【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：全套精品课时作业(含答案)
(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：48 含答案解析
课时作业48 利用向量求空间角1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( B )A.12B.23C.33D.22解析：以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0,1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )．则有⎩⎨⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎨⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2， ∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.2．(2019·大同模拟)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD的距离是( D )A.32B.22C.223D.233解析：如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴，建立坐标系，则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，D 1A 1→＝(2,0,0)，DB →＝(2,2,0)，DA 1→＝(2,0,2)，设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0， 令z ＝1，得n ＝(－1,1,1)．∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A )A.334 B.233 C.324 D.32解析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，易知棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面A 1BD 所成的角均相等，所以α∥平面A 1BD ，当平面α趋近点A 时，截面图形的面积趋近于0；当平面α经过正方体的中心O 时，截面图形为正六边形，其边长为22，截面图形的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334；当平面α趋近于C 1时，截面图形的面积趋近于0，所以截面图形面积的最大值为334，故选A.4．已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P -ABC 的体积最大时，二面角P -AB -C 的大小为θ，则sin θ等于( C )A.23B.53C.63D.73解析：如图，设球O 的半径为R ，由4πR 2＝16π，得R ＝2，设点P 到平面ABC 的距离为d ， 则0＜d ≤2，因为AC 为球的直径， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2＝16，则V 三棱锥P -ABC ＝16AB ·BC ·d ≤16·AB 2＋BC 22·2＝83，当且仅当AB ＝BC ＝22，d ＝2时，V 三棱锥P -ABC 取得最大值， 此时平面P AC ⊥平面ABC ，连接PO ，因为PO ⊥AC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PO ⊂平面P AC ， 所以PO ⊥平面ABC ，过点P 作PD ⊥AB 于D ， 连接OD ，因为AB ⊥PO ，AB ⊥PD ，PO ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面POD ，则AB ⊥OD ， 所以∠PDO 为二面角P -AB -C 的平面角，因为OD ＝12BC ＝2，所以PD ＝PO 2＋OD 2＝6， 则sin θ＝sin ∠PDO ＝PO PD ＝63，故选C.5．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角的大小是 45° .解析：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC →＝(0,1,0)，∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角的大小是45°.6．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 25 .解析：建立空间直角坐标系如图所示．设AB ＝1，则AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，0. 设M (0，y,1)(0≤y ≤1)，则EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，y ，1.∵θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cos θ＝|AF →·EM →||AF →||EM →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12y 1＋14·14＋y 2＋1＝2(1－y )5·4y 2＋5. 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2(1－y )4y 2＋52＝1－8y ＋14y 2＋5. 令8y ＋1＝t ，1≤t ≤9， 则8y ＋14y 2＋5＝16t ＋81t －2≥15， 当且仅当t ＝1时取等号．∴cos θ＝2(1－y )5·4y 2＋5≤15×25＝25，当且仅当y ＝0时取等号． 7．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积． 解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m,0,0)(m ＞0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎨⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设得|cos 〈n 1，n 2〉|＝12， 即33＋4m 2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点， 所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.8．(2019·江西六校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ABD ＝90°，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝2，EB ＝3，EF ＝1，BC ＝13，且M 是BD 的中点．(1)求证：EM ∥平面ADF ；(2)求二面角A -FD -B 的余弦值的大小．解：(1)证法一：取AD 的中点N ，连接MN ，NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB ，MN ＝12AB ， 又因为EF ∥AB ，EF ＝12AB ， 所以MN ∥EF 且MN ＝EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM ∥FN ， 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .证法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz.由已知可得EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，0，－3，AD →＝(3，－2,0)，AF →＝(0，－1，3)，设平面ADF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，－y ＋3z ＝0，令y ＝3，则n ＝(2,3，3)． 又因为EM →·n ＝0，所以EM →⊥n ， 又EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .(2)由(1)中证法二可知平面ADF 的一个法向量是n ＝(2,3，3)． 易得平面BFD 的一个法向量是m ＝(0，－3，1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－34， 又二面角A -FD -B 为锐角，故二面角A -FD -B 的余弦值大小为34.9．(2019·河南郑州一模)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点，求证：平面P AD ⊥平面CGF ；(2)若BC ＝2，P A ＝3，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值． 解：(1)证明：在△BCD 中，EB ＝ED ＝EC ＝BC ， 故∠BCD ＝π2，∠CBE ＝∠CEB ＝π3， 连接AE ，∵△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，AE ＝CE ＝DE . ∴∠AEF ＝∠FED ＝π3. 故EF ⊥AD ，AF ＝FD . 又PG ＝GD ，∴FG ∥P A .又P A ⊥平面ABCD ，故GF ⊥平面ABCD ， ∴GF ⊥AD ，又GF ∩EF ＝F ，故AD ⊥平面CFG . 又AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面CGF .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (3，3，0)，D (0，23，0)，P (0,0,3)． 故BC →＝(1，3，0)，CP →＝(－3，－3，3)，CD →＝(－3，3，0)． 设平面BCP 的一个法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3y 1＝0，－3－3y 1＋3z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－33，23.设平面DCP 的一个法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧－3＋3y 2＝0，－3－3y 2＋3z 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169×8＝24.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．解：(1)取P A 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点， 所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ， 四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0＜x ＜1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°， |z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62.设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝105.易知所求二面角为锐角．因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.11．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD＝12AD，E为棱AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一：由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知P A ⊥平面ABCD ，又CE ⊂平面ABCD ，从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22.在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.解法二：由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)， 所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)．设平面PCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0， 设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)． 设直线P A 与平面PCE 所成角为α， 则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13.所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.12．(2019·江西南昌二中月考)如图，在等腰梯形ABCD 中，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，现将该梯形中的三角形EBC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B -AECD .(1)在四棱锥B -AECD 中，求证：AD ⊥BD ；(2)若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为120°，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由三角形BEC 沿线段EC 折起前，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，得三角形BEC 沿线段EC 折起后，四边形AECD 为菱形，边长为2，∠DAE ＝60°，如图，取EC 的中点F ，连接DF ，BF ，DE ，∵△BEC 和△DEC 均为正三角形， ∴EC ⊥BF ，EC ⊥DF , 又BF ∩DF ＝F ，∴EC ⊥平面BFD ，∵AD ∥EC ，∴AD ⊥平面BFD ， ∵BD ⊂平面BFD ，∴AD ⊥BD .(2)以F 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，由EC ⊥平面BFD ，知z 轴在平面BFD 内， ∵BF ⊥EC ，DF ⊥EC ，∴∠BFD 为平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角， ∴∠BFD ＝120°，∴∠BFz ＝30°，又∵BF ＝3，∴点B 的横坐标为－32，点B 的竖坐标为32. 因D (3，0,0)，E (0,1,0)，A (3，2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32，0，32，故AE →＝(－3，－1,0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32，AD →＝(0，－2，0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧BD →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32·(x ，y ，z )＝0，AD →·n ＝(0，－2，0)·(x ，y ，z )＝0，得⎩⎨⎧332x －32z ＝0，－2y ＝0，令x ＝1，得y ＝0，z ＝3，∴平面ABD 的一个法向量为n ＝(1,0，3)， ∴cos 〈AE →，n 〉＝AE →·n|AE →||n |＝(－3，－1，0)·(1，0，3)2×2＝－34，∵直线AE 与平面ABD 所成角为锐角， ∴直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值为34.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业11
课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是(A)A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c＞b＋c，则a＞b D．若a＞b，则a＋c≤b＋c解析：将条件、结论都否定．命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．2．(2019·江西九江十校联考)已知函数f(x)＝Error!则“x＝0”是“f(x)＝1”的(B)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则e x＝1 或ln(－x)＝1，解得x＝0 或x＝－e.故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件．3．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(D) A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真解析：对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c＜0 的解集非空时，可以有a＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.4．(2019·河南郑州一模)下列说法正确的是(D)A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x0＞4x0 成立1 πD．“若sinα≠，则α≠”是真命题2 6解析：对于选项A，“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故选项A 错误；对于选项B，“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，因为当m＝0 时，am2＝bm2，所以逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C，由指数函数的图象知，对任意的x∈(0，＋∞)，都有4x＞3x，故选项C 错误；1 ππ对于选项D，“若sinα≠，则α≠”的逆否命题为“若α＝，则sinα2 6 61＝”，该逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D.25．(2019·江西鹰谭中学月考)设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)＞0 的一个必要不充分条件是(C)A．x＜0 B．x＜0 或x＞4C．|x－1|＞1 D．|x－2|＞3解析：依题意，f(x)＞0⇔x2－4x＞0⇔x＜0 或x＞4.又|x－1|＞1⇔x－1＜－1 或x－1＞1，即x＜0 或x＞2，而{x|x＜0 或x＞x|x＜0 或x＞2}，因此选C.6．(2019·山东日照联考)“m＜0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当m＜0 时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m＜0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.7．(2019·安徽两校阶段性测试)设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0 与直线l2：2x＋ay－a＝0 平行”的(D)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件a8 －8解析：∵当a≠0 时，＝＝⇒直线l1 与直线l2 重合，∴无论a2 a－a取何值，直线l1 与直线l2 均不可能平行，当a＝4 时，l1 与l2 重合．故选D.8．(2019·山西太原模拟)已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的(D)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：充分性：若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，∴a＞b.当a＝－1，b＝－2 时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立．必要性：若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b＝1 时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立．综上，“2a＞2b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故选D.ππ 19．(2017·天津卷)设θ∈R，则“|θ－12|＜”是“sinθ＜”的12 2(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件ππππππ 1 解析：∵|θ－12|＜⇔－＜θ－＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔θ∈12 12 12 12 6 27ππ(2kπ－6)，k∈Z，，2kπ＋6π7ππ(0，6)(2kπ－6)，k∈Z，，2kπ＋6ππ 1∴“|θ－12|＜”是“sinθ＜”的充分而不必要条件．12 2Earlybird10．(2019·江西红色七校模拟)在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A＞sin B”是“△ABC为钝角三角形”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件π解析：因为cos A＞sin B，所以cos A＞cos(－B)，2π因为角A，B均为锐角，所以－B为锐角，2又因为余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，ππ所以A＜－B，所以A＋B＜，2 2π在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C＞，2所以△ABC为钝角三角形；若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，πππ则C＞，所以A＋B＜，所以A＜－B，2 2 2π所以cos A＞cos(－B)，即cos A＞sin B.2故“cos A＞sin B”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．11．设向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，则“a∥b”是“tanθ1＝成立”的必要不充分__条件．(选填“充分不必要”“必要不充2分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：a∥b⇔sin2θ＝cos2θ⇔cosθ＝0 或2sinθ＝cosθ⇔cosθ＝0 或1 1tanθ＝，所以“a∥b”是“tanθ＝成立”的必要不充分条件．2 212．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是1 [02].解析：方法一命题p为Error!，命题q为{x|a≤x≤a＋1}．綈p对应的集合A＝Error!.綈q对应的集合B＝{x|x＞a＋1 或x＜a}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，1∴Error!或Error!∴0≤a≤.2方法二命题p：A＝Error!，命题q：B＝{x|a≤x≤a＋1}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A B，1∴Error!或Error!∴0≤a≤.213．已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝log a(x＋1)(a＞0，且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：易知p成立⇔a≤1，q成立⇔a＞1，所以綈p成立⇔a＞1，则綈p是q的充要条件，故选C.14．(2019·昆明诊断)下列选项中，说法正确的是(D)A．若a＞b＞0，则ln a＜ln bB．向量a＝(1，m)，b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1C．命题“∀n∈N*,3n＞(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：∵函数y＝ln x(x＞0)是增函数，∴若a＞b＞0，则ln a＞ln b，故A 错误；若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B 错误；命题“∀n∈N*,3n＞(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N*,3n≤(n＋2)·2n－1”，故C 错误；命题“若f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)＜0”是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3 在区间[－2,4]上的图象连续不断，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)＞0，D 正确．15．已知集合A＝Error!，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是(2，＋∞)__．解析：A＝Error!＝{x|－1＜x＜3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A B，∴m＋1＞3，即m＞2.x－116．(2019·石家庄模拟)已知p：|1－ 3|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是[9，＋∞)__．x－1解析：法一：由|1－ 3|≤2，得－2≤x≤10，∴綈p对应的集合为{x|x＞10 或x＜－2}，设A＝{x|x＞10 或x＜－2}．由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)，∴綈q对应的集合为{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}，设B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴B A，∴Error!或Error!解得m≥9，∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．法二：∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即p是q的充分不必要条件，由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，x－1又由|1－ 3 |≤2，得－2≤x≤10，∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，设N＝{x|－2≤x≤10}．由p是q的充分不必要条件知，N M，∴Error!或Error!解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业30
课时作业37 基本不等式1．“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＞b ＞0得，a 2＋b 2＞2ab ；但由a 2＋b 2＞2ab 不能得到a ＞b ＞0，故“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的充分不必要条件，故选A.2．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( D ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8解析：4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立．3．(2019·安庆一模)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( B )A ．4B ．2 2C ．8D ．16解析：由a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥2 1a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立，故选B. 4．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( C )A.43B.53 C ．2D.54解析：由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.5．设x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( D ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2解析：因为x ＋4y ＝40，且x ＞0，y ＞0，所以x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) 所以4xy ≤40，所以xy ≤100. 所以lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg100＝2. 所以lg x ＋lg y 的最大值为2.6．(2019·海淀模拟)当0＜m ＜12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围为( D )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]解析：因为0＜m ＜12，所以12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋(1－2m )22＝18，当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m (1－2m )≥8，又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]，故选D.7．已知a ＞b ＞0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为 4 .解析：∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0，∴b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，∴a 2＋1b (a －b )≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2， 即a ＝2且b ＝22时取等号， ∴a 2＋1b (a －b )的最小值为4.8．(2019·河南中原名校联考)已知直线ax －2by ＝2(a ＞0，b ＞0)过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，则4a ＋2＋1b ＋1的最小值为 94 .解析：圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心坐标为(2，－1)． 由于直线ax －2by ＝2(a ＞0，b ＞0)过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，故有a ＋b ＝1.∴4a ＋2＋1b ＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋2＋1b ＋1(a ＋2＋b ＋1) ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋1)a ＋2＋a ＋2b ＋1 ≥54＋14×24(b ＋1)a ＋2·a ＋2b ＋1＝94， 当且仅当a ＝2b ＝23时，取等号， 故4a ＋2＋1b ＋1的最小值为94. 9．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为 15 米时，可使总造价最低．解析：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x ＋12 000≥1600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x (x ＞0)，即x ＝15时等号成立，即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低． 10．(2019·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2 017＝4 034，则1a 9＋9a 2 009的最小值为 4 .解析：由等差数列的前n 项和公式， 得S 2 017＝2 017(a 1＋a 2 017)2＝4 034， 则a 1＋a 2 017＝4.由等差数列的性质得a 9＋a 2 009＝4， 所以1a 9＋9a 2 009＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 9＋9×4a 2 009 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 9＋a 2 009a 9＋9(a 9＋a 2 009)a 2 009 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2 009a 9＋9a 9a 2 009＋10 ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫2 a 2 009a 9×9a 9a 2 009＋10＝4，当且仅当a 2 009＝3a 9时等号成立，故所求最小值为4.11．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为 5 . 解析：法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y5x≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1，∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y 5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立， ∴(3x ＋4y )min ＝5.12．经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，即x ＝3－2m ＋1，每1万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (万元)，∴2017年的利润y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m＝28－16m ＋1－m (m ≥0)．∴利润y 表示为年促销费用的函数关系式是y ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)．(2)由(1)知y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216m ＋1·(m ＋1)＝8， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时取等号．∴y ≤－8＋29＝21，即当m ＝3时，y 取得最大值21.∴当该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．13．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xyz 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值是( B )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.14．(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝13ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增，且ac ≤4，则a c 2＋4＋ca 2＋4的最小值为( B )A ．0 B.12 C.14D ．1解析：因为函数f (x )＝13ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增，所以f ′(x )＝ax 2－4x ＋c ≥0在R 上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝16－4ac ≤0，所以ac ≥4，又ac ≤4，所以ac ＝4，又a ＞0，所以c ＞0，则a c 2＋4＋c a 2＋4＝a c 2＋ac ＋c a 2＋ac ＝a c (c ＋a )＋c a (c ＋a )＝1c －1c ＋a ＋1a －1c ＋a ＝1a ＋1c －2c ＋a ≥21ac －22ac ＝1－12＝12，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，故选B.15．(2019·洛阳模拟)设函数f (x )＝98cos2x ＋16－sin 2x 的最小值为m ，且与m 对应的x 的最小正值为n ，则m ＋n ＝ π3 .解析：f (x )＝98cos2x ＋16＋cos2x －12＝98cos2x ＋2＋cos2x ＋22－32，因为cos2x ＋2＞0，所以f (x )≥2×34－32＝0，当且仅当98cos2x ＋2＝cos2x ＋22，即cos2x ＝－12时等号成立，所以x 的最小正值为n ＝π3，所以m ＋n ＝π3.16．已知两条直线l 1：y ＝m (m ＞0)和l 2：y ＝82m ＋1，l 1与函数y＝|log 2x |的图象从左到右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左到右相交于点C ，D ，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，当m 变化时，ba 的最小值为解析：根据题意得x A ＝2－m ，x B ＝2m ，x C ＝2－82m ＋1，x D ＝282m ＋1，所以a ＝|x A －x C |＝|2－m －2－82m ＋1|，b ＝|x B －x D |＝|2m －282m ＋1|，即b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m－282m ＋12－m－2－82m ＋1 ＝282m ＋1 ·2m＝282m ＋1＋m . 因为m ＞0，所以82m ＋1＋m ＝12(2m ＋1)＋82m ＋1－12≥2 12(2m ＋1)·82m ＋1－12＝72，当且仅当12(2m ＋1)＝82m ＋1，即m ＝32时取等号，所以b a 的最小值为272＝8 2.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业3
A.y＝2x－2
B．y＝12(x2－1)
C．y＝log2x
D．y＝log21x
解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且 y 的变化随
x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知 B 符合，故选 B.
