数论是最丰饶的数学分支， 数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达 朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分， 朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分， 他们都是创建这门学科的先驱。 他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是 柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、 了大量的研究工作， 了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领 为这门学科的发展做出了贡献。 域，为这门学科的发展做出了贡献。
共轭复数的运算性质：
z = x + iy, 称 x − iy 为复数 z 的共轭复数，记为 z
(1)
z=z
z1 ± z 2 = z1 ± z 2
z1 = z ( z 2 ≠ 0) 2
z+z z−z (5) Re z = , Im z = 2 2i
(6) zz = [Re z ] 2 + [Im z ] 2 (7)
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
复变函数的总结范文
复变函数的总结范文复变函数是复数域上的函数，它的定义域和值域都是复数域。
复变函数是在复数域上进行运算的函数，与实变函数不同，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以由一个实变量的函数通过对自变量进行复数化得到。
设f(x) 是定义在实数域上的一个函数，则定义在复数域上的函数 f(x+iy), 其中 x 和 y 是实数，称为复变函数。
1. 复变函数的加法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的和是 h(x+iy) = f(x+iy) + g(x+iy)。
2. 复变函数的乘法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的乘积是 h(x+iy) = f(x+iy) * g(x+iy)。
3. 复变函数的求导：与实变函数类似，复变函数也可以进行求导运算。
对于复变函数 f(x+iy)，它的导函数是 g(x+iy) = ∂f/∂x + i∂f/∂y。
4. 复变函数的除法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的商是 h(x+iy) = f(x+iy) / g(x+iy)。
1.复变函数的连续性：与实变函数类似，复变函数对于自变量的连续性要求也是一样的。
当复变函数在其中一点处连续时，它在该点的极限存在且等于该点的函数值。
2.复变函数的解析性：若复变函数在一个区域内处处可导，则称它在该区域内是解析的。
解析函数是复变函数中非常重要的一类函数，它在实数域上的导函数也是解析的。
3. 复变函数的奇偶性：与实变函数一样，复变函数也可以具有奇偶性。
若复变函数满足 f(x+iy) = -f(-x-iy)，则它是奇函数。
若满足f(x+iy) = f(-x-iy)，则它是偶函数。
4. 复变函数的周期性：与实变函数不同，复变函数可以具有任意周期。
若复变函数满足 f(x+iy) = f(x+iy+T)，其中 T 是一个复数，那么它就是周期函数。
1.科学与工程中的应用：复变函数在电力工程、电子工程、通信工程等领域中有广泛的应用。
复变函数2-1解析函数的概念
n1 ( 2) ( z ) nz , 其中n为正整数.
n
19
( 3) (4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
x 2yi lim z 0 x yi
z
o
y 0
x
设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于z，
x x 2yi lim 1, lim x 0 x z 0 x yi
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z，
x 2yi 2yi lim lim 2, z 0 x yi y 0 yi
u v u v , . x y y x
23
证明：必要性
设f ( z )在z x iy处可导，记作 f ( z ) a ib，
'
则由定义有f ( z 源自 ) f ( z ) (a ib)z ( z )
(a ib)(x iy) ( z )
所以f ( z ) x 2 yi的导数 不存在.
