常微分方程1.3 微分方程的向量场

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dy = f ( x, y) dx
从几何上看，方程 的一个解 从几何上看，方程的一个解 y = ϕ ( x)就是位于 向量场中的一条曲线，该曲线所经过的每一点都与 向量场中的一条曲线，该曲线所经过的每一点都与 向量场在这一点的方向相切。 向量场在这一点的方向相切。 形象的说， 形象的说，解 y = ϕ ( x) 就是始终沿着向量场中的 的解， 方向行进的曲线， 方向行进的曲线，求方程 满足初始值 y ( x0 ) = y0的解， 就是求通过点 ( x0 , y0 )的一条曲线。 的一条曲线。
两部分， 它将 xy 平面分为 D 和 D2两部分， 1
y > −2ex y′′ > 0 在区域 D上， 1 y 在区域 D2 上， ′ < −2ex , y′′ < 0 y = −2ex 是方程的拐点曲线。 是方程的拐点曲线。
D 1
y
0
−2
D 1
x
y = −2ex
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通解： y 通解： = e x ( x + c ).
dy 练习： 求等倾线，极值曲线， 拐点曲线。 练习： = 1 + xy , 求等倾线，极值曲线， 拐点曲线。 dx
1 解：等倾线： + xy = k ; 等倾线：
极值曲线： 1 极值曲线： + xy = 0.
在极值曲线上， 在极值曲线上， y ′ = 0, y ′′ = ... = y ,
极小值； 极大值。 当 y > 0, y ′′ > 0, 极小值；当 y < 0, y ′′ < 0, 极大值。
dy 拐点曲线： 拐点曲线： y + x = y + x (1 + xy ) = 0 dx ⇒ x + ( x 2 + 1) y = 0.
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内容小结
微分方程的向量场 积分曲线的图解法
作 业
P28 1（1）（2），2（1）（2）
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Maple指令： 指令： 指令
DEtools[phaseportrait] ([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x), x=-2..2, # 画向量场及积分曲线 # 定义微分方程 y' = −y # 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值 dirgrid=[17,17], arrows=LINE, axes=NORMAL; # 定义网格密度 # 定义线段类型 # 定义坐标系类型类型
几何意义： 向相同点的几何轨迹。 几何意义：向量场中方 向相同点的几何轨迹。
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例如： 例如：微分方程 y′ = −y 的等倾线为 y = c 的等倾线为 x2 + y2 = c2 y′ = x + y
2 2
称为极值曲线 极值曲线。 零等倾线 f ( x, y) = 0 称为极值曲线。
几何意义： 能是积分曲线， 几何意义：极值曲线可 能是积分曲线， 若不是，积分曲线在其 上的切线平行于 x轴。 若不是，
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定理1.3 定理
dy 的积分曲线的充要条件是： 曲线 L为 = f ( x, y) 的积分曲线的充要条件是： 为 dx dy = f ( x, y) 所确定的向量场 上任一点， 在L上任一点， 的切线与 上任一点 L的切线与 dx 在该点的向量相重合。 在该点的向量相重合。
向量场对于求解微分方程的近似解和研究 微分方程的几何性质极为重要， 微分方程的几何性质极为重要， 因为，可根据向量场的走向来近似求积分曲线， 因为，可根据向量场的走向来近似求积分曲线， 同时也可根据向量场本身的性质来研究解的性质。 同时也可根据向量场本身的性质来研究解的性质。
y′′ = fx ( x, y) + f y ( x, y) f ( x, y) = 0
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的拐点曲线。 y′ = y + ex 的拐点曲线。 例1.3.4 讨论方程
y = −2ex 得 令 解：由方程得 y′′ = y′ + e = y + e ,令 y′′ = 0,得
x 2x
x 不是方程的积分曲线， 容易验证 y = −2e 不是方程的积分曲线，
§1.3
一、 向量场
微分方程的向量场
dy = f ( x, y) 设一阶微分方程 dx
唯一性定理的条件。 满足解的存在唯一性定理的条件 满足解的存在唯一性定理的条件。 过 D 中任一点 ( x0 , y0 ) 有且仅有 一个解
y = ϕ ( x) ，满足 ϕ ( x0 ) = y0 ϕ′( x) = f ( x,ϕ ( x) )
(1)等倾线 y = kx , 积分曲线 y = kx。
1 ( 2) 等倾线 y = − x , k 积分曲线： 为中心的同心圆。 积分曲线：以坐标原点 为中心的同心圆。
dy = f ( x, y) 拐点曲线： 拐点曲线： dx
有连续的偏导数， 设 f (x, y)有连续的偏导数，则一个点成为 y = ϕ ( x) 的拐点的必要条件是 ϕ′′( x) = 0，
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1 1 回车后Maple Maple就在 回车后Maple就在 × 的网格点上画出了向量场 4 4 的图形， 的图形，并给出了过点(-2,2) (-2,1) (-2, −2) 的
三条积分曲线。 三条积分曲线。
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二、 积分曲线的图解法
• 所谓图解法就是不用求微分方程解的具体表达式， 所谓图解法就是不用求微分方程解的具体表达式， 根据右端函数和向量场作出积分曲线的大致图形。 根据右端函数和向量场作出积分曲线的大致图形。 • 图解法只是定性的反映积分曲线的一部分主要特征。 图解法只是定性的反映积分曲线的一部分主要特征。 • 该方法的思想十分重要。因为能够用初等方法 该方法的思想十分重要。 求解的方程极少， 求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的 性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律 就有很重要的指导意义。 就有很重要的指导意义。
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Baidu Nhomakorabea
dy = f ( x, y) dx
方程 f ( x, y) = c所决定的曲线上任意一点 P( x, y)处 方程的向量场的方向都相同。 方程的向量场的方向都相同。 向量场的方向都相同 我们把 f ( x, y) = c 所确定的曲线 称为微分方程
dy 等倾线。 = f ( x, y)的等倾线。 dx
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的一条曲线， 几何意义: 几何意义 解 y = ϕ ( x) 就是通过点 ( x0 , y0 ) 的一条曲线，
f ( x,ϕ ( x) ) 就是该曲线 上的点 ( x,ϕ ( x) )处的切线斜率， 就是该曲线上的点 处的切线斜率，
曲线上点 ( x0 , y0 )的切线斜率就是 f ( x0 , y0 ) 。 尽管我们不一定能求出方程的解， 尽管我们不一定能求出方程的解，但我们知道 解曲线在区域中任意点 ( x, y)的切线斜率是 f ( x, y)。 如果我们在区域内每一点 ( x, y)都画上一个以值 f ( x, y) 点的线段， 就得到一个方向场. 为斜率中心在 ( x, y) 点的线段，我们 就得到一个方向场 将这个方向场称为由微分方程 所确定的向量场。 所确定的向量场。
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例1.3.1 在区域 D = {( x, y) | x ≤ 2, y ≤ 2} 内画出方程 dy 的向量场和几条积分曲线。 = −y 的向量场和几条积分曲线。 dx 解：可以用计算各点斜率的方法在网格点上 手工画出向量场的方向可以得到向量场， 手工画出向量场的方向可以得到向量场， 画出向量场的方向可以得到向量场 但手工绘图误差较大。我们用 软件包来完成。 但手工绘图误差较大。我们用Maple 软件包来完成。
练习： 的图形。 练习： 画出微分方程的向量场 的图形。 dy dy 2 (1) = x − y , ( 2) = y − x . dx dx
等倾线： （ 等倾线： 1）y = x 2 − k , ( 2) y = x + k .
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dy y dy x 练习：（ 练习：（1） = , ( 2) = − . dx x dx y