3．我们定义函数 y＝[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)为“下整函
数”；定义 y＝{x}({x}表示不小于 x 的最小整数)为“上整函数”；例
C.41，94
D.94，21
解析：设 t＝x2＋x 1，当 x≠0 时，可得 t＝x＋1 1x∈0，21，当 x＝0
时，t＝0，因而 f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋23＝－ t＋ta＋＋3a23＋ ，23a，＜0t≤≤12t≤ ，a，
从而有 g(0)＝3a＋23，g12＝a＋76，g(0)－g12＝2a－14，
Earlybird
∵x 为整数，∴3≤x≤6，x∈Z. 当 x＞6 时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115. 令－3x2＋68x－115＞0，有 3x2－68x＋115＜0， 结合 x 为整数得 6＜x≤20，x∈Z.
∴y＝5－0x3－x2＋116583x－≤1x1≤566，＜xx∈≤Z20，，x∈Z. (2)对于 y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)， 显然当 x＝6 时，ymax＝185； 对于 y＝－3x2＋68x－115＝－3·x－3342＋8311(6＜x≤20，x∈Z)， 当 x＝11 时，ymax＝270. ∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日 的净收入最多． 12．(2019·山东德州模拟)某地自来水苯超标，当地自来水公司对 水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (5)
课时作业5 函数的单调性与最值1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( A ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 解析：依题意可得函数在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A 正确． 2．(2019·阜阳模拟)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( B ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增； ②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1， 故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减； ③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减； ④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增． 故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③. 3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( C ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1解析：由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＜0，0＜a ＜1，(3a －1)×1＋4a ≥log a 1， ∴17≤a ＜13，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13. 4．(2019·山西晋城一模)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a ＞0且a ≠1)，若f (0)＜0，则此函数的单调递增区间是( C ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．[－1,1) D ．(－3，－1] 解析：令g (x )＝－x 2－2x ＋3， 由题意知g (x )＞0，可得－3＜x ＜1， 故函数的定义域为{x |－3＜x ＜1}． 根据f (0)＝log a 3＜0，可得0＜a ＜1， 则本题即求函数g (x )在(－3,1)内的减区间． 利用二次函数的性质可求得函数g (x )在(－3,1)内的减区间为[－1,1)，故选C. 5．(2019·河南郑州一模)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x |－1x 2在{x |1≤|x |≤4，x ∈R }上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝( A ) A.3116 B ．2 C.94 D.114 解析：可令|x |＝t ，则1≤t ≤4，y ＝t －1t 2， 易知y ＝t －1t 2在[1,4]上递增， ∴其最小值为1－1＝0； 最大值为2－116＝3116，则m ＝0，M ＝3116， 则M －m ＝3116，故选A.6．(2019·山东济宁模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π，b ＝(lnπ)2，c ＝ln π，则( C ) A ．f (a )＞f (b )＞f (c ) B ．f (b )＞f (a )＞f (c ) C ．f (c )＞f (a )＞f (b ) D ．f (c )＞f (b )＞f (a ) 解析：由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又∵|a |＝lnπ＞1，b ＝(lnπ)2＞|a |,0＜c ＝lnπ2＜|a |， ∴f (c )＞f (|a |)＞f (b )． 又由题意知f (a )＝f (|a |)，∴f (c )＞f (a )＞f (b )．故选C. 7．(2019·河南安阳一模)已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；②对定义域内的任意x ，都有f (x )＝f (－x )，则符合上述条件的函数是( A ) A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x －x C ．f (x )＝ln|x ＋1| D ．f (x )＝cos x 解析：由题意得：f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上递增． 对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数， 且x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上递增，符合题意； 对于B ，函数f (x )是奇函数，不符合题意； 对于C ，由x ＋1≠0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不符合题意； 对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)上不单调递增，不符合题意，故选A. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( A ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，0)C ．(0,2)D ．(－2,0) 解析：二次函数y ＝x 2－4x ＋3图象的对称轴是直线x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y ＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3＜3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )＞f (2a －x )得到x ＋a ＜2a －x ，即2x ＜a ，∴2x ＜a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)＜a ，∴a ＜－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)，故选A. 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是[0,1)__． 解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)． 10．(2019·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜13或1＜x ＜3 . 解析：由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增．∴f (log 19x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (0)>f (log 19x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， ∴log 19x ＞12或－12＜log 19x ＜0， 解得0＜x ＜13或1＜x ＜3. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜13或1＜x ＜3. 11．(2019·西安模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x ＞0时，f (x )＞－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数． (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4. 解：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1. 证明：在R 上任取x 1＞x 2， 则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞－1. 又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1＞f (x 2)， 所以，函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5. 由f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4得f (x 2＋x ＋1)＞f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数， 故x 2＋x ＋1＞3，解得x ＜－2或x ＞1， 故原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}． 12．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域； (2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围． 解：(1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x ＞0， 当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， ∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2＞0. 因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数． 则f (x )min ＝f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0. 即x ＋a x －2＞1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a ＞3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)． 由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a ＞2时，恒有f (x )＞0. 因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．13．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( D ) A ．[1，＋∞) B ．[0，3] C ．[0,1] D ．[1，3] 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x －1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0，得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]． 14．(2019·海南阶段性测试)已知函数f (x )＝2 017x ＋log 2 017(x 2＋1＋x )－2 017－x ＋3，则关于x 的不等式f (1－2x )＋f (x )＞6的解集为( A ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，2) D ．(2，＋∞) 解析：因为函数y 1＝2 017x －2 017－x 是奇函数，函数y 2＝log 2 017(1＋x 2＋x )为奇函数，所以函数g (x )＝2 017x －2 017－x ＋log 2 017(x 2＋1＋x )为奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f (1－2x )＋f (x )＞6即g (1－2x )＋3＋g (x )＋3＞6，即g (x )＞g (2x －1)，∴x ＞2x －1，∴x ＜1， ∴不等式f (1－2x )＋f (x )＞6的解集为(－∞，1)．故选A. 15．设函数f (x )＝2 017x ＋1＋2 0162 017x ＋1＋2 016sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝4_033__. 解析：f (x )＝2 017x ＋1＋2 0162 017x ＋1＋2 016sin x ＝2 017x ＋1＋2 017－12 017x ＋1＋2 016sin x ＝2 017－12 017x ＋1＋2 016sin x . 显然该函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增， 故最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2， 所以M ＋N ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017－12 017π2＋1＋2 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017－12 017－π2＋1－2 016＝4 034－12 017π2＋1－ 2 017π21＋2 017π2 ＝4 034－1＝4 033. 16．(2019·中山模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (3)＝1. (1)判断f (x )的单调性； (2)解关于x 的不等式f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞2； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1， ∵当x ＞1时，f (x )＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． (2)在f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2中，令x 1＝9，x 2＝3， ∴f (9)－f (3)＝f (3)．又f (3)＝1，∴f (9)＝2. ∴不等式f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞2， 可转化为f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞f (9)， ∴f (3x ＋6)＞f (9)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (9x )， 由函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数， 可得3x ＋6＞9x ＞0，∴0＜x ＜1， ∴原不等式的解集为(0,1)． (3)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数， ∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0， 解该不等式组， 得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业1
课时作业10 函数的图象1．函数f (x )＝x2ln|x |的图象大致是( D )解析：由f (－x )＝－f (x )可得f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C ，而x ∈(0,1)时，ln|x |＜0，f (x )＜0，排除B ，故选D.2．现有四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x .它们的图象(部分)如下，但顺序已被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是( D )A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③解析：函数y ＝x sin x 是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y ＝x cos x 是奇函数，且当x ＝π时，y ＝－π＜0，故函数②对应第三个图象；函数y ＝x |cos x |为奇函数，且当x ＞0时，y ≥0，故函数③与第四个图象对应；函数y ＝x ·2x 为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.3．(2019·河南信阳模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，函数g (x )＝4x ＋3x －2，若函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，记作P i (x i ，y i )(i ＝1,2，…，168)，则(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)的值为( D )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．1 008解析：函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，可得f (－x )＋f (4＋x )＝8，即函数f (x )的图象关于点(2,4)对称，由函数g (x )＝4x ＋3x －2＝4(x －2)＋11x －2＝4＋11x －2，可知其图象关于点(2,4)对称，∵函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点，且两边的点分别关于点(2,4)对称，故得(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)＝(4＋8)×84＝1 008.故选D.4．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( A )A ．f (x )＝12x －1－x 3B ．f (x )＝12x －1＋x 3C ．f (x )＝12x ＋1－x 3D ．f (x )＝12x ＋1＋x 3解析：由图可知，函数图象的渐近线为x ＝12，排除C ，D ，又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．而函数y ＝12x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，y ＝－x 3在R 上单调递减，则f (x )＝12x －1－x 3在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故选A. 5．如图所示，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( B )解析：设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D ，故选B.6．(2019·泰安模拟)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图象大致是( A )解析：因为f (x )＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x ，f ′(x )为奇函数，排除B ，D ；当x ＝π6时，f ′(x )＝π12－12＜0，排除C ，∴A 满足．7．(2019·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( C )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析：依题意，画出函数的大致图象如图所示．实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g (x )≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：在平面直角坐标系内作出f (x )，g (x )的图象如图所示，由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．9．(2019·江苏扬州模拟)不等式2－x ≤log 2(x ＋1)的解集是{x |x ≥1}__．解析：画出y ＝2－x ，y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示，由图可知，解集为{x |x ≥1}．10．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为(4,5)__．解析：作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令f (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出f (x )的图象如图所示.由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数f (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数f (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x . (2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ， 且g (x )＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0,2]．∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1. 令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]， q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴当x ∈(0,2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7，＋∞)．13．(2019·安徽江南十校联考)若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( B )A ．f (x )＝e x －1x 2－1B ．f (x )＝e xx 2－1C ．f (x )＝x 3＋x ＋1x 2－1D ．f (x )＝x 4＋x ＋1x 2－1解析：由题中图象可知，函数的定义域为{x |x ≠a 且x ≠b }，f (x )在(－∞，a )上为增函数，在(a,0]上先增后减，在[0，b )上为减函数，在(b ，＋∞)上先减后增．A 项中f (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1}， 此时a ＝－1，b ＝1.f ′(x )＝e x (x 2－1)－2x (e x －1)(x 2－1)2，则f ′(－2)＝79e 2－49＜0，与f (x )在(－∞，－1)上递增不符． B 项中f (x )的定义域 为{x |x ≠±1}，f ′(x )＝e x (x 2－2x －1)(x 2－1)2＝e x [(x －1)2－2](x 2－1)2，若f ′(x )＞0，则x ＜－1或－1＜x ＜1－2或x ＞1＋2，此时f (x )在各对应区间上为增函数，符合题意．同理可检验C 、D 不符，故选B.14．(2019·福建厦门双十中学模拟)已知函数f (x )＝x 2＋e x－12(x ＜0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D ．(e ，＋∞)解析：原命题等价于在x ＜0时，f (x )与g (－x )的图象有交点，即方程e x－12－ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解，令m (x )＝e x－12－ln(－x ＋a )，显然m (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ＞0时，只需m (0)＝e 0－12－ln a ＞0，解得0＜a ＜e ；当a ≤0时，x 趋于－∞，m (x )＜0，x 趋于a ，m (x )＞0，即m (x )＝0在(－∞，a )上有解．综上，实数a 的取值范围是(－∞，e)．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x ＞1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( D )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ，作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a ＜b ＜c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，令log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017，结合图象可得1＜c ＜2 017， 因此可得2＜a ＋b ＋c ＜2 018， 即a ＋b ＋c ∈(2,2 018)．故选D.16．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为6__.解析：作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cosπx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业14
课时作业22 两角和、差及倍角公式1．(2019·新疆乌鲁木齐一诊)2cos10°－sin20°sin70°的值是( C ) A ．12 B ．32 C ． 3D ． 2解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3.2．(2019·山西五校联考)若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为( B )A ．2＋106B ．22＋106 C ．2－106D ．22－106解析：由cos θ＝23，θ为第四象限角， 得sin θ＝－53，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋53＝22＋106.故选B ． 3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( C ) A ．－118 B ．118 C ．－1718D ．1718解析：由3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知cos α－sin α≠0， 于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin α·cos α＝118， 故sin2α＝－1718.故选C ．4．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan α·tan β＝3，则α，β的大小关系是( B )A ．α＜π4＜β B ．β＜π4＜α C ．π4＜α＜βD ．π4＜β＜α解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16＞0， ∴π4＜α＜π2.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α＞π4，∴β＜π4＜α.5．在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( A ) A ．－1665 B ．－5665 C ．±1665D ．±5665解析：∵B 为三角形的内角，cos B ＝35＞0， ∴B 为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45， 又sin A ＝513，∴sin B ＞sin A ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－1213×35＋513×45＝－1665.6．(2019·福州质检)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin[2(α＋γ)]＝3sin2β，则m ＝( D )A ．12B ．34C ．32D ．2解析：设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ， 因为sin[2(α＋γ)]＝3sin2β， 所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )， 即2cos A sin B ＝sin A cos B ， 所以tan A ＝2tan B ， 所以m ＝tan Atan B ＝2，故选D ．7．(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝4__.解析：(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°·tan25°＝2，同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，所以原式＝4.8．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝22 .解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1， 可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)， 所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.9．(2019·运城模拟)已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝26＋16 .解析：∵α为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，∴0＜α－π6＜π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝223， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16.10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为58 . 解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos2θ＝14. 所以cos2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2θ22＝116＋916＝58. 11．已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x .(1)若α是第二象限角，且sin α＝63，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的定义域和值域．解：(1)因为α是第二象限角，且sin α＝63， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－33，所以tan α＝sin αcos α＝－2，所以f (α)＝(1－3×2)×⎝⎛⎭⎪⎫－332＝1－63.(2)函数f (x )的定义域为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z . 易得f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos 2x ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. 因为x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 所以2x ＋π6≠2k π＋7π6，k ∈Z ， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≠－12， 但当2x ＋π6＝2k π－π6，k ∈Z 时， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.12．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12－⎝⎛⎭⎪⎫－32×32＝12.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin2α＝12， ∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.13．(2019·河南洛阳一模)设a ＝cos50°cos127°＋cos40°·sin127°，b ＝22(sin56°－cos56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( D )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：a ＝sin40°cos127°＋cos40°sin127°＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，b ＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos78°＝sin12°， ∵sin13°＞sin12°＞sin11°， ∴a ＞c ＞B ．14．(2019·江西南昌模拟)已知tan2α＝－22，且满足π4＜α＜π2，则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α的值是( C )A ． 2B ．－ 2C ．－3＋2 2D ．3－2 2解析：tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－22， 整理可得2tan 2α－tan α－2＝0， 解得tan α＝－22或tan α＝ 2. 因为π4＜α＜π2，所以tan α＝ 2. 则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos α－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α ＝cos α－sin αcos α＋sin α＝cos α－sin αcos αcos α＋sin αcos α＝1－tan α1＋tan α＝1－21＋2＝22－3.故选C ． 15．(2019·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]__．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1， 又α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，∴⎩⎨⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. ∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1， 即取值范围为[－1,1]．16．(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin2x ＋12cos4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. ∵α∈(0，π)，－π4＜α－π4＜3π4， ∴α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业52