o
x 0
y
z
y 0
x
9
二、解析函数的概念与求导法则
1. 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导,那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
1-2复变函数
§1.2
点集：
复变函数
平面点集的基本概念：
复数的集合，对应复平面上的若干点，记作E
为了更好的理解复变函数的定义，我们需要了解 以下概念： 区域、邻域、内点、外点、境界线、闭区域、开 区域等。
域：连续的、不间断的点的集合。
邻域
以复数z0为中心，以任意小正实数ε 为半径作一 圆，则圆内所有点组成的集合，称为z0的邻域。 |z-z0|< ε 邻域内，
例3：解方程
sinz=2
1 iz iz sin z (e e ) 2 2i eiz e iz 4i (eiz ) 2 4i(eiz ) 1 0
令
w=eiz
则
w2-4iw-1=0
w e iz 2i (2i ) 2 1 (2 3 )i
注意：当我们讨论的范围是复变函数范畴内时， |sinz|和|cosz|完全可以大于1。
双曲函数
1 z sinh z (e e z ) 2
1 z cosh z (e e z ) 2
e z e z tanhz z e e z
性质：
以2πi为周期
6. 对数函数
境界线 内点
z0
境界点 外点
E
区域：具有下列性质的非空点集D称为区域
1.开集性：D中的每一点z0，其邻域的所有点都 属于D，即D全由内点组成； 2. 连通性：D中任意两点 都可用一条由D内的点构 成的折线连接。 区域D与其境界线所组成 的点集称为闭区域，用 D 表示。
D
z2
z1
p
单连通域与复连通域：
z0
点集：
复变函数
平面点集的基本概念：
复数的集合，对应复平面上的若干点，记作E
为了更好的理解复变函数的定义，我们需要了解 以下概念： 区域、邻域、内点、外点、境界线、闭区域、开 区域等。
域：连续的、不间断的点的集合。
邻域
以复数z0为中心，以任意小正实数ε 为半径作一 圆，则圆内所有点组成的集合，称为z0的邻域。 |z-z0|< ε 邻域内，
例3：解方程
sinz=2
1 iz iz sin z (e e ) 2 2i eiz e iz 4i (eiz ) 2 4i(eiz ) 1 0
令
w=eiz
则
w2-4iw-1=0
w e iz 2i (2i ) 2 1 (2 3 )i
注意：当我们讨论的范围是复变函数范畴内时， |sinz|和|cosz|完全可以大于1。
双曲函数
1 z sinh z (e e z ) 2
1 z cosh z (e e z ) 2
e z e z tanhz z e e z
性质：
以2πi为周期
6. 对数函数
境界线 内点
z0
境界点 外点
E
区域：具有下列性质的非空点集D称为区域
1.开集性：D中的每一点z0，其邻域的所有点都 属于D，即D全由内点组成； 2. 连通性：D中任意两点 都可用一条由D内的点构 成的折线连接。 区域D与其境界线所组成 的点集称为闭区域，用 D 表示。
D
z2
z1
p
单连通域与复连通域：
z0
数学复变函数的基本概念
数学复变函数的基本概念一、引言数学复变函数是复数域上的函数，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学复变函数的基本概念、性质和应用。
二、复数与复平面复数是实数的扩充，可以写成形式为a+bi的形式，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复平面是由实轴和虚轴组成的平面，通过将复数表示为复平面上的点，实现了运算与几何之间的联系。
三、复变函数的定义复变函数是指定义在复数域上的函数，形如f(z) = u(z) + iv(z)，其中u(z)和v(z)均为实数函数。
复变函数既可以描述平面上的点，也可以描述平面上的区域。
四、复变函数的解析性复变函数的解析性是指函数在某个区域内可导，并且在该区域内的导数处处存在。
解析函数具有许多重要的性质，例如：解析函数的导数也是解析函数。
五、复变函数的调和性复平面上的实部与虚部分别满足拉普拉斯方程，即u_xx+u_yy=0和v_xx+v_yy=0，则复变函数为调和函数。
具有调和性的函数在物理学的电势和流体力学等领域有着广泛的应用。
六、复变函数的整函数如果一个函数在整个复平面上都解析，则该函数称为整函数。
整函数不仅在有限区域内解析，而且在无穷远点也解析。
七、复变函数的级数展开利用级数展开可以将复变函数展开为无穷项的和。
泰勒级数和洛朗级数是常用的级数展开形式，在分析和计算上有着重要的应用。
八、复变函数的留数定理复变函数的留数定理是计算复变函数的积分的重要工具。
根据留数定理，函数在有限奇点上的留数等于该函数在该奇点处的展开式中-1次幂的系数。
九、复变函数的应用复变函数在科学和工程问题中有着广泛的应用。
例如：在电工中可以利用复变函数来计算交流电路中的各种参数；在流体力学中可以利用复变函数描述流体的速度场等。
结论数学复变函数作为一门基础学科，在各个领域都有着重要的地位和应用价值。
通过对其基本概念、性质和应用的学习，可以更好地理解和应用复变函数。
2-1复变函数的导数
f (z) f ( z ) g ( z ) g ( z ) f ( z ) 4. [ ] ( g ( z ) 0) 2 g( z ) g (z)
5. { f [ g( z )]} f ( w) g( z ) 其中w g( z )
1 6. f ( z ) w f ( z ), z ( w )是两个 ( w ) 互为反函数的单值函数 .