课时作业57 直线与圆锥曲线1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( A )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：由直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线y ＝ba x 平行，故直线与双曲线的交点个数是1.2．(2019·山东聊城一模)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( D )A ．y ＝x －1B ．y ＝－2x ＋5C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝2x －3解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1①，y 22＝4x 2②，①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.3．(2019·湖北武汉调研)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则k 的取值范围为( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52C.⎝⎛⎭⎪⎫－52，52D ．⎝⎛⎭⎪⎫1，52解析：由题意知k ＞0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，整理得(1－k 2)x 2＋2kx－5＝0，因为直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＞0，x 1＋x 2＝－2k 1－k 2＞0，x 1x 2＝－51－k2＞0，解得1＜k ＜52，即k ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，52，故选D.4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( D )A.12 B ．23 C.34D ．43解析：易知p ＝4，直线AB 的斜率存在，抛物线方程为y 2＝8x ，与直线AB 的方程y －3＝k (x ＋2)联立，消去x 整理得ky 2－8y ＋16k ＋24＝0，由题意知Δ＝64－4k (16k ＋24)＝0，解得k ＝－2或k ＝12.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k ＝－2，故k ＝12，可得B (8,8)，又F (2,0)，故k BF ＝8－08－2＝43，故选D.5．(2019·湖北武汉调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得⎩⎨⎧x ＝p2，y ＝p ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，则直线AB 的方程为y －p ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －2p ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 9，y ＝－2p 3或⎩⎨⎧x ＝p 2，y ＝p ，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫2p9，－2p 3， 所以直线OB 的斜率为k OB ＝－2p32p 9＝－3.故选D.6．已知双曲线x 23－y 2＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两个不同的点，点M (2,2)是线段AB 的中点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积是( D )A ．4 3B ．313 C.14D ．2 3解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，又因为直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx ＋m )2＝8x ⇒k 2x 2＋(2km －8)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝8－2km k 2，x 1x 2＝m 2k 2. 又因为M (2,2)是线段AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝8－2kmk 2＝4，且2＝2k ＋m ， 联立解得k ＝2，m ＝－2.|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝215.O 到AB 的距离d ＝25.∴S △AOB ＝12×215×25＝2 3.7．(2019·泉州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点D ，E ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( B )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(2，2)D ．(1，62)解析：法一：由题意知，直线l ：y ＝－ab (x －c )，由⎩⎨⎧y ＝－a b (x －c )，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 4b 2x 2＋2a 4c b 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2＝0，由x 1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2b 2－a 4b 2＜0，得b 4＞a 4，所以b 2＝c 2－a 2＞a 2，所以e 2＞2，得e＞ 2.法二：由题意，知直线l 的斜率为－ab ，若l 与双曲线左、右两支分别交于D ，E 两点，则－a b ＞－ba ，即a 2＜b 2，所以a 2＜c 2－a 2，e 2＞2，得e ＞ 2.8．(2019·洛阳统考)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则直线l 的方程为( C ) A ．4x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 212＝1，x 224－y 222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2. 又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝2×12＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2， x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，y 1－y 2x 1－x 2＝－14， 即直线AB 的斜率为－14， 直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0.9．(2019·河南洛阳一模)已知直线y ＝2x ＋2与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于P ，Q 两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线，交抛物线于点A ，若|A P →＋A Q →|＝|A P →－A Q →|，则a ＝ 2 .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝ax 2得ax 2－2x －2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－2a ， 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x A ＝1a ，y A ＝ax 2A ＝1a ，由|A P →＋A Q →|＝|A P →－A Q →|可得A P →·A Q →＝0， 即AP ⊥AQ ，又M 是线段PQ 的中点，∴2|AM |＝|PQ |，由于MA ⊥x 轴，∴|MA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ＋2－1a ＝1a ＋2，又|PQ |＝5|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5·4a 2＋8a ，∴4⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋22＝5⎝⎛⎭⎪⎫4a 2＋8a ，解得a ＝2，此时满足Δ＞0成立．故a ＝2.10．(2019·鹰潭模拟)设P 为双曲线x 236－y 225＝1右支上的任意一点，O 为坐标原点，过点P 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，则平行四边形P AOB 的面积为 15 .解析：设P (x 0，y 0)(不妨设P 在第一象限)，A 在第一象限，直线P A 的方程为y －y 0＝－56(x －x 0)，直线OA 方程为y ＝56x ，联立解得x A ＝6y 0＋5x 010，又P 到渐近线OA 的距离为d ＝|5x 0－6y 0|61，又tan ∠xOA ＝56，所以cos ∠xOA ＝661.所以平行四边形P AOB 的面积为S ＝2S △OP A ＝|OA |·d ＝|x A |·d cos ∠xOA ＝616×110|6y 0＋5x 0|×|6y 0－5x 0|61＝15.11．(2019·云南11校跨区联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 在E 上，且△ABC 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN .解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (－4，n )， 线段MN 的中点P (x 0，y 0)， 则2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2， 由(1)可得F (－1,0)，则直线DF 的斜率为k DF ＝n －0－4－(－1)＝－n3，当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在， 根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN . 当n ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵点M ，N 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，整理得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 又2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，∴y 0x 0＝－n 4，直线OP 的斜率为k OP ＝－n 4， ∵直线OD 的斜率为k OD ＝－n4， ∴直线OD 平分线段MN .12．(2017·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．解：(1)设F 的坐标为(－c,0)．依题意，c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，于是b 2＝a 2－c 2＝34.所以，椭圆的方程为x 2＋4y23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m . 将x ＝my ＋1与x 2＋4y 23＝1联立，消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0，令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2.又因为△APD 的面积为62，故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62，整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以，直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.13．(2019·河南郑州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( D )A.34 B ．45 C.56D ．67解析：不妨设点A 在第一象限，B 在第四象限，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x 得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，由根与系数的关系，得y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x ＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF＝372＝67.故选D.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( A )A.32 B ．52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2， 所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)， 不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而 x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋y 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54， 因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上， 所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.15．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，A 为抛物线上一点(A 不同于原点O )，过焦点F 作直线平行于OA ，交抛物线于P ，Q 两点．若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于B ，则|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝ 0 .解析：设OA 所在的直线的斜率为k ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，易知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，kp 2， P ，Q 的坐标由方程组⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px得到，消去x ，得ky 22p －y －kp 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得，y 1y 2＝－p 2，根据弦长公式，|FP |·|FQ |＝1＋1k 2·|y 1|·1＋1k 2·|y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2|y 1y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2p 2，而|OA |·|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kp 22＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2p 2， 所以|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝0.16．(2019·湖北调研)已知椭圆Γ：x 24＋y 22＝1，过点P (1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l 1，l 2，设l 1与椭圆Γ交于A 、B 两点，l 2与椭圆Γ交于C ，D 两点．(1)若P (1,1)为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；(2)若直线l 1与l 2的斜率都存在，记λ＝|AB ||CD |，求λ的取值范围．解：(1)解法一(点差法)：由题意可知直线AB 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝－24·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－24·2×12×1＝－12， ∴直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.解法二：由题意可知直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则其方程为y －1＝k (x －1)，代入x 2＋2y 2＝4中，得x 2＋2[kx －(k －1)]2－4＝0.∴(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2(k －1)2－4＝0.Δ＝[－4(k －1)k ]2－4(2k 2＋1)[2(k －1)2－4]＝8(3k 2＋2k ＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，x 1x 2＝2(k －1)2－42k 2＋1.∵AB 中点为(1,1)，∴12(x 1＋x 2)＝2k (k －1)2k 2＋1＝1， 则k ＝－12.∴直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.(2)由(1)可知|AB |＝1＋k 2 |x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·8(3k 2＋2k ＋1)2k 2＋1. 设直线CD 的方程为y －1＝－k (x －1)(k ≠0)．同理可得|CD |＝1＋k 2·8(3k 2－2k ＋1)2k 2＋1. ∴λ＝|AB ||CD |＝ 3k 2＋2k ＋13k 2－2k ＋1(k ≠0)，λ＞0. ∴λ2＝1＋4k 3k 2＋1－2k ＝1＋43k ＋1k －2. 令t ＝3k ＋1k ，则t ∈(－∞，－2 3 ]∪[23，＋∞)，令g (t )＝1＋4t －2，t ∈(－∞，－2 3 ]∪[23，＋∞)， ∵g (t )在(－∞，－23]，[23，＋∞)上单调递减， ∴2－3≤g (t )＜1或1＜g (t )≤2＋ 3.故2－3≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋ 3.∴λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫6－22，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，6＋22.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业40
课时作业46 空间向量的运算及应用1．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( D )A ．－2B ．－143 C.145 D ．2解析：由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( B )A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线解析：由已知可得OP →－OA →＝－14OA →＋18OB →＋18OC →， 即OP →－OA →＝－18OA →＋18OB →＋18OC →－18OA →，可得AP →＝－18(OA →－OB →)＋18(OC →－OA →)＝－18BA →＋18AC →＝18(AC →＋AB →)，所以AP →，AC →，AB →共面但不共线，故P ，A ，B ，C 四点共面． 3．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD→＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 的中点，则△AMD 是( C )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：∵M 为BC 的中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)． ∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD → ＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，即△AMD 为直角三角形．4．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( D )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13 B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16 C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， ∵G 分MN 的所成比为2，∴MG →＝23MN →，∴OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →)＝12a ＋23⎝⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a ＝12a＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋13c ，即x ＝16，y ＝13，z ＝13.5．已知空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a ，b 的夹角为π3，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA →＝2a ＋b ，OB →＝3a －b ，则△OAB 的面积为( B )A.52 3 B.54 3 C.74 3D.114解析：|OA →|＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋|b |2＋4a ·b ＝7，同理|OB →|＝7，则cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝6|a |2－|b |2＋a ·b 7＝1114，从而有sin ∠AOB ＝5314，∴△OAB 的面积S ＝12×7×7×5314＝534，故选B.6．如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( A )A.3－225 B.2－26 C.12D.32解析：因为BC →＝AC →－AB →， 所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－162＋24.所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.7．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为 60° .解析：由题意，得(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10， 即2a ·c ＋b ·c ＝－10. 又∵a ·c ＝4，∴b ·c ＝－18，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，又∵〈b ，c 〉∈[0°，180°]，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.8．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 .解析：∵点Q 在直线OP 上，∴设点Q (λ，λ，2λ)， 则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23.即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23. 此时OQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫43，43，83.9．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是 VA ∥平面PMN .解析：如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ， 由题意知PM →＝23b －13c ， PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →， ∴VA →，PM →，PN →共面．又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .10．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 解：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ， AA 1→＝c .由图得AG →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1G →＝c ＋b ＋12DC →＝12a ＋b ＋c ＝12AB →＋AD →＋AA 1→.(2)证明：由题图，得AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ， EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12b ＋12a ＝12AC →， ∵EG 与AC 无公共点，∴EG ∥AC ， ∵EG ⊄平面AB 1C ，AC ⊂平面AB 1C ， ∴EG ∥平面AB 1C .又∵AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ，FG →＝FD 1→＋D 1G →＝12c ＋12a ＝12AB 1→， ∵FG 与AB 1无公共点，∴FG ∥AB 1， ∵FG ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ， ∴FG ∥平面AB 1C ，又∵FG ∩EG ＝G ，FG ，EG ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面AB 1C.11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上，且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( A )A.216aB.66aC.156aD.153a解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，因为点M 在AC 1上，且AM →＝12MC 1→， 则(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，得x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，所以|MN →|＝⎝⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 12．如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点.(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：(1)如图，以点C 作为坐标原点O ，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．由题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)由题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.(3)证明：由题意得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0， 所以A 1B →⊥C 1M →， 即A 1B ⊥C 1M .。
(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：53 含答案解析
课时作业53 椭圆1．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( B )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( B )A.514 B ．513 C.49D ．59 解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2. 设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2， ∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133， ∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.3．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2成立，则λ的值为( D )A.32 B ．12 C.22D ．2解析：设内切圆的半径为r ，因为S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2， 所以S △MPF 1＋S △MPF 2＝λS △MF 1F 2； 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以ar ＝λcr ，c ＝a 2－b 2， 所以λ＝aa 2－b2＝2.4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( D )A.32 B ．2－12 C.3－12D ．5－12解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM →＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍)． ∴椭圆的离心率为5－12，故选D.5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( D )A.43 B ．1 C.45D ．34解析：法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知，F 2(1,0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，又易得△ABF 1的周长C ＝4a ＝8，则由S △ABF 1＝12C ·r 可得r ＝34.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A )A.55 B ．105 C.255D ．2105解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，与直线l 的方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5， 所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55.故选A.7．(2019·河北衡水中学模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为 －5 .解析：由椭圆的方程可知F 2(3,0)， 由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ， 当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于22 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.结合已知条件得，－12＝－b 2a 2×22， ∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝ 3 .解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3. 10．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2,3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e 的最小值是 －22 .解析：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数， ∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22.11．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时， x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2， 即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2， 可得离心率c a ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0. 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.13．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则椭圆C 的离心率为( D )A.33 B ．53 C.104D ．175解析：如图所示，设线段AB 的中点为D ，连接OD ，OA ，设椭圆C 的左、右焦点分别为F ，F 1， 连接PF 1.设|OD |＝t ，因为点A ，B 是线段PF 的两个三等分点， 所以点D 为线段PF 的中点，所以OD ∥PF 1，且|PF 1|＝2t ，PF 1⊥PF . 因为|PF |＝3|AB |＝6|AD |＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2， 根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF 1|＝2a ， ∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2＋2t ＝2a ， 解得t ＝a5或t ＝0(舍去)． 所以|PF |＝8a 5，|PF 1|＝2a5.在Rt △PFF 1中，|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＝(2c )2，得c 2a 2＝1725， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝175.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，则该椭圆离心率的取值范围为( D )A ．(0，2－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ， ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然|MF 2|＞|MF 1|， ∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ， 即a －c ＜2a 2a ＋c＜a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0， 又0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是 b 34a .解析：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22， 可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22y 0，所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 48|x 0y 0|， 因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a ， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 34a .16．(2019·山东济宁一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－12，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1(k ≠0)得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－2a 2k 4＋a 2k 2，x 1x 2＝－3a 24＋a 2k 2， ∴x 0＝－a 2k 4＋a 2k 2，y 0＝－a 2k 24＋a 2k 2＋1＝44＋a 2k 2， ∴k ·y 0x 0＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 2k ＝－12， ∴a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0.∴y 1－m x 1＋y 2－m x 2＝0.即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0.由(1)知x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2， ∴－12k 1＋2k 2－4k 1＋2k 2＋4mk 1＋2k 2＝0， ∴－16k ＋4mk 1＋2k 2＝0，即4k (－4＋m )1＋2k 2＝0， ∵k ≠0，∴－4＋m ＝0，∴m ＝4. ∴存在定点M (0,4)，使得∠AMO ＝∠BMO .。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (70)
课时作业70 二项分布、正态分布及其应用1．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( C )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) 解析：由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错 ； P (X ≥σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错； 当t 为任意正数时，由题图可知 P (X ≤t )≥P (Y ≤t )， 而P (X ≤t )＝1－P (X ≥t )，P (Y ≤t )＝1－P (Y ≥t )， ∴P (X ≥t )≤P (Y ≥t )，故C 正确，D 错． 2．(2019·福建厦门模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( D ) A.25 B.35 C.18125 D.54125 解析：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P 1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125. 3．(2019·河北唐山模拟)甲乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( D )A.29B.49C.23D.79 解析：甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D. 4．(2019·山东淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)．则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( A ) (参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4) A ．0.977 2 B ．0.682 6 C ．0.997 4 D ．0.954 4 解析：∵X ～N (800,502)， ∴P (700≤X ≤900)＝0.954 4， ∴P (X >900)＝1－0.954 42＝0.022 8， ∴P (X ≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2. 故选A. 5．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)． 甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74 现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是( A ) A.14，59 B.14，49C.15，59D.15，49 解析：由题意知，P (AB )＝1020×510＝14，根据条件概率的计算公式得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝14920＝59. 6．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16. 7．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是516. 解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516. 8．(2019·江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为35. 解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A 表示“第一次取得红球”，事件B 表示“第二次取得白球”，则P (A )＝26＝13，P (AB )＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1513＝35. 9.如图，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝14. 解析：由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π， 故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14. 10．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为38.解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12， ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38. 11．(2014·新课标Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2. (ⅰ)利用该正态分布，求P (187.8＜Z ＜212.2)； (ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.12．(2019·广东顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．解：(1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的频率组距也成等差数列， 设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ， ∴0.5(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5. 居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25. (2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 应规定w ＝2.5＋0.10.15×0.5≈2.83. (3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P (A ≤2.5)＝0.7， 由题意，X ～B (3,0.7)， P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027， P (X ＝1)＝C 13×0.32×0.7＝0.189， P (X ＝2)＝C 23×0.3×0.72＝0.441， P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343. ∴X 的分布列为∵X ～B ∴E (X )＝np ＝2.1.13．(2019·广东茂名一模)设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( D ) (注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.44%)A ．7 539B ．6 038C ．7 028D ．6 587 解析：∵X ～N (1,1)， ∴μ＝1，σ＝1. ∵P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%， ∴P (0<X <2)＝68.26%， 则P (1<X <2)＝34.13%， ∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.故选D. 14．(2019·金华一中模拟)春节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( B ) A.5960 B.35 C.12 D.160 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C )＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率 P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是②④.(写出所有正确结论的序号)①P(B)＝2 5；②P(B|A1)＝5 11；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关．解析：由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝510＝12，P(A2)＝210＝15，P(A3)＝310，P(B|A1)＝12×51112＝511，由此知，②正确；P(B|A2)＝411，P(B|A3)＝411，而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922.由此知①③⑤不正确；A1，A2，A3是两两互斥事件，④正确，故答案为②④.16．(2019·河北石家庄新华模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝142.75≈11.95； 若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5. (2)①∵Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P (14.55<Z <38.45)＝P (26.5－11.95<Z <26.5＋11.95)＝0.682 6， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6. ②根据题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12， P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116； P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14； P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38； P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14；【人教版】红对勾2020届高考一轮数学（理）复习：课时作业P(X＝4)＝C44⎝⎛⎭⎪⎫124＝116. ∴X的分布列为∴E(X)＝4×12＝2.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业5
Earlybird课时作业14利用导数研究函数的单调性11．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(B)2A．(－1,1] B．(0,1]C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)1 1 x2－1 x－1x＋1解析：y＝x2－ln x，y′＝x－＝＝(x＞0)．2 x x x令y′≤0，得0＜x≤1，所以递减区间为(0,1]．2．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(B)A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝x e xC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln xππ解析：对于A，f(x)＝sin2x的单调递增区间是[(k∈4]kπ－，kπ＋4Z)；对于B，f′(x)＝e x(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，∴函数f(x)＝x e x在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＞3 3 3 0 ，得x＞或x＜－，∴函数f(x) ＝x3 －x在和－∞，－33 ( 3 ) 3 1 x－1上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)＞，＋∞)(3 x x0，得0＜x＜1，∴函数f(x)＝－x＋ln x在区间(0,1)上单调递增．综上所述，故选B.3．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(D)解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0 的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0 的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．4．(2019·豫南九校联考)已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，满足f′(x)－2f(x)＜0，且f(－1)＝0，则f(x)＞0 的解集为(A)A．(－∞，－1) B．(－1,1)C．(－∞，0) D．(－1，＋∞)f x f′x－2f x解析：设g(x)＝，则g′(x)＝＜0 在R上恒成立，e2x e2x所以g(x)在R上递减，又因为g(－1)＝0，f(x)＞0⇔g(x)＞0，所以x＜－1.15．(2019·安徽江南十校联考)设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，2a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(A)A．(1,2] B．[4，＋∞)C．(－∞，2] D．(0,3]9解析：∵f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－，∴由f′(x)≤0x解得0＜x≤3，由题意知Error!解得1＜a≤2.ln x6．(2019·安徽模拟)已知f(x)＝，则(D)xA．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(3)＞f(e)＞f(2)C．f(3)＞f(2)＞f(e) D．f(e)＞f(3)＞f(2)解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，1－ln x∵f′(x)＝，∴x∈(0，e)，f′(x)＞0，x∈(e，＋∞)，x2ln2 ln8 ln3 f′(x)＜0，故x＝e 时，f(x)max＝f(e)，而f(2)＝＝，f(3)＝2 63 ln9＝，则f(e)＞f(3)＞f(2)．67．(2019·张掖一诊)定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)＝1，且π3π 3 x2f′(x)＞1，当x∈[时，不等式f(2cos x)＞－2sin2 的解集为－，2 ]2 2 2(D)π4ππ4πA.(B.3 )( 3 )，－，3 3πππC.(D.3)(3)0，－，3x 1解析：令g(x)＝f(x)－－，2 21则g′(x)＝f′(x)－＞0，2∴g(x)在R上单调递增，1 1且g(1)＝f(1)－－＝0，2 23 x2cos x 1∵f(2cos x)－＋2sin2 ＝f(2cos x)－－＝g(2cos x)，2 2 2 23 x∴f(2cos x)＞－2sin2 ，2 2即g(2cos x)＞0，∴2cos x＞1.π3πππ又x∈[，∴x∈.－，－，2 ](3)2 38．(2019·武汉模拟)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为yf e f ln2＝f′(x) ，当x＞0 ，xf′(x) －f(x) ＜0 ，若a＝，b＝，c＝e ln2f－3，则a，b，c的大小关系正确的是(D)－3A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．a＜c＜b D．c＜a＜bf x解析：设g(x)＝，xxf′x－f x则g′(x)＝，x2∵当x＞0 时，xf′(x)－f(x)＜0，∴g′(x)＜0.∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(－3)＝g(3)，又a＝g(e)，b＝g(ln2)，c＝g(－3)＝g(3)，∴g(3)＜g(e)＜g(ln2)，故c＜a＜b.9．(2019·银川诊断)若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞).解析：由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点．需满足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3，所以实数a的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞)．110．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，2则t的取值范围是(0,1)∪(2,3).解析：由题意知3 x－1x－3f′(x)＝－x＋4－＝－，x x由f′(x)＝0，得函数f(x)的两个极值点为1 和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t＜1＜t＋1 或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1 或2＜t＜3.11．(2019·河北武邑中学调研)已知函数f(x)＝e x－ax(a∈R，e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－e x＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝e x－a.当a≤0 时，f′(x)＞0，∴f(x)在R上为增函数；当a＞0 时，由f′(x)＝0 得x＝ln a，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，ln a)上为减函数，当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在(ln a，＋∞)上为增函数．(2)当a＝1 时，g(x)＝(x－m)(e x－x)－e x＋x2＋x.∵g(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴g′(x)＝x e x－m e x＋m＋1≥0 在(2，＋∞)上恒成立，x e x＋1即m≤在(2，＋∞)上恒成立．e x－1x e x＋1令h(x)＝，x∈(2，＋∞)，e x－1e x2－x e x－2e x e x e x－x－2则h′(x)＝＝.e x－1 2 e x－12令L(x)＝e x－x－2，L′(x)＝e x－1＞0 在(2，＋∞)上恒成立，即L(x)＝e x－x－2 在(2，＋∞)上为增函数，即L(x)＞L(2)＝e2－4＞0，∴h′(x)＞0 在(2，＋∞)上成立，x e x＋1即h(x)＝在(2，＋∞)上为增函数，e x－12e2＋1 2e2＋1∴h(x)＞h(2)＝，∴m≤.e2－1 e2－12e2＋1∴实数m的取值范围是(.－∞，e2－1 ]12．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，m对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·[在区间(t,3)上总不f′x＋2]是单调函数，求m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，a1－x且f′(x)＝，x当a＞0 时，f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)；当a＜0 时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)；当a＝0 时，f(x)为常函数．a(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，2即a＝－2，2x－2∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.xm∴g(x)＝x3＋(x2－2x，＋2)2∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2，∴Error!当g′(t)＜0 时，即3t2＋(m＋4)t－2＜0 对任意t∈[1,2]恒成立，Earlybird由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0 且g′(2)＜0，即m＜－5 且m＜－9，即m＜－9；37由g′(3)＞0，即m＞－.337∴－＜m＜－9.337即实数m的取值范围是(.，－9)－313．(2017·山东卷)若函数e x f(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数) 在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是(A)A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos xe解析：设函数g(x)＝e x·f(x)，对于A，g(x)＝e x·2－x＝(x，在定2 )义域R上为增函数，A 正确．对于B，g(x)＝e x·x2，则g′(x)＝x(x＋2)e x，由g′(x)＞0 得x＜－2 或x＞0，∴g(x)在定义域R上不是增函e＝(x在定义域R上是减函数，数，B 不正确．对于C，g(x)＝e x·3－x3 )πC 不正确．对于D，g(x)＝e x·cos x，则g′(x)＝2e x cos(，g′(x)＞x＋4)0 在定义域R上不恒成立，D 不正确．14．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)＜xf′(x) ＜3f(x)恒成立，其中y＝f′(x)为y＝f(x)的导函数，则(B)f2f2A．8＜＜16 B．4＜＜8f1f1f2f2C．3＜＜4 D．2＜＜3f1f1解析：∵xf′(x)－2f(x)＞0，x＞0，Earlybirdf x f′x·x2－2xf x xf′x－2f x∴[′＝＝＞0，x2 ]x4 x3f x∴y＝在(0，＋∞)上单调递增，x2f2f1f2∴＞，即＞4.22 12 f1∵xf′(x)－3f(x)＜0，x＞0，f x f′x·x3－3x2f x xf′x－3f x∴[′＝＝＜0，x3 ]x6 x4f x∴y＝在(0，＋∞)上单调递减，x3f2f1f2∴＜，即＜8.23 13 f1f2综上，4＜＜8.f115．(2019·昆明调研)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数1 x2 1f′(x)＜，则不等式f(x2)＜＋的解集为{x|x＜－1 或x＞1}.2 2 21解析：设F(x)＝f(x)－x，21∴F′(x)＝f′(x)－，21 1∵f′(x)＜，∴F′(x)＝f′(x)－＜0，2 2即函数F(x)在R上单调递减．x2 1∵f(x2)＜＋，2 2x2 1∴f(x2)－＜f(1)－，2 2∴F(x2)＜F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，∴x2＞1，即不等式的解集为{x|x＜－1 或x＞1}．16．(2019·岳阳质检)已知函数f(x)＝(ax－1)e x，a∈R.(1)讨论f(x)的单调区间；Earlybird(2)当m＞n＞0 时，证明：m e n＋n＜n e m＋m.解：(1)f(x)的定义域为R，且f′(x)＝(ax＋a－1)e x.①当a＝0 时，f′(x)＝－e x＜0，此时f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)．a－1②当a＞0 时，由f′(x)＞0，得x＞－；aa－1由f′(x)＜0，得x＜－.aa－1此时f(x)的单调递减区间为(，单调递增区间为－∞，－a)a－1.－，＋∞)(aa－1③当a＜0 时，由f′(x)＞0，得x＜－；aa－1由f′(x)＜0，得x＞－.aa－1此时f(x)的单调递减区间为(，单调递增区间为－，＋∞)aa－1.－∞，－(a)(2)证明：当m＞n＞0 时，要证m e n＋n＜n e m＋m，只要证m(e n－1)＜n(e m－1)，e m－1 e n－1即证＞.(*)m ne x－1设g(x)＝，x＞0，xx－1e x＋1则g′(x)＝，x＞0.x2设h(x)＝(x－1)e x＋1，由(1)知h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以当x＞0 时，h(x)＞h(0)＝0，于是g′(x)＞0，Earlybird所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当m＞n＞0 时，(*)式成立，故当m＞n＞0 时，m e n＋n＜n e m＋m.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (72)
课时作业72 坐标系1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．2．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 圆C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2＋2x －2y ＝0， ∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0， ∴圆C 的极坐标方程为 ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.又直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，∴直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ.(2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，|OQ |＝122＋22＝22， ∴点Q 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，故线段PQ 的长为322.3．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，点R 的直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标．解：(1)由于x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，则曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意，可令Q (2，sin θ)， 则|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， 所以|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，当θ＝π6时，(|PQ |＋|QR |)min ＝2. 所以矩形PQRS 周长的最小值为4，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 4．(2019·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |. 解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(2)由⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2， 则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.5．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1. 由题意知曲线C 2的极坐标方程为 ρ＝2a cos θ(a 为半径)，将D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为 ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1， 即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54. 6．(2019·山东淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是x ＝4.曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α⎝⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0<α<π4与曲线C 交于点O ，A ，与直线l 交于点B ，求|OA ||OB |的取值范围．解：(1)由ρcos θ＝x ，得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝4.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)，消去参数φ得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ＋2sin θ.(2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则 ρ1＝2cos α＋2sin α，ρ2＝4cos α， 所以|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝(2cos α＋2sin α)cos α4 ＝sin αcos α＋cos 2α2＝14(sin 2α＋cos 2α)＋14 ＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋14，因为0<α<π4，所以π4<2α＋π4<3π4， 所以22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4≤1，所以12<24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋14≤1＋24. 故|OA ||OB |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1＋24. 7．(2019·福建福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2.已知点Q 是曲线C 1上的动点，点P 在线段OQ 上，且满足|OQ |·|OP |＝4，动点P 的轨迹为C 2.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，Q 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)， 则|OP |＝ρ，|OQ |＝ρ1＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6， 由|OQ |·|OP |＝4得C 2的极坐标方程为 ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6(ρ>0)， 所以ρ＝3cos θ＋sin θ，两边乘ρ得ρ2＝3ρcos θ＋ρsin θ， 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以x 2＋y 2－3x －y ＝0， 所以C 2的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1(x 2＋y 2≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，由题设及(1)知|OA |＝2， ρB ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，于是△AOB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2α－34≤32，当α＝0时，S 取得最大值32. 所以△AOB 面积的最大值为32.8．(2019·河南名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(3cos θ＋sin θ)＝5.(1)求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A ，使它到直线l 的距离最小，并求点A 的极坐标．解：(1)x 2＋(y －1)2＝1即x 2＋y 2－2y ＝0， 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以圆C 的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ， 即ρ＝2sin θ.ρ(3cos θ＋sin θ)＝5即3ρcos θ＋ρsin θ＝5， 因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的直角坐标方程为y ＝－3x ＋5.(2)曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0,1)为圆心，1为半径的圆． 设圆上点A (x 0，y 0)到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，所以圆C 在点A 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行．即直线CA 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1.①因为点A 在圆上，所以x 20＋(y 0－1)2＝1，②联立①②可解得x 0＝－32，y 0＝12或x 0＝32，y 0＝32.所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又由于圆上点A 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最小，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，点A 的极径为⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，极角θ满足tan θ＝3且θ为第一象限角，则可取θ＝π3.所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3.。
《精品》人教版红对勾2020届高考一轮数学(理)复习课时作业4