若 w f ( z z 0 ) f ( z 0 ) Az o(| z |) (z 0)
称df ( z0 ) Az为函数f ( z )在z0处的微分， 或说函数在z0处可微。 若函数在点z0可微，则A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z f ( z0 )dz
u i v lim . x 0 x i y y 0
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数 与 积 分 变 换
当z沿平行于实轴的直线趋于0时， u i v u v f ( z0 ) lim i x 0 x x x
当z沿平行于虚轴的直线趋于0时， u i v v u f ( z0 ) lim i . y 0 i y y y
x 0 y k x
lim
k x x x (1 ki )
x 0
k 1 ki
随着k值不同，极限值也不同，故极限不存在 所以f ( z )在z 0处不可微.
为什么满足C-R方程，函数还 不可微（导）？ 因为C-R方程只是必要条件 常用u( x , y ), v ( x , y )是否有连续的偏导数 来代替是否可微
2
所以在复平面内是解析的；
f ( z ) x 2 yi在复平面内不可导， 所以复平面内是处处 不解析的；
5. { f [ g( z )]} f ( w) g( z ) 其中w g( z )
1 6. f ( z ) w f ( z ), z ( w )是两个 ( w ) 互为反函数的单值函数 .
若 w f ( z z 0 ) f ( z 0 ) Az o(| z |) (z 0)
称df ( z0 ) Az为函数f ( z )在z0处的微分， 或说函数在z0处可微。 若函数在点z0可微，则A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z f ( z0 )dz
u i v lim . x 0 x i y y 0
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数 与 积 分 变 换
当z沿平行于实轴的直线趋于0时， u i v u v f ( z0 ) lim i x 0 x x x
当z沿平行于虚轴的直线趋于0时， u i v v u f ( z0 ) lim i . y 0 i y y y
x 0 y k x
lim
k x x x (1 ki )
x 0
k 1 ki
随着k值不同，极限值也不同，故极限不存在 所以f ( z )在z 0处不可微.
为什么满足C-R方程，函数还 不可微（导）？ 因为C-R方程只是必要条件 常用u( x , y ), v ( x , y )是否有连续的偏导数 来代替是否可微
2
所以在复平面内是解析的；
f ( z ) x 2 yi在复平面内不可导， 所以复平面内是处处 不解析的；
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1.1 复变函数的导数与微分 定义2.1（复变函数的导数） 设函数 w f ( z ) 定义于区域 D C , 点 z0 , z0 z D. 若极限
z 0
lim
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z ) f ( z0 ) = lim z z0 z z z0
存在，则称 f ( z ) 在 z z0点可导, 并把这个极 限值称为 f ( z ) 在 z z0点的导数，记做
dw f z0 dz
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
若 f ( z )在区域 D内每一点都可导, 则称 f ( z ) 在区域 D内可导.
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复变函数的微分 设函数w=f(z)在 z0 D 可导，令
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f z0 令 z z 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f z0 z + z z
若 z f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) a1x a2 y o( )
则称 z f x, y 在 x0 , y0 处可微.
z z a1 , a2 x0 , y0 x y x0 , y0 z z dz dx dy x y
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第二章
解析函数
第一节函数解析性的概念及其判定
作业：P63 1(2,4);2(2,4);3(2,4); 4;8;10
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回顾
1．导数与微分：
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x 0 x x
f ( x0 x) f x0 f x0 x x x
2x yi lim , 2 g z z 0 x i y
1 3 z , 在除z=0点外,处处可导,解析. z
处处不可导,处处不解析.
4 h z
z x 2 y 2 , 在(0,0)点可导,处处不解析.
2
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课堂练习
Ex1. 设 f ( z ) u( x , y ) i (2 xy y ), 求 f ( z )
Ex2. 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 是 z 的解析函数,试证
2 2 2 ( | f ( z ) |) ( | f ( z )) | f ( z ) | x y
例2
证明
f ( z ) z 在复平面内处处
连续，但处处不可微.