课时作业4 函数及其表示1．下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin2x2cos x ，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2解析：A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D.2．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意；当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.3．(2019·广东珠海模拟)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( A ) A.15lg2 B.12lg5 C.13lg2D.12lg3解析：解法一：由题意知x ＞0，令t ＝x 5，则t ＞0，x ＝t 15，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ，即f (x )＝15lg x (x ＞0)，∴f (2)＝15lg2，故选A. 解法二：令x 5＝2，则x ＝215， ∴f (2)＝lg215＝15lg2，故选A.4．已知函数f (x )＝1－log 2x 的定义域为[1,4]，则函数y ＝f (x )·f (x 2)的值域是( C )A ．[0,1]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 解析：对于y ＝f (x )·f (x 2)，由函数f (x )的定义域是[1,4]，得1≤x ≤4，且1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2，故函数y ＝f (x )·f (x 2)的定义域是[1,2]，易得y ＝f (x )·f (x 2)＝1－3log 2x ＋2log 22x ，令t ＝log 2x ，则t ∈[0,1]，y ＝1－3t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－18，故t ＝34时，y 取最小值－18；t ＝0时，y 取最大值1，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1，故选C. 5．(2019·河南濮阳模拟)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x ＞0，g (x )，x ＜0是奇函数，则f (g (－2))的值为( C )A.52 B ．－52 C ．1 D ．－1解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＞0，g (x )，x ＜0是奇函数，∴x ＜0时，g (x )＝－12x ＋3， ∴g (－2)＝－12－2＋3＝－1，f (g (－2))＝f (－1)＝g (－1)＝－12－1＋3＝1，故选C.6．(2019·福建福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x ＞0，则满足f (x 2－2)＞f (x )的x 的取值范围是( C )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由题意，x ＞0时，f (x )递增，故f (x )＞f (0)＝0，又x ≤0时，x ＝0，故若f (x 2－2)＞f (x )，则x 2－2＞x ，且x 2－2＞0，解得x ＞2或x ＜－2，故选C.7．(2019·河北成安模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( C )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由题意知，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又∵y ＝x －2，y ＝x 3－2在R 上都为增函数，且f (x )在x ＝1处连续，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.8．(2019·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( C )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若x ＞1，则f (x )＝x ＋1＞2，易知y ＝2|x －a |在(a ，＋∞)上递增，在(－∞，a )上递减，若a ＜1，则f (x )在x ＝a 处取得最小值，不符合题意；若a ≥1，则要使f (x )在x ＝1处取得最小值， 只需2a －1≤2，解得a ≤2，∴1≤a ≤2. 综上可得a 的取值范围是[1,2]，故选C.9．(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x ＋ln(x ＋4)的定义域为(－4,1]__．解析：要使函数f (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4＞0，解得－4＜x ≤1，即函数f (x )的定义域为(－4,1]．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则使f (x )＝12的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 .解析：由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x ＞0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.11．记函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a ＜1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 . 解析：由已知得A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}， B ＝{x |(x －a －1)·(x －2a )＜0}，由a ＜1得a ＋1＞2a ，∴B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋1}． ∵B ⊆A ，∴a ＋1≤－1或2a ≥1， ∴a ≤－2或12≤a ＜1.∴a 的取值范围为a ≤－2或12≤a ＜1.12．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18. (2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2； 当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]， f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2； 当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].13．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( A)A ．y ＝12x 3－12x 2－x B ．y ＝12x 3＋12x 2－3x C ．y ＝14x 3－x D ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析：设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .14．(2019·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |，x ＜a ＋1，－|x ＋1|－a ，x ≥a ＋1，若f (x )的最大值不超过1，则实数a 的取值范围为( A )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－54 解析：当x ＜a ＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |在(－∞，a )上递增，在[a ，a＋1)上递减，可得此时f (x )在x ＝a 处取得最大值，且为1；当x ≥a ＋1时，f (x )＝－a －|x ＋1|，当a ＋1≥－1，即a ≥－2时，f (x )递减，由题意得－a －|a ＋2|≤1，解得a ≥－32；当a ＋1＜－1，即a ＜－2时，f (x )在x ＝－1处取得最大值，且为－a ，由题意得－a ≤1，则a ∈∅.综上可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，故选A.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (15)
课时作业15 利用导数研究函数的极值、最值1．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( D )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 解析：由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0； 当x ＞2时，f ′(x )＞0. 由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 2．(2019·山西太原模拟)设函数f (x )＝13x 3－x ＋m 的极大值为1，则函数f (x )的极小值为( A ) A ．－13 B ．－1 C.13 D ．1 解析：f ′(x )＝x 2－1，由f ′(x )＝0得x 1＝－1，x 2＝1.所以f (x )在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，且f (－1)＝1，即m ＝13，函数f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝13×13－1＋13＝－13.故选A. 3．(2019·河北三市联考)若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( A ) A ．2b －43 B.32b －23 C ．0 D ．b 2－16b 3 解析：f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)， ∵函数f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数， ∴－3＜b ＜1，则由f ′(x )＞0， 得x ＜b 或x ＞2， 由f ′(x )＜0，得b ＜x ＜2， ∴函数f (x )的极小值为f (2)＝2b －43. 4．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( A ) A ．20 B ．18 C ．3 D ．0 解析：因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点． 又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1， 所以在区间[－3,2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19. 由题设知在区间[－3,2]上， f (x )max －f (x )min ≤t ， 从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 5．(2019·浙江瑞安中学月考)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( C )A.23B.43C.83D.163 解析：由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83. 6．(2019·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a ＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( C ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1,2) D ．(2，＋∞) 解析：f ′(x )＝ax －(1＋2a )＋2x ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有极大值， 即f ′(x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有解． 则f ′(x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内先大于0，再小于0，则⎩⎨⎧ f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，f ′(1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 14a －12(2a ＋1)＋212＞0，a －(2a ＋1)＋2＜0， 解得1＜a ＜2，故选C. 7．(2019·江西南昌调研)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( D ) A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12 D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12 解析：f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， 即曲线y ＝1＋ln x 与直线y ＝2ax 有两个不同交点，如图． 由直线y ＝x 是曲线y ＝1＋ln x 的切线， 可知：0＜2a ＜1,0＜x 1＜1＜x 2. ∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 由0＜x 1＜1，得f (x 1)＝x 1(ln x 1－ax 1)＜0， ∵当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0， ∴f (x 2)＞f (1)＝－a ＞－12，故选D. 8．(2019·武汉模拟)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.解析：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又因为f ′(x )＝4x －1x ， 所以由f ′(x )＝0解得x ＝12， 由题意得⎩⎨⎧ k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0， 解得1≤k ＜32. 9．(2019·长沙调研)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝ 1 . 解析：由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a ， 当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0； 当x ＞1a 时，f ′(x )＜0. ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 10．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (x ＞0)的图象与直线y ＝4相切于点M (1,4)，则y ＝f (x )在区间(0,4]上的最大值为 4 ；最小值为 0 . 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b (x ＞0)． 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9. 所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x . 令f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝0，解得x ＝1或x ＝3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )在区间(0,4]上的变化情况如下表：所以函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x 在区间(0,4]上的最大值是4，最小值是0. 11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝1x －a (x ＞0)， ①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a ＞0， 即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a ＞0时， 令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ， 当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＞0； 当x ＞1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＜0， 故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a . ②当1a ≥2，即0＜a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a . ③当1＜1a ＜2，即12＜a ＜1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数． 又f (2)－f (1)＝ln2－a ， 所以当12＜a ＜ln2时，最小值是f (1)＝－a ； 当ln2≤a ＜1时，最小值为f (2)＝ln2－2a . 综上可知，当0＜a ＜ln2时，函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ； 当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a . 12．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x (a ＞0)． (1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 解：由题意，知函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}， f ′(x )＝a x －1x 2(a ＞0)． (1)由f ′(x )＞0解得x ＞1a ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )＜0解得x ＜1a ， 所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a . (2)由(1)可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0＜1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件． ②若1＜1a ≤e ，即1e ≤a ＜1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，而1e ≤a ＜1，故不满足条件． ③若1a ＞e ，即0＜a ＜1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a lne ＋1e ＝a ＋1e ＝0，即a ＝－1e ，而0＜a ＜1e ，故不满足条件． 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0. 13．(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝x ln x －a e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( A ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(－∞，e) 解析：f (x )＝x ln x －a e x (x ＞0)， ∴f ′(x )＝ln x ＋1－a e x (x ＞0)， 由已知函数f (x )有两个极值点可得y ＝a 和g (x )＝ln x ＋1e x 在(0，＋∞)上有两个交点， g ′(x )＝1x －ln x －1e x (x ＞0)，令h (x )＝1x －ln x －1， 则h ′(x )＝－1x 2－1x ＜0， ∴h (x )在(0，＋∞)上单调递减且h (1)＝0， ∴当x ∈(0,1]时，h (x )≥0，即g ′(x )≥0，g (x )在(0,1]上单调递增，g (x )≤g (1)＝1e ， 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0， 即g ′(x )＜0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减， 故g (x )max ＝g (1)＝1e ， 而x →0时，g (x )→－∞，x →＋∞时，g (x )→0； 若y ＝a 和g (x )在(0，＋∞)上有两个交点， 只需0＜a ＜1e . 14．(2019·广东佛山一模)设函数f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，若x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )＝f (x )－λx 的两个极值点，现给出如下结论： ①若－1＜λ＜0，则f (x 1)＜f (x 2)； ②若0＜λ＜2，则f (x 1)＜f (x 2)； ③若λ＞2，则f (x 1)＜f (x 2)． 其中正确结论的个数为( B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：函数g (x )＝f (x )－λx ， ∴g ′(x )＝f ′(x )－λ， 令g ′(x )＝0，得f ′(x )－λ＝0， ∴f ′(x )＝λ有两解x 1，x 2(x 1＜x 2)． ∵f (x )＝x 3－3x 2＋2x ， ∴f ′(x )＝3x 2－6x ＋2， 画出y ＝f ′(x )的图象如图所示：①若－1＜λ＜0，则x 1、x 2在f (x )的递减区间上，故f (x 1)＞f (x 2)； ②若0＜λ＜2，则x 1＞0，x 2＜2，又x 1,0在f (x )的一个递增区间上，x 2,2在f (x )的另一个递增区间上， ∴f (x 1)＞f (0)＝0，f (x 2)＜f (2)＝0， 故f (x 1)＞f (x 2)； ③若λ＞2，则x 1＜0，x 2＞2， 则f (x 1)＜f (0)＝0，f (x 2)＞f (2)＝0， 故f (x 1)＜f (x 2)．故选B. 15．若函数f (x )＝m ln x ＋(m －1)x 存在最大值M ，且M ＞0，则实数m 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1＋e ，1 . 解析：f ′(x )＝m x ＋(m －1)＝(m －1)x ＋m x (x ＞0)， 当m ≤0或m ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调， 此时函数f (x )无最大值． 当0＜m ＜1时，令f ′(x )＝0，则x ＝m 1－m ， ∴当0＜m ＜1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 1－m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－m ，＋∞上单调递减，∴当0＜m ＜1时，函数f (x )有最大值，最大值M ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－m ＝m ln m1－m－m . ∵M ＞0，∴m ln m1－m －m ＞0，解得m ＞e1＋e，∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1＋e ，1. 16．(2019·衡阳联考)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax (a ＞0)． (1)讨论f (x )在(0,1)上极值点的个数；(2)若x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数f (x )的两个极值点，且f (x 1)－f (x 2)＞m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋1x ， 令g (x )＝2x 2－ax ＋1，解法一：令g (x )＝2x 2－ax ＋1＝0得Δ＝a 2－8， ①当Δ≤0，即0＜a ≤22时，g (x )＞0恒成立， 此时f (x )在(0,1)上无极值点； ②当Δ＞0，即a ＞22时， 由g (x )＝2x 2－ax ＋1＝0得， x 1＝a －a 2－84，x 2＝a ＋a 2－84. (ⅰ)若22＜a ＜3，则0＜x 1＝a －a 2－84＜a 4＜1,0＜x 2＝a ＋a 2－84＜3＋14＝1. 故此时f (x )在(0,1)上有两个极值点；(ⅱ)若a ≥3，则0＜x 1＝a －a 2－84＝84(a ＋a 2－8)＝2(a ＋a 2－8)≤23＋1＝12＜1， 而x 2＝a ＋a 2－84＞3＋14＝1. 故此时f (x )在(0,1)上只有一个极值点；综上可知，当0＜a ≤22时，f (x )在(0,1)上无极值点； 当22＜a ＜3时，f (x )在(0,1)上有两个极值点； 当a ≥3时，f (x )在(0,1)上只有一个极值点． 解法二：由g (x )＝2x 2－ax ＋1＝0得Δ＝a 2－8， ①当Δ≤0，即0＜a ≤22，g (x )＞0恒成立， 此时f (x )在(0,1)上单调递增，无极值点； ②当Δ＞0，即a ＞22时，由g (0)＝1，g (1)＝3－a ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝1－a 28，则(ⅰ)当g (1)＝3－a ＞0，即22＜a ＜3时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝1－a 28＜1－(22)28＝0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，1上必有两个极值点；(ⅱ)当g (1)＝3－a ≤0，即a ≥3时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝1－a 28≤1－98＝－18＜0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4上必有一个极值点；综上可知，当0＜a ≤22时，f (x )在(0,1)上无极值点； 当22＜a ＜3时，f (x )在(0,1)上有两个极值点； 当a ≥3时，f (x )在(0,1)上只有一个极值点． 解法三：∵f ′(x )＝1x ＋2x －a ， ∴f ″(x )＝1x 2(2x 2－1)，∴f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1上单调递增，∴f ′(x )min ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22－a .①当f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22－a ≥0，即0＜a ≤22时，f (x )在(0,1)上单调递增，无极值点；②当⎩⎨⎧ f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22－a ＜0，f ′(1)＞0，即22＜a ＜3时，考虑到f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2a ＞0，故此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1上各有一个极值点； ③当⎩⎨⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22－a ＜0，f ′(1)≤0，即a ≥3时，考虑到f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2a ＞0，故此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，22上有唯一一个极值点；综上可知，当0＜a ≤22时，f (x )在(0,1)上无极值点； 当22＜a ＜3时，f (x )在(0,1)上有两个极值点； 当a ≥3时，f (x )在(0,1)上只有一个极点．(2)解法一：∵x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数f (x )的两个极值点，∴x 1，x 2是f ′(x )＝1x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋1x ＝0在区间(0,1)内的两个零点．令f ′(x )＝0，得x 1，x 2是方程2x 2－ax ＋1＝0的两根， ∴Δ＝a 2－8＞0，∴a ＞22，x 1＋x 2＝a 2＞0，x 1·x 2＝12.f (x 1)－f (x 2)＝(ln x 1＋x 21－ax 1)－(ln x 2＋x 22－ax 2)＝ln x 1x 2＋(x 21－x 22)＋a (x 2－x 1)＝ln x 1x 2＋(x 21－x 22)＋2(x 1＋x 2)(x 2－x 1)＝ln x 1x 2＋x 22－x 21＝ln x 1x 2＋12·x 22－x 21x 1x 2，令t ＝x 1x 2∈(0,1)，则f (x 1)－f (x 2)＝h (t )＝ln t ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t ，t ∈(0,1)，又h ′(t )＝－(t －1)22t 2＜0， ∴h (t )在区间(0,1)内单调递减， ∴h (t )＞h (1)＝0， 即f (x 1)－f (x 2)＞0.∴m ≤0，即实数m 的取值范围是(－∞，0]． 解法二：∵x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数f (x )的两个极值点，∴x 1，x 2是f ′(x )＝1x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋1x ＝0在区间(0,1)内的两个零点，令f ′(x )＝0，得x 1，x 2是方程2x 2－ax ＋1＝0的两根， ∴Δ＝a 2－8＞0，∴a ＞22，x 1＋x 2＝a 2＞0，x 1·x 2＝12.f (x 1)－f (x 2)＝ln x 1x 2＋(x 21－x 22)－a (x 1－x 2)＝ln x 1x2＋(x 21－x 22)－2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝ln x 1－ln x 2－(x 21－x 22)＝ln x 1＋ln2x 1－x 21＋14x 21＝ln2x 21－x 21＋14x 21， ∵x 1＜x 2，∴12＝x 1·x 2＞x 21，∴0＜x 21＜12， 令x ＝x 21∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，于是，f (x 1)－f (x 2)＝H (x )＝ln2x －x ＋14x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，H ′(x )＝－(2x －1)24x 2＜0，∴H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，∴H (x )＞H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (x 1)－f (x 2)＞0，∴m ≤0.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业12
Earlybird课时作业20三角函数的图象与性质π1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos(，④y＝tan2x＋6)π中，最小正周期为π的所有函数为(A)2x－(4)A．①②③B．①③④C．②④D．①③解析：①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；π2π③y＝cos (的最小正周期T＝＝π；2x＋6)2ππ④y＝tan (的最小正周期T＝.2x－4)2π2．关于函数y＝tan(，下列说法正确的是(C)2x－3)A．是奇函数πB．在区间(上单调递减3)0，πC．(为其图象的一个对称中心，0)6D．最小正周期为πππ解析：函数y＝tan (是非奇非偶函数，A 错误；在区间2x－0，3)(3)π上单调递增，B 错误；最小正周期为，D 错误．2πππ∵当x＝时，tan ＝0，2 ×－6 (3)6π∴(，0)为其图象的一个对称中心．6Earlybirdπ3．(2019·石家庄检测)若(是函数f(x)＝sinωx＋cosωx图象的，0)8一个对称中心，则ω的一个取值是(C)A．2 B．4C．6 D．8ππ解析：因为f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(，由题意，知fωx＋4)(8 )ωππ＝2sin(＝0，4)＋8ωππ所以＋＝kπ(k∈Z)，8 4即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1 时，ω＝6.π4．(2019·佛山模拟)已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大3值点，则f(x)的一个单调递减区间是(B)π2ππ5πA．(B．3 )( 6 )，，6 3π2πC．(D．，π)(，π)2 3π解析：因为x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，所以sin3π＝1，＋φ)2 ×(3π解得φ＝2kπ－，k∈Z.6ππ不妨取φ＝－，此时f(x)＝sin ，2x－6 (6)ππ3π令2kπ＋＜2x－＜2kπ＋(k∈Z)，2 6 2π 5得kπ＋＜x＜kπ＋π(k∈Z)．3 6π 5取k＝0，得函数f(x)的一个单调递减区间为(.，π)3 6Earlybirdπ5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(的图象过点(0，)，则f(x)|φ|＜ 32)图象的一个对称中心是(B)ππA．(B．－，0)(，0)－3 6ππC．(D．，0)(，0)6 12π解析：函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(的图象过点(0，)，则f(0)＝|φ|＜ 32)2sinφ＝3，3 ππ∴sinφ＝，又|φ|＜，∴φ＝，2 2 3π则f(x)＝2sin(，3)2x＋π令2x＋＝kπ(k∈Z)，3kππ则x＝－(k∈Z)，2 6π当k＝0 时，x＝－，6π∴(是函数f(x)的图象的一个对称中心．－，0)66．(2019·湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b＝Error!例如1](D)2 2A．[B．[－1,1]2 ]－，22 2，1][－1，2 ]2解析：根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．π5π设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sin x≥cos x，f(x)＝cos x，f(x)∈4 4Earlybird2 π5π，当0≤x＜或＜x≤2π时，cos x＞sin x，f(x)＝sin x，f(x)∈－1，[ 2 ]4 42∪[－1,0]．0，[ 2 )2综上知f(x)的值域为[.2 ]－1，π7．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1(，其图象与直线ω＞0，|φ|＜2)2πππy＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)＞1对任意x∈恒成立，－，3 (6)12则φ的取值范围是(B)πππA．[B．6][－－，0]，6 4πππC．(D．12][4]－，－0，3解析：由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1 的最大值为3.2π∵f(x)的图象与直线y＝3 相邻两个交点的距离为，32π2π2π∴f(x)的周期T＝，∴＝，3 ω 3解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.ππ∵f(x)＞1 对任意x∈(恒成立，－，6)12∴2cos(3x＋φ)＋1＞1，即cos(3x＋φ)＞0，ππ对任意x∈(恒成立，－，6)12ππππ∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，4 2 2 2π解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，4Earlybirdπ即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.4ππ结合|φ|＜可得当k＝0 时，φ的取值范围为.－，0]2 [4π8．(2019·烟台检测)若函数f(x)＝cos((0＜φ＜π)是奇函数，2x＋φ－3)5π则φ＝.6ππ5π解析：因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，3 2 65πk∈Z.又因为0＜φ＜π，故φ＝.6π2π9．已知关于x的方程2sin(＋1－a＝0 在区间上存在x＋0，6)[ 3 ]两个根，则实数a的取值范围是[2,3)__．πa－1 2π解析：sin(＝在上存在两个根，x＋0，6) 2 [ 3 ]ππ5π设x＋＝t，则t∈，，6 [ 6 ]6π5πa－1∴y＝sin t，t∈[的图象与直线y＝有两个交点，，6 ]6 21 a－1∴≤＜1，∴2≤a＜3.2 2ππ10．设函数f(x)＝3sin(，若存在这样的实数x1，x2，对任意x＋4)2的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为2__.ππ 2解析：f(x)＝3sin (的周期T＝2π×＝4，x＋4)2 πf(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，T故|x1－x2|的最小值为＝2.2ππ11．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(的图象关于2)ω＞0，－≤φ＜2Earlybirdπ直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.3(1)求ω和φ的值；α 3 π2π3π(2)若f(＝，求cos 的值．＜α＜α＋2 ) 4 (3 )( 2 )6解：(1)f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小2π正周期T＝π，从而ω＝＝2.Tπ又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，3ππ所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….3 2ππ由－≤φ＜得k＝0，2 2π2ππ所以φ＝－＝－.2 3 6ααπ 3(2)由(1)得f(＝3sin(＝，2 )6)2·－2 4π 1所以sin(＝.6)α－4π2πππ由＜α＜得0＜α－＜，6 3 6 2ππ 1 15 所以cos(＝＝＝.1－sin2(α－1－(6)6) 4 )α－ 243πππ因此cos(＝sinα＝sinα＋α－＋2 )[(6)6]ππππ＝sin(cos ＋cos sinα－α－6) 6 (6)1 3 15 1 3＋15＝×＋×＝.64 2 4 2 8π12．已知f(x)＝2sin(.4)2x＋(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；Earlybird(2)求f(x)的单调递增区间；π3π(3)当x∈[时，求函数f(x)的最大值和最小值．，4 ]4π解：(1)f(x)＝2sin(，4)2x＋ππ令2x＋＝kπ＋，k∈Z，4 2kππ得x＝＋，k∈Z.2 8kππ所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.2 8πππ(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，2 4 23ππ得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.8 83ππ故f(x)的单调递增区间为[，k∈Z.8]kπ－，kπ＋8π3π3ππ7π(3)当x∈[时，≤2x＋≤，，4 ]4 4 4 4π 2所以－1≤sin(≤，4)2x＋2所以－2≤f(x)≤1，π3π所以当x∈[时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.， 24 ]413．(2019·龙岩六校联考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实ππ数，若f(x)≤|对任意x∈R恒成立，且f＞0，则f(x)的单f(调递减区间是(C)πA．[(k∈Z)4]kπ，kπ＋ππB．[(k∈Z)4]kπ－，kπ＋4Earlybirdπ3πC．[(k∈Z)4 ]kπ＋，kπ＋4πD．[(k∈Z)kπ－，kπ]2π解析：由题意可得函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，4 ππ故有2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z.4 2ππ又f(＝sin ＞0，6 )(＋φ)3所以φ＝2nπ，n∈Z，所以f(x)＝sin(2x＋2nπ)＝sin2x.π3ππ3π令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，2 2 4 4π3π故函数f(x)的单调递减区间为[，k∈Z，故选C．kπ＋，kπ＋4 ]4ππ14．设ω∈N*且ω≤15，则使函数y＝sinωx在区间[上不单，3]4调的ω的个数是(C)A．6 B．7C．8 D．9π解析：由ωx＝＋kπ(k∈Z)得函数y＝sinωx的图象的对称轴为x＝2πkπ＋(k∈Z)．2ωωππ∵函数y＝sinωx在区间[上不单调，3]，4ππkππ∴＜＋＜(k∈Z)，4 2ωω 3解得1.5＋3k＜ω＜2＋4k(k∈Z)．由题意ω∈N*且ω≤15，∴当k＝0 时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；Earlybird当k＝1 时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取5；当k＝2 时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取8,9；当k＝3 时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取11,12,13；当k＝4 时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8 个，分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C．π15．若函数f(x)＝A cos2(ωx＋φ)＋1 (的最A＞0，ω＞0，0＜φ＜2)大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝4_035__.解析：∵函数f(x)＝A cos2(ωx＋φ)＋11＋cos2ωx＋2φ＝A·＋12A A＝cos(2ωx＋2φ)＋1＋的最大值为3，2 2A A∴＋1＋＝3，∴A＝2.2 2根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，2ππ即＝4，∴ω＝.2ω 4再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，πππ又0＜φ＜，∴2φ＝，φ＝.2 2 4故函数f(x)的解析式为πππf(x)＝cos(＋2＝－sin x＋2，x＋2)2 2∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝π2π3π 2 017π 2 018π－(sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin ＋sin2 )2 2 2 2π＋2×2 018＝504×0－sin －sinπ＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.2Earlybirdπ16．已知函数f(x)＝2sin2(－cos2x－1，x∈R.＋x) 34(1)求f(x)的最小正周期；π(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点(对称，且t∈(0，π)，求t，0)－6的值；ππ(3)当x∈[时，不等式|f(x)－m|＜3 恒成立，求实数m的取值，2]4范围．π解：(1)因为f(x)＝－cos(－cos2x＝sin2x－cos2x＝2＋2x) 3 321 3 π＝2sin ，sin2x－cos2x)(2x－(3)2 2故f(x)的最小正周期为π.π(2)由(1)知h(x)＝2sin(.3)2x＋2t－ππ令2×(＋2t－＝kπ(k∈Z)，－6 )3kππ得t＝＋(k∈Z)，2 3π5π又t∈(0，π)，故t＝或.3 6ππππ2π(3)当x∈[时，2x－∈，，，2] 3 [ 3 ]4 6所以f(x)∈[1,2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，所以2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.故实数m的取值范围是(－1,4)．。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业8
课时作业17 定积分与微积分基本定理1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( D )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：⎠⎛01(3x ＋e x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x |10＝32＋e －1＝e ＋12.2.(2019·河南郑州一模)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( D )A ．5 mB ．112 m C ．6 mD ．132 m解析：根据题意，汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速运动时，汽车在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋2t |21＝132m ，故选D ．3.若f (x )＝⎩⎨⎧lgx ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( A ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.4．(2019·孝义质检)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，如⎪⎪⎪⎪⎪⎪13 24＝1×4－2×3＝－2，那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛12x d x 132)＝(D )A ．6B ．3C ．32D ．5．(2019·福建省师大附中等校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b x (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( C)A ．0B ．1C ．－1D ．－2解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ． 由题意得f ′(0)＝0，得b ＝0， ∴f (x )＝－x 2(x －a )．由⎠⎛a0(x 3－ax 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4－13ax 3|0a ＝0－a 44＋a 43＝a 412＝112，得a ＝±1.函数f (x )与x 轴的交点的横坐标一个为0，另一个为A ．,根据图形可知a ＜0，即a ＝－1.6.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则, ⎠⎛-11 [(x ＋1)f (x )]d x 等于( D)A ．2B ．－2,C ．1D ．－1解析：由题图易知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0＜x ≤1，所以⎠⎛-11 [(x ＋1)f (x )]d x＝⎠⎛-10 (x ＋1)(－x －1)d x ＋⎠⎛01(x ＋1)(x －1)d x＝⎠⎛-10(－x 2－2x －1)d x ＋⎠⎛01(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－x 2－x |0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x |10＝－13－23＝－1，故选D ．7.(2019·新疆第一次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( B )A ．3B ．103C ．73D ．83解析：由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A(1,2)， 结合图形可知，所求的面积为⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋12×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |10＋2＝103.8.(2019·呼和浩特质检)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( B )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1解析：方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，,S 2＝ln x |21＝ln2＜lne ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2＜S 1＜S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2＜S 1＜S 3.9.若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝－4__.解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．,所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.,故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44－x 3|20＝－4.10.一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为494m ．解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎨⎧2t ，0≤t ＜1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3＜t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得s ＝⎠⎜⎜⎛126v (t )d t ＝⎠⎜⎜⎛1212t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t＝t 2⎪⎪⎪112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)． 所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m ．11.设M ，m 分别是f (x )在区间[a ，b]上的最大值和最小值，则m (b －a )≤⎠⎛a b f (x )d x ≤M (b －a )．根据上述估值定理可知定积分⎠⎛-122－x 2d x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，3. 解析：因为当－1≤x ≤2时，0≤x 2≤4， 所以116≤2－x 2≤1.根据估值定理得116×[2－(－1)]≤⎠⎛-122－x 2d x ≤1×[2－(－1)]，即316≤⎠⎛-122－x 2d x ≤3.12．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0＜t ＜1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是14.解析：设图中阴影部分的面积为S (t )， 则S (t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13.由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )m in ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.13．(2019·青岛模拟)已知函数f(x)在R 上满足f (π－x )＝f (x )，若当0≤x ≤π2时，f (x )＝cos x －1，则当0≤x ≤π时，f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积为( A )A ．π－2B ．2π－4C ．3π－6D ．4π－8解析：∵当0≤x ≤π2时， f (x )＝cos x －1，∴当π2＜x ≤π时，0≤π－x ＜π2，f (x )＝f (π－x )＝cos(π－x )－1＝－cos x －1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x －1，0≤x ≤π2，－cos x －1，π2＜x ≤π.所以当0≤x ≤π时，f (x )的图象与x 轴所围成图形的面14.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1.2__.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝15.(2019·郑州调研) ⎠⎛-11 (1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2.16.(2019·安徽六安第一中学模拟)已知a ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －x 6展开式的常数项为240，则⎠⎛－aa (x 2＋x cos x ＋4－x 2)d x ＝163＋2π.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (3)
课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为(A) A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)解析：命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．2．(2019·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(D)A．∀x∈R，x2－πx＜0 B．∀x∈R，x2－πx≤0C．∃x0∈R，x20－πx0≤0 D．∃x0∈R，x20－πx0＜0解析：全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x20－πx0＜0”，故选D.3．(2019·衡水二调)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是(B)A．∃x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0B．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0C．∀x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0解析：根据全称命题与特称命题互为否定的关系可知綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0.4．(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0＞3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真的是(A) A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧q D．(綈p)∨q解析：对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174＞3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A)A．綈p∨綈q B．p∨綈qC．綈p∧綈q D．p∨q解析：命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为綈p∨綈q.故选A.6．(2019·河南郑州外国语中学模拟)已知命题p：若复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数1＋i1＋2i 的虚部为－15i，则下列命题中为真命题的是(C)A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q解析：复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z ＝－5i ＋i ＝6i ，故命题p 为真命题， 则綈p 为假命题； 复数1＋i 1＋2i ＝(1＋i )·(1－2i )(1＋2i )·(1－2i )＝35－15i ，则z 的虚部为－15，故命题q 为假命题，则綈q 为真命题．由复合命题真假判断的真值表可知(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题．故选C. 7．(2019·山东泰安联考)下列命题正确的是( D ) A ．命题“∃x ∈[0,1]，使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0” B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题 C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a ·b ＞0”及它的逆命题均为真命题 D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0” 解析：对于选项A ，命题“∃x ∈[0,1]，使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1＜0”，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，则綈p 为真命题；q 为真命题，则綈q 为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”，故选项D 正确，因此选D. 8．(2019·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( B ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧(綈q ) 解析：因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题； 当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13， 所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0， 所以命题q 为真命题， 逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题，故选B. 9．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋a ＝0.若p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，4] B ．[0,4) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：当a ＝0时，命题p 为真；当a ≠0时，若命题p 为真，则a ＞0且Δ＝a 2－4a ＜0，即0＜a ＜4.故命题p 为真时，0≤a ＜4.命题q 为真时，Δ＝1－4a ≥0，即a ≤14.命题p ∧q 为真命题时，p ，q 均为真命题，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 10．(2019·聊城模拟)已知函数f (x )在R 上单调递增，若∃x 0∈R ，f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|)，则实数a 的取值范围是( A ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．[8，＋∞) D ．(0,2] 解析：∵函数f (x )在R 上单调递增， ∴∃x 0∈R ，f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|)， 等价为∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤log 2a －|x 0＋2|成立，即|x ＋1|＋|x ＋2|≤log 2a 有解， ∵|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋2－x －1|＝1， ∴log 2a ≥1，即a ≥2. 11．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是②__.(填序号) 解析：命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交． 12．(2019·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ . 解析：依题意知f (x )max ≤g (x )max . ∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.13．已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集，命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是( D ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 B ．[3，＋∞)C ．[2,3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞) 解析：命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集，a ＝0时，不满足题意．当a ≠0时，必须满足： ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(22)2－4a ≤0，解得a ≥2. 命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0， 可得函数f (x )在R 上单调递减， ∴0＜2a －5＜1，解得52＜a ＜3. ∵命题p ∧(綈q )是真命题， ∴p 为真命题，q 为假命题． ∴⎩⎨⎧ a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3， 则实数a 的取值范围是[3，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.故选D. 14．(2019·河北衡水中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的部分图象如图所示，其中|MN |＝52，记命题p ：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，命题q ：将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3的图象，则以下判断正确的是(D )A ．p ∧q 为真B ．p ∨q 为假C ．(綈p )∨q 为真D ．p ∧(綈q )为真 解析：由|MN |＝52，可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω2＋22＝52， 解得ω＝π3，因为f (0)＝1， 所以sin φ＝12. 又φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以φ＝5π6， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6. 故p 为真命题． 将f (x )图象上所有的点向右平移π6个单位，得到 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6－π218的图象， 故q 为假命题． 所以p ∧q 为假，p ∨q 为真，(綈p )∨q 为假，p ∧(綈q )为真，故选D. 15．(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，给出以下四个命题： ①∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )； ②∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0； ③∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2； ④∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |. 其中所有真命题的序号是( D ) A ．①② B ．③④ C ．①②③ D ．①②③④解析：对于①，∵f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，且其定义域为(－1,1)，∴f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝－f (x )，即∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )，故①是真命题； 对于②，∵x ∈(－1,1)，由f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2≥2＞0，可知f (x )在区间(－1,1)上单调递增，即∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，故②是真命题； 对于③，∵f ′(x )＝21－x 2在(0,1)上单调递增， ∴∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2， 故③是真命题； 对于④，设g (x )＝f (x )－2x ， 则当x ∈(0,1)时，g ′(x )＝f ′(x )－2≥0， ∴g (x )在(0,1)上单调递增， ∴当x ∈(0,1)时，g (x )＞g (0)，即f (x )＞2x ，由奇函数性质可知，∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |，故④是真命题，故选D. 16．已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是[0,2]__． 解析：若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真． 由e x －mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2， 当x ＞1时，f ′(x )＞0，函数f (x )＝e x x 在(1，＋∞)上是单调递增函数； 当0＜x ＜1或x ＜0时，f ′(x )＜0，函数f (x )＝e x x 在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x 的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m ＜e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (54)
课时作业54 双曲线1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( A )A. 3 B ．3 C.3mD ．3m解析：由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23＝1， 其中a 2＝3m ，b 2＝3， 故c ＝a 2＋b 2＝3m ＋3，不妨取F (3m ＋3，0)，一条渐近线为y ＝1mx ，化成一般式即为x －my ＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3·m ＋1|1＋(－m )2＝3，故选A.2．(2019·河南洛阳尖子生联考)设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( D )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A.x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：方法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k ＞0)，即x 24k －y 25k ＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点， ∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1， 故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.方法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ， ∴b a ＝52②.联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.4．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( B )A ．32B ．16C ．84D ．4解析：由题意知F 2(c,0)， 不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上， 由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16， 即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45， 所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( B )A ．3B ．2C ．－3D ．－2解析：由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2. 又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知 cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B. 6．(2019·山东泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C ．(1,2) D ．(2，＋∞)解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2， 圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点， 得|ab |a 2＋b2＜12a ， 即c ＞2b ，即c 2＞4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2＞4(c 2－a 2)， 即c 2＜43a 2，所以e ＝c a ＜233，又知e ＞1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.7．(2019·河南安阳一模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 (0,2) .解析：对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8， 则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．8．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±22x .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为4|OF |＝|AF |＋|BF |， 所以4×p 2＝y 1＋p 2＋y 2＋p2， 即y 1＋y 2＝p .① 由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x 2a 2－y 2b 2＝1消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2.② 由①②可得b a ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .9．(2019·河北名校名师俱乐部模拟)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于 4 .解析：由题意知a ＝1，如图，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2， |BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2， ∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4， |BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|， ∴|BA |＝|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形． ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2. ∴S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.10．(2019·河南天一大联考)已知F 1(－c,0)、F 2(c,0)为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过双曲线C 的左焦点的直线与双曲线C 的左支交于Q ，R 两点(Q 在第二象限内)，连接RO (O 为坐标原点)并延长交C 的右支于点P ，若|F 1P |＝|F 1Q |，∠F 1PF 2＝23π，则双曲线C 的离心率为576 .解析：设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝x －2a ， 作Q 关于原点对称的点S ，如图， 连接PS ，RS ，SF 1.因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO |＝|OR |，S 在双曲线上， 所以四边形PSRQ 是平行四边形，根据对称性知，F 2在线段PS 上，|F 2S |＝|QF 1|＝x ， 则∠F 1PS ＝2π3，根据双曲线的定义， 有|F 1S |＝x ＋2a ，所以在△PF 1S 中，由余弦定理得(x ＋2a )2＝x 2＋(2x －2a )2－2·x (2x －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 解得x ＝73a ，所以|PF 2|＝13a ， 所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×73a ×13a ，整理可得e ＝c a ＝576.11．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|＞|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1＞x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|. 所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8， 解得k ＝0或k ＝±62.又因为－2＜k ＜2，且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.12．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c2b 2＝1， 即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.13．焦点在x 轴上的双曲线C 1的离心率为e 1，焦点在y 轴上的双曲线C 2的离心率为e 2，已知C 1与C 2具有相同的渐近线，当e 21＋4e 22取最小值时，e 1的值为( C )A ．1B ．62 C. 3D ．2解析：设双曲线的方程分别为C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1，C 2：y 2a 22－x 2b 22＝1，由题设b 1a 1＝a 2b 2，则e 1＝1＋b 21a 21，e 2＝1＋b 22a 22，由此可得(e 21－1)(e 22－1)＝1，即e 21e 22＝e 21＋e 22，故e 22＝e 21e 21－1，所以e 21＋4e 22＝e 21＋4e 21e 21－1＝5＋e 21－1＋4e 21－1≥9(当且仅当e 21－1＝4e 21－1时取等号)，e 21－1＝2⇒e 1＝3时取等号．14．(2019·山西太原五中月考)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( B )A ．1B ．12 C.13D ．23解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π， 所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2. 设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知 |BF 1|－|BF 2|＝2a ， 所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|， 又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|. 又知∠BAF 2＝π3， 所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ， 所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12，故选B. 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 53 . 解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 当P ，F 1，F 2三点不共线时， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2| ＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2， 即e 2＝179－89cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53. 当P ，F 1，F 2三点共线时， ∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴e ＝c a ＝53， 综上，e 的最大值为53. 16．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围． 解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知得a ＝3，c ＝2， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)＞0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1. 所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2. 所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为y ＝－1k x ＋m ， 将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2. 因为33＜k ＜1，所以－2＜1－3k 2＜0. 所以m ＜－2 2. 所以m 的取值范围为(－∞，－22)．。
《精品》人教版红对勾2020届高考一轮数学(理)复习课时作业50
课时作业50 两直线的位置关系1．已知直线l 1：(m －4)x －(2m ＋4)y ＋2m －4＝0与l 2：(m －1)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，则“m ＝－2”是“l 1∥l 2”的( B )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ＝－2，则l 1：－6x －8＝0，l 2：－3x ＋1＝0，∴l 1∥l 2.若l 1∥l 2，则(m －4)·(m ＋2)＋(2m ＋4)(m －1)＝0，解得m ＝2或m ＝－2.∴“m ＝－2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选B.2．(2019·新疆乌鲁木齐模拟)直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)，则过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程是( A )A ．2x ＋3y －2＝0B ．3x ＋2y －2＝0C ．3x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y ＋2＝0解析：∵直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)，∴2a 1＋3b 1＝2,2a 2＋3b 2＝2，∴过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＝2，即2x ＋3y －2＝0，故选A.3．(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( B )A ．7 B.172 C ．14D ．17解析：直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10， 所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.4．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( D )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0 解析：法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0， 即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0， 又直线过点(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0， 解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.5．(2019·安阳一模)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( D )A ．(5，＋∞)B ．(0,5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为(－1－2)2＋[2－(－3)]2＝34，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]．6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( A )A.345B.365C.283D.323解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎨⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.7．(2019·山西临汾模拟)设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ；P ，Q 分别为l 1，l 2上的点，点M 为PQ 的中点，若AM ＝12PQ ，则m 的值为( A )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：在△APQ 中，M 为PQ 的中点，且AM ＝12PQ ，∴△APQ 为直角三角形，且∠P AQ ＝90°，∴l 1⊥l 2，∴1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2，故选A.8．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1， ∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求方程为2x ＋3y ＋12＝0.故选D.9．设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( C )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·b sin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.10．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( B )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)， 如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10， 故选B. 11．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为 6x －y －6＝0 .解析：先利用两直线垂直的性质求出点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点，再利用两点式求出反射光线所在直线的方程．设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)×1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －0＝6－02－1(x －1)，即6x －y －6＝0.12．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为 (1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87 .解析：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.13．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，且|Ax 1＋By 1＋C |＞|Ax 2＋By 2＋C |，则( C )A ．直线l 与直线P 1P 2不相交B ．直线l 与线段P 2P 1的延长线相交C ．直线l 与线段P 1P 2的延长线相交D ．直线l 与线段P 1P 2相交解析：由题可知，(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0表示两点在直线的同侧．因为|Ax 1＋By 1＋C |＞|Ax 2＋By 2＋C |， 所以|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2＞|Ax 2＋By 2＋C |A 2＋B 2，所以P 1到直线的距离大于P 2到直线的距离， 所以直线l 与线段P 1P 2的延长线相交，故选C.14．(2019·安徽安庆模拟)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线间距离的最大值为( B )A.24B.22C.12D. 2解析：因为a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以a ＋b ＝－1，ab ＝c .因为直线x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0之间的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝(a ＋b )2－4ab 2＝1－4c 2， 因为0≤c ≤18，所以12≤1－4c ≤1， 所以14≤1－4c 2≤12，即d 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，所以这两条直线之间的距离的最大值为22，故选B.15．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( B )A.92 B.94 C ．1D ．9解析：动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －2＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3， ∴(4－1)2＋(0－m )2＝3，解得m ＝0. ∴a ＋c ＝2. 又a ＞0，c ＞0，∴12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2 c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B.16．已知x ，y 为实数，则代数式1＋(y －2)2＋9＋(3－x )2＋x 2＋y 2的最小值是 41 .解析：如图所示，由代数式的结构可构造点P (0，y )，A (1,2)，Q (x,0)，B (3,3)，则1＋(y－2)2＋9＋(3－x)2＋x2＋y2＝|P A|＋|BQ|＋|PQ|.分别作点A关于y轴的对称点A′(－1,2)，点B关于x轴的对称点B′(3，－3)，则1＋(y－2)2＋9＋(3－x)2＋x2＋y2≥|A′B′|＝41，当且仅当P，Q为A′B′与坐标轴的交点时，等号成立，故最小值为41.。
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课时作业1集合及其运算1．(2019·莱州一中模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B ＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为(C)A．2 B．3C．4 D．5解析：A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.2．(2018·浙江卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝(C)A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5}．3．(2019·湖北四地七校联考)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则(D)A．M＝N B．M⊆NC．M∩N＝∅D．N⊆M解析：因为M＝{x||x|≤1}，所以M＝{x|－1≤x≤1}，因为N＝{y|y ＝x2，|x|≤1}，所以N＝{y|0≤y≤1}，所以N⊆M，故选D.4．(2019·湖南长沙长郡中学月考)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为(C)A．1 B．2C．4 D．8解析：由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个，故选C.5．(2014·新课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x ＜2}，则A∩B＝(A)A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：由不等式x 2－2x －3≥0，解得x ≥3或x ≤－1，因此集合A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又集合B ＝{x |－2≤x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，故选A.6．(2019·湖北黄冈调研)已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝( A )A ．{x |x ＞－1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1＜x ＜1}解析：依题意得M ＝{x |－1＜x ＜1}，N ＝{x |x ＜1}，∁R N ＝{x |x ≥1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |x ＞－1}．7．(2019·广东省际名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{y |y ＝e x ，x ＜ln3}，则A ∪B ＝( A )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3) 解析：因为A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{y |0＜y ＜3}，所以A ∪B ＝(－1,3)．8．(2019·广州质检)已知集合A ＝{x |2x 2－7x ＋3＜0}，B ＝{x ∈Z |lg x ＜1}，则阴影部分所表示的集合的元素个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵A ＝{x |2x 2－7x ＋3＜0}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，B ＝{x ∈Z |lg x ＜1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴阴影部分表示的集合是A ∩B ＝{1,2}，有2个元素．9．(2019·河北“五个一”名校联盟质检)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,7}，B ＝{x |x ＝log 2(a ＋1)，a ∈A }，则(∁U A )∩(∁U B )＝(C )A ．{1,3}B ．{5,6}C ．{4,5,6}D ．{4,5,6,7}解析：A ＝{1,3,7}，B ＝{x |x ＝log 2(a ＋1)，a ∈A }＝{1,2,3}，又U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，∴∁U A ＝{2,4,5,6}，∁U B ＝{4,5,6,7}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{4,5,6}．10．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q ＝( B )A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |2≤x ＜3}解析：由log 2x ＜1，得0＜x ＜2，所以P ＝{x |0＜x ＜2}；由|x －2|＜1，得1＜x ＜3，所以Q ＝{x |1＜x ＜3}，由题意，得P －Q ＝{x |0＜x ≤1}．11．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ≤－1}__．解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}．12．(2019·淮北模拟改编)已知集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)＜1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为－12 .解析：由log 2(x －1)＜1，得1＜x ＜3，则N ＝(1,3)， ∴∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}．又M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝[－2a ，＋∞)， M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，∴－2a ＝1，解得a ＝－12.13．如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A #B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则A #B 为( D )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x ＞2}解析：因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}，所以A #B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}，故选D.14．设平面点集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪(y －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( D )A.34π B.35π C.47πD.π2解析：不等式(y －x )·⎝⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0可化为⎩⎨⎧y －x ≥0，y －1x ≥0或⎩⎨⎧y －x ≤0，y －1x ≤0.集合B 表示圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A ∩B 所表示的平面区域如图所示．曲线y ＝1x ，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1均关于直线y ＝x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半，即为π2.15．(2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( D )A ．15B ．16C ．20D ．21解析：由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}． ∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A *B ＝{1,2,3,4,5,6}， ∴A *B 中的所有元素之和为21.16．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是112 .解析：由已知，可得⎩⎨⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎨⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，当集合M ∩N 的长度取最小值时，M 与N 应分别在区间[0,1]的左、右两端．取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( A ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b D ．若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：将条件、结论都否定．命题的否命题是“若a ≤b ，则a＋c ≤b ＋c ”．2．(2019·江西九江十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥－1，ln (－x )，x ＜－1，则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( B )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x ＝0，则f (0)＝e 0＝1；若f (x )＝1，则e x ＝1或ln(－x )＝1，解得x ＝0或x ＝－e.故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件．3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( D )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.4．(2019·河南郑州一模)下列说法正确的是( D )A ．“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1，则a 2≤1”B ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题C ．存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0＞4x 0成立D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题解析：对于选项A ，“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故选项A 错误；对于选项B ，“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C ，由指数函数的图象知，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有4x ＞3x ，故选项C 错误；对于选项D ，“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”，该逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D.5．(2019·江西鹰谭中学月考)设f (x )＝x 2－4x (x ∈R )，则f (x )＞0的一个必要不充分条件是( C )A ．x ＜0B ．x ＜0或x ＞4C ．|x －1|＞1D ．|x －2|＞3解析：依题意，f (x )＞0⇔x 2－4x ＞0⇔x ＜0或x ＞4.又|x －1|＞1⇔x －1＜－1或x －1＞1，即x ＜0或x ＞2，而{x |x ＜0或x ＞x |x ＜0或x ＞2}，因此选C.6．(2019·山东日照联考)“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ＜0时，由图象的平移变换可知，函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时，m ≤0，所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.7．(2019·安徽两校阶段性测试)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.8．(2019·山西太原模拟)已知a ，b 都是实数，那么“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：若2a ＞2b ， 则2a －b ＞1，∴a －b ＞0，∴a ＞b . 当a ＝－1，b ＝－2时，满足2a ＞2b ， 但a 2＜b 2，故由2a ＞2b 不能得出a 2＞b 2， 因此充分性不成立． 必要性：若a 2＞b 2，则|a |＞|b |.当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2＞b 2，但2－2＜21， 即2a ＜2b ，故必要性不成立．综上，“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，故选D.9．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6，sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，∴“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件．10．(2019·江西红色七校模拟)在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，则“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为cos A ＞sin B ，所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，因为角A ，B 均为锐角，所以π2－B 为锐角， 又因为余弦函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， 所以A ＜π2－B ，所以A ＋B ＜π2， 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以C ＞π2， 所以△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，角A ，B 均为锐角， 则C ＞π2，所以A ＋B ＜π2，所以A ＜π2－B ，所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，即cos A ＞sin B .故“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件． 11．设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分__条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：a ∥b ⇔sin2θ＝cos 2θ⇔cos θ＝0或2sin θ＝cos θ⇔cos θ＝0或tan θ＝12，所以“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分条件．12．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 .解析：方法一 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12.綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎨⎧ a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎨⎧ a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.方法二 命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，命题q ：B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎨⎧a ＋1≥1，a ＜12或⎩⎨⎧a ＋1＞1，a ≤12，∴0≤a ≤12.13．已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：易知p 成立⇔a ≤1，q 成立⇔a ＞1，所以綈p 成立⇔a ＞1，则綈p 是q 的充要条件，故选C.14．(2019·昆明诊断)下列选项中，说法正确的是( D ) A ．若a ＞b ＞0，则ln a ＜ln bB ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1”D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：∵函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数，∴若a ＞b ＞0，则ln a ＞ln b ，故A 错误；若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错误；命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n ≤(n ＋2)·2n －1”，故C 错误；命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )＜0”是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象连续不断，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)＞0，D 正确．15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是(2，＋∞)__．解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.16．(2019·石家庄模拟)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是[9，＋∞)__．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴綈p 对应的集合为{x |x ＞10或x ＜－2}，设A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴綈q 对应的集合为{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}，设B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴BA ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，NM ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为(A) A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)解析：命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．2．(2019·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(D)A．∀x∈R，x2－πx＜0 B．∀x∈R，x2－πx≤0C．∃x0∈R，x20－πx0≤0 D．∃x0∈R，x20－πx0＜0解析：全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x20－πx0＜0”，故选D.3．(2019·衡水二调)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是(B)A．∃x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0B．