结论：
对于一个复变函数，即使实部和虚部都可微，但也
可能处处不可微。
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求导公式与法则: (1) (c ) 0, 其中c为复常数. (2) ( z n ) nz n1 , 其中n为正整数. (3) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ). (4) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ). f (z) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) (5) , ( g( z ) 0). 2 g (z) g( z ) (6) f [ g( z )] f ( w ) g( z ), 其中 w g ( z ). 1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z ) 与 z ( w ) ( w )
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1.2 解析函数的概念 定义2.2 设 z0 D , 若存在 z 0 的一个邻域，使得
f ( z ) 在此邻域内处处可导, 则称 f ( z )在 z 0 处解析.
也称 z 0 是 f ( z ) 的解析点. 定理2.1 若f ( z ) 在区域D内可导，则
f ( z ) 在区域D内解析 若f(z)在 z 0 不解析，则称为f(z) 的奇点.
lim z 0 其中， z 0
记作 dw f z0 z
若函数w=f(z)在z0的微分存在，则称函数在z0可微.
可微
可导 连续
函数可微的充要条件是 可导;可微必连续.
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2 f ( z ) z , 则 f ( z ) 在复平面内 例1 设 处处可导，且 f ( z ) 2 z .
u y e x sin y ,
v x e sin y .
x
x x e cos y ie sin y f ( z ). f ( z ) ux iv x
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定理2.2
复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
在区域D内解析的充分必要条件是u( x , y ), v ( x , y )
2 2 2 2 f ( z ) x axy by i ( cx dxy y ), Ex3. 设 其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时, 函数 f (z)
在复平面上解析.
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u v v u f ( z ) i i x x y y
定理：设f(z)= u(x,y)+iv(x,y)在D内解析，并满足下列条件之一，
x f ( z ) e (cos y i sin y ) 例2 证明函数
是复平面C上的解析函数，且 f ( z ) f ( z ). 证明
u e x cos y,
v e x sin y.
v y e x cos y .
ux e cos y ,
x
ux v y , uy v x ,
注意： 函数在一点解析与在一点可导不等价.
函数在区域内解析与在区域内可导等价.
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结论：设函数 f ( z ), g ( z )在区域D内解析, 则
f z f ( z ) g( z ), f ( z ) g( z ), （除去分母为0的点） g z 在区域D内解析。
特别地,
（1）多项式P(z)在全平面内解析.
在区域 D 内可微, 且在D内满足C-R方程. 推论2.2 如果 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶
偏导数连续 (从而可微), 并且满足C-R方 程, 则函数f (z)在区域D解析. 说明：但在讨论可导与解析性时，即要考虑u和v的可微性，
还需要考虑C-R方程.
解析函数的判定方法: (1) 如果能够用定义、求导公式或求导法则验证 复变函f (z)的导数在区域D内处处存在, 则可直接 断定f (z) 在区域D内解析.
dy f ( x0 )dx
2．可导与连续的关系： 可导 连续 3．导数与微分的关系：
可导 可微
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4．二元函数微分的定义：
设 z f x, y 在 U x0 , y0 内有定义，且 x , y
x0 x, y0 y U x0 , y0
u( x , y ) i v ( x , y ) lim 证明 f ( z ) z 0 x i y u v 1 u v f ( z ) i ; x x i y y
求导公式
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推论2.1：
u v f ( z ) i x x
（2）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析.
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例 1 研究下列函数的解析性.
1 f z z 2 ;
2 g z 2 x yi;
1 2 3 z ; 4 h z z . z 解 1 f z z 2 处处可导,处处解析.
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(2) 验证u和v是否满足C-R方程，以及u和v是否可微.
例3 判断下列函数的可导性与解析性.
1 f z z Re(z);
解
(2) g z z z 2 .
1 f z x2 ixy; (2) g z ( x2 y2 )( x iy).
1.3 判定函数解析的方法 定理2.1 复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在点 z x iy 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要
条件是二元函数 u( x , y ), v ( x , y ) 在 ( x , y ) 处都
可微，并且满足Cauchy-Riemann方程 u v u v , . x y y x
则 f(z)在区域D内恒为常数.
(1) f(z)在区域D内恒取实值；
(2) f z 在D内解析； (3) f z 在D内是一个常数； (4)argf(z)在D内是中a，b与c为不全为0的实常数.
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