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0C．∀x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0解析：根据全称命题与特称命题互为否定的关系可知綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0.4．(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0＞3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真的是(A)A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧q D．(綈p)∨q解析：对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174＞3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A)A．綈p∨綈q B．p∨綈qC．綈p∧綈q D．p∨q解析：命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为綈p∨綈q.故选A.6．(2019·河南郑州外国语中学模拟)已知命题p：若复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数1＋i1＋2i 的虚部为－15i，则下列命题中为真命题的是(C)A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q解析：复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z ＝－5i ＋i ＝6i ，故命题p 为真命题，则綈p 为假命题；复数1＋i 1＋2i ＝(1＋i )·(1－2i )(1＋2i )·(1－2i )＝35－15i ，则z 的虚部为－15，故命题q 为假命题，则綈q 为真命题．由复合命题真假判断的真值表可知(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题．故选C.7．(2019·山东泰安联考)下列命题正确的是( D )A ．命题“∃x ∈[0,1]，使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0”B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a ·b ＞0”及它的逆命题均为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”解析：对于选项A ，命题“∃x ∈[0,1]，使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1＜0”，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，则綈p 为真命题；q 为真命题，则綈q 为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”，故选项D 正确，因此选D.8．(2019·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( B )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解析：因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题，故选B.9．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋a ＝0.若p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，4]B ．[0,4) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：当a ＝0时，命题p 为真；当a ≠0时，若命题p 为真，则a ＞0且Δ＝a 2－4a ＜0，即0＜a ＜4.故命题p 为真时，0≤a ＜4.命题q为真时，Δ＝1－4a ≥0，即a ≤14.命题p ∧q 为真命题时，p ，q 均为真命题，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 10．(2019·聊城模拟)已知函数f (x )在R 上单调递增，若∃x 0∈R ，f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|)，则实数a 的取值范围是( A )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．[8，＋∞)D ．(0,2]解析：∵函数f (x )在R 上单调递增，∴∃x 0∈R ，f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|)，等价为∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤log 2a －|x 0＋2|成立，即|x ＋1|＋|x ＋2|≤log 2a 有解，∵|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋2－x －1|＝1，∴log 2a ≥1，即a ≥2.11．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是②__.(填序号)解析：命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．12．(2019·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ . 解析：依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.13．已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集，命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是( D ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 B ．[3，＋∞)C ．[2,3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞) 解析：命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集，a ＝0时，不满足题意．当a ≠0时，必须满足：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(22)2－4a ≤0，解得a ≥2. 命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，可得函数f (x )在R 上单调递减，∴0＜2a －5＜1，解得52＜a ＜3.∵命题p ∧(綈q )是真命题，∴p 为真命题，q 为假命题．∴⎩⎨⎧ a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3，则实数a 的取值范围是[3，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.故选D. 14．(2019·河北衡水中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的部分图象如图所示，其中|MN |＝52，记命题p ：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，命题q ：将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3的图象，则以下判断正确的是( D )A ．p ∧q 为真B ．p ∨q 为假C ．(綈p )∨q 为真D ．p ∧(綈q )为真 解析：由|MN |＝52，可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω2＋22＝52， 解得ω＝π3，因为f (0)＝1，所以sin φ＝12.又φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以φ＝5π6， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6. 故p 为真命题．将f (x )图象上所有的点向右平移π6个单位，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6－π218的图象， 故q 为假命题．所以p ∧q 为假，p ∨q 为真，(綈p )∨q 为假，p ∧(綈q )为真，故选D.15．(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，给出以下四个命题：①∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )；②∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0； ③∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2； ④∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |.其中所有真命题的序号是( D )A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②③④解析：对于①，∵f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，且其定义域为(－1,1)，∴f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝－f (x )，即∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )，故①是真命题；对于②，∵x ∈(－1,1)，由f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2≥2＞0，可知f (x )在区间(－1,1)上单调递增，即∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，故②是真命题； 对于③，∵f ′(x )＝21－x 2在(0,1)上单调递增， ∴∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2， 故③是真命题；对于④，设g (x )＝f (x )－2x ，则当x ∈(0,1)时，g ′(x )＝f ′(x )－2≥0，∴g (x )在(0,1)上单调递增，∴当x ∈(0,1)时，g (x )＞g (0)，即f (x )＞2x ，由奇函数性质可知，∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |，故④是真命题，故选D.16．已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是[0,2]__．解析：若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0，设f (x )＝e x x ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2，当x ＞1时，f ′(x )＞0，函数f (x )＝e x x 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0＜x ＜1或x ＜0时，f ′(x )＜0，函数f (x )＝e x x 在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e xx 的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m ＜e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.课时作业4 函数及其表示1．下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin2x2cos x ，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2解析：A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D.2．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( D )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，34B.⎝⎛⎭⎪⎫0，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意；当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.3．(2019·广东珠海模拟)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( A )A.15lg2 B.12lg5 C.13lg2D.12lg3解析：解法一：由题意知x ＞0，令t ＝x 5，则t ＞0，x ＝t 15，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ， 即f (x )＝15lg x (x ＞0)，∴f (2)＝15lg2，故选A. 解法二：令x 5＝2，则x ＝215， ∴f (2)＝lg215＝15lg2，故选A.4．已知函数f (x )＝1－log 2x 的定义域为[1,4]，则函数y ＝f (x )·f (x 2)的值域是( C )A ．[0,1]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 解析：对于y ＝f (x )·f (x 2)，由函数f (x )的定义域是[1,4]，得1≤x ≤4，且1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2，故函数y ＝f (x )·f (x 2)的定义域是[1,2]，易得y ＝f (x )·f (x 2)＝1－3log 2x ＋2log 22x ，令t ＝log 2x ，则t ∈[0,1]，y ＝1－3t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－18，故t ＝34时，y 取最小值－18；t ＝0时，y 取最大值1，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1，故选C. 5．(2019·河南濮阳模拟)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x ＞0，g (x )，x ＜0是奇函数，则f (g (－2))的值为( C )A.52 B ．－52 C ．1 D ．－1解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＞0，g (x )，x ＜0是奇函数，∴x ＜0时，g (x )＝－12x ＋3， ∴g (－2)＝－12－2＋3＝－1，f (g (－2))＝f (－1)＝g (－1)＝－12－1＋3＝1，故选C.6．(2019·福建福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x ＞0，则满足f (x 2－2)＞f (x )的x 的取值范围是( C )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由题意，x ＞0时，f (x )递增，故f (x )＞f (0)＝0，又x ≤0时，x ＝0，故若f (x 2－2)＞f (x )，则x 2－2＞x ，且x 2－2＞0，解得x ＞2或x ＜－2，故选C.7．(2019·河北成安模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( C )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由题意知，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又∵y ＝x －2，y ＝x 3－2在R 上都为增函数，且f (x )在x ＝1处连续，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.8．(2019·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( C )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若x ＞1，则f (x )＝x ＋1＞2，易知y ＝2|x －a |在(a ，＋∞)上递增，在(－∞，a )上递减，若a ＜1，则f (x )在x ＝a 处取得最小值，不符合题意； 若a ≥1，则要使f (x )在x ＝1处取得最小值， 只需2a －1≤2，解得a ≤2，∴1≤a ≤2. 综上可得a 的取值范围是[1,2]，故选C.9．(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x ＋ln(x ＋4)的定义域为(－4,1]__．解析：要使函数f (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4＞0，解得－4＜x ≤1，即函数f (x )的定义域为(－4,1]．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则使f (x )＝12的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 .解析：由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x ＞0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.11．记函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a ＜1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 . 解析：由已知得A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}， B ＝{x |(x －a －1)·(x －2a )＜0}，由a ＜1得a ＋1＞2a ，∴B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋1}． ∵B ⊆A ，∴a ＋1≤－1或2a ≥1， ∴a ≤－2或12≤a ＜1.∴a 的取值范围为a ≤－2或12≤a ＜1.12．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18. (2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2； 当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]， f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2； 当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].13．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( A )A ．y ＝12x 3－12x 2－x B ．y ＝12x 3＋12x 2－3x C ．y ＝14x 3－x D ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析：设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .14．(2019·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |，x ＜a ＋1，－|x ＋1|－a ，x ≥a ＋1，若f (x )的最大值不超过1，则实数a 的取值范围为( A )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－54 解析：当x ＜a ＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |在(－∞，a )上递增，在[a ，a＋1)上递减，可得此时f (x )在x ＝a 处取得最大值，且为1；当x ≥a ＋1时，f (x )＝－a －|x ＋1|，当a ＋1≥－1，即a ≥－2时，f (x )递减，由题意得－a －|a ＋2|≤1，解得a ≥－32；当a ＋1＜－1，即a ＜－2时，f (x )在x ＝－1处取得最大值，且为－a ，由题意得－a ≤1，则a ∈∅.综上可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，故选A.课时作业5 函数的单调性与最值1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( A )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：依题意可得函数在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A正确．2．(2019·阜阳模拟)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( B )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1， 故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减； ③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增． 故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( C )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 解析：由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13.4．(2019·山西晋城一模)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a ＞0且a ≠1)，若f (0)＜0，则此函数的单调递增区间是( C )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1)D ．(－3，－1]解析：令g (x )＝－x 2－2x ＋3， 由题意知g (x )＞0，可得－3＜x ＜1， 故函数的定义域为{x |－3＜x ＜1}． 根据f (0)＝log a 3＜0，可得0＜a ＜1， 则本题即求函数g (x )在(－3,1)内的减区间．利用二次函数的性质可求得函数g (x )在(－3,1)内的减区间为[－1,1)，故选C.5．(2019·河南郑州一模)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x |－1x 2在{x |1≤|x |≤4，x ∈R }上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝( A )A.3116 B ．2 C.94D.114解析：可令|x |＝t ，则1≤t ≤4，y ＝t －1t 2， 易知y ＝t －1t 2在[1,4]上递增，∴其最小值为1－1＝0；最大值为2－116＝3116，则m ＝0，M ＝3116， 则M －m ＝3116，故选A.6．(2019·山东济宁模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π，b ＝(lnπ)2，c ＝ln π，则( C )A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (a )＞f (c )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )解析：由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又∵|a |＝lnπ＞1，b ＝(lnπ)2＞|a |,0＜c ＝lnπ2＜|a |，∴f (c )＞f (|a |)＞f (b )．又由题意知f (a )＝f (|a |)，∴f (c )＞f (a )＞f (b )．故选C.7．(2019·河南安阳一模)已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；②对定义域内的任意x ，都有f (x )＝f (－x )，则符合上述条件的函数是( A )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x －x C ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x解析：由题意得：f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上递增． 对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上递增，符合题意； 对于B ，函数f (x )是奇函数，不符合题意；对于C ，由x ＋1≠0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不符合题意；对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)上不单调递增，不符合题意，故选A.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，0)C ．(0,2)D ．(－2,0)解析：二次函数y ＝x 2－4x ＋3图象的对称轴是直线x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y ＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3＜3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )＞f (2a －x )得到x ＋a ＜2a －x ，即2x ＜a ，∴2x ＜a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)＜a ，∴a ＜－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)，故选A.9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是[0,1)__．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．10．(2019·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜13或1＜x ＜3 . 解析：由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增． ∴f (log 19x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (0)>f (log 19x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， ∴log 19x ＞12或－12＜log 19x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜13或1＜x ＜3. 11．(2019·西安模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x ＞0时，f (x )＞－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数．(2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4.解：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1.证明：在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞－1.又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1＞f (x 2)，所以，函数f (x )在R 上是单调增函数．(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4得f (x 2＋x ＋1)＞f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1＞3，解得x ＜－2或x ＞1，故原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}．12．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0， 当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2＞0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝lg a 2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0.即x ＋a x －2＞1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a ＞3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a ＞2时，恒有f (x )＞0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．13．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( D )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x －1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0，得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．14．(2019·海南阶段性测试)已知函数f (x )＝2 017x ＋log 2 017(x 2＋1＋x )－2 017－x ＋3，则关于x 的不等式f (1－2x )＋f (x )＞6的解集为( A )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞) 解析：因为函数y 1＝2 017x －2 017－x 是奇函数，函数y 2＝log 2 017(1＋x 2＋x )为奇函数，所以函数g (x )＝2 017x －2 017－x ＋log 2 017(x 2＋1＋x )为奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f (1－2x )＋f (x )＞6即g (1－2x )＋3＋g (x )＋3＞6，即g (x )＞g (2x －1)，∴x ＞2x －1，∴x ＜1，∴不等式f (1－2x )＋f (x )＞6的解集为(－∞，1)．故选A.15．设函数f (x )＝2 017x ＋1＋2 0162 017x ＋1＋2 016sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝4_033__.解析：f (x )＝2 017x ＋1＋2 0162 017x ＋1＋2 016sin x ＝2 017x ＋1＋2 017－12 017x ＋1＋2 016sin x ＝2 017－12 017x ＋1＋2 016sin x . 显然该函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增， 故最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，所以M ＋N ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017－12 017π2＋1＋2 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017－12 017－π2＋1－2 016 ＝4 034－12 017π2＋1－ 2 017π21＋2 017π2＝4 034－1＝4 033.16．(2019·中山模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (3)＝1. (1)判断f (x )的单调性；(2)解关于x 的不等式f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞2； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1， ∵当x ＞1时，f (x )＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)在f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2中，令x 1＝9，x 2＝3， ∴f (9)－f (3)＝f (3)．又f (3)＝1，∴f (9)＝2.∴不等式f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞2， 可转化为f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞f (9)， ∴f (3x ＋6)＞f (9)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (9x )， 由函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，可得3x ＋6＞9x ＞0，∴0＜x ＜1，∴原不等式的解集为(0,1)．(3)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0， 解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．课时作业6 函数的奇偶性与周期性1．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( D )A ．y ＝e x ＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A ，B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x 在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x 在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．2．(2019·商丘模拟)已知函数f (x )＝ln(e ＋x )＋ln(e －x )，则f (x )是( D )A．奇函数，且在(0，e)上是增函数B．奇函数，且在(0，e)上是减函数C．偶函数，且在(0，e)上是增函数D．偶函数，且在(0，e)上是减函数解析：f(x)的定义域为(－e，e)，且f(x)＝ln(e2－x2)．又t＝e2－x2是偶函数，且在(0，e)上是减函数，∴f(x)是偶函数，且在(0，e)上是减函数．3．(2019·南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(D)A．f(2)＞f(3) B．f(2)＞f(5)C．f(3)＞f(5) D．f(3)＞f(6)解析：∵y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，因此y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)．又y＝f(x)在(4，＋∞)上为减函数，∴f(5)＞f(6)，所以f(3)＞f(6)．4．(2019·安徽蚌埠模拟)已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f[f(x)－2x]＝6，则f(2)＝(C)A．2B．4 C．6D．8解析：设t＝f(x)－2x，则f(t)＝6，且f(x)＝2x＋t，令x＝t，则f(t)＝2t＋t＝6，∵f(x)是单调函数，f(2)＝22＋2＝6，∴t＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(2)＝4＋2＝6，故选C.5．(2019·河北石家庄一模)已知奇函数f(x)在x＞0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为(A)A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2}。